PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks. Mahdhivan Syafwan

PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I

MATEMATIKA DEMOGRAFI

Topik: Model Matriks

Life Table vs Model Matriks?

2

Life Table Model Matriks

Dikotomi antara hidup dan mati Perbedaan dengan banyak karakteristik: umur, jenis kelamin, status pernikahan, status

pekerjaan, kedewasaan, dll.

Hanya memuat peluang mati Selain memuat peluang mati, juga memuat

peluang pindah ke kelompok lain (contoh: orang yang tak bekerja menjadi bekerja) atau peluang menghasilkan sejumlah individu baru (karena reproduksi)

-> menghitung proyeksi populasi

• Informasi yang dibutuhkan untuk proyeksi dapat ditulis dengan mudah dalam bentuk matriks (disebut matriks proyeksi populasi).

• Model populasi matriks diperkenalkan pada tahun 1940an oleh Bernardelli (1941), Lewis (1942), dan Leslie (1945, 1948).

Matriks Leslie

• Misalkan umur maksimum yang dicapai oleh individu dalam suatu populasi adalah 𝐿.

• Bagi populasi tersebut menjadi 𝑚 kelas umur.

Kelas Umur Interval Umur

1 [0, 𝐿/𝑚) 2 [𝐿/𝑚, 2𝐿/𝑚)

Matriks Leslie

• Pandang kasus populasi dengan 3 kelas umur : [0,1),

1,2 , [2,3] (misalkan dalam tahun).

• Misalkan 𝑛

_𝑖

(𝑡) menyatakan jumlah individu pada

kelas umur ke-𝑖 pada waktu 𝑡.

• Definisikan vektor

𝐧 𝑡 =

𝑛

₁

(𝑡)

𝑛

₂

(𝑡)

𝑛

₃

(𝑡)

,

yang menyatakan keadaan populasi pada waktu 𝑡

(disebut juga

vektor populasi

atau

vektor distribusi

Matriks Leslie

• Perhatikan bahwa individu-individu pada kelas umur ke-2 dan 3 pada waktu 𝑡 + 1 adalah mereka yang bertahan hidup dari kelas umur sebelumnya pada waktu 𝑡. Jadi,

𝑛₂ 𝑡 + 1 = 𝑃₁𝑛₁ 𝑡 , (1) 𝑛₃ 𝑡 + 1 = 𝑃₂𝑛₂ 𝑡 , (2)

dimana 𝑃_𝑖 menyatakan peluang individu pada kelas ke-𝑖 yang

dapat bertahan hidup paling tidak selama setahun (yaitu mencapai kelas umur ke-(𝑖 + 1)).

• Individu baru pada kelas ke-1 muncul dari proses kelahiran. Jadi,

𝑛₁ 𝑡 + 1 = 𝐹₁𝑛₁ 𝑡 + 𝐹₂𝑛₂ 𝑡 + 𝐹₃𝑛₃ 𝑡 , (3)

dimana 𝐹_𝑖 menyatakan fertilitas per-kapita dari kelas umur ke-𝑖,

Matriks Leslie

• Persamaan (1)-(3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝐧 𝑡 + 1 = 𝐿𝐧 𝑡 , dimana 𝐿 = 𝐹₁ 𝐹₂ 𝐹₃ 𝑃₁ 0 0 0 𝑃₂ 0 .

• 𝐿 disebut matriks proyeksi populasi atau juga dikenal dengan matriks Leslie.

• Matriks 𝐿 adalah matriks non-negatif dengan entri positif hanya pada baris pertama (fertilitas) dan subdiagonal

(peluang hidup).

Klasifikasi Model Populasi Matriks

𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝑡 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝐧 𝑡 , 𝑡 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿𝐧(𝑡) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒

Proyeksi: Analisis Sederhana

Contoh 1. Model linier invarian waktu

𝐧 𝑡 + 1 = 0.30 10 50 0 0.5 0

𝐧 𝑡 , 𝐧 0 = 10 0 .

