Suku Banyak
Dan
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan faktor, akar-akar
serta jumlah dan hasil kali akar-akar
Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
Artinya:
1.Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0
sebaliknya,
Contoh 1:
Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x)
Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah
Contoh 3:
Diketahui (x – 2) adalah faktor P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.
Salah satu faktor yang lainnya adalah…. a. x + 3
b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3
Jawab:
Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x2 yaitu a = ?
Jika (x – 2) faktornya P(x) maka P(2) = 0
2.23 + 22 + 2a - 6 = 0
16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0
P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6
berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6
k = 2
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)
Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3 +
2
54 10 3 6 0Contoh 4:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah….
Jawab:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0 1 – a + b – 2 = 0 -a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36 - 8 – 4a – 2b – 2 = -36
- 4a – 2b = -36 + 10 -4a – 2b = -26
Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13 -3a = -12 a = 4
Akar-akar Rasional
Persamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak,
karena ada hubungan antara
faktor dengan akar-akar
Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol
Contoh 1:
Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6
= 0
Oleh karena P(-3) = 0,
maka -3 adalah akar dari
Untuk menentukan akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner
P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6
k = -3
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2)
+
1
-3-3 2 9 -6 0Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) sehingga persamaan sukubanyak
tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain
Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar
rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2.
Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional
persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.
Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar
Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
Jawab:
-2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb. sehingga:
Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x
1, x2, dan x3. Nilai x12 + x
Jawab: x12 + x
22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi:
x12 + x
22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
