Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

phgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3

_{Week 6: Separasi Variabel}

untuk Persamaan Gelombang Orde dua dan Koesien Fourier

1 Motivasi

2 Persamaan Gelombang 1D orde dua

3 Separasi Variabel

4 Contoh

5 Koesien Fourier

Motivasi

Gelombang melingkar

Figure : Gelombang menyebar secara melingkar. (Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Isotropic_radiator)

Motivasi

Gelombang air

Figure : Gelombang air. (Original Image Source: http://science.kennesaw.edu)

Motivasi

Gelombang acoustic pada gitar

Figure : Gelombang acoustic pada gitar. (Original Image Source: http://www.mediacollege.com/audio/01/sound-waves.html and https://en.wikipedia.org/wiki/Guitar)

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan.

Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk kongurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut. Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada instrumen musik yaitu gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang.

Misalkan sebuah senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk kongurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut. Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada instrumen musik yaitu gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk kongurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut. Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada instrumen musik yaitu gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Dari model vibrasi senar di atas, model matematika vibrasi senar berupa persamaan gelombang. Diberikan masalah nilai awal dan nilai batas persamaan gelombang berikut

∂2u ∂t2 =c 2∂2u ∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (2.1) u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ [0, L] (2.2) u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (2.3)

Selanjutnya akan dibahas mengenai solusi persamaan di atas menggunakan metode separasi variabel.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat X (x)T00_{(t) = c}2_X00_{(x)T (t) (3.1)} atau T00_(t) c2_{T (t)} = X 00_(x) X (x) (3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat X (x)T00_{(t) = c}2_X00_{(x)T (t) (3.1)} atau T00_(t) c2_{T (t)} = X 00_(x) X (x) (3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat X (x)T00_{(t) = c}2_X00_{(x)T (t) (3.1)} atau T00_(t) c2_{T (t)} = X 00_(x) X (x) (3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Seperti pada pembahasan persamaan panas 1D sebelumnya, persamaan (3.2) harus sama dengan suatu konstanta, yakni

T00_(t)

c2_{T (t)} = X 00_(x)

X (x) = −λ (3.3)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB):

X00_{(x) + λX (x) = 0, (3.4)}

T00_{(t) + λc}2_{T (t) = 0. (3.5)}

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB):

X00_{(x) + λX (x) = 0, (3.4)}

T00_{(t) + λc}2_{T (t) = 0. (3.5)}

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X00

(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√

λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9) X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X00

(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√

λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9) X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X00

(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√

λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9) X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4) Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)

yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12) √ λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13) √ λ = kπ L , k = 1, 2 . . . (3.14) λ = kπ L 2 , k = 1, 2 . . . (3.15) sehingga solusi umumnya adalah

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4) Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12) √ λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13) √ λ = kπ L , k = 1, 2 . . . (3.14) λ = kπ L 2 , k = 1, 2 . . . (3.15) sehingga solusi umumnya adalah

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4) Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12) √ λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13) √ λ = kπ L , k = 1, 2 . . . (3.14) λ = kπ L 2 , k = 1, 2 . . . (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4) Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12) √ λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13) √ λ = kπ L , k = 1, 2 . . . (3.14) λ = kπ L 2 , k = 1, 2 . . . (3.15) sehingga solusi umumnya adalah

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi T00_{(t) + λ} kc2T (t) = 0, (3.17) T00_{(t) +} kπc L 2 Tk(t) = 0 (3.18)

Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi Tk(t) = Ckcos kπct L  +D_ksin kπct L  , (3.19)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi T00_{(t) + λ} kc2T (t) = 0, (3.17) T00_{(t) +} kπc L 2 Tk(t) = 0 (3.18)

Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi Tk(t) = Ckcos kπct L  +D_ksin kπct L  , (3.19)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Pada akhirnya, kita mendapatkan tak hingga solusi separasi dari persamaan gelombang (2.1-2.3), u(x, t) = X (x)T (x) (3.20) uk(x, t) = Bksin kπx L   Ckcos kπct L  +D_ksin kπct L  , (3.21) k = 1, 2, · · · , uk(x, t) = sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (3.22) k = 1, 2, · · · , dengan Ek =BkCk dan Fk =BkDk.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Solusi separasi variabel dari persamaan gelombang, uk(x, t) = sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , k = 1, 2, · · · , (3.23)

memenuhi kondisi awal uk(x, 0) = Eksin kπx L  dan (uk)t(x, 0) = F_kkπc L sin kπx L  (3.24)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni,

u(x, t) = N X k=1 sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (3.25) dengan kondisi awal

u(x, 0) =XN k=1 Eksin kπx L  dan ut(x, 0) = N X k=1 Fkkπc_L sin kπx L  . (3.26)

Contoh

Contoh separasi variabel Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx).

Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut

E1 =2, E_k =0, untuk k > 1 dan

F2 = − 1

2π, Fk =0, untuk k 6= 2 Sehingga solusinya u(x, t) diberikan sebagai

u(x, t) = 2 sin(πx) cos(πt) − 1

Contoh

Contoh separasi variabel Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut

E1 =2, E_k =0, untuk k > 1 dan

F2 = − 1

2π, Fk =0, untuk k 6= 2

Sehingga solusinya u(x, t) diberikan sebagai u(x, t) = 2 sin(πx) cos(πt) − 1

Contoh

Contoh separasi variabel Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut

E1 =2, E_k =0, untuk k > 1 dan

F2 = − 1

2π, Fk =0, untuk k 6= 2 Sehingga solusinya u(x, t) diberikan sebagai

u(x, t) = 2 sin(πx) cos(πt) − 1

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Latihan

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua utt−uxx =0 sebagai berikut, tentukanlah solusi umum persamaan gelombang!

1. f (x) = 3 sin(4πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x ∈ [0, 1].

2. f (x) = 3 sin(4πx) + 2 sin(2πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x ∈ [0, 1]

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta?

Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x, 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi u(x, t) =XN k=1 sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (5.3) tidak bisa.

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x, 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi u(x, t) =XN k=1 sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (5.3) tidak bisa.

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x, 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi u(x, t) =XN k=1 sin kπx L   E_kcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (5.3) tidak bisa.

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu

u(x, 0) = f (x) = 1 = N X k=1 Eksin kπx L  , (5.4) ut(x, 0) = g(x) = 0 = N X k=1 Fkckπ_L sin kπx L  (5.5)

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu

u(x, 0) = f (x) = 1 = N X k=1 Eksin kπx L  , (5.4) ut(x, 0) = g(x) = 0 = N X k=1 Fkckπ_L sin kπx L  (5.5) Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koesien Ek dan Fk!

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Sama dengan proses mencari koesien Fourier pada kasus persamaan panas, didapat

Ek = 2 L Z L 0 f (x) sin kπx L  , (5.6) Fk = _ckπ2 Z L 0 g(x) sin kπx L  (5.7)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt−uxx =0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u(x, 0) = f (x) = 1, (5.8)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.9)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

Pertama kita tentukan koesien Fourier

Ek =2 Z 1 0 1 sin  kπx 1  , (5.10) F_k = 2 kπ Z 1 0 0 sin kπx 1  (5.11)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt−uxx =0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u(x, 0) = f (x) = 1, (5.8)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.9)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! Pertama kita tentukan koesien Fourier

Ek =2 Z 1 0 1 sin  kπx 1  , (5.10) Fk = _kπ2 Z 1 0 0 sin kπx 1  (5.11)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Untuk Koesien Ek:

Pertama kita tentukan koesien Fourier Ek =2 Z 1 0 1 sin  kπx 1  , (5.12) Ek = _kπ2 [−cos (kπx)]10, (5.13) Ek = _kπ2 (1 − cos (kπ)) , (5.14) Ek = _kπ4 , ∀k ganjil, Ek =0, ∀k genap (5.15)

Untuk Koesien Fk didapatkan

Fk = 2 kπ Z 1 0 0 sin kπx 1  =0 (5.16)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Untuk Koesien Ek:

Pertama kita tentukan koesien Fourier Ek =2 Z 1 0 1 sin kπx 1  , (5.12) Ek = _kπ2 [−cos (kπx)]10, (5.13) Ek = _kπ2 (1 − cos (kπ)) , (5.14) Ek = _kπ4 , ∀k ganjil, Ek =0, ∀k genap (5.15)

Untuk Koesien Fk didapatkan

Fk = 2 kπ Z 1 0 0 sin kπx 1  =0 (5.16)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Untuk Koesien Ek:

Pertama kita tentukan koesien Fourier Ek =2 Z 1 0 1 sin kπx 1  , (5.12) Ek = _kπ2 [−cos (kπx)]10, (5.13) Ek = _kπ2 (1 − cos (kπ)) , (5.14) Ek = _kπ4 , ∀k ganjil, Ek =0, ∀k genap (5.15)

Untuk Koesien Fk didapatkan

Fk = 2 kπ Z 1 0 0 sin kπx 1  =0 (5.16)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier

Sehingga solusinya didapatkan u(x, t) = N X k=1 sin kπx L   Ekcos kπct L  +F_ksin kπct L  , (5.17) u(x, t) = N X k=1 sin  kπx L   4 kπcos  kπct L  +0 sin  kπct L  , ∀k ganjil, (5.18) u(x, t) = N X k=1 4 (2k − 1)πsin  (_{2k − 1)πx} L  cos (2k − 1)πct_L  , (5.19)

Koesien Fourier

Latihan Koesien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt−4uxx =0 pada selang x ∈ [0, 3] seperti berikut

u(x, 0) = f (x) = 10, (5.20)

ut(x, 0) = g(x) = 0 (5.21)

Koesien Fourier

Homework

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua utt−uxx =0 sebagai berikut

f (x) = x(1 − x) dan g(x) = 0. (5.22)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! (Hint: Gunakan metode koesien Fourier untuk menentukan fungsi f (x) menjadi fungsi sinusoidal!)

Selanjutnya

Next