Proyeksi: Analisis Sederhana

Contoh 2. Pengaruh syarat awal

𝐧 𝑡 + 1 = 0 1 5 0.3 0 0 0 0.5 0 𝐧 𝑡 . 𝐧 0 = 10 0 . 𝐧 0 = 11 1 . 𝐧 0 = 12 3 .

Proyeksi: Analisis Sederhana

Contoh 3. Pengaruh perturbasi

𝐿 = 0.30 0.90 50 0 0.5 0

𝐿 = 0.270 10 50 0 0.5 0

Empat Pertanyaan Dasar dalam

Analisis Demografik

1.

Empat Pertanyaan Dasar dalam

Analisis Demografik

12

3.

Matriks Leslie dan Life Table

• Nilai-nilai parameter pada model matriks berdasarkan

klasifikasi umur diturunkan dari life table.

• Dalam hal ini, populasi dibedakan atas:

 Birth-flow population

, yaitu kelahiran terjadi

terus-menerus (kontinu) selama interval proyeksi.

-> lebih cocok untuk manusia

 Birth-pulse population

, yaitu reproduksi terjadi saat

musim kawin (yang singkat) dalam interval proyeksi.

-> lebih cocok untuk hewan mamalia, burung, dan organisme lainnya yang dipengaruhi oleh lingkungan musiman [tidak dibahas].

Birth-Flow Population:

(i) Peluang hidup birth-flow

• Misalkan 𝑙(𝑥) menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hidup sejak lahir sampai mencapai umur 𝑥.

• Peluang individu dapat bertahan hidup dari umur (secara tepat) 𝑥 ke 𝑥 + 1 adalah 𝑙(𝑥 + 1)/𝑙(𝑥).

• Namun dalam hal kelas umur, berlaku

𝑃_𝑖 = 𝑙(𝑥) 𝑖+1 𝑖 𝑑𝑥 𝑙(𝑥) 𝑖 𝑖−1 𝑑𝑥 .

• Dengan menggunakan aturan trapesium, 𝑃_𝑖 dapat diaproksimasi oleh

𝑃_𝑖 ≈ 𝑙 𝑖 + 𝑙 𝑖 + 1 𝑙 𝑖 − 1 + 𝑙 𝑖 .

Birth-Flow Population:

(ii) Fertilitas birth-flow

• Perhatikan bahwa

𝑛₁ 𝑡 + 1 = 𝐹_𝑖𝑛_𝑖(𝑡) 𝑖

.

• Misalkan 𝐵_{(𝑡,𝑡+1)} menyatakan jumlah total kelahiran pada interval (𝑡, 𝑡 + 1).

• Misalkan 𝑛(𝑥, 𝑡) menyatakan banyaknya individu yang berumur (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥) di waktu 𝑡.

[Catat bahwa 𝑥 adalah variabel kontinu]

• Pada waktu 𝑡, individu yang berumur 𝑥 bereproduksi

(melahirkan) dengan laju 𝑚 𝑥 𝑛(𝑥, 𝑡), dimana 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 adalah rata-rata jumlah keturunan perempuan yang lahir dari seorang perempuan yang berumur 𝑥 pada interval (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥).

Birth-Flow Population:

(ii) Fertilitas birth-flow

• Integralkan terhadap waktu dan umur, diperoleh [jelaskan!] 𝐵_{(𝑡,𝑡+1)} = 𝑚(𝑥) ∞ 0 𝑛(𝑥, 𝑧) 𝑡+1 𝑡 𝑑𝑧𝑑𝑥 ≈ 𝑚 𝑥 ∞ 0 𝑛 𝑥, 𝑡 + 𝑛 𝑥, 𝑡 + 1 2 𝑑𝑥 ≈ 1 2 𝑚𝑖 𝑛𝑖 𝑡 + 𝑛𝑖 𝑡 + 1 ∞ 𝑖=1 = 1 2 𝑚𝑖 + 𝑃𝑖𝑚𝑖+1 𝑛𝑖 𝑡 ∞ 𝑖=1 .

• Jumlah kelahiran tidak persis sama dengan 𝑛₁(𝑡 + 1), karena beberapa tidak akan dapat bertahan hidup sampai 𝑡 + 1. Secara rata-rata, setiap individu akan dapat bertahan hidup selama setengah interval proyeksi, yaitu dengan peluang 𝑙(0,5). Jadi

𝐹_𝑖 = 𝑙 0,5 𝑚𝑖 + 𝑃𝑖𝑚𝑖+1

2 .

• Jika nilanya tidak diketahui, 𝑙(0,5) dapat diaproksimasi dengan 𝑙 0,5 ≈ 𝑙 0 + 𝑙 1

2 .

Contoh

• Diberikan life table dan hasil kelahiran pada suatu

populasi sebagai berikut:

a) Hitunglah aproksimasi dari 𝑃

_𝑖

dan 𝐹

_𝑖

.

Graf Siklus Hidup

• Model populasi matriks yang dibahas selama

ini adalah

model berdasarkan klasifikasi umur

(

age-classified model

).

• Sekarang akan dibahas model dengan

klasifikasi yang lebih umum, dinamakan

model

berdasarkan klasifikasi tahapan

(

stage-classified model

).

• Untuk memudahkan ‘melihat’ siklus hidup

suatu populasi, digunakan

graf siklus hidup

.

Graf Siklus Hidup – Contoh 1

• Graf siklus hidup untuk age-classified model, dimana lebar dari kelas umur sama dengan interval proyeksi.

• Matriks proyeksi: 𝐿 ≡ 𝐴_𝑎 = 0 𝐹₂ 𝑃₁ 0 𝐹_{0 0}3 𝐹4 0 𝑃₂ 0 0 0 0 𝑃₃ 0 . 19

Graf Siklus Hidup – Contoh 2

• Graf siklus hidup untuk standard size-classified model • Matriks proyeksi:

𝐴_𝑏 = .

Graf Siklus Hidup – Contoh 3

• Graf siklus hidup untuk ikan paus pembunuh.

• Simpul (titik) menandakan tahapan: (1) yearling [umur setahun], (2) remaja, (3) betina dewasa, (4) betina pasca-reproduktif.

PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I

MATEMATIKA DEMOGRAFI

Topik: Kelahiran dan Pertumbuhan

Populasi dari Model Matriks

Solusi Persamaan Proyeksi

• Model populasi matriks:

𝐧 𝑡 + 1 = 𝐴𝐧 𝑡 ,

dimana 𝐧 𝑡 adalah vektor populasi pada waktu 𝑡 dengan 𝑠 buah stage dan 𝐴 adalah matriks proyeksi stage-classified berukuran 𝑠 × 𝑠.

• Solusi model tersebut diberikan oleh [jelaskan!]: 𝐧 𝑡 = 𝜆_𝑖𝑡𝐰_𝑖𝐯_𝑖∗𝐧₀

𝑠

𝑖=1

,

dimana 𝐧₀ adalah vektor populasi pada keadaan awal, 𝜆_𝑖, 𝑤_𝑖, dan 𝑣_𝑖∗ berturut-turut adalah nilai eigen, vektor eigen

Pengaruh Nilai Eigen

• Jika semua 𝜆

_𝑖

< 1, maka jumlah populasi

akan menuju ke satu nilai tertentu -> stabil

asimtotik.

• Jika ada 𝜆

_𝑖

> 1, maka jumlah populasi akan

meningkat -> tidak stabil.

