KAPITA SMA I.docx 180KB Apr 25 2011 02:14:10 AM

(1)

MAKALAH

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN

LOGARITMA

OLEH

RIZKHA SEFRIL ERY P (09320003)

SARWO EDY WIBOWO (09320036)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(2)

Persamaan dan pertidaksamaan eksponen

1. Sifat – sifat Fungsi Eksponen

Untuk menentukan penyelesaian eksponen dapat dilakukan dengnan menggunakan sifat – sifat berikut ini :

a. am __an _{= a}m +n b. am _{: a}n _{= a}( m- n ) c. (am₎n_{= a}mxn d. ( am _{) =} _amn e. a-m₌ 1

am f. a0 _{= 1} Contoh soal :

Sederhanakanlah soal dibawah ini :

(3x3 _× _y-5_{) (-3x}-8 _× _y9_{) = ....} Jawab :

(3x3 _× _y-5_{) (-3x}-8 _× _y9_{) = (3x}2_{) (-3x}-8_{) (y}-5_{) (y}9₎ = (3) ( -3)x2_{. x}-8_{. y}-5_{. y}9 = -9x-6_{. x}2-8 _{. y}-5+9

= -9x-6_{. y}4 = - 9y4

x6

2. Persamaan eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh – contoh berikut :

 42x+1_{= 32}x-3 _{merupakan persamaan eksponen yang eksponennya} memuat variabel x.

(3)

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya :

a. af(x)_{= a}m

jika af(x)_{= a}m_{, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = m} contoh soal :

tentukan penyelesaian 3 = 271-x jawab :

3 = 271-x 31 _{= 3}3(1-x) 3(1 - x) = 1

1 – x = 1₃

x = ₃2

Jadi, penyelesaian 3 = 271-x _{adalah x =} 2 3

b. af(x)_{= a}g(x)

jika af(x)_{= a}g(x)_{, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x)} contoh soal :

tentukan penyelesaian 25x+3_{= 5}x-1 jawab :

25x+3 _{= 5}x-1 52(x+3) _{= 5}x-1 2(x + 3) = x – 1 2x + 6 = x – 1

X = -7

Jadi, penyelesaian 25x+3_{= 5}x-1_{adalah x = -7}

c. f(x)g(x)_{= f(x)}h(x)

jika f(x)g(x) = f(x)h(x)_{, maka penyelesaiaan adalah sebagai berikut :}  g(x)= h(x)

 f(x) = 1

(4)

 f(x) = -1 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keuanya

Sekarang periksa apakah untuk x = 3, g(x), dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil ?

G(3) = 32_{= 9 dan h(3) = 2. 3 = 6}

Perhatikan bahwa untuk x = 3, g(x) ganjil dan h(x) genap sehingga x = 3 bukan penyelesaian.

(5)

 Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax_{merupakan fungsi naik, artinya} untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).

 Untuk 0 < a < , fungsi f(x) = ax_{merupakan fungsi turun. Artinya,} untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).

Sifat – sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian 2x+2_{> 16}x-2_{= ...} Jawab :

2x+2 _{> 16}x-2 2x+2 _{> 2}4(x-2)

x + 2 > 4(x – 2) ... a > 1, fungsi naik

x + 2 > 4x – 8

3x < 10

x < 10₃

(6)

Persamaan dan pertidaksamaan logaritma

1. sifat – sifat fungsi logaritma

Dikelas X telah dipelajari sifat – sifat logaritma. Secara umum bentuk

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. Perhatikan contoh berikut ini :

 logx + log(2x+1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang

numerusnya memuat variabel x.

 5 _{log 4}_m ₊5 _log_m 2_{= 0 merupakan persamaan logaritma yang} numerusnya memuat variabel y.

(7)

jika a _log_f₍_x₎ ₌a _log_g₍_x₎ _{, a > 0, a ≠ 1,} _f₍_x₎ _{> 0, dan} x

6 merupakan penyelesaian.

(8)

Tentukan himpunan penyelesaian x-3 _log₍_x₊₁₎ ₌x-3 _log₍₄_x₊₁₀₎

Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat – sifat fungsi logaritma, yaitu sebagai berikut :

 untuk a > 1, fungsi f(x) = a logx merupakan fungsi naik. Artinya, _{untuk setiap setiap x1, x2} _∈ _R _{berlaku x1< x2 jika} dan hanya jika f(x1) < f(x2).

 Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = a logx merupakan fungsi turun. Artinya,untuk setiap setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).

Sifat – sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian 3 _log₍_x₊₅₎ _{> 0} Jawab :

(9)

x + 5 > 1 ... karena a > 1, maka fungsi naik

x > -4

perhatikan pula bahwa numerusnya harus lebih dari nol, berarti

x + 5 > 0. Di dapat x > -5

jadi himpunan penyelesaian 3 _log₍_x₊₅₎ _{> 0 adalah HP = { x}__{x > -5 atau x} > -4 , x ∈ R }

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut

logx - log 3 = log(x−3)

logx

3 = log(x−3)

x₃ = (x−3)

3( x – 3) = x

3x – 9 = x

2x = 9

x = 9₂

jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 9₂

2. 2 _log₍_x₂_–₂_x₊₄₎ ₌2 _log₍_x₊₄₎ x2_{– 2x + 4 = x + 4} x2_{– 2x-x + 4-4 = 0}

(10)

x = 0 atau x = 3

Selidiki apakah f(x) 0 dan g(x) 0

f(0) = x2_{– 2x + 4}

= 02_{– 2.0 + 4}

= 4 (4  0 )

g(0) = x + 4

= 0 + 4

= 4

f(3) = x2_{– 2x + 4}

= 32_{– 2.3 + 4}

= 7 (7  0 )

g(3) = x + 4

= 3 + 4

= 7

Jadi penyeleaiannya x = 0 dan x = 3

3. tentukan penyelesaiaan 81x+2 _{= 3}x+2 34(x+2) _{= 3}x+2 4(x+2) = x + 2

4x + 8 = x + 2

4x – x = 2– 8

3x = -6

x = -2

(11)

4. tentukanlah penyelesaian 9 = 7292-4x 91 _{= 9}3(2-4x) 3(2-4x) = 1

6 – 12x = 1

-12x = 1– 6

-12x = -5

x = ₁₂5

Jadi penyelesaian 9 = 7292-4x _{adalah x =} 5 12

5. Tentukan penyelesaian dari 4x+5 _{= 2} 22(x+5) _{= 2} 2(x + 5) = 1

2x + 10 = 1

2x = 1– 10

x = -9

(12)

Daftar Pustaka :

H.F.S, Cecep Anwar. 2008. Matematika Aplikasi. Jakarta: PT. Mutiara Bangsa

Noormandiri, B.K dan Sucipto Endar, 2004. Matematika SMA Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga