PENENTUAN NILAI AWAL PARAMETER RELATIF ORIENTASI FOTO STEREO MENGGUNAKAN METODE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

PENENTUAN NILAI AWAL PARAMETER RELATIF ORIENTASI

FOTO STEREO MENGGUNAKAN METODE

SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

Leo Pantimena

Dosen Program Studi Teknik Geodesi FTSP ITN Malang

ABSTRAKSI

Penentuan nilai posisi dan orientasi awal konfigurasi jaringan pemotretan multi-foto konvergen memiliki peranan yang sangat vital dalam proses pemberian nilai koordinat datum lokal tanpa secara ekplisit mengukur koordinat titik-titik obyek yang bersangkutan. Tanpa melalui proses ini, penghitungan koordinat titik-titik obyek yang dipotret mustahil dilakukan. Mengingat betapa pentingnya proses ini, maka tulisan kali ini akan mencoba untuk menguraikan teknik penghitungan nilai awal orientasi kamera dari sembarang pasangan foto konvergen didalam jaringan pemotretan, dengan menggunakan Matriks Esensial, yang merupakan pengembangan dari metode klasik fotogrametri yang telah dijabarkan oleh Stefanovic (1973). Dengan menggunakan kondisi Koplanaritas dan Orthogonalitas, Matriks Esensial dapat dihitung menggunakan teknik perataan kuadrat terkecil. Dengan demikian, proses iterasi dapat dilakukan untuk mendapatkan Matriks Esensial yang memiliki nilai residual yang terkecil. Matriks Esensial yang telah dirata-ratakan akan diuraikan dalam komponen matrik Singular Value

Decomposition (SVD) untuk mendapatkan nilai posisi dan rotasi

kamera. Dikarenakan Matriks Esensial memiliki ambiguitas yang disebabkan oleh skew-matriks, maka posisi yang dihasilkan memiliki empat kemungkinan nilai orientasi awal. Dari keempat kemungkinan ini, dipilih satu nilai yang paling representatif, yang diverifikasi melalui proses intersection. Proses ini telah diimplementasikan dalam perangkat lunak yang tengah dikembangkan untuk mengukur besaran deformasi melalui pemotretan dengan kamera dijital.

Kata Kunci: Posisi dan Rotasi, Koplanaritas, SVD, Dependent Relative Orientation.

PENDAHULUAN

Dalam fotogrametri terdapat salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai enam parameter eksterior orientasi menggunakan foto stereo. Teknik ini secara umum sering disebut sebagai teknik relatif orientasi. Pada dasarnya, teknik ini menggunakan persamaan kesegarisan

equations). Akan tetapi, kedua persamaan ini tidak dapat digunakan secara

langsung karena membutuhkan nilai pendekatan awal enam parameter eksterior orientasi untuk kedua pasang foto stereo. Selain itu, kedua persamaan ini pun masih dalam bentuk non-linier, sehingga perlu proses linierisasi terlebih dahulu untuk dapat digunakan secara optimal.

Dengan demikian, dalam tulisan kali ini akan coba dikupas sebuah alternatif penentuan nilai awal parameter eksterior orientasi pada proses relatif orientasi menggunakan persamaan kesebidangan. Kemudian solusi ini akan diselesaikan secara keseluruhan dengan metode Singular Value

Decomposition (SVD).

DASAR TEORI

Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, persamaan dasar yang akan digunakan ialah persamaan kesebidangan (coplanarity

equations). Dari persamaan ini akan dibangun sebuah matriks esensial,

dimana matriks ini merupakan matriks yang didapat dari proses perkalian

cross product antara dua buah parameter matriks rotasi dan skew matrix

vektor basis yang menghubungkan kedua foto stereo. Secara detail, proses penentuan nilai parameter matriks essential hingga proses dekomposisinya untuk mendapatkan nilai awal parameter eksterior orientasi akan dijelaskan pada tiap sub-bab di bawah ini.