• Jika semua 𝜆

_𝑖

= 1, maka jumlah populasi

akan konstan (untuk 𝜆

_𝑖

bernilai riil) atau

harmonik (untuk 𝜆

_𝑖

bernilai kompleks) -> stabil

Tugas Presentasi

• 7.2.1 Teorema Perron-Frobenius

• 7.2.2 Laju pertumbuhan populasi

• 7.2.3 Matriks imprimitif

Teorema Ergodic Kuat

• Definisi (Populasi Ergodic)

Suatu populasi dikatakan

ergodic

jika prilaku

‘akhirnya’ tidak bergantung dari keadaan

awalnya.

• Definisi (Matriks non-negatif dan positif)

 Suatu matriks dikatakan

non-negatif

jika

semua elemennya bernilai tak-negatif.

 Suatu matriks dikatakan

positif

jika semua

elemennya bernilai positif.

• Semua matriks proyeksi populasi adalah

non-negatif. [

why?

]

Pembagian Matriks Non-Negatif

Beberapa Istilah

dalam Graf Siklus Hidup

• Lintasan

• Loop

• Self-loop

Primitif vs Imprimitif

Menghitung Irreducibility dan

Primitivity secara Numerik

Teorema Perron-Frobenius

Periode Osilasi

• Nilai eigen dari matriks proyeksi yang bernilai

kompleks menghasilkan osilasi pada distribusi

tahapan (stage) dengan periode yang diberikan

oleh

𝜌

_𝑖

=

2𝜋

𝜃

_𝑖

=

2𝜋

tan

−1

Im(𝜆

𝑖

)

Re(𝜆

_𝑖

)

.

• Komponen osilasi yang ‘bertahan lama’

bersesuaian dengan 𝜆

₂

.

• Contoh: …

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil

• Kita ingin mengukur jarak antara 𝐧(𝑡) dan populasi stabil 𝐰.

• Tanpa mengurangi keumuman, 𝐰 dapat diskala sehingga 𝑤_{𝑖 𝑖} = 1 dan 𝐧(𝑡) dapat ditransformasi menjadi 𝐱 𝑡 = _𝑛𝐧(𝑡)

𝑖(𝑡) 𝑖 . • Ukuran Keyfitz Δ 𝐱, 𝐰 = 1 2 |𝑥𝑖 − 𝑤𝑖| 𝑖 . Jelas bahwa 0 ≤ Δ ≤ 1.

• Jarak kumulatif Cohen

Misalkan 𝐧 0 = 𝐧₀. Perhatikan bahwa 𝐧(𝑡) 𝜆₁𝑡 → 𝑐₁𝐰₁. Cohen mendefinisikan 𝐬 𝐴, 𝐧₀, 𝑡 = 𝐧(𝑖) 𝜆₁𝑖 − 𝑐1𝐰1 𝑡 𝑖=0 , 𝐫 𝐴, 𝐧₀, 𝑡 = 𝐧(𝑖) 𝜆₁𝑖 − 𝑐1𝐰1 𝑡 𝑖=0 , yang berurut-turut menyatakan akumulasi dari selisih antara 𝐧(𝑡) 𝜆 dan ₁𝑡 𝑐₁𝐰₁ dan nilai mutlaknya.

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil

• Jarak kumulatif Cohen (lanjutan)

Sebagai ukuran dari jarak kumulatif antara populasi awal 𝐧₀ dan distribusi limitnya, Cohen mengajukan

𝐷₁ = lim 𝑡→∞|𝑠𝑖(𝐴, 𝐧0, 𝑡)| 𝑖 , 𝐷₂ = lim 𝑡→∞ |𝑟𝑖(𝐴, 𝐧0, 𝑡)| 𝑖 .

Selanjutnya Cohen memberikan ekpresi analitik untuk limit pada 𝐷₁. Misalkan 𝐵 = 𝐰₁𝐯₁′ dan 𝑍 = 𝐼 + 𝐵 − _𝜆𝐴 1 −1 , maka lim 𝑡→∞𝐬 𝐴, 𝐧0, 𝑡 = 𝑍 − 𝐵 𝐧0.

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil