Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri
Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3) 1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
email:1)krist_ardha07@yahoo.com2)bsusanto5@gmail.com3)hannaariniparhusip@yahoo.co.id
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK
Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black – Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan dari penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM. Sampoerna Tbk. dengan pihak lain.
Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility
PENDAHULUAN
Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan
seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang
memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor
karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan
cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat
berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu
turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi
memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual
sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus
(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau
dijual.
Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012
digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown
Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimation.
DASAR TEORI
Opsi
Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan
hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan
harga dan waktu yang telah ditetapkan.
Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu:
1. Opsi beli
Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli
sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.
2. Opsi Jual
Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual
sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.
Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu :
1. Opsi Eropa
Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir
saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.
2. Opsi Amerika
Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam
masa berlakunya kontrak opsi.
Fungsi Payoff
Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0 t < T sebelum expiry date dari opsi
akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T
akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat
1. Harga saham lebih besar dari Strike Price(S > K)
Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S – K > 0. Ini adalah
alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya
untuk Opsi Put Eropa.
2. Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K)
Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut
dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.
3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K )
Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk
membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0.
Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat
expiry date T adalah
V(S, T) = maks{d(K – ST), 0} (1)
dengan d= .
Gerak Brown
Suatu gerak Brown [ ,t ≥ 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat – sifat
berikut :
1. B(0) = 0.
2. Untuk t>s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.
3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u : dan saling bebas.
4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial
dimanapun.
Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1
dinamakan gerak Brown baku.
Model harga saham
Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu
keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon
bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov
merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga
yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t.
Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas
dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt
Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift
ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham
secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan
σdBt. Nilai σ didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat
diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang
dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan
sebagai berikut
dengan
µ : nilai ekspektasi dari return ;σ : volatility saham (standar deviasi dari return)
Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk
(2)
dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown
Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(S(t)),
persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)
. (3)
Untuk = 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi
atau (4)
dengan B(T)= ; Z~N(0,1) dan return.
Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat
diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak
berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga
Risk Neutral Pricing
Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam
finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku
bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan
analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam
fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut.
Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode
dinotasikan dengan . Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan
Jika bunga sebanding dengan besarnya maka dinamakan bunga berganda. Artinya
(5)
dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali
menjadi
(6)
dan diambil = F = 1, maka diperoleh dengan adalah
besarnya tabungan.
Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap
tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku
bunga untuk setiap periode , maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh
. (7)
Dimisalkan untuk bilangan – bilangan asli m dan n , maka besarnya deposito
saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus
Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai = . Karena
= F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk atau dapat pula dituliskan dalam
bentuk
(9)
dengan disebut sebagai faktor terdiskon.
Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan
diasumsikan bahwa:
1. X = ln ~ N(µT,σ2T)
2. S (0) = E(S (T)).
Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan
(10)
Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah
acak melalui persamaan (10)
. (11)
Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu
E[S(T) / S0] = E[ ] = E[ ] =
Sehingga . (12)
Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh
S0 = = S0 sehingga
Jadi . (13)
Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi
; sehingga
(14)
Misalkan sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.
Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan
X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) = disebut sebagai fungsi likelihood.
Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai
= θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ
dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi
Likelihood
Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk
.
Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi yaitu . Diperoleh
. (15)
Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi , yaitu
(16)
Untuk mempelajari sifat optimal selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l
8 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5x 10
4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna
waktu (t) H a rg a S a h a m
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Nilai Return dari Harga Saham
R e tu rn H a rg a S a h a m 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9x 10
4 Ha rg a Sa ha m
Simulasi Pergerakan Harga Saham
5.6 5.7 5.8 5.9x 10
4 Ha rg a Sa ha m
Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan
karena dan det( ) > 0, maka negatife definite (Peressini,1988) yang berarti
dan memaksimumkan .
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Estimasi Parameter
Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan
menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data
saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010
sampai 29 Februari 2012. Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham
penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih
[image:8.595.89.264.351.480.2]dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t-1.
Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna Gambar 2 return dari harga saham
Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh = 0,00281 , =
0,000402 dan volatility = 0,02004.
Simulasi Harga Saham
Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham
dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang
digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih
dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga
saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi
[image:8.595.328.499.352.476.2]Gambar 3. S0 = 53.000 , T= 1 Tahun , σ = 0,02004 dan r = 5,75%.
Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu
tahun kedepan.
Perhitungan Nilai Opsi Eropa
Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9)
dapat diperoleh persamaan
dengan
M : Banyaknya simulasi,K : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d=
Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K< , K= , dan K> maka
diambil K dengan nilai 50.000, 53.000,dan 56.000 dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh
Tabel 1.
Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S0 = 53.000 , T= 1 Tahun , σ = 0,02004, r = 5,75%
dan K yang berbeda.
Strike Price (K) Harga Call Option Harga Put Option
50.000 5.777 0
53.000 2.944 0
56.000 470 358
Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data
harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan
bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan
harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak
akan menghasilkan keuntungan.
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi
Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna
Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari 2012. Metode yang digunakan adalah Gerak
Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun
Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT
Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M.
Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak
opsi dilaksanakan.
DAFTAR PUSTAKA
Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price: Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217, (diakses pada 24 April 2012).
BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6 Maret 2012).
Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81. No. 3
Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari 2012).
Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United Kingdom: Cambridge University Press.
HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).
Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th Edition. New Jersey: Pearson Education
Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York : Springer-Verlag.
