suku banyak dan teorema faktor

Suku Banyak

Dan

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan faktor, akar-akar

serta jumlah dan hasil kali akar-akar

Teorema Faktor

Jika f(x) adalah sukubanyak;

Artinya:

1.Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0

sebaliknya,

Contoh 1:

Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1

Jawab:

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1

= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6

Jawab:

Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.

Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1

diperoleh:

P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor

dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x)

Karena hasil baginya adalah

H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian

2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)

2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah

Contoh 3:

Diketahui (x – 2) adalah faktor P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.

Salah satu faktor yang lainnya adalah…. a. x + 3

b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3

Jawab:

Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x2 yaitu a = ?

Jika (x – 2) faktornya P(x) maka P(2) = 0

 2.23 + 22 + 2a - 6 = 0

16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0

P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6

berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6

k = 2

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)

Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3 +

2



54 10 3 6 ₀

Contoh 4:

Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2

mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah….

Jawab:

Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2

(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0 1 – a + b – 2 = 0 -a + b = 1….(1)

dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36

(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36 - 8 – 4a – 2b – 2 = -36

- 4a – 2b = -36 + 10 -4a – 2b = -26

Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13 -3a = -12 a = 4

Akar-akar Rasional

Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak,

karena ada hubungan antara

faktor dengan akar-akar

Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x)

jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0

k disebut akar atau nilai nol

Contoh 1:

Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain.

Jawab:

P(x) = x3 – 7x + 6.

P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6

= 0

Oleh karena P(-3) = 0,

maka -3 adalah akar dari

Untuk menentukan akar-akar yang lain,

kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi

P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner

P(x) = x3 – 7x + 6

berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6

k = -3

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

=(x – 1)(x – 2)

+

1



-3-3 2 9 -6 ₀

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) sehingga persamaan sukubanyak

tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain

Contoh 2:

Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

Jawab:

Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar

rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2.

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional

persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.

Jumlah dan Hasil Kali

Akar-akar

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan

Jawab:

-2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →

-2 memenuhi persamaan tsb. sehingga:

Contoh 4:

Akar-akar persamaan

x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x

1, x2, dan x₃. Nilai x₁2 + x

Jawab: x₁2 + x

22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) x3 – 4x2 + x – 4 = 0

x₁ + x₂ + x₃ = -(-4)/1 = 4

x₁ + x₂ + x₃ = 4

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1 Jadi:

x₁2 + x

22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)