BAHAN AJAR ) 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ) ( 1 3 )5 = 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 = 1

(1)

BAHAN AJAR 3.1

Kompentesi Dasar : 3.1. Menerapkan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah

4.1. Menyajikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma

Tujuan Pembelajaran :

Setelah proses pembelajaran peserta didik diharapkan dapat :

3.1.1. Menjelaskan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah (4 jp)

3.1.2. Mengoperasikan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah (4 jp)

4.1.1. Mengoperasikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma (2 JP) 4.1.2. Menyajikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma (2 JP)

A. Bilangan Berpangkat

1. Konsep bilangan pangkat bulat positif

Untuk

𝑎 bilangan real dan 𝑎 bilangan bulat positif, dan 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 berlaku :

a.

𝒂

𝒃

= 𝒂 x 𝒂 x 𝒂 x ... x 𝒂, dengan 𝑎 (bilangan real) disebut bilangan pokok, dan 𝑏 disebut

eksponen atau pangkat.

Example 1:

1)

5

4

= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 625

2)

(

1 3

)

5

=

1 3

x

1 3

x

1 3

x

1 3

x

1 3

=

1 243

b. Untuk

𝑎, 𝑚, dan 𝑛  Real, maka perkalian bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

𝒂

𝒎

x

𝒂

𝒏

₌

_𝒂

𝒎+𝒏

_,

_{𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0}

Example 2: 1)

(

1 3

)

2

x (

1 3

)

3

=

1 3 2+3

=

1 3 5

=

1 243 2)

10 x 10

6

= 10

1+6

= 10

7 3)

𝑟

2

x 𝑟

3

x 𝑟 = 𝑟

2+3+1

= 𝑟

6

c. Untuk

𝑎, 𝑚, dan 𝑛  Real, maka pembagian bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

𝒂

𝒎

:

𝒂

𝒏

₌

_𝒂

𝒎−𝒏

_atau

𝒂𝒎

𝒂𝒏

=

𝒂

𝒎−𝒏

_,

_{𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0}

Example 3: 1)

5

3

: 5

−1

= 5

3−(−1)

= 5

4 2)

(

1 5

)

4

: (

1 5

)

2

= (

1 5

)

4−2

= (

1 5

)

2

=

12 52

=

1 25 3) 𝑎 7_𝑏5 𝑎5_𝑏2

= 𝑎

7−5

_𝑏

5−2

_{= 𝑎}

2

_𝑏

3

d. Untuk 𝑎, 𝑚, dan 𝑛  Real, maka pemangkatan bilangan berpangkat dapat dinyatakan

sebagai berikut :

(𝒂

𝒎

)

𝒏

=

𝒂

𝒎 . 𝒏

_,

_{𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0}

Example 4:

1)

(5

12

)

4

(2)

2)

81

34

= (3

4

)

3 4

= 5

3

3) (𝑥

2

)

3

_{= 𝑥}

2 . 3

_{= 𝑥}

6

4) (3𝑥

2

_𝑦)

2

_{= 3}

2

_{. (𝑥}

2

₎

2

_{. 𝑦}

2

_{= 9𝑥}

4

_𝑦

2

5)

(

𝑎7𝑏5 𝑎5_𝑏2

)

2

= (𝑎

7−5

_𝑏

5−2

₎

2

_{= (𝑎}

2

_𝑏

3

₎

2

_{= 𝑎}

4

_𝑏

6

e. Untuk 𝑎, 𝑚, dan 𝑛  Real, maka perpangkatan dari perkalian dua atu lebih bilangan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

(𝒂 . 𝒃)

𝒎

=

𝒂

𝒎

. 𝒃

𝒎

,

𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0

Example 5: 1)

(3 . 5)

3

= 3

3

. 5

3 2)

(𝑥 . 𝑦)

