Mekanisme Seesaw dalam Ruang dengan D- erud.~t~";aalt 31

JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 1, NOMOR 2 JULI 2005

Mekanisme Seesaw

[OWXiTs-:J

dalam Ruang dengan D-

_{erud.~t~";AAlt}

₃₁

Agus Purwanto'"

Laboratorium Fisika Teori dim Filsafat

Jurusan Fisika, FMIPA, Instilut Teknologi s,'4fmIuh-Nej'HHnber, Kampus ITS Sukolilo, Surabaya

Intisari

Mekanisme seesaw membangkitkan massa kecil·neutrino dengan memperkena1kan neutrino kanan singlet bermassa sangat massif M di dalam model standar dan massa kecil neubino muncul sebagai massa efektif. Di

dalam teori dimensi ruang-waktu ekstra Kaluza-Klein, neubino dengan massa massifbagi mekanisme seesaw diperoleb secara alamiah yakni dari moda Kaluza-Klein.

KATA KUNCI: neutrino massif, mekanisme seesaw dan dimensi ekstra

L PENDAHULUAN

Perkembangan menarik di dalam fisika partikel, baik secara teoritis maupun eksperimen, adaIah diidentifikasinya osilasi neutrino oleh kolaborasi Super-Kamiokande [1] yang pada gilirannya menyatakan Massa tidak nol bagi neutrino. Analisa hasil-hasil eksperimen baik neutrino matabari [2], neutrino at-mosferik [3] dan LSND [4] menunjukkan massa neutrino san-gatkecil

llm~ol l::::l 3 x 10-6 - 1,2 X 10-5

eV

2

llm~tm l::::l 4

x

10-4 - 5 X lO-

s eV2

llm'isND

l::::l 0,2 - 2

eV2

(1)

Hasil eksperimen ini meneguhkan kembali fisika di luar model standar karena dalam kerangka model standar, berbeda dari fermion lainnya, neutrino tidak bermassa. Persoalannya adalah bagaimana mekanisme membangkitkan Massa kecil neutrino ini tanpa harus merusak model standar yang nota bene telab berhasil baik menjelaskan banyak data eksperimen. Mekanisme paling populer bagi pembangkitan Massa sangat kecil neutrino ini adalah mekanisme

seesaw

yakni dengan memperkenalkan neutrino kanan singlet bermassa sangat massif. Neutrino kanan sangat masif ini hanya teramati dalam sektor energi tinggi yakni sekitar skala GUT dan tidak teramati di wilayah energi rendah. Massa sangat berat ini memberi Lagrangian efektif dengan Massa neutrino sangat kecil.

Pada saat yang sarna, kajian terhadap kemungkinan ruang kita mempunyai lebih dari tiga dimensi ruang beberapa tabun terakhir ini hidup kem.bali. Sedikitnya ada empat alasan kita memerlukan dimensi ruang-waktu ekstra yaitu unifikasi grav-itasi dan interaksi

gauge

bagi partikel elementer, kuantisasi interaksi gravitasi, masalah hirarki Massa Higgs, dan masalah

-E-MAIL: purwanto@physics.its.ac.iei; purwanto_phys@yahoo.com

konstanta kosmologi.

Keberadaan dimensi ruang-waktu ekstra tentu membawa implikasi-implikasi fisis yang menarlk dan memberi inspirasi untuk me1akukan kajian ulang terhadap aneka konsep fisika. Di dalam makalah ini diperlihatkan bagaimana dimensi ekstra lebih spesifikoya dimensi kelima ala Kaluza-Klein (KK)

berperan dalam menghadirkanneutrino dengan massa sangat keeil.

n.

MODEL SEESAW

A. Suku Massa Model Standar

Model standar bagi elektrolemah adaIall teori simetri gauge

SU(2) x U(I) dengan medan fermion dan boson vek-tar

tak-bermassa. Massa berasal dari suku interaksi Yukawa

.c~ = -.,piLYJjnjRt/J -1fiiLy~jpjR~

+

h.c. (2) untuk sektor quark dengan ~ = iT2t/J'" dan

(3) untuk lepton.

