BAB 3
PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN
ALJABAR TOEPLITZ
Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar- yaitu produk silang dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz sebagai materi pendukung yang masih berhubungan dengan konsep produk silang.
3.1. Produk Silang
Sebelum diberikan definisi suatu produk silang dari sistem dinamik, akan dibahas konsep-konsep yang terkait dengan produk silang terlebih dahulu.
Definisi 3.1.1: Aksi Grup pada Himpunan. (Hungerford, 1974: 88)
Misal suatu grup dan � suatu himpunan. Aksi dari pada � adalah pemetaan
, ⟼ dari × � ⟶ � sedemikian sehingga: i. id� = , ∀ �, id� elemen satuan di .
ii. = , ∀ , , �.
Jika terdapat pemetaan seperti diatas, maka dikatakan beraksi pada �.
Definisi 3.1.2: Aksi Grup pada Aljabar-�
Misal suatu grup, suatu aljabar- dan definisikan ≔ {�: ⟶
| � isomorfisma − }. Aksi dari pada adalah homomorfisma grup : ⟶ yang membawa ⟼ , ∀ .
Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik
Misal suatu grup, suatu aljabar- dan : ⟶ aksi dari pada . Sistem , , dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat homomorfisma (aksi) yang menghubungkan dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan .
Contoh 3.1.4.
1)Misal � himpunan fungsi-fungsi kontinu : � ⟶ ℂ, dan suatu homomorfisma yang didefinisikan dengan
� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .
� , ℤ, α adalah suatu sistem dinamik.
2) Definisikan ℝ himpunan fungsi-fungsi kontinu : ℝ ⟶ ℂ yang vanish at infinity: untuk setiap � > 0 terdapat himpunan kompak ,� ⊂ ℝ, sedemikian sehingga | | < � untuk setiap ,�. ℝ adalah suatu aljabar- tanpa satuan. (Conway, 1999: 2)
Misal untuk setiap ℝ dan ℝ, definisikan
�� ≔ −� , ∀ ℝ.
1) Akan ditunjukkan � yang didefinisikan � ≔ −� , ∀ ℝ adalah unsur di ℝ .
- Akan ditunjukkan lim
→±∞ � = lim→±∞
Jika → ∞, karena −� suatu konstanta positif, maka −� → ∞.
(iv) �� = �
= ⟺ − � = −�
- Akan ditunjukkan � homomorfisma. Ambil sembarang , ℝ. Perhatikan �� +� = � +�
adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar- ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian, ( ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik.
Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Representasi kovarian dari , , adalah pasangan , dimana
uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang memenuhi kondisi kovarian berikut:
( � ) = � , ∀ , � .
Contoh 3.1.6. (Williams, 1952: 45)
Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu,
ℎ ≔ − ��� , ∀ �
dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi
� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .
Misal : Τ → ( Τ ) representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik:
ℎ ≔ ℎ ,
dan misal : ℤ → ( Τ ) representasi uniter yang didefinisikan dengan
�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).
Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Perhatikan
� � ℎ = � ℎ( − ��� )
= ( − ��� ) � ℎ( − ��� )
= � ℎ
= � ℎ
Jadi , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .
Iain Raeburn dalam papernya On Crossed Products and Takai Duality
aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , .
Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , �, � yang terdiri dari aljabar- (aljabar- dinotasikan dengan ×� ), representasi �: ⟶
, dan representasi �: ⟶ yang memenuhi:
i. �, � adalah kovarian; yaitu, memenuhi �( � ) = � � � � ,
∀ , � ;
ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari
sedemikian sehingga × � = dan × � = ; iii. dibangun oleh {� � ∶ � } ∪ { � ∶ }.
Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.
Proposisi 3.1.8. (Raeburn, 1988: 324)
1) Jika , �, � dan , �, � keduanya adalah produk silang dari
, , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga �
� = � dan � � = �.
2) Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz
Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut
karya Lindiarni (1997).
Misal Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai
Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.
Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak, maka (Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali titik demi titik serta norm supremum.
Pandang pemetaan evaluasi
� : Γ̂ ⟶ �
⟼ � = , ∀ Γ, Γ̂.
Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan
�� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari (Γ̂). Bentuk ruang Hilbert
(Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | | < ∞} Γ̂
dengan adalah ukuran Haar pada Γ̂. (Γ̂) adalah ̅̅̅̅̅̅(Γ̂) terhadap norm yang dihasilkan dari hasil kali dalam:
< �, � > = ∫ ��̅}
Definisi 3.2.1. (Adji, Laca, dkk. 1994: 1140)
Himpunan {� : Γ} adalah basis ortonormal untuk (Γ̂). Definisikan Γ+ sebagai subruang tutup ̅̅̅̅̅̅̅{� :�� Γ+}. Misal � proyeksi dari (Γ̂) ke
Γ+ . Untuk setiap � (Γ̂), operator Toeplitz
� adalah operator pada Γ+ yang didefinisikan oleh
� = � � , ∀ (Γ̂), � (Γ̂). Aljabar
Toeplitz � Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ+ yang dibangun oleh operator Toeplitz { �: � (Γ̂)}.
Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena (Γ̂) = (Γ̂)̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap � (Γ̂) dan (Γ̂), � (Γ̂). Jadi dapat didefinisikan operasi perkalian di (Γ̂).
Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy (1991) mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.
Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. (Lindiarni, 1997: 49)
Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif terhadap Γ adalah pemetaan : Γ+ ⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap Γ+ dan + = , untuk setiap , Γ+.
Definisi 3.2.3.
Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ . Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:
Teorema 3.2.4. (Murphy, 1987: 315)
Misal � grup terurut dan : �+ ⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di
aljabar- unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian
sehingga = injektif, dimana : �+ ⟶ � � adalah semigrup isometri
di � � .