Matriks Esensial (Essential Matrix)

Matriks Esensial merupakan sebuah matriks yang didapatkan dari proses penyederhanaan persamaan kesebidangan. Persamaan kesebidangan ini ialah kondisi dimana dua buah stasiun pemotretan suatu pasang foto stereo, titik obyek pada ruang, dan titik obyek pada foto terletak pada satu bidang yang sama (Ghos, 2005; McGlone, 1989). Atau untuk lebih jelasnya, kondisi kesebidangan dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 1.

Kondisi Kesebidangan pada Foto Stereo Sumber: Fraser (2006)

Dari kondisi kesebidangan tersebut dapat diturunkan sebuah persamaan kesebidangan sebagai berikut (Fraser, 2006):

(

)

0

0

0

0

2 2 2 1 1 1

=





















−





















−

−

−

−

c

y

x

R

B

B

B

B

B

B

R

c

y

x

_i i x y x z y z i i [1]

Dimana,

B

X

,

B

Y

,

B

Z _{merupakan vektor basis antara kedua posisi}

kamera, x,y koordinat dua-dimensi obyek pada sistem foto,

c

panjang fokus kamera terkalibrasi, R ialah matriks rotasi dengan dimensi 3 x 3, angka 1,2 mengindikasikan identitas foto, dan i merupakan notasi titik obyek ke-i.

Dalam persamaan [1] dapat disederhanakan kembali dengan mengalikan parameter R , skew matriks dari vector basis 1

(

BX,BY,BZ

)

_dan

2

R ; sehingga didapat sebuah persamaan baru sebagai berikut:

(

)

2 0 2 1 1 =           − − c y x E c y x i i i i [2] atau

0

2 1

Ex

=

x

_[3]

dimana E merupakan matriks esensial yang berhubungan dengan parameter basis dan rotasi foto, x dan 1 x merupakan koordinat obyek pada 2

tiap foto.

Kesemua persamaan diatas dapat dituliskan dalam sebuah persamaan linier homogenous dengan enam parameter yang tidak diketahui sebagai berikut (Stevanofic, 1973):

0 =

Ae _[4]

dimana A adalah matriks koefisien dan e merupakan matriks parameter yang tidak diketahui, sehingga keduanya dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

n n n n n n n n n n n n n n n n n nx y y z x x y y y z y x z y z z z x z z z y z x y z y y y x x z y y x x A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1          = [5]

T e e e e e e e e e u= 11 21 31 12 22 32 13 23 33 _[6]

Selama sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan [4] merupakan persamaan linier homogenous, maka solusi yang akan dihasilkan tidak unik. Dengan demikian, persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan menggunakan sistem persamaan kuadrat terkecil biasa. Akan tetapi, sistem persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD).

Proses penentuan matriks esensial menggunakan SVD, dibagi lagi menjadi beberapa metode sesuai dengan jumlah titik konjugasi yang akan digunakan untuk menghitung. Metode tersebut diantaranya ialah metode 8-point, 7-8-point, 6-point. Dari ketiga metode tersebut, metode 6-point lah yang akan digunakan untuk menghitung nilai parameter matriks essential. Metode ini dipilih karena dapat digunakan dalam kondisi titik konjugasi ≥ 6 titik.

Metode 6-point merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengestimasi nilai minimum-norm sub-ruang tiga-dimensi dari sembilan-dimensi pada seluruh 3× matriks esensial pendekatan. Adapun nilai 3 matriks essential pendekatan menggunakan 6-point dapat ditentukan dengan melakukan dekomposisi matriks koefesien A menggunakan metode SVD. Proses dekomposisi matriks koefisien A (dimensi : m×n) tersebut akan menghasilkan tiga buah matriks baru diantaranya U berdimensi

m

m× _{, S matriks diagonal berdimensi} m×n _{yang berisikan nilai singular dari}

proses dekomposisi dan V berdimensi n×n. Dengan demikian, setelah proses dekomposisi terdapat tiga nilai parameter matriks essential pendekatan sebagai berikut :

97 67 37 87 57 27 77 47 17 2 ) 7 ( 2 v v v v v v v v v ke kolom V EX = × − = × [7] 98 68 38 88 58 28 78 48 18 2 ) 8 ( 2 v v v v v v v v v ke kolom V EY = × − = × [8] 99 69 39 89 59 29 79 49 19 2 ) 9 ( 2 v v v v v v v v v ke kolom V EZ = × − = × [9]

Untuk mendapatkan nilai matriks esensial sebenarnya, dapat menggunakan sebuah persamaan sebagai berikut :

Z Y X yE zE xE

E= + + [10]

Dimana, EX,EY,EZ _{merupakan matriks esensial pendekatan dan} z

y

x, , _{merupakan koefisien pengali yang didapat dari sebuah persamaan} konstrain sebagai berikut (Horn, 1990):

( )

₀ 2 _ =     − E I EE trace EET T [11] Dari persamaan konstraint diatas dapat ditulis dalam sebuah persamaan liniear pangkat tiga sebagai berikut (Triggs, 2000):

0 3 2 2 3 2 2 2 2 3 _{+ + + + + + + + + =} z yz z y y xz xyz xy z x y x x [12]

Sehingga, koefisien pengali x,y,z dapat ditentukan dengan mencari nilai akar dari persamaan [12].

Ekstraksi Projection Matrix Menggunakan SVD

Dengan mengasumsikan posisi dan rotasi dari kamera pertama

[ ]

0

1

I

P

=

dimana I ialah matriks identitas. Dengan menggunakan matriks essential E , maka posisi dan rotasi dari kamera kedua dapat ditentukan dengan mengurai element E menggunakan perhitungan Singular Value

Decomposition (SVD) (Hartley et al, 2003; Horn, 1990; Sharagai et al, 2005;

Elias, 2009).

T USV

E= [13]

Parameter rotasi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan di bawah ini: T UWV R21 = atau T T V UW R22 = [14] Dengan, 1 0 0 0 0 1 0 1 0 − = W [15]

Parameter rotasi di atas mengindikasikan proses rotasi dari kamera pertama ke kamera kedua pada proses relatif orientasi. Parameter posisi kamera kedua (translasi) didapat sebagai berikut:

          = 1 0 0 V T [16]

Dikarenakan pada persamaan dasar kondisi kesebidangan terdapat skew matrik, hal, menyebabkan terjadinya ambiguitas pada penentuan posisi, sehingga penentuan posisi kamera kedua pada proses relatif orientasi terdapat empat kemungkinan dengan 2 parameter rotasi dan dua parameter dengan konfigurasi sebagai berikut:

[

R T

]

P₂ = ₂₁| atauP₂ =

[

R₂₂ |T

]

_atau P₂ =

[

R₂₁|−T

]

atauP₂ =

[

R₂₂ |−T

]

[17] Sebagai ilustrasi keempat posisi tersebut dapat dilihat pada gambar dibawah ini (Hartley, 2003):

Gambar 2.

Ilustrasi Kemungkinan Posisi Kamera

Posisi pada gambar 2a merupakan konfigurasi aktual dari posisi dan rotasi kamera untuk melakukan proses fotogrametri selanjutnya, karena pada posisi tersebut posisi objek tepat berada di depan sistem sumbu kamera.

Secara matematis, penentuan pasangan parameter posisi dan rotasi kamera stereo yang benar dapat dilakukan. Adapun persamaan yang digunakan ialah persamaan segitiga sebangun antara sistem koordinat di foto dengan koordinat obyek dalam ruang tiga-dimensi. Hubungan ini dapat dituliskan dalam sebuah persamaan matematika sebagai berikut (Wolf, 1993, Mikhail, 2001).

L A a L A a L A a Z Z z Y Y y X X x − = − = − ' ' ' [18] Atau dapat dituliskan dalam sistem persamaan baru sebagai berikut :

a a L A L A x z X X X X ' ' − = − [19] a a L A L A y z Y Y Y Y ' ' − = − [20] a a L A L A z z Z Z Z Z ' ' − = − [21]

Dimana,

X

A

,

Y

A

,

Z

A _{merupakan koordinat obyek,}

X

L

,

Y

L

,

Z

L _merupakan

posisi kamera dan xa′,ya′,za′ _{merupakan koordinat foto yang telah terotasi}

menggunakan persamaan sebagai berikut :

)

(

'

)

(

'

)

(

'

33 23 13 32 22 12 31 21 11

f

m

y

m

x

m

z

f

m

y

m

x

m

y

f

m

y

m

x

m

x

a a a a a a a a a

−

+

+

=

−

+

+

=

−

+

+

=

[22]

Dengan melakukan subtitusi

λ

a _bagi

(

ZA −ZL

)

za′ _{pada persamaan}

di atas didapat sebuah persamaan untuk menentukan nilai koordinat titik A bagi foto pertama sebagai berikut :

1 1 1 1 1 1 1 1 1

'

'

'

L a a A L a a A L a a A

Z

z

Z

Y

y

Y

X

x

X

+

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

[23]

Dengan jalan yang sama dapat ditulis persamaan untuk foto kedua sebagai berikut : 2 2 2 2 2 2 2 2 2

'

'

'

L a a A L a a A L a a A

Z

z

Z

Y

y

Y

X

x

X

+

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

[24]

Susunan persamaan [23] sama dengan persamaan [24], yang membedakannya adalah proses penentuan nilai parameter

λ

a_{. Untuk nilai}

a

λ

_{pada foto kesatu dan kedua secara berurutan dapat ditentukan dengan} cara sebagai berikut :

(

)

(

)

1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ' ' ' ' ' ' a a a a L L a L L a a y x y x Y Y x X X y − − − − =

λ

[25]

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ' ' ' ' ' ' a a a a L L a L L a a y x y x Y Y x X X y − − − − =

λ

[26]

Apabila nilai parameter skala telah diketahui untuk tiap pasangan parameter posisi dan rotasi, maka pasangan yang dianggap benar ialah pasangan yang memenuhi kondisi

(

λ

a1 >0 atau

λ

a2 >0

)

untuk keseluruh titik konjugasi yang ada.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Untuk menguji sejauh mana kebenaran teori yang digunakan, akan dibuktikan dengan sebuah data simulasi foto stereo dengan obyek kubus. Foto kubus tersebut diambil menggunakan kamera Nikon D60 dengan panjang fokus 24.00 mm. Adapun data koordinat foto hasil ekstraksi tersebut disajikan dalam bentuk tabel dibawah ini.

Tabel 2.

Data Koordinat Foto Stereo Kubus

ID PHOTO KIRI PHOTO KANAN

x y x y 1 1.32896 2.07739 -9.04286 5.06588 2 4.42254 4.03391 -6.63261 3.75031 3 5.55408 4.78684 -5.26960 3.04952 4 7.36736 6.04934 -2.01876 1.44362 5 3.88850 6.79500 1.67961 3.29701 6 2.29096 7.12231 3.21933 4.10976 7 -0.42672 7.68315 5.69353 5.42843 8 -3.04789 6.68494 2.18275 6.49852 9 -4.43975 6.15843 0.77089 6.92555 10 -7.40681 5.01379 -1.54013 7.61858

Dengan menggunakan data diatas didapat nilai parameter matriks essential sebagai berikut:

0.035582 0.751912 0.477124 -0.729847 -0.098186 -0.634227 -0.430620 -0.645114 -0.025934 = E

Kemudian, matriks esensial tersebut dipecah menjadi parameter posisi dan rotasi dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) seperti yang telah dijelaskan di atas. Terdapat empat kemungkinan parameter rotasi dan posisi kamera yang didapat, dimana hal ini disebabkan oleh adanya matriks skew pada elemen basis dalam persamaan kesebidangan. Adapun empat kemungkinan posisi dan rotasi kamera kedua untuk data simulasi di atas adalah sebagai berikut:

0.62175 -0.44061 0.64753 0.292361 0.527786 0.797475 0.471834 0.645731 0.600337 -0.831804 -0.551791 0.060241 -1 _ = Sol 0.62175 -0.44061 0.64753 0.997622 -0.027995 -0.062975 -0.022558 0.996087 -0.085447 0.065121 -0.083824 0.994350 2 _ = Sol 0.62175 0.44061 -0.64753 -0.292361 0.527786 0.797475 0.471834 0.645731 0.600337 -0.831804 -0.551791 0.060241 -3 _ = Sol 0.62175 0.44061 -0.64753 -0.997622 -0.027995 -0.062975 -0.022558 0.996087 -0.085447 0.065121 -0.083824 0.994350 4 _ = Sol

Dari keempat data parameter posisi dan rotasi diatas, yang memenuhi syarat kondisi

(

λ

a1 >0 atau

λ

a2 >0

)

_{adalah solusi ketiga,}

dimana parameter skala bernilai positif yang menandakan nilai koordinat obyek berada didepan sumbu kamera.

Tabel 3.

Data Parameter Skala Dan Koordinat Arah Z Titik Obyek

ID λ 1 0.008441 2 0.010574 3 0.012445 4 0.017226 5 0.029268 6 0.031320 7 0.034530 8 0.031092 9 0.029477 10 0.026581

KESIMPULAN

Dari seluruh persamaan pada proses penentuan nilai awal parameter relatif orientasi merupakan persamaan linier homogenous, sehingga keseluruhan persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decoposition (SVD). Secara praktis, metode SVD digunakan pada dua tahapan proses yaitu pada saat menentukan nilai parameter matriks esensial dan proses penentuan nilai parameter posisi dan rotasi kamera kedua.

Pada proses penentuan matriks esensial terdapat tiga solusi untuk metode 6-point yang selanjutnya dilakukan proses konstrain untuk mendapatkan nilai final dari matriks esensial; sedangkan untuk proses penentuan nilai posisi dan rotasi kamera didapat empat buah solusi yang selanjutnya dilakukan proses interseksi untuk menentukan nilai pasangan posisi dan rotasi yang benar.

DAFTAR PUSTAKA

Elias, Rimon, 2009. Enhancing Accuracy of Camera Rotation Angles Detected by Inaccurate Sensors and Expressing them in Different Sistems for Wide Baseline Stereo. Computer Science and Engineering Department. Cairo, Egypt.

Fraser, C. S, 2006. Network Orientation Models for Image-Based 3D Measurement. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial Information Science.

Ghos, S. K, 2005. Fundamental of Computational Photogrammetry. Concept Publishing Co. Page 110-117

Hartley, R.I & Zisserman, A, 2003. Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge Press.

Horn, B.K.P, 1990a. Recovering Baseline and Orientation from Essential Matrix. Electrical Engineering and Computer Science. 10 pages.

Mcglone, J. C. 1989 Analytic Data-Reduction Schemes in Non-Topographic Photogrammetry, Falls Church, Virginia. American Society for Photogrammetry and Remote Sensing.

Mikhail, E. M., Bethel, J. S. & Mcglone, J. C. 2001. Introduction to Modern Photogrammetry. John Wiley & Sons Inc. Brisbane.

Sharagai, Z et al, 2009. Automatic Image Sequence Registration Based On A Linear Solution And Scale Invariant Keypoint Matching. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial Information Science.

Stevanofic, P, 1973. Relative Orientation – A New Approach. ITC Journal. 1973 – 3 : 417 – 448.

Triggs, B, 2000. http://www.inrialpes.fr/movi/people/Triggs. Access September 2010. Wolf, P. R. 1993. Elemen Fotogrametri. Gajah Mada University Press. Yogyakarta