BAHAN AJAR ) 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ) ( 1 3 )5 = 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 = 1

Teks penuh

(1)

BAHAN AJAR 3.1

Kompentesi Dasar : 3.1. Menerapkan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah

4.1. Menyajikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma

Tujuan Pembelajaran :

Setelah proses pembelajaran peserta didik diharapkan dapat :

3.1.1. Menjelaskan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah (4 jp)

3.1.2. Mengoperasikan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah (4 jp)

4.1.1. Mengoperasikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma (2 JP) 4.1.2. Menyajikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma (2 JP)

A. Bilangan Berpangkat

1. Konsep bilangan pangkat bulat positif

Untuk

๐‘Ž bilangan real dan ๐‘Ž bilangan bulat positif, dan ๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0 berlaku :

a.

๐’‚

๐’ƒ

= ๐’‚ x ๐’‚ x ๐’‚ x ... x ๐’‚, dengan ๐‘Ž (bilangan real) disebut bilangan pokok, dan ๐‘ disebut

eksponen atau pangkat.

Example 1:

1)

5

4

= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 625

2)

(

1 3

)

5

=

1 3

x

1 3

x

1 3

x

1 3

x

1 3

=

1 243

b. Untuk

๐‘Ž, ๐‘š, dan ๐‘› ๏ƒŽ Real, maka perkalian bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

๐’‚

๐’Ž

x

๐’‚

๐’

=

๐’‚

๐’Ž+๐’

,

๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0

Example 2: 1)

(

1 3

)

2

x (

1 3

)

3

=

1 3 2+3

=

1 3 5

=

1 243 2)

10 x 10

6

= 10

1+6

= 10

7 3)

๐‘Ÿ

2

x ๐‘Ÿ

3

x ๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ

2+3+1

= ๐‘Ÿ

6

c. Untuk

๐‘Ž, ๐‘š, dan ๐‘› ๏ƒŽ Real, maka pembagian bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

๐’‚

๐’Ž

:

๐’‚

๐’

=

๐’‚

๐’Žโˆ’๐’

atau

๐’‚๐’Ž

๐’‚๐’

=

๐’‚

๐’Žโˆ’๐’

,

๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0

Example 3: 1)

5

3

: 5

โˆ’1

= 5

3โˆ’(โˆ’1)

= 5

4 2)

(

1 5

)

4

: (

1 5

)

2

= (

1 5

)

4โˆ’2

= (

1 5

)

2

=

12 52

=

1 25 3) ๐‘Ž 7๐‘5 ๐‘Ž5๐‘2

= ๐‘Ž

7โˆ’5

๐‘

5โˆ’2

= ๐‘Ž

2

๐‘

3

d. Untuk ๐‘Ž, ๐‘š, dan ๐‘› ๏ƒŽ Real, maka pemangkatan bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

(๐’‚

๐’Ž

)

๐’

=

๐’‚

๐’Ž . ๐’

,

๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0

Example 4:

1)

(5

12

)

4

(2)

2)

81

34

= (3

4

)

3 4

= 5

3

3) (๐‘ฅ

2

)

3

= ๐‘ฅ

2 . 3

= ๐‘ฅ

6

4) (3๐‘ฅ

2

๐‘ฆ)

2

= 3

2

. (๐‘ฅ

2

)

2

. ๐‘ฆ

2

= 9๐‘ฅ

4

๐‘ฆ

2

5)

(

๐‘Ž7๐‘5 ๐‘Ž5๐‘2

)

2

= (๐‘Ž

7โˆ’5

๐‘

5โˆ’2

)

2

= (๐‘Ž

2

๐‘

3

)

2

= ๐‘Ž

4

๐‘

6

e. Untuk ๐‘Ž, ๐‘š, dan ๐‘› ๏ƒŽ Real, maka perpangkatan dari perkalian dua atu lebih bilangan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

(๐’‚ . ๐’ƒ)

๐’Ž

=

๐’‚

๐’Ž

. ๐’ƒ

๐’Ž

,

๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0

Example 5: 1)

(3 . 5)

3

= 3

3

. 5

3 2)

(๐‘ฅ . ๐‘ฆ)

2

= ๐‘ฅ

2

. ๐‘ฆ

2 3) ( 3 2) 4 . (43)4 (76)3. (127)3

=

( 3 2 . 4 3) 4 (76 . 127)3

=

( 12 6) 4 (8442)3

=

24 23

= 2

4โˆ’3

= 2

f. Untuk ๐‘Ž, ๐‘š, dan ๐‘› ๏ƒŽ Real, maka perpangkatan dari perkalian dua atu lebih bilangan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

(

๐’‚

๐’ƒ

)

๐’Ž

=

๐’‚ ๐’Ž ๐’ƒ๐’Ž

,

๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ โ‰  0

Example 6 :

1)

100

4

โˆถ 50

4

= (100: 50)

4

= 2

4

= 16

2)

(

๐‘Ž . ๐‘2 ๐‘5 . ๐‘‘2

)

2

=

๐‘Ž2 . ๐‘4 ๐‘10 . ๐‘‘4

2. Bilangan pangkat bulat positif

Untuk ๐‘Ž ๏ƒŽ Real dan ๐‘š ๏ƒŽ Real, maka pangkat bilangan negatif dapat dinyatakan

sebagai berikut :

๐’‚

๐ŸŽ

= 1,

๐‘Ž โ‰  0

Example 7 :

10

4

โˆถ 10

4

= 10

4โˆ’4

= 10

0

= 1

3. Bilangan pangkat bulat negatif

Untuk ๐‘Ž ๏ƒŽ Real dan ๐‘š ๏ƒŽ Real, maka pangkat bilangan negatif dapat dinyatakan

sebagai berikut :

๐’‚

โˆ’๐’Ž

=

๐Ÿ ๐’‚๐’Ž

,

๐‘Ž โ‰  0

Example 8 :

1)

5

โˆ’3

=

1 53

2)

10 :

10

6

= 10

1โˆ’6

=

1 105

=

1 100000

3)

2๐‘Ž 3 . ๐‘โˆ’5 . ๐‘2 6๐‘Ž9 . ๐‘2 . ๐‘โˆ’1

=

2๐‘Ž3โˆ’9 . ๐‘โˆ’5โˆ’2 . ๐‘2โˆ’(โˆ’1) 6

=

๐‘Žโˆ’6 . ๐‘โˆ’7 . ๐‘3 3

=

๐‘3 3๐‘Ž6 ๐‘7 QUIZ 1.1 1. ... 2. ..

(3)

B. Bentuk Akar

1. Definisi Bentuk Akar

Bilangan-bilangan โˆš2, โˆš23 , โˆš3, โˆš54 merupakan bentuk akar. Secara umum bentuk akar ditulis ๐‘ฅ = โˆš๐‘Ž๐‘› , yaitu akar dari sebuah persamaan dengan rumus

๐‘ฅ๐‘› = ๐‘Ž, dengan ๐‘› bilangan bulat positif, ๐‘Ž bilangan rasional, ๐‘ฅ bilangan real. Example 8 :

Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bentuk akar?

1) โˆš25 2) โˆš๐œ‹ 3) โˆš83 4) 2 + โˆš7 5) โˆš3 + โˆš5 2. Jenis-jenis Bentuk Akar

Bentuk akar ada beberapa jenis, diantaranya adalah :

a. Bentuk akar murni adalah bentuk akar yang hanya terdiri atas bilangan irasional, contohnya โˆš5, โˆš23 , 4โˆš5, 5โˆš2

b. Bentuk akar campuran adalah bentuk akar yang merupakan hasil perkalian antara bilangan rasional dan bilangan irasional, contohnya :

1) 3โˆš2 adalah bentuk akar campuran karena merupakan hasil kali dari bilangan rasional 3 dan bentuk akar โˆš2

2) โˆš8 merupakan bentuk akar campuran, karena dapat ditulis sebagai โˆš2 . 2 . 2 = 2โˆš2 3) โˆš50 merupakan bentuk akar campuran, karena dapat ditulis sebagai โˆš5 . 5 . 2 = 5โˆš2 c. Bentuk akar kuadrat adalah bentuk akar berpangkat 2, contohnyaโˆš2, โˆš7, dan โˆš15 d. Bentuk akar kubik adalah bentuk akar berpangkat 3, conohnya โˆš23 , โˆš33 , dan โˆš253

e. Bentuk akar bikuadratik adalah bentuk akar berpangkat 4, contohnya โˆš94 , 4โˆš10, dan 4โˆš35 f. Bentuk akar monomial adalah bentuk akar yang terdiri satu-satu, contohnya โˆš2, โˆš33 , โˆš94 g. Bentuk akar binomial adalah bentuk akar yang terdiri atas dua bentuk akar, contohnya

(โˆš2 + โˆš3), (โˆš2 + โˆš33 )

h. Bentuk akar trinomial adalah bentuk akar yang terdiri atas tiga bentuk akar, contohnya (โˆš2 + โˆš3 + โˆš5), (โˆš2 + โˆš33 + โˆš5)

3. Sifat-sifat Bentuk Akar

Karena bentuk akar dapat dinyatakan sebagai pangkat pecahan, maka sifat-sifat pangkat dapat diterapkan pada bentuk akar.

1) ๐‘›โˆš๐‘ฅ . ๐‘›โˆš๐‘ฆ = ๐‘›โˆš๐‘ฅ๐‘ฆ atau ๐‘ฅ๐‘›1 . ๐‘ฆ 1 ๐‘› = (๐‘ฅ๐‘ฆ) 1 ๐‘› 2) โˆš๐‘ฅ ๐‘› โˆš๐‘ฆ ๐‘› = โˆš ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘› atau ๐‘ฅ 1 ๐‘› ๐‘ฆ1๐‘› = (๐‘ฅ ๐‘ฆ) 1 ๐‘› 3) โˆš๐‘š ๐‘›โˆš๐‘ฅ = ๐‘š๐‘›โˆš๐‘ฅ = โˆš๐‘› ๐‘šโˆš๐‘ฅ atau (๐‘ฅ๐‘›1) 1 ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐‘›1 = (๐‘ฅ 1 ๐‘š) 1 ๐‘› 4) ๐‘›โˆš๐‘ฅ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐‘› atau (๐‘ฅ๐‘š) 1 ๐‘› = ๐‘ฅ ๐‘š ๐‘›

Dengan ๐‘ฅ, ๐‘ฆ adalah bilangan rasional, dan ๐‘š, ๐‘› adalah bilangan bulat positif. Example 9 :

Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut : 1) โˆš23 . โˆš53 = 213 . 5 1 3 = (2 . 5) 1 3 = 10 1 3 = 3โˆš10 2) 3 1 2 512 = (3 5) 1 2 = โˆš3 5

(4)

3) โˆšโˆš45 3 = โˆš413 5 = (413) 1 5 = 4151 = 15โˆš4 4) โˆš25 3 = (23)15 = 235

4. Operasi Dasar Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar adalah bilangan real, karena itu kita dapat menggunakan sifat distributif untuk menggabungkan akar-akar sejenis dalam penjumlahan atau pengurangan.

Bentuka akar yang sejenis merupakan faktor bilangan irasional yang sama disebut bentuk akar sejenis. Contohnya : 6โˆš2, 8โˆš2, โˆ’2โˆš2.

Example 10 :

Sederhanakan operasi bilangan berikut :

1) 4โˆš5 + 2โˆš5 4) 2 โˆš43 + 7 โˆš323 โˆ’ โˆš5003 2) 3โˆš6 + โˆš6 โˆ’ 5โˆš6 5) โˆš147 โˆ’7 3โˆš 1 3+ 7โˆš 1 3 3) โˆš20 โˆ’ โˆš500 + โˆš320 Penyelesaian : 1) 4โˆš5 + 2โˆš5 = (4 + 2) โˆš5 = 6โˆš5 2) 3โˆš6 + โˆš6 โˆ’ 5โˆš6 = (3 + 1 โ€“ 5)โˆš6 3) โˆš20 โˆ’ โˆš500 + โˆš320 = 2โˆš5 โˆ’ 10โˆš5 + 8โˆš5 = (2 โ€“ 10 + 8) โˆš5 = 0 4) 2 โˆš43 + 7 โˆš323 โˆ’ โˆš5003 = 2โˆš43 + 7 โˆš2 . 2 . 2 . 2 . 23 โˆ’ โˆš2 . 2 . 5 . 5 . 53 = 2โˆš43 + 7 . 2 โˆš43 โˆ’ 5 โˆš43 = 2โˆš43 + 14 โˆš43 โˆ’ 5 โˆš43 = (2 + 14 โ€“ 5) โˆš43 = 113โˆš4 5) โˆš147 โˆ’7 3โˆš 1 3+ 7โˆš 1 3 = 3โˆš3 . 7 . 7 โˆ’ 7 3โˆš 1 . 3 3 . 3+ 7โˆš 1 . 3 3 . 3 = 3 . 7โˆš3 โˆ’7 3 . โˆš3 3 + 7 . โˆš3 3 = 21โˆš3 โˆ’7 9โˆš3 + 7 3โˆš3 = (21 โˆ’7 9+ 7 3) โˆš3 = (189โˆ’7+21 9 ) โˆš3 = 203 9 โˆš3 QUIZ 2.1

Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan berikut 1. 12โˆš6 โˆ’ 7โˆš6 + 3โˆš6

2. โˆš12 + โˆš27 โˆ’ โˆš75 3. โˆš273 โˆ’ โˆš83 + 5 โˆš643

(5)

Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

๏ƒ˜ Perkalian bilangan real dengan bentuk akar, gunakan aturan sebagai berikut : ๐‘Ž . ๐‘โˆš๐‘ = ๐‘Ž๐‘โˆš๐‘

Example 11 :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini 1) 6 . 3โˆš5 = 18โˆš5

2) 2 . โˆš242 = 2 . โˆš121 . 2 = 2 . 11โˆš2 = 22โˆš2

3) 3 . (4โˆš2 + โˆš162) = 12โˆš2 + 3โˆš162 = 12โˆš2 + 3 . 9โˆš2 = 39โˆš2

๏ƒ˜ Perkalian bentuk akar dengan bentul akar, gunakan aturan sebagai berikut : โˆš๐‘Ž . โˆš๐‘ = โˆš๐‘Ž. ๐‘ atau ๐‘โˆš๐‘‘ . ๐‘’โˆš๐‘“ = ๐‘ . ๐‘’โˆš๐‘‘. ๐‘“ Example 12 :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini 1) โˆš7. โˆš6 = โˆš7.6 = โˆš42 2) 2โˆš2 . 3โˆš12 = 6โˆš24 = 6 . 2โˆš6 = 12โˆš6 3) 2โˆš6 . (โˆš2 + 5โˆš3) = (2โˆš6 . โˆš2) + (2โˆš6 . 5โˆš3) = 2โˆš12 + 10โˆš18 = 2 . 2โˆš3 + 10 . 3โˆš2 = 4โˆš3 + 30โˆš2 4) (โˆš8 + โˆš5)(โˆš8 โˆ’ โˆš5) = (โˆš8. โˆš8) + (โˆš8. (โˆ’โˆš5)) + (โˆš5. โˆš8) + (โˆš5. (โˆ’โˆš5)) = 8 + (โˆ’โˆš40) + (โˆš40) + (โˆ’5) = 8 โ€“ 5 = 3

Catatan: dari contoh no 4) ini dapat di tulis : (โˆš๐‘Ž + โˆš๐‘)(โˆš๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘) = ๐‘Ž โˆ’ ๐‘

5) 5 โˆš493 . 2 โˆš143 = (5 . 2) โˆš49 . 143 = 10 โˆš7 . 7 . 7 . 23 = 10 . 7โˆš23 = 70 โˆš23 6) โˆš2 . โˆš33 . โˆš44

KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12. Maka, โˆš2 = โˆš212 6; 3โˆš3

= 12โˆš34; dan 4โˆš4

= 12โˆš43

Jadi, โˆš2 . โˆš33 . โˆš44 = 12โˆš26 . 12โˆš34 . 12โˆš43

= 12โˆš26 . 34 . 26

= 12โˆš212 . 34 = 2 โˆš312 4 = 2(3)124 = 2(3)13 = 2 โˆš33

Catatan : Bentuk akar berpangkat sama dapat dikalikan sesuai dengan sifat berikut : โˆš๐‘ฅ

๐‘›

. โˆš๐‘ฆ๐‘› = ๐‘›โˆš๐‘ฅ๐‘ฆ QUIZ 3.1

Sederhanakan bentul perkalian berikut

1. 4โˆš7 . 3โˆš28 3. (โˆš28 โˆ’ โˆš12)(2โˆš7 โˆ’ 2โˆš3) 2. 5(3โˆš5 + โˆš50) 4. โˆš43 . โˆš223

(6)

๏ƒ˜ Pembagian Bentuk Akar

Penyederhanakan pembagian bentuk akar sering disebut dengan merasionalkan penyebut bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawan bentuk pecahan dari penyebut. Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk di bawah ini : (i) Bentuk ๐‘Ž โˆš๐‘ ๐‘Ž โˆš๐‘ = ๐‘Ž โˆš๐‘ . โˆš๐‘ โˆš๐‘ = ๐‘Žโˆš๐‘ ๐‘ (ii) Bentuk ๐‘˜ ๐‘Ž+โˆš๐‘ ๐‘˜ ๐‘Ž + โˆš๐‘ = ๐‘˜ ๐‘Ž + โˆš๐‘ . ๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘ ๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘ = ๐‘˜(๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘) ๐‘Ž2โˆ’ ๐‘ (iii) Bentuk ๐‘˜ โˆš๐‘Ž+โˆš๐‘ ๐‘˜ โˆš๐‘Ž + โˆš๐‘ = ๐‘˜ โˆš๐‘Ž + โˆš๐‘ . โˆš๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘ โˆš๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘ = ๐‘˜(โˆš๐‘Ž โˆ’ โˆš๐‘) ๐‘Ž โˆ’ ๐‘ Example 13 :

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut : 1) 8 โˆš2 = 8 โˆš2 . โˆš2 โˆš2 = 8โˆš2 2 = 4โˆš2 2) 10 2โˆš5 = 10 2โˆš5 . โˆš5 โˆš5 = 10โˆš5 10 = โˆš5 3) 2โˆš5 โˆš10 = 2โˆš5 โˆš10 . โˆš10 โˆš10 = 2โˆš50 10 = 2 . 5โˆš2 10 = โˆš2 4) 2 1+โˆš3 = 2 1+โˆš3 . 1โˆ’โˆš3 1โˆ’โˆš3 = 2(1โˆ’โˆš3) 12โˆ’(โˆš3)2 = 2(1โˆ’โˆš3) โˆ’2 = โˆ’(1 โˆ’ โˆš3) = โˆš3 โ€“ 1 5) 8 5โˆ’โˆš17 = 8 5โˆ’โˆš17 . 5+โˆš17 5+โˆš17 = 8(5+โˆš17) 25โˆ’17 = 8(5+โˆš17) 8 = 5 + โˆš17 6) 2โˆš2 โˆš5โˆ’โˆš3 = 2โˆš2 โˆš5โˆ’โˆš3 . โˆš5+โˆš3 โˆš5+โˆš3 = 2โˆš2(โˆš5+โˆš3) โˆš52โˆ’โˆš32 = 2โˆš10+2โˆš6 2 = โˆš10 + โˆš6 7) โˆš3โˆ’โˆš2 โˆš3+โˆš2 = โˆš3โˆ’โˆš2 โˆš3+โˆš2 . โˆš3โˆ’โˆš2 โˆš3โˆ’โˆš2 = (โˆš3โˆ’โˆš2)(โˆš3โˆ’โˆš2) 3โˆ’2 = 3 โˆ’ 2โˆš6 + 2 QUIZ 4.1

Sederhanakan bentuk pembagian berikut 1. 2 โˆš7 2. 10 3โˆš5 3. 2โˆ’4โˆš7 โˆš5+2 4. โˆ’5 โˆš7+2โˆš2 5. โˆš8โˆ’โˆš5 โˆš8+2โˆš5

(7)

C. Logaritma

1. Konsep Logaritma

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Sehingga demikian jika ๐‘Ž๐‘ฅ= ๐‘, dengan ๐‘ adalah

bilangan positif (๐‘ > 0) dan ๐‘Ž adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (๐‘Ž โ‰  0), maka ๐‘ฅ adalah logaritma dari ๐‘ dengan bilangan pokok ๐‘Ž atau ditulis ๐’™ = .๐’‚๐ฅ๐จ๐  ๐’ƒ. Bilangan disebut numerus, dan ๐‘ฅ adalah hasil logaritma.

Perhatikan contoh berikut untuk memahami cara mengubah bilangan berpangkat ke dalam bentuk logaritma

Example 14

1) Ubahlah bentuk pangkat berikut ini menjadi bentul logaritma a. 25= 32 ๏ƒž .2log 32 = 5

b. 4โˆ’2= 1

16 ๏ƒž . 4log 1

16= โˆ’2

2) Tentukan nilai logaritma berikut

a. 3log 27 ๏ƒž misalkan: 3log 27 = ๐‘ฅ, maka 3๐‘ฅ = 27

3๐‘ฅ = 33

๐‘ฅ = 3 b. 5log 625 ๏ƒž misalkan: 5log 625 = ๐‘ฅ, maka 5๐‘ฅ = 625

5๐‘ฅ = 54

๐‘ฅ = 4 2. Sifat-Sifat Logaritma

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, bentuk-bentuk perhitungan logaritma yang sulit akan menjadi relatif lebih mudah untuk diselesaikan. Berikut sifat-sifat logaritma di bawah ini berlaku syarat ๐‘ > 0 dan ๐‘ โ‰  0, ๐‘Ž > 0, ๐‘ > 0, dan ๐‘š, ๐‘› โˆˆ ๐‘น.

Sifat 1

Untuk ๐‘Ž > 0 dan ๐‘Ž โ‰  0, berlaku :

๐‘Žlog ๐‘Ž = 1 , ๐‘Žlog 1 = 0, dan log 10 = 1

Bukti :

๏ƒผ Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalag bilangan itu sendiri. Jadi, ๐‘Ž1= ๐‘Ž ๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘Ž = 1

๏ƒผ Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, ๐‘Ž0= 1 ๏ƒ› ๐‘Žlog 1 = 0

๏ƒผ Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1 Sifat 2

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘Ž โ‰  0, ๐‘ฅ > 0, dan ๐‘ฆ > 0 serta ๐‘Ž, ๐‘ฅ, dan ๐‘ฆ ๏ƒŽ R berlaku :

๐‘Žlog ๐‘ฅ + ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘ฆ

Bukti :

(8)

๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘š ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฆ ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘ฆ = ๐‘ ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘= ๐‘ฅ๐‘ฆ

Dari betuk pangkat tersebut diperoleh ๐‘ฅ๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘›๐‘Ž๐‘š ๏ƒ› ๐‘ฅ๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘›+๐‘š

๐‘Ž๐‘= ๐‘Ž๐‘›+๐‘š ๏ƒ› ๐‘ = ๐‘› + ๐‘š

Maka : ๐‘› = ๐‘Žlog ๐‘ฅ, ๐‘š = ๐‘Žlog ๐‘ฆ, dan ๐‘ = ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘ฆ

Example 15

Tentukan nilai dari 2log 3 + 2log 8 - 2log 6

Penyelesaian : 2log 3 + 2log 8 - 2log 6 = 2log3 . 8

6 (menggunakan sifat 2 & 3)

= 2log 4 = 2log 22 = 2.2log 2 = 2 Sifat 3

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘Ž โ‰  1, ๐‘ฅ > 0, dan ๐‘ฆ > 0 serta ๐‘Ž, ๐‘ฅ, dan ๐‘ฆ ๏ƒŽ R berlaku :

๐‘Žlog ๐‘ฅ - ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog๐‘ฅ ๐‘ฆ Bukti : ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘› ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘›= ๐‘ฅ ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘š ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฆ ๐‘Žlog๐‘ฅ ๐‘ฆ= ๐‘ ๏ƒ› ๐‘Ž ๐‘= ๐‘ฅ ๐‘ฆ

Dari betuk pangkat tersebut diperoleh

๐‘ฅ ๐‘ฆ= ๐‘Ž๐‘› ๐‘Ž๐‘š ๏ƒ› ๐‘ฅ ๐‘ฆ= ๐‘Ž ๐‘›โˆ’๐‘š ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘= ๐‘Ž๐‘›โˆ’๐‘š ๏ƒ› ๐‘ = ๐‘› โˆ’ ๐‘š

Jadi, ๐‘Žlog ๐‘ฅ - ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog๐‘ฅ๐‘ฆ Example 16

Tentukan nilai dari 2log 48 + 2log 50 - 2log 3 - 2log 2

Penyelesaian : 2log 48 + 2log 50 - 2log 3 - 2log 2 = ๐‘Žlog48 3 + ๐‘Žlog50 2 = 2log 16 + 2log 25 = 4 + 2 = 6 Sifat 4

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘Ž โ‰  1, ๐‘Ž, ๐‘›, dan ๐‘ฅ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘› . ๐‘Žlog ๐‘ฅ

Bukti :

๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘Žlog(๐‘ฅ . ๐‘ฅ . ๐‘ฅ . โ€ฆ ๐‘ฅ)

= ๐‘Žlog ๐‘ฅ +๐‘Žlog ๐‘ฅ +๐‘Žlog ๐‘ฅ + โ‹ฏ +๐‘Žlog ๐‘ฅ

= ๐‘›๐‘Žlog ๐‘ฅ Jadi, ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘› . ๐‘Žlog ๐‘ฅ

(9)

Sifat 5

Untuk ๐‘Ž, ๐‘š > 0, ๐‘Ž, m, ๐‘›, dan ๐‘ฅ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Ž๐‘šlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘› ๐‘š ๐‘Ž log ๐‘ฅ Bukti : ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘ ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘= ๐‘ฅ ๐‘Ž๐‘šlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘ž ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘š.๐‘ž = ๐‘ฅ๐‘›

Dari bentuk pangkat di atas diperoleh : ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘Ž๐‘š . ๐‘ž ๏ƒ› (๐‘Ž๐‘)๐‘›= ๐‘Ž๐‘š๐‘ž ๐‘Ž๐‘๐‘› = ๐‘Ž๐‘š๐‘ž ๏ƒ› ๐‘›๐‘ = ๐‘š๐‘ž ๏ƒ› ๐‘ž =๐‘› ๐‘š๐‘ Jadi, ๐‘Ž๐‘šlog ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘› ๐‘š ๐‘Ž log ๐‘ฅ Example 16

Tentukan nilai x dari log ๐‘ฅ =1

3log 8 + log 9 โˆ’ 1 3log 27 Penyelesaian : log ๐‘ฅ = 1 3log 8 + log 9 โˆ’ 1 3log 27

= log 813+ log 9 โˆ’ log 27 1

3 (sifat ke-4)

= log(23)13+ log 9 โˆ’ log(33) 1 3

= log 2 + log 9 โˆ’ log 3 = log2 . 9

3 = log 6

Jadi, log ๐‘ฅ =log 6

x = 6

Sifat 6

Untuk ๐‘Ž, ๐‘ > 0, dan ๐‘Ž, ๐‘ โ‰  1, serta ๐‘Ž, ๐‘, dan ๐‘ฅ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘log ๐‘ฅ

๐‘log ๐‘Ž = 1 ๐‘ฅlog ๐‘Ž Bukti : ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘› ๏ƒ› ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘› log ๐‘ฅ = log ๐‘Ž๐‘› ๏ƒ› log ๐‘ฅ = ๐‘› . log ๐‘Ž ๏ƒ› ๐‘› = ๐‘log ๐‘ฅ ๐‘log ๐‘Ž ๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘log ๐‘ฅ ๐‘log ๐‘Ž Jika, ๐‘ = ๐‘ฅ maka : ๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘ฅlog ๐‘ฅ ๐‘ฅlog ๐‘Ž ๐‘Žlog ๐‘ฅ = 1 ๐‘ฅlog ๐‘Ž

(10)

Sifat 7

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘ฅ > 0, ๐‘ฆ > 0, ๐‘Ž, ๐‘ฅ, dan ๐‘ฆ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Žlog ๐‘ฅ . ๐‘ฅlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog ๐‘ฆ Bukti :

๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘ ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘= ๐‘ฅ ๐‘ฅlog ๐‘ฆ = ๐‘ž ๏ƒ› ๐‘ฅ๐‘ž = ๐‘ฆ

Dari bentuk perpangkatan tsb diperoleh ๐‘ฆ = ๐‘ฅ๐‘ž ๏ƒ› ๐‘ฆ = (๐‘Ž๐‘)๐‘ž

๏ƒ› ๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘๐‘ž

๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog ๐‘Ž๐‘๐‘ž

๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘๐‘ž .๐‘Žlog ๐‘Ž

๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘๐‘ž

๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฆ = ๐‘Žlog ๐‘ฅ . ๐‘ฅlog ๐‘ฆ

Sifat 8

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘Ž, dan ๐‘ฅ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Ž ๐‘Žlog ๐‘ฅ= ๐‘ฅ

Bukti :

๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘› ๏ƒ› ๐‘Ž๐‘›= ๐‘ฅ

๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘› ๏ƒ› ๐‘ฅ = ๐‘Ž ๐‘Žlog ๐‘ฅ Jadi, ๐‘Ž ๐‘Žlog ๐‘ฅ= ๐‘ฅ

Sifat 9

Untuk ๐‘Ž > 0, ๐‘Ž, dan ๐‘ฅ ๏ƒŽ R berlaku : ๐‘Ž๐‘›๐‘Žlog ๐‘ฅ= ๐‘ฅ๐‘› Bukti : ๐‘›๐‘Žlog ๐‘ฅ = ๐‘ ๏ƒ› ๐‘Žlog ๐‘ฅ๐‘›= ๐‘ ๐‘ฅ๐‘›= ๐‘Ž๐‘ ๐‘ฅ๐‘›= ๐‘Ž๐‘›๐‘Žlog ๐‘ฅ Jadi, ๐‘Ž๐‘›๐‘Žlog ๐‘ฅ= ๐‘ฅ๐‘› Example 17 :

1) Jika diketahui 2log 3 = ๐‘Ž dan 3log 5 = ๐‘, nyatakan 12log 30 dalam a dan b

Penyelesaian : 12log 30 = 3log 30 3log 12 (sifat 6) = 3log(5 . 6) 3log(4 . 3) = 33log 5+ 3log 6

log 4+ 3log 3 (sifat 2)

= 3log 5+ 3log 2+ 3log 3

2 . 3log 2+ 3log 3 = ๐‘+ 1 ๐‘Ž+1 2(1๐‘Ž)+1 = ๐‘Ž๐‘+1+๐‘Ž ๐‘Ž 2+๐‘Ž ๐‘Ž = ๐‘Ž๐‘+1+๐‘Ž 2+๐‘Ž atau 1+๐‘Ž+๐‘Ž๐‘ 2+๐‘Ž atau ๐‘Ž+๐‘Ž๐‘+1 ๐‘Ž+2

(11)

2) Sederhanakan bentuk logaritma berikut a. 2log 25 x 3log 8 x 5log 9

b. 2 2log 7- 9 3log 2 + 5 25log 4 Penyelesaian

a. 2log 25 x 3log 8 x 5log 9 = 2log 52 x 3log 23 x 5log 32 = 2 . 2log 5 x 3 .3log 2 x 2 .5log 3 = 2 . 3 . 2 2log 5 x 3log 2 x 5log 3

b. 2 2log 7โˆ’ 9 3log 2+ 5 25log 4 = 7 โ€“ (32) 3log 2+ 5 52log 22

= 7 โ€“ 22+ 522 5 log 2 (sifat 8 dan 9) = 7 โ€“ 4 + 5 5log 2 (sifat 8) = 7 โ€“ 4 + 2 = 5 QUIZ 5.1

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :