t mtk 056802 chapter3

BAB III

INTEGRAL LEBESGUE

Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang

dibangun oleh

fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral

Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu fungsi telah dibahas pada bab II.

Selanjutnya, pada bab ini akan dikaji teori dari integral Lebesgue yang meliputi

definisi dan sifat-sifatnya. Pada subbab 3.1 akan dibahas terlebih dahulu integral

Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi

sederhana, kemudian pada subbab 3.2 akan dibahas teori integral Lebesgue dari

fungsi tak negatif.

Terdapat fakta bahwa sebarang fungsi terukur tak negatif dapat didekati

oleh suatu fungsi sederhana. Hal ini mengakibatkan Integral Lebesgue untuk

fungsi terukur yang lebih umum juga dapat dikonstruksi melalui pendekatan

integral Lebesgue untuk fungsi sederhana.

Definissi 3.1.1 (Fungsi Karakteristik)

Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur dan

⊆

. Fungsi karakteristik

untuk himpunan A yaitu

: → {0,1}

yang didefinisikan dengan,

= 1

₀

∈

_∉

Fungsi Dirichlet adalah salah satu contoh dari fungsi karakteristik untuk

bilangan rasional

ℚ

. Fungsi ini merupakan salah satu fungsi yang terintegralkan

Lebesgue sebagaimana pada pembahasan selanjutnya.

Teorema 3.1.2

Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur. Fungsi karakteristik

dari

himpunan

⊆

, adalah terukur jika dan hanya jika adalah himpunan terukur.

Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik dari himpunan yang terukur

didefinisikan sebagai ukuran Lebesgue dari irisan domain fungsi tersebut dengan

himpunan , sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut ini.

Definisi 3.1.3

Misalkan

: → {0,1}

adalah fungsi karakteristik yang terukur dan A adalah

subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik

didefinisikan sebagai

Definisi 3.1.4 (Fungsi Sederhana)

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur,

dengan

= 1,2,3, … , $

adalah

subset-subset dari E yang saling lepas dengan

⋃$₌₁

=

dan misalkan

&

adalah bilangan real berbeda yang berhingga banyaknya. Sebuah fungsi

sederhana

': → −∞, ∞

didefinisikan sebagai

' ≔ + &

, -.

/

,01

.

Jika nilai

&

dibatasi menjadi

0 ≤ &

_,

< ∞

maka fungsi sederhana yang

telah didefinisikan sebelumnya disebut fungsi sederhana tak negatif. Berdasarkan

Definisi 3.1.4, setiap fungsi sederhana adalah sebuah kombinasi linear berhingga

dari fungsi karakteristik. Perhatikan bahwa sebarang fungsi yang didefinisikan

pada himpunan terukur, misalkan , yang hanya mempunyai berhingga banyak

nilai yang berbeda

&

₁

,&

₂

, … ,&

₅

dapat selalu dituliskan sebagai fungsi sederhana

6

= ∑ &

:801 8 -9

di mana

= { ∈ : 6

= & }

dan

⋃5=1

=

.

Contoh 3.1.5

Misalkan diberikan interval tertutup dan terbatas

[ , <] ⊂ ℝ

. Untuk

=

1,2,3, … , 5

, misalkan

@ = [

₋₁

,

sedemikian sehingga

⋃5₌₁

@

= [ ,<]

dan

misalkan juga

A

adalah suatu bilangan real tak negatif. Jika

_@

adalah fungsi

karakteristik untuk masing-masing interval

@

maka hasil jumlah

'

= + A

B :

adalah sebuah fungsi tangga yang juga merupakan fungsi sederhana karena

masing-masing subinterval

@

adalah terukur. Selanjutnya ambil dua buah interval

[0,1] dan (1,2], jika

'

= 2

ℚ∩[E,1]

+ 3

ℚ∩ 1,G]

Maka

'

adalah sebuah fungsi sederhana sebab interval [0,1] dan (1,2] terukur dan

'

hanya memiliki berhingga buah nilai yang berbeda, namun

'

bukan merupakan

fungsi tangga.

Teorema 3.1.6

Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada himpunan

terukur E, dalam bentuk

' ≔ ∑

/_,01

&

_{, -.}

. Fungsi sederhana s adalah terukur jika

dan hanya jika masing-masing himpunan

dengan

= 1,2,3, … , $

adalah

himpunan terukur.

Teorema berikut ini menjelaskan bahwa untuk sebarang fungsi terukur,

dapat ditemukan suatu barisan fungsi sederhana yang konvergen ke fungsi terukur

tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi terukur dapat didekati oleh

fungsi sederhana.

Teorema 3.1.7

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi terukur. Terdapat barisan fungsi

sederhana

'

_:

yang terukur pada sedemikian sehingga

a)

0 ≤ '

₁

≤ '

_G

≤ ⋯ ≤ 6.

Bukti

Misalkan diberikan sebuah fungsi terukur

6: → [0, ∞]

, akan ditunjukkan bahwa

terdapat barisan dari fungsi-fungsi sederhana yang memenuhi kondisi di atas.

Untuk

5 ∈ ℕ

dan

1 ≤ ≤ 52

:

, partisikan

[0, ∞]

ke dalam subinterval-subinterval

yang tidak saling tumpang tindih

@

_5,

oleh

@

5,

=

J

− 1

₂

5

, 2

5K

Kemudian definisikan juga

5,

= 6

−1LM−1₂5

,

₂5NN

dan

O

5

= 6

−1P[

5, ∞

Q

.

Definisikan fungsi sederhana

'

₅

pada dengan

'

5

=

+

− 1

₂

5 525

=1 5,

+ 5

_O5

Sehingga

'

₅

adalah fungsi sederhana yang terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

, karena

_5,

dan

O

₅

masing-masing adalah himpunan terukur. Sekarang ambil sebarang

5, $ ∈ ℕ

dengan

5 ≤ $

, perhatikan bahwa,

dengan demikian

'

_:

monoton naik. Selanjutnya akan dibuktikan bagian b). Jika

6

< ∞

(dengan kata lain f terbatas), yaitu misalkan

6

≤ R

di mana

R

adalah konstanta real positif. Karena

6

≤ R

, terdapat bilangan asli terkecil

5

₀

di mana

R < 5

_E

sedemikian sehingga untuk setiap

∈

berlaku

∈ S

:T,8

:TGUT

Maka untuk setiap

∈

dan

5 ∈ ℕ

di mana

5 ≥ 5

_E

, terdapat

∈ ℕ

sedemikian

sehingga

− 1

2

5

≤ 6

< 2

5

⟺ 0 ≤ 6

− − 1

2

5

< 1

2

5

.

Misalkan diberikan sebarang

X > 0

, terdapat

5

₁

∈ ℕ

sedemikian sehingga

|

6

− '

5 |

<

₂15

< X

untuk setiap

5 ≥ 5

₁

≥ 5

_E

dan untuk setiap

∈

. Jika

6

= ∞

, maka definisikan

'

₅

= 5

, sehingga

lim

_5→∞P

'

₅ Q

= ∞.

Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana

yang terukur, kemudian akan dibahas juga sifat-sifatnya

.

Definisi 3.1.8

Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang terukur pada E dengan bentuk

' = + &

8 -9

:

801

,

Dimana

&

₁

, &

₂

, … , &

₅

adalah nilai yang berbeda dari s dan

⋃5₌₁

=

, dan

misalkan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi

sederhana s atas himpunan A didefinisikan sebagai

'

=

+5

&

∩ .

=1

Penetapan

0. ∞ = 0

digunakan di sini, sebab mungkin terjadi

& = 0

untuk

suatu

i

sedangkan

₈

∩

= ∞

.

Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi

pada E. Jika

⊆

dimana A terukur, maka

a)

^

_ + `

=

^

_

+

^

` .

b)

^

A_

= A

^

_ .

c)

_ ≤ ` . a.

$

^ _

_-

≤ ^ `

_-

.

d)

_ = ` . a.

$

^ _

_-

= ^ `

_-

.

e)

_ ≥ 0 . a.

5 ^ _

_-

= 0, $

_ = 0 . a.

.

f)

b^

_

b

≤

^ |

_

|

.

Teorema 3.1.10

Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan

, c ⊆

dengan A dan B adalah himpunan terukur.

a)

Jika

∩ c = ∅

maka

^_∪c

_

=

^

_

+

^_c

_

.

b)

Jika

⊆ c

dan

_ ≥ 0

maka

^

_

≤

^_c

_

.

3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan

Sifat-sifatnya

Definisi 3.2.1

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur dan misalkan diberikan sebarang

fungsi

6: → [0, ∞]

. Bagian positif

6

₊

dari fungsi

6

didefinisikan sebagai,

6

₊

= 6 ,

_{0, 6}

6

≥ 0

_{< 0}

Dan bagian negatif

6

₋

dari fungsi

6

didefinisikan sebagai,

6

₋

= −6 ,

_{0, 6}

6

_{≥ 0.}

< 0

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bagian positif dan bagian negatif

dari sebuah fungsi terukur adalah terukur, Sebagaimana teorema berikut ini.

Teorema 3.2.2

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur. Jika

6: → [0, ∞]

adalah sebuah

fungsi terukur, maka

6

₊

dan

6

₋

adalah fungsi teurukur.

Bukti

Misalkan

6

adalah sebarang fungsi terukur yang didefinisikan pada

, akan

ditunjukkan bahwa

6

₊

dan

6

₋

adalah fungsi terukur. Berdasarkan definisi dari

6

₊

dan

6

₋

, bagian positif dan bagian negatif dari fungsi

6

dapat dituliskan secara

berturut-turut sebagai,

6

₊

= max{6 , 0}

Dan

Karena fungsi

6

terukur, maka berdasarkan Teorema 2.9.12 fungsi

6

₊

dan

6

₋

adalah terukur.

Dapat dilihat bahwa baik

6

₊

maupun

6

₋

bernilai tak negatif dan dapat

dituliskan,

6 = 6

i

− 6

j |

6

|

= 6

₊

− 6

₋

.

Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur tak

negatif dan beberapa sifat dari integral tersebut.

Definisi 3.2.3

Misalkan E adalah himpunan terukur dan

6 ∶ → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi

terukur yang bernilai tak negatif. Integral Lebesgue untuk f didefinisikan oleh

6

≔ sup

o

' : ' 6_5p' qar_ _r 'a arℎ 5 5 0 ≤ ' ≤ 6

t

.

Ketika f diintegralkan atas sebuah himpunan terukur

⊆

, diperoleh

6

≔ sup

o

' : ' 6_5p' qar_ _r 'a arℎ 5 5 0 ≤ ' ≤ 6

t

.

Berikut ini akan dibahas mengenai sifat kemonotonan dan kelinearan dari

integral Lebesgue untuk fungsi bernilai tak negatif yang terukur Lebesgue.

Teorema 3.2.4

a)

Jika

6 ≤ p . a

pada A maka

^

6

≤

^

p

.

b)

Untuk

> 0, 6 + p

dan

&6

adalah fungsi terukur non negative maka

6 + p

= 6

+ p

Dan

&6

= & 6 .

Bukti.

Pertama akan dibuktikan bagian a). Misalkan diberikan dua buah fungsi

terukur sederhana

6, p: → [0, ∞]

dengan

6 ≤ p . a.

. Misalkan

_

dan

`

adalah

sebarang fungsi terukur sederhana pada yang memenuhi sifat

0 ≤ _ ≤ 6

dn

0 ≤ ` ≤ p

secara berturut-turut. Karena

_ ≤ `

akibatnya diperoleh

_ ≤ p

pada

, sehingga

_

≤ sup

o

` : 0 ≤ ` ≤ p

t

= p .

Jika diambil supremum atas seluruh fungsi sederhana

_

maka akan diperoleh,

6

= sup

o

_ : 0 ≤ _ ≤ 6

t

≤ p .

sup

o

` : 0 ≤ ` ≤ A6

t

= sup

o

&_ : 0 ≤ &_ ≤ &6

t

= & sup o _

-: 0 ≤ _ ≤ 6t.

Dengan demikian,

&6

= & 6 .

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa,

6 + p

= 6

+ p ,

Yaitu menunjukkan kedua peryataan berikut berlaku:

i)

^

6 + p

≥

^

6

+

^

p

ii)

^

6 + p

≤

^

6

+

^

p .

Pertama akan diperlihatkan pernyataan i) berlaku. Misalkan

_

dan

`

adalah dua

buah fungsi sederhana terukur dengan

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

pada . Karena

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

akibatnya diperoleh

_ + ` ≤ 6 + p

, dengan

menggunakan definisi integral Lebesgue untuk fungsi

6 + p

atas

dan

berdasarkan sifat kelinearan integral untuk fungsi sederhana, diperoleh

6 + p

= sup

o

_ + `

: 0 ≤ _ + ` ≤ 6 + p

t

≥

_ + `

= _

-+ `

-.

6 + p

≥ 6

+ p .

Untuk ketaksamaan sebaliknya, misalkan

u

adalah sebuah fungsi terukur

sederhana pada , misalkan

_ = min{u, 6}

dan

` = u − _

, di mana

_

dan

`

adalah fungsi terukur sederhana dan lebih lanjut diperoleh

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

pada . Dengan demikian,

u

= _

+

〱

≤ 6

+ p .

Dengan mengambil supremum atas seluruh

u

diperoleh

6 + p

≤ 6

+ p .

Karena pernyataan i) dan ii) berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa

6 + p

= 6

+ p .

3.3 Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan

Sifat-sifatnya

Sebelumnya telah didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi

khusus, dimulai dari fungsi karakteristik sampai dengan fungsi tak negatif yang

terukur. Selanjutnya, akan didefinisikan integral Lebesgue untuk sebarang fungsi

yang terukur dan akan dikaji juga sifat-sifatnya.

Definisi 3.3.1

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah fungsi terukur. Integral Lebesgue untuk fungsi f

6

= 6

₊

− 6

₋

.

Fungsi f dikatakan terintegralkan Lebesgue jika masing-masing

^

6

₊

dan

^

6

₋

bernilai hingga.

Koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue akan dinotasikan

dengan

1

. Selanjutnya, akan dibahas beberapa sifat-sifat dasar dari integral

Lebesgue untuk sebarang fungsi terukur yang umum.

Teorema 3.3.2

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah subset

terukur dari E. Fungsi f terintegralkan Lebesgue atas A jika dan hanya jika

|

6

|

terintegralkan atas A.

Bukti

Misalkan f adalah sebuah fungsi terukur dan

⊆

himpunan terukur. Pertama

asumsikan bahwa

6 ∈

1

, akan diperlihatkan bahwa

|

6

|

∈

1

. Karena

6 ∈

1

,

diperoleh

6

< ∞,

dengan demikian haruslah

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞.

|

6

|

=

P

6

₊

+ 6

₋Q

= 6

₊

+ 6

₋

< ∞.

Jadi dapat disimpulkan bahwa

|

6

|

∈

1

.

Selanjutnya asumsikan bahwa

|

6

|

∈

1

, akan ditunjukkan bahwa

6 ∈

1

.

Karena

|

6

|

∈

1

, akibatnya

|

6

|

= 6

₊

+ 6

₋

< ∞

dengan demkian,

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞.

Sehingga diperoleh,

6

= 6

₊

− 6

₋

< ∞.

Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa

6 ∈

1

.

∎

Teorema 3.3.3

Misalkan

6

adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah himpunan terukur dengan

⊆

. Jika terdapat sebuah fungsi

p ∈

1

sedemikian sehingga

|

6

|

≤ p

, maka

6 ∈

1

_.

Bukti

6

₋

≤ p

. Karena ketiga fungsi

6

₊

,6

₋

, dan p

terukur dan tak negatif, berdasarkan

Teorema 3.2.4 diperoleh,

6

₊

≤ p dan 6

₋

≤ p .

Karena

p ∈

1

maka,

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞

Dengan demikian,

6

₊

= 6

₊

− 6

₋

< ∞.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

6 ∈

1

.

Berikut ini akan disajikan beberapa Teorema mengenai sifat-sifat dasar

Integral Lebesgue. Teorema ini adalah perumuman dari beberapa sifat-sifat dasar

Integral Lebesgue yang telah disajikan pada subbab sebelumnya.

Teorema 3.3.4

Jika

6, p ∈

1

dengan

6, p: → [0, ∞]

maka:

a)

Fungsi

A6 ∈

1

di mana c adalah sebarang konstanta, dan

A6

= A 6 .

b)

Fungsi

6 + p ∈

1

, dan

6 + p

= 6

+ p .

6

≤ p .

diperlihatkan bahwa pernyataan a), b), c) dan d) berlaku.

A6

= −A6

₋

− −A6

₊

fungsi terukur yang bernilai tak negatif, maka berdasarkan Teorema 3.2.4

|

6

|

+

|

p

|

terintegralkan atas dan berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh

Selanjutnya akan dibuktikan bagian c). Diketahui bahwa

6 ≤ p . a.

. Hal

ini mengakibatkan

p − 6 ≥ 0

. Oleh karena itu, diperoeh

p − 6

≥ 0

Dengan menggunakan hasil dari pernyataan b) didapatkan,

p

= p − 6

+ 6

≥ 6 .

Dengan demikian terbukti bahwa

^

6

≤

^

p

.

Untuk membuktikan bagian d) perhatikan bahwa,

6

1∪ 2

= 6

_{1∪ 2}

= 6

x{

+ 6

x|

= 6

x{

+ 6

x|

.

Terakhir, bagian e) jelas berlaku, karena

^

1

=

.

∎

Teorema 3.3.5

Jika

6 ∈

1

dengan

6: → [0, ∞]

, maka

b^

6

b

≤

^ |

6

|

.

Bukti

Misalkan diberikan sebarang fungsi

6 ∈

1

, karena

6 = 6

_i

− 6

_j

dan

|

6

|

= 6

₊

+

6

₋

, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh

= } 6

i

Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada

1

yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di

1

jika

barisan fungsi tersebut monoton naik.

Teorema 3.3.7 (Teorema Kekonvergenan Monoton)

Misalkan

6

_:

adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada . Jika

0 ≤ 6

1

≤ 6

G

≤ ⋯ ≤ 6

:

dan

lim

5→∞

6

₅

= 6

, untuk setiap

∈

,

maka

6

terukur dan,

lim

5→∞y

6

5 z

=

L5→∞

lim

6

5N

.

Bukti

Misalkan

6

_:

adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada , monoton

naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi

6

pada . Teorema 2.9.12 menjamin

keterukuran

dari

lim

_5→∞

6

₅

.

Selanjutnya,

akan

ditunjukkan

bahwa

lim

5→∞^

6

5

=

^ P

lim

5→∞

6

5Q

.

Karena

6

₅

≤ 6

₅₊₁

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, maka berdasarkan Teorema 3.3.4

diperoleh

^

6

₅

≤

^

6

₅₊₁

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Selanjutnya, karena barisan

6

_:

konvergen ke fungsi

6

maka

6

₅

≤ 6

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, berdasarkan Teorema

3.3.4 maka

^

6

₅

≤

^

6

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Perhatikan bahwa, barisan

P^

6

₅Q

monoton naik dan terbatas oleh

^

6

, oleh karena itu akan terdapat

∈ [0, ∞

sedemikian sehingga

lim

Sekarang akan diperlihatkan bahwa

= ^ lim

_{x :→‚}

6

_:

= ^ 6

_x

, yaitu

dengan menunjukkan bahwa,

i)

≤ ^ 6

_{x :}

dan

ii)

≥ ^ 6

_{x :}

.

Karena

= sup{^ 6

_:

: 5 ∈ ℕ}

dan

^

6

₅

≤

^

6

,

∀5 ∈ ℕ

akibatnya diperoleh,

≤ 6

x

.

Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti.

Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan

'

adalah sebarang fungsi

sederhana sedemikian sehingga

0 ≤ ' ≤ 6

, dan misalkan

A

adalah sebarang

konstanta dengan

0 < A < 1

dan definisikan

5

=

„

: 0 ≤ A'

≤ 6

5 …

,di mana 5 = 1,2,3,…

Karena

6

₅

terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

akibatnya himpunan

₅

terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan karena

6

_:

monoton naik maka diperoleh,

₁

⊂

₂

⊂

₃

⊂ ⋯

.

Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

= ⋃

‚_{:01 :}

. Karena

₅

∈

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, maka diperoleh

⋃∞_{5=1 5}

⊂

. Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

⊂ ⋃

‚:01 :

. Ambil sebarang

∈

, jika

6

= 0

maka

6

5

= 0

untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

'

= 0

, dengan demikian

∈

_:

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Selanjutnya

jika

6

> 0

, maka

6

> '

> A'

dan

6

₅

> A'

untuk setiap

5 ∈ ℕ

yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa,

∈

_:

untuk suatu

5 ∈ ℕ

dan akibatnya diperoleh

⊂ ⋃

‚_{:01 :}

. Jadi

= ⋃

‚_{:01 :}

.

6

₅

≥ 6

₅

Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap

A ∈ 0,1

, maka diperoleh

≥ '

x

Untuk setiap fungsi sederhana terukur

'

dengan

0 ≤ ' ≤ 6

, sehingga dengan

mengambil supremum atas seluruh

'

diperoleh,

≥ 6

x

.

Bukti.

Definisikan,

p = inf

„

6 ,6

₊₁

, 6

₊₂

,…

…

dengan = 1,2,3, … .

Perhatikan bahwa

p ≥ 0

,

p ≤ 6

, dan

p

adalah barisan monoton naik.

Berdasarkan Teorema 2.9.12,

p

_,

adalah fungsi terukur untuk

= 1,2,3, …

dan

lim

→∞

p = lim

→∞

inf 6

. Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.3.7.

diperoleh

^

lim

_→∞

inf 6

=

^ L

lim

→∞

p

N

= lim

_,→‚

p

,

= lim

_,→‚

inf p

,

≤ lim

_,→‚

inf 6

,

karena p

,

≤ 6

,

. ∎

Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan

agar sebarang barisan di

1

yang konvergen mempunyai limit di

1

.

Teorema 3.3.9 (Teorema Konvergensi Terdominasi)

Misalkan

6

₅

: → [−∞, ∞]

adalah fungsi terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

asumsikan bahwa fungsi

p ≥ 0

di mana

p ∈

1

. Jika

lim

5→∞

6

5

_5q_ 'aq ∈

dan

maka

lim

5→∞

6

5

∈

1

dan

L_5→∞

lim

6

₅N

= lim

_5→∞

6

₅

.

Bukti

Diberikan sebarang barisan fungsi terukur

6

₅

pada

di mana barisan

6

₅

konvergen titik demi titik pada

dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi

p ≥ 0

di mana

p ∈

1

sedemikian sehingga

b

6

₅ b

≤ p

untuk setiap

∈

.

Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku.

Misalkan

6

= lim

_:→‚

6

_:

untuk

setiap

∈

,

akibatnya

berdasarkan Teorema 2.9.12

6

adalah sebuah fungsi terukur. Karena

b

6

₅b

≤ p

untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

p ∈

1

maka berdasarkan Teorema 3.3.3

6

₅

∈

1

untuk

setiap

5 ∈ ℕ

, demikian juga karena

6 = lim

_:→‚

6

_:

haruslah

|

6

|

≤ p

, akibatnya

6 ∈

1

_.

Selanjutnya, perhatikan bahwa karena

b

6

₅b

≤ p

dan

|

6

|

≤ p

akibatnya

fungsi

p + 6

_:

, p + 6, p − 6

_:

, dan p − 6

adalah fungsi terukur yang bernilai non

negative.

Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi

p + 6

_:

dan

p + 6

diperoleh,

L_5→∞

lim

inf

P

p + 6

₅QN

= p + 6

≤ lim

_5→∞

inf

P

p + 6

₅Q

.

p

+ 6

≤ p

+ lim

_5→∞

inf 6

₅

.

Karena

p ∈

1

maka

^

p

bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada

ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh

^

p

, diperoleh

6

≤ lim

_5→∞

inf 6

₅

.

Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak

negatif

p −

噮

_:

dan p − 6

, diperoleh

−6

≤ lim

_5→∞

inf −6

₅

= lim

_5→∞

inf

y

− 6

₅ z

dengan kata lain,

− 6

Ž

≤ − lim

_:→‚

sup 6

: Ž

.

Akhirnya diperoleh,

lim

5→∞

sup 6

5

≤ 6

≤ lim

5→∞

inf 6

5

.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa

lim

_5→∞

inf

^

6

₅

ada dan sama

dengan

^ P

lim

_5→∞

6

₅Q

.

Definisi 3.3.10

Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada

[ , <]

dan pada setiap interval

[

,

]

⊂ [ ,<]

. Didefinisikan fungsi F dengan

O

= 6 q q + A

•

•

Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f.

Teorema 3.3.11

Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval

[ , <]

, maka berlaku

O

= 6 q q + A

•

•

dengan

6 = O′

dan konstanta c. Dengan kata lain

O′

terintegralkan pada interval

[ , <]

dan

O′ q q = O

− O .

sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan

Lebesgue.

Teorema 3.3.12

Jika

6 ∈ ℜ[ , <]

maka

6 ∈

1

[ , <]

dan

6

[ ,<]

= ℜ 6

<