2

= 𝑥

2

. 𝑦

2 3) ( 3 2) 4 . (4₃)4 (7₆)3. (12₇)3

=

( 3 2 . 4 3) 4 (7₆ . 12₇)3

=

( 12 6) 4 (84₄₂)3

=

24 23

= 2

4−3

_{= 2}

f. Untuk 𝑎, 𝑚, dan 𝑛  Real, maka perpangkatan dari perkalian dua atu lebih bilangan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

(

𝒂

𝒃

)

𝒎

=

𝒂 𝒎 𝒃𝒎

,

𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0

Example 6 :

1)

100

4

∶ 50

4

= (100: 50)

4

= 2

4

= 16

2)

(

𝑎 . 𝑏2 𝑐5_{. 𝑑}2

)

2

=

𝑎2 . 𝑏4 𝑐10_{. 𝑑}4

2. Bilangan pangkat bulat positif

Untuk 𝑎  Real dan 𝑚  Real, maka pangkat bilangan negatif dapat dinyatakan

sebagai berikut :

𝒂

𝟎

= 1,

𝑎 ≠ 0

Example 7 :

10

4

∶ 10

4

= 10

4−4

= 10

0

= 1

3. Bilangan pangkat bulat negatif

Untuk 𝑎  Real dan 𝑚  Real, maka pangkat bilangan negatif dapat dinyatakan

sebagai berikut :

𝒂

−𝒎

=

𝟏 𝒂𝒎

,

𝑎 ≠ 0

Example 8 :

1)

5

−3

=

1 53

2)

10 :

10

6

= 10

1−6

=

1 105

=

1 100000

3)

2𝑎 3_{. 𝑏}−5_{. 𝑐}2 6𝑎9 . 𝑏2 . 𝑐−1

=

2𝑎3−9 . 𝑏−5−2 . 𝑐2−(−1) 6

=

𝑎−6 . 𝑏−7 . 𝑐3 3

=

𝑐3 3𝑎6 𝑏7 QUIZ 1.1 1. ... 2. ..

(3)

B. Bentuk Akar

1. Definisi Bentuk Akar

Bilangan-bilangan √2, √23 , √3, √54 merupakan bentuk akar. Secara umum bentuk akar ditulis 𝑥 = √𝑎𝑛 , yaitu akar dari sebuah persamaan dengan rumus

𝑥𝑛 = 𝑎, dengan 𝑛 bilangan bulat positif, 𝑎 bilangan rasional, 𝑥 bilangan real. Example 8 :

Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bentuk akar?

1) √25 2) √𝜋 3) √83 4) 2 + √7 5) √3 + √5 2. Jenis-jenis Bentuk Akar

Bentuk akar ada beberapa jenis, diantaranya adalah :

a. Bentuk akar murni adalah bentuk akar yang hanya terdiri atas bilangan irasional, contohnya √5, √23 , 4√5, 5√2

b. Bentuk akar campuran adalah bentuk akar yang merupakan hasil perkalian antara bilangan rasional dan bilangan irasional, contohnya :

1) 3√2 adalah bentuk akar campuran karena merupakan hasil kali dari bilangan rasional 3 dan bentuk akar √2

2) √8 merupakan bentuk akar campuran, karena dapat ditulis sebagai √2 . 2 . 2 = 2√2 3) √50 merupakan bentuk akar campuran, karena dapat ditulis sebagai √5 . 5 . 2 = 5√2 c. Bentuk akar kuadrat adalah bentuk akar berpangkat 2, contohnya√2, √7, dan √15 d. Bentuk akar kubik adalah bentuk akar berpangkat 3, conohnya √23 , √33 , dan √253

e. Bentuk akar bikuadratik adalah bentuk akar berpangkat 4, contohnya √94 , 4√10, dan 4√35 f. Bentuk akar monomial adalah bentuk akar yang terdiri satu-satu, contohnya √2, √33 , √94 g. Bentuk akar binomial adalah bentuk akar yang terdiri atas dua bentuk akar, contohnya

(√2 + √3), (√2 + √33 )

h. Bentuk akar trinomial adalah bentuk akar yang terdiri atas tiga bentuk akar, contohnya (√2 + √3 + √5), (√2 + √33 + √5)

3. Sifat-sifat Bentuk Akar

Karena bentuk akar dapat dinyatakan sebagai pangkat pecahan, maka sifat-sifat pangkat dapat diterapkan pada bentuk akar.