Yd,

Yu ,

Ye

adaIah matrik konstanta kopling Yukawa3 x 3,

niR = (:) ,PiR = (:) ,.,piL =

(~~)

(4)

b

_R t R .,pSL dan lepton doublet

( "tiL)

.,ptiL = tiL ,t, = e, p., T (5) dan quark doublet

J. PIs. DAN APL., VOL. I, No.2, Juu200S

Perusakan simetri secara spontan dengan nilai ekspektasi vakum boson Higgs,.

(7)

me~l:1angkitJcan Massa

e'!nass = -nLMdnR - PLMuPR

+

h.c. (8)

bagi quark dengan Md,u

=

~ Yd,u, dan

(9)

bagi lepton dengan

M£

=

~

l'i

Berbeda dari fermion sektor quark yang semuanya bermassa fermion sektor lepton hanya elektron, muon dan tauon yang mempunyai Massa sedangkan neutrino v tetap tidak bermassa.

B, Mekanisme Seesaw

Di depan telah disebutkan bahwa dalam sektor energi ren-dab hanya neutrino kiri VL yang muneol. Sekarang andaikan neutrino kanan VR ada dan mengingat neutrino adalah anggota famili lepton yang tidak bermuatan maka antipartikel dari neutrino adalah neurino itu sendiri. Konsekuensinya neutrino adalah partikel Majorana VC = v yang dapat mempunyai suku

massa urnurn sebagai berikut

I

-e

= -VLmDvR - '2vRMvR

+

h.c. (10)

Kita tinjau kasus satu generasi terlebih dolu. Rapat Lagragian

(10) dapat ditulis sebagai

e

=

-~

(VL

i1J

(~D ~) (~!)

+h.c. (11)

Diagonalisasi matriks Massa

Mil =

(~D ~)

(12)

memberi persamaan sekular

1M" - mIl

= 0 dengan nilai eigen

M± ..jM2

+

4m

2

m1,2

=

2 D (13)

UntukM» mD,maka

(14) Tampak bahwa mil sangat kecH

Persamaan gerak bagi VR dalam limit statik diberikan oleh

8e

_

T -1

- = -vLmD - VRO M = 0 (IS)

8VR

AGUS PuRWANTO

dengan operator konjugasi muatan

0

=

_0-

1 ₌

_-at

₌ _OT

Vk = vLmDM- 10 atau VR = -M-1mbOv'l (16) Subtitusi pers.(16) ke dalam pers.(IO), dengan VC

=

_CiJT

di-dapatkan Lagrangian efektif

e

= vLmDM-1mbOv'l

-~

(-vLmDM- 1) 0- 1 M (M-1mbO;7[)

+

h.c 1 -= '2vLmDM-lmbOv'l

+

h.c

1_

M-1 TO C

h

= '2VLmD mD vL

+

.c 1_ C h = '2vLmllvL

+

.c dengan M-1 T mll=-mD mD (17) (18) Pers.(14) bagi Massa kecH neutrino mIl atau pers.(18) disebut hubungan Seesaw dan mekanisme mendapatkan Massa kecH

mil dengan memperkenalkan massa sangat besar M ~ 1014

GeV disebut mekanisme Seesaw [5].

m.

DIMENSI EKSTRA A. Unifikasi dan MasaIah Hirarki

Tahun 1919, teori Maxwell bagi medan elektromagnetik merupakan teori yang telah mapan dan teori gravitasi Ein-stein baru dirunluskan. Sedangkan interaksi inti kuat maupun lemah belurn diketahui dengan baik. Karena itu, upaya unifikasi yang ada hanya dilakukan pada kedua interaksi elek-tromagnetik dan gravitasi. Upaya ini pertama kali dilakukan oleh Theodore Kaluza [6] dengan mempostulatkan satu di-mensi ruang-waktu ekstra. Teori Kaluza mampu mendiskrip-sikan dengan baik bahwa gaya gravitasi dan elektromagnetik mempunyai asal yang sarna. Masalahnya, jika dimensi kelima memang ada mengapa kita tidak melihatnya. Masalah ini di-· jelaskan oleh Oscar Klein [7] dengan mengasumsikan bahwa dimensi kelima mempunyai topologi bundar sedemikian rupa sebingga periodik 0 ~ mz ~ 211" dengan m adalah invers dari jari-jari lingkaran

8

1. Dengan demikian, unifikasi dapat ter-jadi dalam ruang dengan dimensi lebih dari empat.

Kembali pada kedua interaksi gravitasi dan elektromagnetik yang telah dikenal baik. Gaya gravitasi antara dua obyek mnkroskopik yang dipisahkan oleh jarak r memenuhi hukum invers-kuadrat, F ex: r-2• Dari eksperimen akselerator kita ketahui bahwa interaksi elektromagnetik dari partikel bermuatan juga memenuhi hukum yang sarna, hukum invers-kuadrat

Tetapi kemampuan eksperimen terbatas dan dengan demikian pengetahuan kita tentang keabsahan hukum alam tersebut Se-bagai eontoh, sampai saat ini belurn diketahui Se-bagaimana peri-laku gaya gravitasi padajarak kurang dari 10-4 em, atau pada

J. PIs. DAN APL., VOL. 1, No.2, JULI 2005

jarak lebih besar dati 1028 cm. Semua yang kita ketahui ialah untuk wilayah 10-4 ~ r ~ 1028 em hukum invers-kuadrat memberikan deskripsi yang baik mengenai interaksi gravitasi nonrelativistik, tetapi mungkin berbeda untuk wilayah di luar interval tersebut.

Sampai saat ini belum diketahui bagaimana perubahan yang akan terjadi pada hukum invers-kuadrat di atas. Salah satu skenario perubahan tersebut adalah sesuai dengan hukum ru-ang dimensi tinggi jika dimensi ekstra memru-ang ada. Teori dimensi ekstra ini juga menarik seeara eksperimental karena menawarkan skala baru Te V yang bisa dideteksi oleh labora-torium generasi mendatang terdekat.

Dimensi ini seeara sederhana difahami tersusun rapi pada manifold beradius keeil dengan ukuran invers skala Planck,

lp =

M;l,

karenanya tetap tersembunyi pada energi ren-dab. K.enyataan menantang yang memotivasi ketertarikan pada penghidupan kembali gagasan ini adalah realisasi kemu-ngkinan dimensi ekstra sebesar milimeter dan masih tersem-bunyi bagi eksperimen tetapi dengan efek baru yang mungkin dapat diamati dalam waktu dekat. Di antara tanda-tanda eksperimental tersebut adalah penyimpangan hukum Newton padajarak keeil dan berbagai fenomena fisika penabrak (col-lider physics). Salah satu keistimewaan yang menyolok dati

teori ini adalah solusi alamiah atas masalah hirarki.

Masalah tersebut berupa adanya selang antara skala energi elektroleinah yang merupakan energi maksimum yang dapat dicapai oleh laboratorium yakni sebesar mEW ~ 102GeV

dan skala unifikasi gaya-gaya MCUT ~ 1016GeV serta skala Planck Mpl ~ 1019GeV. Jika terdapat lebih dati empat dimensi keadaan di atas dapat dimodifikasi seeara drastis. Untuk menjelaskan hal tersebut anggap terdapat 8 dimensi ruang ekstra yang tertempel dan menjadi elemen alamiah sedemikian rupa sehingga kita hanya merasakan empat di-mensi. Selanjutnya anggap bahwa dimensi ini berjejari R .

Dengan demikian bila dua pertikel uji bermassa ml dan m2

dipisahkan oleh jarak r

> >

R,

keduanya akan merasakan potensial gravitasi biasa

U(r)

= GN mlm2 (19)

r

dengan

Gi/

= M~" Tetapi bila r

«

R,

energi potensial keduanya adalah

U(r)

=

G:!~2

(20)

dengan G-I =

M6+

2 _{adalah kontstan1a kopling dati gravitasi}

di dalam dimensi 4

+

8 yang mendefinisikan

skalafundamen-tal M yang mana gravitasi menjadi kuat. Persamaan terakhir ini bila diambil sebagai persamaan fundamental maka berim-plikasi bahwa skala gravitasi empat dimensi efektif diberikan oleh

M

2 _

M

6

+

2TT

P I - V6 (21)

dengan V6 adalah volume ruang ekstra. Pers.(21) menyatakan bahwa bila volume cukup besar maka skala fundamental dapat menjadi sebesar mEW, dan berarti bahwa hirarki ditiadakan. Untuk 8 = 2 dan R kurang dati 1 milimeter kita dapatkan skala fundamental M ~ 1 Te V yang akan dapat dijangkau skala energi laboratorium mendatang.

AGUS PuRWANTO

B. Gambaran Kaluza-Klein

Seperti disebutkan di depan, gagasan dimensi ekstra selain empat dimensi dunia kita sesungguhnya merupakan gagasan lama yakni setua pekerjaan dati Kaluza dan Klein di tahun 1920-80. Berikut ini diberikan gagasan dasar dati skenario Kaluza- Klein bagi dimensi ekstra.

Tinjau teori lima dimensional dengan koordinat

(x"',

z) ,

J.I. = 0,1,2,3, dan arab

z

terkompaktifikasi pada lingkaran

27r

R

dan mempunyai perioda z = z

+

27r

R.

Dunia kita (brane), di mana doublet lepton dan medan Higgs berada, terletak di

z

= O. Partikel lainnya misalkan neutrino kanan

seperti yang akan kita bahas nanti dapat bergerak di seluruh bagian ruang. Dengan demikian dunia tiga dimensi

xl,

x2, XJ

kita bagai garis

IUTUS

pada sHinder panjang takhingga dengan radius

R

seperti ilustrasi berikut.

Garis dunla kIta

Gambar 1: Garis Dunia

Untuk memperoleh gambaran kongkrit gagasan

KK.

kita tinjau kasus sederhana yaitu medan skalar tidak bermassa. Dengan menganggap bahwa sHinder homogen dan metrik adalah datar, Lagrangian dalam ruang keseluruhan berbentuk

1

£,

=

-"28AtPaAtP,

A

=

0,1,2,3,4 (22)

Medan skalar

tP

memenuhi syarat periodik di dalam dimensi ekstra

tP(x,

z) =

tP(x,

z

+

27r R)

Selanjutnya, ekspansi Fourier bersangkutan

00

tP(x,

z) =

L

tPn(x)einz/R

n=-oo

(23)

(24)

Subtitusi

pers.

(24) ke dalam Lagrangian (22) memberikan

00 £, =

-~

L

(8"'tPm8"'tPn -

~~ tPmtPn) ei(m+n)z/R

m,n=-oo (25) Aksi bersangkutan S

=

J

a'x fo21rR

dz£' = -

2~R

J

a'x n'%;oo

{8JttPn8"'tP~

+

(~:) tPntP~}

(26)

J. FIs. DAN APL., VOL. 1, No.2, JULl2005

Selanjutnya, lakukan redefinisi

AouS PuRWANTO

Dimopoulos-Dvali [8] dan Randal-Sundrum [9] diperke-nalkan. Keduanya dikemukakan untuk mendapatkan solusi

'Pk

=

../2tr R¢k

(27) baru bagi masalah hirarki. Banyak keistimewaan dari model

ini yang diwarisi dari model KK. maka aksi dapat ditulis sebagai

S

=

-~

f

d

4

xap.'Poap.¢0

-f

d

4

x

~

{ ap.'Pnap.'P:

+

(~:)

'Pn'P: }

(28) Karena itu, spektrum dari teori terkompaktifikasi terdiri

dari medan skalar riel tunggal tak bermassa yang disebut

moda nol 'Po

dan sejumlah tak berhingga medan skalar kom-pleks massif dengan massa

mk,

(29) Pers.(28) dan (29) memberikan pengertian sebagai berikut. Dari sudut pandang (3+1) dimensional, setiap moda Kaluza-Klein dapat diinterpretasikan sebagai partikel bermassa

mn

=

Inl I

R.

Setiap medan multidimensional berkaitan dengan satu menara KK dari partikel-partikel empat dimensional dengan Massa yang bertambah. Semua keadaan di atas disebut moda

KK. Pada temperatur rendah yakni E

< <

11

R banya moda nol yang penting sedangkan pada energi tinggi

E

»

1/R

semua moda KK jadi esensial.

Model dimensi ekstra tipe baru yaitu model

ArkaniHamed-Gambar 2: Menara Kaluza-Klein

Iv. MASSA RINGAN TANPA SKALA MASSA BERAT

A. Model dan Kondisi Seesaw

Di dalam model [10] berikut ini, banya neutrino kanan yang dianggap bidup di dalam dimensi ekstra sedangkan neutrino

kiri

VL

tidak. Secara khusus, kita tinjau fermion Dirac lima

dimensional tunggal "\II yang di dalam basis Weyl dapat diu-raikan ke dalam dua spinor komponen-dua "\II =

(tPI

iii2)T.

Kita tetapkanjuga kondisi

tPI,2( -z)

=

±tPI,2(Z)

yang

mana

z

adalah koordinat dimensi kelima. Asumsi bahwa dunia kita (brane) terletak di titik tetap

arm/old

y = 0 tampak bahwa

tP2

lenyap di dunia kita dan kopling paling alamiah adalah an-tara

VL

dan

tPI.

Bentuk aksi lima dimensional paling

umum

dari model dengan ketentuan di atas diberikan oleb

S

=

f

d

4

xdzM

s

{tPliCtAaAtPl

+

tP2iCtAaAtP2

+

~

Mo (tPltPl

+

tP2tP2

+

h.c.) }

+

f

~x

{vLiCtP. Dp.VL

+

(mvL tPllz=o

+

h.c.)}

(30) dengan massa Majorana

Mo

bagi "\II.

Selanjutnya untuk kompaktifikasi ke dimensi empat kita ekspansi medan "\II lima dimensional ke dalam moda KK.

Hubungan

arm/old, tPI,2( -z).= ±tPI,2(Z)

mempunyai imp-likasi bahwa uraian KK medan bersangkutan mempunyai ben-tuk 1 00

tPI(X, z)

=

rn=n

L

tP~n)(x)

cos

(nzl R)

v2trR n=O

tP2(X, z)

=~

E

tP~n)(x)

sin(nzIR)

(31)

v2trR n=O

Subtitusi ekspansi (31) ke dalam aksi (30) didapatkan aksi empatdimensional

s

=

f

~x

{VLiCtP. Dp.VL

+

~O) iCtp.ap.tP~O)

+

~

(N(n) iCtp.ap.N(n)

+ M(n) iCtp.ap.M(n»)

+

(~MotP~0)tP1°)

+

~ ~

[(

Mo

+

~)

N(n) N(n)

+

(Mo -

~)

M(n) M(n)]

J. PIs. DAN APL., VOL. I, No.2, JULl2005 Aous PuRWANTO

dengan kombinasi linier dengan

=

~

(""fn)

+

",,~n»)

=

2-

_V2

(oJ.(n) _ oJ.(n»)

n

>

0

'f'1 'f'2 , (33)

Selanjutnya, bila suku massa aksi (32) ditulis dalam bentuk

1

L,masB

=

"iN.M}/l'

+

h.c. (34) maka mab'iks massa bersangkutan berbentuk

dengan 0 m m

Mo

m(1) ₀

M

₌

m({) M 0 m(2) N 0 m(2) M 0 m<;J) = m(cos(nyjR) +sin(nyjR»

m~)

= m (cos(nyj R) - sin(nyj R»

IM-MI

(1) mN 0

Mo+i

0 0 0 (37)

Dari persamaan di atas tampak bahwa persamaan simetrik ter-badap operasi ,\ - -,\ jika

m<J)

=

m~

dan ini berarti bahwa mekanisme seesaw lenyap antara nilai eigen positip

dan negatip. Karena itu

(39)

merupakan kondisi bagi mekanisme seesaw.

B. Massa Neutrino

Untuk mendapatkan gambaran riel mekanisme seesaw dari moda KK kita tinjau kasus

m<J)

=

m, m<;}

=

O. Lagrangian

m(1) M m(2) N m(2) M 0 0 0 0 0 0

Mo-i

0 0 ₍₃₆₎ 0

_Mo

+:1t

0 0 0

Mo

-:1t

Untuk

Mo

= 0, persamaan nilai eigen

(38)

yang relevan dengan bahasan lebih lanjut berbentuk

00

,. - -·-P.D

+ '"

-rnN n) ·-P.8 N(n)

J.. - VLU7 p.VL L..J U1 P.

n=1

Jelas, kasus ini memenuhi kondisi seesaw (39). Penulisan kembali Lagrangian massa sebagaimana (35) dengan

J. PIs. DAN APL., VOL. I, No.2, JULl2005

memberikan matriks massa

M=

Ommmm

mOO 0 0

m

0

fi

0 0

mOO

i

0

mOO 0

i

Matriks Massa ini memberi persamaan sekular

(42)

Nilai eigen terkait dengan mekanisme seesaw, untuk

N

besar

sekali, mempunyai bentuk

(44) Banelingkan pers.(44) dengan pers.(14) elidapatkan massa massif neutrino Majorana konvensional disubtitusi oleh

-m 2 R In N. Sedangkan massa kecil neutrino eliberikan oleh

1

RlnN·

V. KESIMPULAN

Oi dalam mekanisme seesaw konvensional neutrino Majo-rana massif elitambahkan begitu saja (by hand) ke dalam

La-grangian model standar. Neutrino ini tidak teramati eli wilayah energi rendah karena massanya eli sekitar massa GUT. Oi dalam konteks dimensi ekstra peran neutrino massif ini eliam-bil oleh partikel alamiah yang bidup eli dalam dimensi ekstra dan mempunyai massa mlc = ~.

Ucapan terlmakasib

Makalah ini penulis dedikasikan kepada Prof. Tjia May On dan Dr. Hans J. Wospakriek (aim) yang telah

mengan-AGUS PuRWANTO

tar penulis untuk memasuki dan menekuni fisika teoritis, juga meneladanlcan bagaimana menjadi

ilmuwan sejati

eli tengah masyarakat yang tidak menghargai ilmu pengetahuan. Penulis sampaikan ungkapan terimakasih pada Anwarl Fundamen-tal Sciences Foundation (AFSiF) yang mendukung dana bagi penelitian ini.

LAMPIRAN A: DETERMINAN MATRIKS MASSA

Berikut ini eliberikan perbitungan rinci matriks massa.

Per-hatikan matriks

n

x

n

B,

_

(b~l

:..

b~n)

B-

.

_{. .}

.

.

.

.

bnl ... bnn

Oeterminan matriks B menurut definisi diberikan oleh

b

_n

_b1n detB =

IBI

=

bn1 bnn n

=

L(

-l)i+jbijBij j=1

dengan Bij adalah minor bij dari determinan

B.

(AI)

(A2)

Selanjutnya, terapkan rumusan eli atas pada matriks khusus

M

dengan bentuk

('

Xo

aoo

~ ~

ao1 aon

_~)

M

₌

7

_{a~o a~1}

_a~n

Xn

ana anl

ann

=

(~~)

(A3)

Ekspansi determinan terhadap suku-suku minor(A2) pada

l. PIs. DAN APL., VOL. 1, No.2, lULl 2005 detM = zlAI-Yo Xo llol Xl

an

aan-l }

an-U

an-ln-l llol llon Xo aln

+ ... +

(_1)n-1 Yn Xl ann Xn aOn aOI

+ ... +

(-It-Ixn ann an-U aOn- l AGUS PuRWANTO

aoo

aan-l alO aln-I

ana

ann-l llon

}

.

an-In

=

z IAI-

{xoyoAoo - XOYIACll

+ ... +

(-ltxoYnAon} - {-xIYoAlO

+

XIyl All

+ ... +

(-It+1XIYnAln}

+ ... -

{(-ltxnyoAno

+

(-It+1XnYIAnl

+ ...

+XnYnAan}

n

=

z IAI-

~:)

-l)i+ixiAijYj

ij

LAMPJRAN B: NILAI EIGEN SEESAW

Perhatikan matriks

M->'I=

->.

m m

->.

m

m m m m m (Bl)

Bandingkan matriks M - >'ldengan matriks (A3) maka z =

->.,

Xi

=

Yi

=

m, Aij

=

AiiOij sehingga pers. (A4) menjadi

N

1M ->.11

=

zlAI-

~)-l)i+jxiAiioijYj ij N =

zlAI-

L:X~Aii

i=O N = ->'IAI-m2L:

A

ii (B2) i=O

dengan determinan matriks A untuk kasus khusus kita

IAI

=

->.

II (~

-

>.)

10=1 (B3) (A4) dan minor =

IAI

it -

>.

= ->'llle=1

(i -

>.)

(B4)

Dengan demikian ungkapan lengkap determinan dierikan oleh bentuk berikut

l. PIs. DAN APL., VOL. 1, No.2, lULl 2005

Uraiannya

AGUS PuRWANTO

Penulisan ke dalam ekspansi (B6) memberikan Kita koefisien-koefisien

Ck

N

Co

=

II

(Ak) A+A_

k=1

-c.

=

n

A. {

~+

+A-

+

(t.

~

)

~+L

}

CNH

=

(_I)N+'

{~+

+

L

+

t.'\'}

CN+2

=

(_I)N+2

(B9)

Selanjutnya, asumsikan bahwa

mR < <

I,

Al

dapat diekspan-sikan sebagai

I m2R

AI=-+--+···

R I (BI0)

(B6) Dengan demikian, membandingkan dua ungkapan koefisien

Ck

didapatkan Kita dapatkan koefisien-koefisien

Ck,

m2NI

Co

= -

RN

N N C1 = 2m2

II

(~)

L

(~)

k=1

;=1 J N

CN+1

=

(_I)N-1

L

(~)

k=1 R

CN+2

=

(_I)N

(B7)

Di sisi lain,

pers.(B5)

dapat ditulis dan diuraikan sebagai berikut

N

o

=

II

(.~k

- A)(A+ -

A)(.L - A)

k=1

=

(A1 -

A)

(A2 - A) ... (A+ -

A)

(A_ -

A)

=

A1A2··· ANA+A_

-A

{A1A2··· ANA+

+

A1A2··· ANA_

+ A+A_ (A1·· ·AN-1

+ ... +

A2· ··AN)}

+ ... +

(_I)N+1AN+1 (A1

+ A2 + ..

·AN

+

A+)

+(_I)N+2AN+2

N

=

II

(Ak) A+A_

k=1

-~

n

_{A. {}

~+

+A-

+

(t. ;, )

4L }

+ ... +

(_I)N+1AN+1 {A+ +A_

+

tAl}

1=1

+(_I)N+2AN+2

(B8) i) dari

Co

4~-

=

c{QA.r

m2NI N

(1

m2R

)-1

=

- - I I

- + - +

...

RN k=1 R

I

N (

2R2

)-1

=

_m

2

II

₁

+

_m

,2

+ ...

k=1

=

_m2

(1

+m2R2t ,;

+ ...

)-1

1=1 ~ _m2 _(BIl)

+m

2

(t.

~,)

N

1

~ -m

2

RL

_y

(B12) 1=1

Hasil ini juga dapat diperoleh dari penyamaan koefisien

CN+1'

Dari dua basil

A+,

A_ di depan

o =

(A-A+)(A-A_)

J. PIs. DAN APL., VOL. 1, No.2, JULl2005

dapat diperoleb dua akar yang tidak lain adalab nilai eigen

(B14) dengan

(B1S)

Untuk kasus JI.

> >

m, didapatkan

~1,2

₌

JI.

±

Jl.V1

+

4:a

2

2

=

~

{JI.

±

JI.

(1

+

2;a2

+ ... ) }

~

{

-~/JI.

(B16)

[1] Y. Fukuda, et ai, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1562; Phys. Lett.

B436 (1998) 33.

[2] J. BahcaU, P. Krastev dan A. Smirnov, Phys. Rev. D58 (1998) 096016.

[3] M.C. Gonzalez-Garcia dkk., Phys. Rev. D58 (1998) 033004.

[4] C. Athanassopoulos dkk., Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 2650; Phys. Rev. C58 (1998) 2489.

[5] M. OeD-Mann, P. Ramond, R. Slansky: in Supergravity, eeL P. van Nieuwenhuizen and D. Z. Freedman. North Holland, 1979.

T. Yanagida: in Proceedings of Workshop on Unified Theory and Baryon Number in the Universe, eeL O. Sawada and A.

AGUS PuRWANTO Untuk limit N -+ 00 2

~1

2R JI.

=

-m R L..J

I

~ -m

inN.

1=1 (B17) Sugamoto, KEK, 1979.

[6] T. Kaluza, in An Introduction to Kaluza-Klein Theories, ttansl.

by T. Muta, World Scientific, Singapore, 1984.

[7] O. Klein, in An Introduction to Kaluza-Klein Theories, ttansl. by T. Muta, World Scientific, Singapore, 1984.

[8] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali, Phys. Lett. B429

(1998)263.

[9] L Randal and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 3370. [10] K.R. Dienes, E. Dudas and T. Gherghetta, Nucl. Phys. B557