1) 𝑛√𝑥 . 𝑛√𝑦 = 𝑛√𝑥𝑦 atau 𝑥𝑛1 . 𝑦 1 𝑛 = (𝑥𝑦) 1 𝑛 2) √𝑥 𝑛 √𝑦 𝑛 = √ 𝑥 𝑦 𝑛 atau 𝑥 1 𝑛 𝑦1𝑛 = (𝑥 𝑦) 1 𝑛 3) √𝑚 𝑛√𝑥 = 𝑚𝑛√𝑥 = √𝑛 𝑚√𝑥 atau (𝑥𝑛1) 1 𝑚 = 𝑥𝑚𝑛1 = (𝑥 1 𝑚) 1 𝑛 4) 𝑛√𝑥𝑚 = 𝑥𝑚𝑛 _atau (𝑥𝑚) 1 𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑛

Dengan 𝑥, 𝑦 adalah bilangan rasional, dan 𝑚, 𝑛 adalah bilangan bulat positif. Example 9 :

Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut : 1) √23 . √53 = 213 . 5 1 3 = (2 . 5) 1 3 = 10 1 3₌3√10 2) 3 1 2 512 = (3 5) 1 2 = √3 5

(4)

3) √√45 3 = √413 5 = (413) 1 5 = 4151₌15√4 4) √25 3_{= (2}3₎1₅_{= 2}3₅

4. Operasi Dasar Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar adalah bilangan real, karena itu kita dapat menggunakan sifat distributif untuk menggabungkan akar-akar sejenis dalam penjumlahan atau pengurangan.

Bentuka akar yang sejenis merupakan faktor bilangan irasional yang sama disebut bentuk akar sejenis. Contohnya : 6√2, 8√2, −2√2.

Example 10 :

Sederhanakan operasi bilangan berikut :

1) 4√5 + 2√5 4) 2 √43 + 7 √323 − √5003 2) 3√6 + √6 − 5√6 5) √147 −7 3√ 1 3+ 7√ 1 3 3) √20 − √500 + √320 Penyelesaian : 1) 4√5 + 2√5 = (4 + 2) √5 = 6√5 2) 3√6 + √6 − 5√6 = (3 + 1 – 5)√6 3) √20 − √500 + √320 = 2√5 − 10√5 + 8√5 = (2 – 10 + 8) √5 = 0 4) 2 √43 + 7 √323 − √5003 = 2√43 + 7 √2 . 2 . 2 . 2 . 23 − √2 . 2 . 5 . 5 . 53 = 2√43 + 7 . 2 √43 − 5 √43 = 2√43 + 14 √43 − 5 √43 = (2 + 14 – 5) √43 = 113√4 5) √147 −7 3√ 1 3+ 7√ 1 3 = 3√3 . 7 . 7 − 7 3√ 1 . 3 3 . 3+ 7√ 1 . 3 3 . 3 = 3 . 7√3 −7 3 . √3 3 + 7 . √3 3 = 21√3 −7 9√3 + 7 3√3 = (21 −7 9+ 7 3) √3 = (189−7+21 9 ) √3 = 203 9 √3 QUIZ 2.1

Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan berikut 1. 12√6 − 7√6 + 3√6

2. √12 + √27 − √75 3. √273 − √83 + 5 √643

(5)

Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

 Perkalian bilangan real dengan bentuk akar, gunakan aturan sebagai berikut : 𝑎 . 𝑏√𝑐 = 𝑎𝑏√𝑐

Example 11 :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini 1) 6 . 3√5 = 18√5

2) 2 . √242 = 2 . √121 . 2 = 2 . 11√2 = 22√2

3) 3 . (4√2 + √162) = 12√2 + 3√162 = 12√2 + 3 . 9√2 = 39√2

 Perkalian bentuk akar dengan bentul akar, gunakan aturan sebagai berikut : √𝑎 . √𝑏 = √𝑎. 𝑏 atau 𝑐√𝑑 . 𝑒√𝑓 = 𝑐 . 𝑒√𝑑. 𝑓 Example 12 :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini 1) √7. √6 = √7.6 = √42 2) 2√2 . 3√12 = 6√24 = 6 . 2√6 = 12√6 3) 2√6 . (√2 + 5√3) = (2√6 . √2) + (2√6 . 5√3) = 2√12 + 10√18 = 2 . 2√3 + 10 . 3√2 = 4√3 + 30√2 4) (√8 + √5)(√8 − √5) = (√8. √8) + (√8. (−√5)) + (√5. √8) + (√5. (−√5)) = 8 + (−√40) + (√40) + (−5) = 8 – 5 = 3

Catatan: dari contoh no 4) ini dapat di tulis : (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = 𝑎 − 𝑏

5) 5 √493 . 2 √143 = (5 . 2) √49 . 143 = 10 √7 . 7 . 7 . 23 = 10 . 7√23 = 70 √23 6) √2 . √33 . √44

KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12. Maka, √2 = √212 6_;3_√3

= 12√34_{; dan}4_√4

= 12√43

Jadi, √2 . √33 . √44 = 12√26_.12_√34_.12_√43

= 12√26_{. 3}4_{. 2}6

= 12√212_{. 3}4_{= 2 √3}12 4_{= 2(3)}₁₂4_{= 2(3)}1₃_{= 2 √3}3

Catatan : Bentuk akar berpangkat sama dapat dikalikan sesuai dengan sifat berikut : √𝑥

𝑛

. √𝑦𝑛 = 𝑛√𝑥𝑦 QUIZ 3.1

Sederhanakan bentul perkalian berikut

1. 4√7 . 3√28 3. (√28 − √12)(2√7 − 2√3) 2. 5(3√5 + √50) 4. √43 . √223

(6)

 Pembagian Bentuk Akar

Penyederhanakan pembagian bentuk akar sering disebut dengan merasionalkan penyebut bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawan bentuk pecahan dari penyebut. Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk di bawah ini : (i) Bentuk 𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑏 = 𝑎 √𝑏 . √𝑏 √𝑏 = 𝑎√𝑏 𝑏 (ii) Bentuk 𝑘 𝑎+√𝑏 𝑘 𝑎 + √𝑏 = 𝑘 𝑎 + √𝑏 . 𝑎 − √𝑏 𝑎 − √𝑏 = 𝑘(𝑎 − √𝑏) 𝑎2_{− 𝑏} (iii) Bentuk 𝑘 √𝑎+√𝑏 𝑘 √𝑎 + √𝑏 = 𝑘 √𝑎 + √𝑏 . √𝑎 − √𝑏 √𝑎 − √𝑏 = 𝑘(√𝑎 − √𝑏) 𝑎 − 𝑏 Example 13 :

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut : 1) 8 √2 = 8 √2 . √2 √2 = 8√2 2 = 4√2 2) 10 2√5 = 10 2√5 . √5 √5 = 10√5 10 = √5 3) 2√5 √10 = 2√5 √10 . √10 √10 = 2√50 10 = 2 . 5√2 10 = √2 4) 2 1+√3 = 2 1+√3 . 1−√3 1−√3 = 2(1−√3) 12_−(√3)2 = 2(1−√3) −2 = −(1 − √3) = √3 – 1 5) 8 5−√17 = 8 5−√17 . 5+√17 5+√17 = 8(5+√17) 25−17 = 8(5+√17) 8 = 5 + √17 6) 2√2 √5−√3 = 2√2 √5−√3 . √5+√3 √5+√3 = 2√2(√5+√3) √52−√32 = 2√10+2√6 2 = √10 + √6 7) √3−√2 √3+√2 = √3−√2 √3+√2 . √3−√2 √3−√2 = (√3−√2)(√3−√2) 3−2 = 3 − 2√6 + 2 QUIZ 4.1

Sederhanakan bentuk pembagian berikut 1. 2 √7 2. 10 3√5 3. 2−4√7 √5+2 4. −5 √7+2√2 5. √8−√5 √8+2√5

(7)

C. Logaritma

1. Konsep Logaritma

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Sehingga demikian jika 𝑎𝑥_{= 𝑏, dengan 𝑏 adalah}

bilangan positif (𝑏 > 0) dan 𝑎 adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (𝑎 ≠ 0), maka 𝑥 adalah logaritma dari 𝑏 dengan bilangan pokok 𝑎 atau ditulis 𝒙 = .𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃. Bilangan disebut numerus, dan 𝑥 adalah hasil logaritma.

Perhatikan contoh berikut untuk memahami cara mengubah bilangan berpangkat ke dalam bentuk logaritma

Example 14

1) Ubahlah bentuk pangkat berikut ini menjadi bentul logaritma a. 25_{= 32} _{ .}2_{log 32 = 5}

b. 4−2= 1

16  . 4_log 1

16= −2

2) Tentukan nilai logaritma berikut

a. 3log 27  misalkan: 3_{log 27 = 𝑥, maka} ₃𝑥 _{= 27}

3𝑥 _{= 3}3

𝑥 = 3 b. 5log 625  misalkan: 5_{log 625 = 𝑥, maka} ₅𝑥 _{= 625}

5𝑥 _{= 5}4

𝑥 = 4 2. Sifat-Sifat Logaritma

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, bentuk-bentuk perhitungan logaritma yang sulit akan menjadi relatif lebih mudah untuk diselesaikan. Berikut sifat-sifat logaritma di bawah ini berlaku syarat 𝑝 > 0 dan 𝑝 ≠ 0, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, dan 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑹.

Sifat 1

Untuk 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 0, berlaku :

𝑎_{log 𝑎 = 1 ,} 𝑎_{log 1 = 0, dan log 10 = 1}

Bukti :

 Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalag bilangan itu sendiri. Jadi, 𝑎1= 𝑎  𝑎log 𝑎 = 1

 Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, 𝑎0= 1  𝑎log 1 = 0

 Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1 Sifat 2

Untuk 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0, 𝑥 > 0, dan 𝑦 > 0 serta 𝑎, 𝑥, dan 𝑦  R berlaku :

𝑎_{log 𝑥 +} 𝑎_{log 𝑦 =} 𝑎_{log 𝑥𝑦}

Bukti :

(8)

𝑎_{log 𝑦 = 𝑚  𝑎}𝑚 _{= 𝑦} 𝑎_{log 𝑥𝑦 = 𝑝  𝑎}𝑝_{= 𝑥𝑦}

Dari betuk pangkat tersebut diperoleh 𝑥𝑦 = 𝑎𝑛𝑎𝑚  𝑥𝑦 = 𝑎𝑛+𝑚

𝑎𝑝_{= 𝑎}𝑛+𝑚_{ 𝑝 = 𝑛 + 𝑚}

Maka : 𝑛 = 𝑎_{log 𝑥, 𝑚 =} 𝑎_{log 𝑦, dan 𝑝 =} 𝑎_{log 𝑥𝑦}

Example 15

Tentukan nilai dari 2log 3 + 2_{log 8 -} 2_{log 6}

Penyelesaian : 2log 3 + 2_{log 8 -} 2_{log 6 =} 2_log3 . 8

6 (menggunakan sifat 2 & 3)

= 2log 4 = 2log 22 = 2.2log 2 = 2 Sifat 3

Untuk 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑦 > 0 serta 𝑎, 𝑥, dan 𝑦  R berlaku :

𝑎_{log 𝑥 -} 𝑎_{log 𝑦 =} 𝑎_log𝑥 𝑦 Bukti : 𝑎_{log 𝑥 = 𝑛  𝑎}𝑛_{= 𝑥} 𝑎_{log 𝑦 = 𝑚  𝑎}𝑚 _{= 𝑦} 𝑎_log𝑥 𝑦= 𝑝  𝑎 𝑝₌ 𝑥 𝑦

Dari betuk pangkat tersebut diperoleh

𝑥 𝑦= 𝑎𝑛 𝑎𝑚  𝑥 𝑦= 𝑎 𝑛−𝑚  𝑎𝑝_{= 𝑎}𝑛−𝑚  𝑝 = 𝑛 − 𝑚

Jadi, 𝑎log 𝑥 - 𝑎log 𝑦 = 𝑎log𝑥_𝑦 Example 16

Tentukan nilai dari 2log 48 + 2_{log 50 -} 2_{log 3 -} 2_{log 2}

Penyelesaian : 2log 48 + 2log 50 - 2log 3 - 2log 2 = 𝑎log48 3 + 𝑎_log50 2 = 2log 16 + 2log 25 = 4 + 2 = 6 Sifat 4

Untuk 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑎, 𝑛, dan 𝑥  R berlaku : 𝑎_{log 𝑥}𝑛_{= 𝑛 .}𝑎_{log 𝑥}

Bukti :

𝑎_{log 𝑥}𝑛₌ 𝑎_{log(𝑥 . 𝑥 . 𝑥 . … 𝑥)}

= 𝑎log 𝑥 +𝑎_{log 𝑥 +}𝑎_{log 𝑥 + ⋯ +}𝑎_{log 𝑥}

= 𝑛𝑎log 𝑥 Jadi, 𝑎log 𝑥𝑛_{= 𝑛 .}𝑎_{log 𝑥}

(9)

Sifat 5

Untuk 𝑎, 𝑚 > 0, 𝑎, m, 𝑛, dan 𝑥  R berlaku : 𝑎𝑚_{log 𝑥}𝑛₌𝑛 𝑚 𝑎 log 𝑥 Bukti : 𝑎_{log 𝑥 = 𝑝  𝑎}𝑝_{= 𝑥} 𝑎𝑚_{log 𝑥}𝑛 _{= 𝑞  𝑎}𝑚.𝑞 _{= 𝑥}𝑛

Dari bentuk pangkat di atas diperoleh : 𝑥𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑞  (𝑎𝑝)𝑛= 𝑎𝑚𝑞 𝑎𝑝𝑛 _{= 𝑎}𝑚𝑞 _{ 𝑛𝑝 = 𝑚𝑞}  𝑞 =𝑛 𝑚𝑝 Jadi, 𝑎𝑚log 𝑥𝑛₌𝑛 𝑚 𝑎 log 𝑥 Example 16

Tentukan nilai x dari log 𝑥 =1

3log 8 + log 9 − 1 3log 27 Penyelesaian : log 𝑥 = 1 3log 8 + log 9 − 1 3log 27

= log 813+ log 9 − log 27 1

3 _{(sifat ke-4)}

= log(23)13+ log 9 − log(33) 1 3

= log 2 + log 9 − log 3 = log2 . 9

3 = log 6

Jadi, log 𝑥 =log 6

x = 6

Sifat 6

Untuk 𝑎, 𝑝 > 0, dan 𝑎, 𝑝 ≠ 1, serta 𝑎, 𝑝, dan 𝑥  R berlaku : 𝑎_{log 𝑥 =} 𝑝log 𝑥

𝑝_{log 𝑎} = 1 𝑥_{log 𝑎} Bukti : 𝑎_{log 𝑥 = 𝑛  𝑥 = 𝑎}𝑛 log 𝑥 = log 𝑎𝑛  log 𝑥 = 𝑛 . log 𝑎  𝑛 = 𝑝log 𝑥 𝑝_{log 𝑎}  𝑎_{log 𝑥 =} 𝑝log 𝑥 𝑝_{log 𝑎} Jika, 𝑝 = 𝑥 maka : 𝑎_{log 𝑥 =} 𝑥log 𝑥 𝑥_{log 𝑎} 𝑎_{log 𝑥 =} 1 𝑥_{log 𝑎}

(10)

Sifat 7

Untuk 𝑎 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑎, 𝑥, dan 𝑦  R berlaku : 𝑎log 𝑥 . 𝑥log 𝑦 = 𝑎log 𝑦 Bukti :

𝑎_{log 𝑥 = 𝑝  𝑎}𝑝_{= 𝑥} 𝑥_{log 𝑦 = 𝑞  𝑥}𝑞 _{= 𝑦}

Dari bentuk perpangkatan tsb diperoleh 𝑦 = 𝑥𝑞_{ 𝑦 = (𝑎}𝑝₎𝑞

 𝑦 = 𝑎𝑝𝑞

 𝑎_{log 𝑦 =} 𝑎_{log 𝑎}𝑝𝑞

 𝑎_{log 𝑦 = 𝑝𝑞 .}𝑎_{log 𝑎}

 𝑎_{log 𝑦 = 𝑝𝑞}

 𝑎_{log 𝑦 =} 𝑎_{log 𝑥 .} 𝑥_{log 𝑦}

Sifat 8

Untuk 𝑎 > 0, 𝑎, dan 𝑥  R berlaku : 𝑎 𝑎log 𝑥_{= 𝑥}

Bukti :

𝑎_{log 𝑥 = 𝑛  𝑎}𝑛_{= 𝑥}

𝑥 = 𝑎𝑛  𝑥 = 𝑎 𝑎log 𝑥 Jadi, 𝑎 𝑎log 𝑥_{= 𝑥}

Sifat 9

Untuk 𝑎 > 0, 𝑎, dan 𝑥  R berlaku : 𝑎𝑛𝑎log 𝑥= 𝑥𝑛 Bukti : 𝑛𝑎log 𝑥 = 𝑝  𝑎log 𝑥𝑛= 𝑝 𝑥𝑛_{= 𝑎}𝑝 𝑥𝑛= 𝑎𝑛𝑎log 𝑥 Jadi, 𝑎𝑛𝑎log 𝑥= 𝑥𝑛 Example 17 :

1) Jika diketahui 2log 3 = 𝑎 dan 3_{log 5 = 𝑏, nyatakan} 12_{log 30 dalam a dan b}

Penyelesaian : 12log 30 = 3_{log 30} 3_{log 12} (sifat 6) = 3_{log(5 . 6)} 3_{log(4 . 3)} = 3₃log 5+ 3log 6

log 4+ 3_{log 3} (sifat 2)

= 3log 5+ 3log 2+ 3log 3

2 . 3_{log 2+} 3_{log 3} = 𝑏+ 1 𝑎+1 2(1_𝑎)+1 = 𝑎𝑏+1+𝑎 𝑎 2+𝑎 𝑎 = 𝑎𝑏+1+𝑎 2+𝑎 atau 1+𝑎+𝑎𝑏 2+𝑎 atau 𝑎+𝑎𝑏+1 𝑎+2

(11)

2) Sederhanakan bentuk logaritma berikut a. 2log 25 x 3_{log 8 x} 5_{log 9}

b. 2 2log 7- 9 3log 2 + 5 25log 4 Penyelesaian

a. 2log 25 x 3log 8 x 5log 9 = 2log 52 x 3log 23 x 5log 32 = 2 . 2log 5 x 3 .3log 2 x 2 .5log 3 = 2 . 3 . 2 2log 5 x 3log 2 x 5log 3

b. 2 2log 7− 9 3log 2+ 5 25log 4 = 7 – (32) 3log 2_{+ 5} 52log 22

= 7 – 22_{+ 5}2₂ 5 log 2 (sifat 8 dan 9) = 7 – 4 + 5 5log 2 (sifat 8) = 7 – 4 + 2 = 5 QUIZ 5.1