BAB I
SET DAN RELASI
1.1. SET, ELEMEN (UNSUR)
Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu koleksi dari obyek-obyek dan dinotasikan oleh huruf , , , , …
Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu set disebut elemen-elemen (unsur) atau anggota-angaota dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil , , , , …
Pernyataan ℎ dinotasikan .
Negasi dari ditulis “ ” dan ini berarti “p bukan elemen A atau p tidak termasuk di dalam A”
Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu:
a. Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster), missal = { , , , , }
b. Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule), misal =
{ : }
Interval pada garis real yang didefinisikan berikut sering muncul dalam matematika. Berikut ini a dan b bilangan real dengan < :
Interval buka dari a sampai b = , = { : < < }
Interval tutup dari a sampai b = [ , = { : }
Interval buka-tutup dari a sampai b = , ] = { : < }
Interval tutup-buka dari a sampai b = [ , = { : < } Interval buka-tutup dan tutup buka disebut juga interval setengah buka.
Dua set A dan B disebut sama, ditulis = , bula A dan B mempunyai unsur-unsur sama, A. Negasi dari A = B adalah ≠ .
Suatu set disebut terhingga (finite), bila set tersebut memuat n unsur (elemen) yang berbeda, dimana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut tak hingga (infinite). Set yang memuat tepat satu anggota disebut set singleton.
1.2. SUBSET & SUPERSET
Set A disebut subset dari B atau b adalah superset dari A, ditulis , bila dan hanya bila setiap unsur dari A terdapat di dalam B atau bila maka . Juga dapat dikatakan bahwa A termuat di dalam B atau B memuat A.
Negasi dari dan dinyatakan bahwa:
Contoh:
Apabila N adalah set bilangan bulat positif, Z adalah set semua bilangan bulat, Q adalah set semua bilangan rasional dan R adalah set semua bilangan real maka
Diketahui = { , , , , … }, = { , , , , … } dan = { : , > } Apakah : a. (berikan alasannya!)
b. (berikan alasannya!)
Definisi:
Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila . Dalam hal tetapi ≠ , dikatakan bahwa A adalah subset murni dari B atau B memuat A.
Teorema I:
Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong dengan notasi ∅ { }, yang merupakan set terhingga dan merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A maka
∅ �.
Contoh:
Dalam geometri bidang, set universalnya berisi semua titik pada bidang.
Bila = { : = , } , maka tentukan anggota A!
Bila = {∅}, maka ≠ ∅, mengapa?
1.4. KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam suatu set dari garis-garis adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi
atau F amili, misalkan = {{ , }, } bukanlah kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan).
Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set. Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis � atau � adalah kelas dari semua subset dari A.
Contoh:
Anggota dari kelas {{ , }, { }, { , }} adalah set-set { , }, { }, { , }
Bila = { , , } maka tentukan � !
1.5. OPERASI-OPERASI PADA SET
Gabungan dari dua set A dan B ditulis adalah set dari semua unsur yang termasuk ke
dalam A atau B yaitu = { : }. Gabungan dari dua set A dan B ditulis
= { : }.
Irisan dari dua set A dan B ditulis adalah set yang unsur-unsurnya termasuk di dalam a
dan B yaitu = { : }.
Bila = ∅, yaitu bila A dan B tak mempunyai anggota persekutuan maka A dan B disebut
lepas (disjoint) atau tak beririsan. � adalah kelas dari set-set disebut kelas lepas (disjoint) dari set-set, bila tiap-tiap pasangan set-set yang berbeda di dalam � adalah lepas.
Komplemen relatif dari set B terhadap set A atau selisih A dan B ditulis A – B adalah set yang anggota-anggotanya termasuk A tetapi tidak termasuk B yaitu − = { : , }. Perhatikan bahwa A – B dan B adalah lepas yaitu − = ∅.
Komplemen absolute atau disebut komplemen dari suatu set A ditulis AC adalah set yang anggota-anggotanya bukan anggota dari A yaitu = { : , }. Dapat dikatakan pula bahwa AC selisih U dan A.
Teorema 2:
Hukum-hukum Aljabar set:
1. Hukum sama kuat: = , =
2. Hukum Asosiatif: = , =
3. Hukum Komutatif: = , =
4. Hukum Distributif: = , =
5. Hukum Identitas: ∅ = , = , = , ∅ = ∅
6. Hukum Komplemen: = , = ∅ , = , = ∅ , ∅ =
7. Hukum De Morgan: = , =
Teorema 3: bila hanya bila:
a. =
b. =
c. =
d. = ∅
1.6. PRODUK DARI SET-SET
Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan B ditulis , memuat semua
pasangan terurut (a,b) dengan = { , : , }.
Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan dinotasikan dengan . Contoh: = { , , } = { , }, tentukan !
1.7. RELASI
Relasi biner (relasi) R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan , di dalam tepat memenuhi satu pernyataan berikut:
a berelasi dengan b ditulis & a tak berrelasi dengan b ditulis
Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A.
Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R* dari A X B sebagai berikut: = { , : }, sebaliknya sebarang subset R* dari A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R
dari A ke B sbb: ℎ , .
Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subset-subset dari didefinisikan “Suatu Relasi R dari A ke B adalah subset dari .
Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu:
Domain = { : , } & Range = { : , }
Invers dari R ditulis − adalah relasi dari B ke A didefinisikan: − = { , : , } Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis ∆ ∆ adalah semua pasangan dalam dengan koordinat sama yaitu: ∆ = { , : }
Contoh: Relasi = { , , , , , } di dalam = { , , } . Tentukan domain, range dan invers dari R!
1.8. RELASI EQUIVALEN
Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A disebut relasi equivalen bila hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut:
a. Untuk tiap , , sifat refleksif
b. Bila , , , sifat simetris
Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut relasi equivalen bila dan hanya bila relasi tersebut refleksif, simetris dan transitif.
Contoh:
Apakah relasi (subset dari) didalam suatu set inklusi merupakan relasi equivalen?
Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-segitiga adalah relasi eqiuvalen. Buktikan!
Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari [ ] adalah set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: [ ] = { : , }.
Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu A/R={[ ]: }.
Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut: a. Teorema 4.
Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan [ ] adalah kelas equivalen dari maka:
1. Untuk setiap [ ]
2. [ ] = [ ] bila dan hanya bila (a,b) 3. Bila [ ] ≠ [ ] [ ] [ ] = �
Suatu kelas � dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila :
1. Tiap termasuk anggota dari �
2. Anggota-anggota dari � sepasang-sepasang saling lepas (disjoint) b. Teorema 5.
Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A.
1.9. KOMPOSISI DARI RELASI
Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang .
, , disebut komposisi dari U dan V ditulis .
Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis = { , : , ,
, ℎ , , , }.
Contoh: Misalkan = { , , , }, = { , , , }, = { , , , }
= { , , , , , , , , , } dan = { , , , , , , , } U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C.
Soal
–
soal:1. Bila = { : = }, apakah A = 2?
2. Apakah ∅ = { } = {∅} ?
3. Manakah yang merupakan set kosong?
a. = { : = , = } b. = { : + = }
4. Misal = { , , , … , , }, = { , , , }, = { , , , } = { , , , } Carilah:
a. b. c. − d.
5. Misal R relasi < dari = { , , , } = { , , } yaitu , bila dan hanya bila < a. Tulislah R sebagai set pasangan terurut
BAB II
FUNGSI
2.1. FUNGSI
Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan)
dari A ke B ditulis : → → .
Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari disebut nilai f pada a atau bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi : → berkorespondensi dengan relasi di dalam A X B dinyatakan oleh { , : }.
Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis [ ] adalah set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu [ ] = { : }.
Dua fungsi : → : → adalah sama ditulis = bila dan hanya bila = untuk tiap yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama.
2.2. FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS
Fungsi : → disebut satu-satu atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta yang berbeda dalam B yaitu bila: = ′ ⟹ = ′
Fungsi : → disebut onto (kepada) bila tiap adalah bayangan dari sebarang yaitu
bila: ⟹ ℎ = . Jadi bila f onto [ ] = .
Umumnya, relasi invers − dari suatu fungsi tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka − adalah fungsi dari B kepada A dan − disebut
fungsi invers.
Relasi identitas (diagonal) ∆ adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A. Fungsi identitas dinotasikan oleh . Dalam hal ini, = untuk tiap .
Selanjutnya bila f : A→ = = , bila f satu-satu dan onto dengan invers
− maka − = − =
Proporsi 1: misal ∶ → ∶ → sehingga = = maka
Ilustrasi fungsi invers (fungsi kebalikan), misalkan sebuah fungsi f :ABdikatakan dapat
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B.
Contoh dalam diagram panah:
A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.
Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B.
Contoh dalam diagram panah:
A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.
b. Fungsi Injektif
Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2).
Contoh :
A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B. Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
c. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
Contoh :
A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu
2.4. SET BERINDEKS
Suatu kelas dari set-set berindeks ditulis { �: }, { �}� �, { �} yang memasangkan suatu set � dengan tiap-tiap , yaitu suatu fungsi dari I ke dalam kelas dari set-set. Set I disebut set dari indeks-indeks, set-set A disebut set-set berindeks dan tiap disebut indeks. Set indeks I adalah set bilangan bulat positif, kelas berindeks { , , … } disebut barisan.
Contoh: Untuk setiap (set bilangan positif) misalkan
= { : , ℎ }, maka tentukan D1, D2 dan D3!
2.5. ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL
Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi-operasi di dalam R.
Koleksi , dengan operasi-operasi seperti tersebut di atas mempunyai sifat seperti dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema:
Koleksi , dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut: 1. Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat:
a. + + ℎ = + + ℎ
b. + = +
c. � , : → ℎ + =
2. Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat: a. . ′. = . ′
b. . =
3. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat:
a. . + = . + .
b. + ′ . = . + ′.
Soal
–
soal:1. Misal = { , , , , }, : → : → , sehingga = { , , , , , , , , , } dan = { , , , , , , , , , } . Tentukan :
a. Range f dan g!
b. Komposisi fungsi ! 2. Misal = { , , } dan , ,
= { , , , − , , } dan = { , − , , , , } . Tentukan: a. f + 2g b. fg – 2f c. f + 4 d. | | e. f2
3. Misal : → dan : → didefinisikan oleh = + = − .
Tentukan produk fungsi !
BAB III
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
3.1. RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
Misal adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas � yang anggotanya subset-subset dari disebut topologi pada X, bila dan hanya bila � memenuhi ketiga aksioma berikut:
1. ∅ termasuk dalam �
2. Gabungan dari set-set anggota dari � adalah anggota � 3. Irisan dari dua set anggota � adalah anggota �
Anggota –anggota dari � disebut set – set buka dari �, dan bersama � yaitu , � disebut ruang topologi.
Contoh:
1. Misal adalah kelas dari semua set buka dari bilangan real maka adalah topologi biasa (usual topologi) pada . Demikian juga kelas yang terdiri dari set-set buka pada adalah topologi biasa pada .
2. Misalkan = { , , , , }.
� , � , � � masing-masing subset dari �. Manakah yang merupakan topologi pada , bila: � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}
� = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , }}
� = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}
3. Diketahui = { , , }. Himpunan bagian ditentukan sebagai berikut: = {{ }, { }, { }, ∅}
= {{ }, { }, { , }, { , , }} = {{ }, { }, { , }, { , , }, ∅} = {{ , }, { , }, { , , }, ∅} = {{ , }, { , }, ∅, { , , }, { }} = {{ }, { }, { , }, ∅, { , , }} = {{ }, { }, { , }, ∅, { , , }, { , }}
Manakah yang merupakan topologi? Jelaskan!
4. Let = { , , , , }. Determine wheter or not each of the following classes of subsets of is a topology on .
(i) = { , ∅, { }, { , }, { , }}
(ii) = { , ∅, { , , }, { , , }, { , , , }}
TOPOLOGI DISKRIT, TOPOLOGI INDISKRIT & TOPOLOGI KOFINIT
Apabila D adalah kelas dari semua subset dari atau = � atau dapat dikatakan D adalah
himpunan kuasa (power set) dari maka adalah topologi pada karena memenuhi ketiga aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan , disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari .
Suatu topologi pada harus memuat set ∅ . Kelas = { , ∅} yang hanya memuat ∅ adalah topologi pada X, sehingga = { , ∅} disebut topologi indiskrit dan ,
disebutruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit.
Apabila , � ruang topologi dan � adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari set-set buka dari � maka � adalah topologi kofinit.
Contoh:
1. = { , } ; = { , , }
� adalah suatu kelas himpunan bagian dari X dan � = { , ∅, { }, { }}
� adalah suatu kelas subset dari Y dan � = { , ∅, { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }} a. Apakah � dan � merupakan topologi diskrit? Jelaskan alasannya!
b. Tentukan ruang diskrit dari � dan � !
2. = { } & � = { , ∅}, = { , } & � = { , ∅, { }, { }}, = { , , } & � = { , ∅} . Apakah � , � , � merupakan topologi indiskrit?
IRISAN, GABUNGAN & KOMPLEMEN
adalah topologi pada X maka juga merupakan topologi pada tetapi belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari adalah sendiri.
Elemen suatu topologi pada disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian dari yang komplemennya ada di dalam ( � merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan disebut tertutup jika hanya jika � adalah terbuka.
Apabila adalah suatu topologi pada maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari mempunyai sifat :
a. ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup
Contoh:
1. Dua topologi pada = { , , , , } dengan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} dan = { , ∅, { }{ , }{ , , }{ , , , }} Apakah merupakan topologi pada X?
2. = { , , , , } dengan = { , ∅, { }, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { }, { , }} Apakah merupakan topologi?
3. Diberikan = { , ∅, { }, { }, { , }} , = { , ∅, { }, { , }} dan = { , ∅, { }, { , }} pada = { , , } .
a. Tentukan dan !
b. Apakah merupakan topologi? c. Apakah merupakan topologi?
3.2. TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)
Misal adalah ruang topologi. Suatu titik adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila setiap set buka yang memuat , memuat suatu titik yang berbeda dengan atau “bila G
buka, � maka − {�} ≠ ∅”. Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis ′ dan disebut set derive dari A.
Apabila ruang diskrit yaitu , dengan = { , ∅} maka adalah set buka yang memuat sebarang . Jadi adalah titik kumpul dari setiap subset dari , kecuali set kosong ∅ dan set { } . Jadi set dari titik-titik kumpul ′ adalah:
′= { }� = − { },∅, = ∅ = { }
, ℎ
Contoh:
1. � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} adalah topologi pada = { , , , , } = { , , } . Tentukan titik kumpul dari A!
2. Diketahui = { , , , , } dengan = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}. = { , } , = { , , } , = { , , } , = { , , , }
3.3. HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)
Definisi:
Untuk sebarang ruang topologi , � . Anggota-anggota dari � dikatakan himpunan terbuka.
Teorema:
Untuk sebarang ruang topologi , � maka: a. ∅ adalah set-set buka
b. Irisan dari set-set buka adalah buka
c. Gabungan dari dua set-set buka adalah buka
Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan terbuka. Misal adalah ruang topologi. Subset dari disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen � adalah set buka.
Definisi:
Untuk sebarang ruang topologi , � , suatu himpunan bagian dari dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada , � .
Apabila adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari adalah buka maka setiap subset dari adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan tutup. Ingat bahwa �� = , untuk setiap subset dari maka diperoleh proposisi berikut:
Dalam ruang topologi , subset dari adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.
Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut:
Bila ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari memiliki sifat-sifat yaitu: a. ∅ adalah set-set tutup
b. Irisan dari set-set tutup adalah tutup c. Gabungan dari dua set tutup adalah tutup
Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai berikut, dengan teorema:
Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive ′ dari A adalah subset dari A yaitu ′
Contoh:
1. = { , , , , } = { , ∅, { , }, { , }, { , , }, { }} Tentukan:
a. Himpunan bagian dari yang terbuka! b. Himpunan bagian dari yang tertutup!
c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup! d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka!
e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup!
f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup!
2. Kelas � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} didefinisika pada = { , , , , }. Tentukan subset-subset tutup dari X!
3. Diberikan ruang topologi , dengan = { , , , , , } dan = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} . Apa saja himpunan tertutup dari , ?
3.4. PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)
Misal subset dari ruang topologi . Penutup dari A (closure of A) ditulis ̅ − adalah irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila { � ∶ } adalah kelas semua subset tutup dari yang memuat maka ̅ = � �
Perhatikan bahwa ̅ adalah tutup karena ̅ adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, ̅ adalah superset tutup terkecil dari , dengan demikian bila adalah set tutup yang memuat
maka ̅ .
Berdasarkan hal tersebut, set adalah tutup bila dan hanya bila = ̅ dan diperoleh pernyataan berikut dengan dalil (proposisi):
Bila ̅ penutup dari set maka: a. ̅ adalah penutup
b. Bila superset tutup dari A maka ̅ c. adalah tutup bila dan hanya bila = ̅
Misal adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan ∅ adalah set-set buka maka set-set-set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set-set-set terhingga dari dengan . Jadi bila terhingga, penutup dari ̅ adalah sendiri karena tutup. Sebaliknya bila
Selanjutnya untuk suatu subset dari ruang kofinit maka: A bila A terhingga
̅ =
bila A tak hingga
Penutup dari suatu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set tersebut sebagai berikut dengan teorema:
Bila A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari A dengan ′ yaitu ̅ = ′
Suatu titik disebut titik penutup dari bila dan hanya bila p termuat dalam penutup A yaitu ̅ . Dari teorema diatas diperoleh bahwa adalah titik penutup dari bila dan hanya bila atau p titik kumpul dari A.
Subset A dari ruang topologi X disebut padat (dense) dalam bila B termasuk dalam penutup A yaitu ̅ . Khususnya, A adalah padat dalam X atau subset padat dari X bila dan
hanya bila ̅ =
Perhatikan set semua bilangan rasional Q. Didalam topologi biasa untuk R, setiap bilangan real adalah titik kumpul dari Q. Jadi penutup dari Q adalah set semua bilangan real R yaitu ̅ = . Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua bilangan rasional Q padat dalam R. Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup ̅ yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski dengan dalil (proposisi):
a. ∅̅ = ∅,
b. ̅
c. ̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ d. − −= ̅
Contoh:
1. Kelas � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} didefinisika pada = { , , , , }.
a. Tentukan : {̅} , { ,̅̅̅̅} , { ,̅̅̅̅̅}
b. Apakah { ,̅̅̅̅} dan { ,̅̅̅̅̅} merupakan subset padat dari X? Jelaskan!
2. = { , , , , } dan = { , ∅, { , }, { , , }, { , , }, { }, { , }, { , , , }} Tentukan closure dari:
3.5. INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY
Misal subset dari ruang topologi . Titik disebut titik interiordari bila � termasuk
set buka subset dari , yaitu , set buka.
Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), ̇ atau ° , disebut interior dari A. Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi):
Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga bahwa: a. ° adalah buka
b. subset buka terbesar dari ; yaitu bila subset buka dari maka c. A adalah buka bila hanya bila =
Eksterior dari ditulis eks ( ) adalah interior dari komplemen A yaitu int . Boundary
(batas) dari ditulis b( ) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak
termasuk eksterior dari .
Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema:
Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari interior dan batas dari A yaitu ̅ = .
Contoh:
1. � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} merupakan topologi pada = { , , , , } dengan = { , , } dan = { , , }
Tentukan: a. °, eks (A , b (A) b. °, eks (B) , b (B)
2. = { , , , , } topologi pada � = { , ∅, { }, { , , }, { , , }, { , }, { , , , }} dengan = { , , }, = { , , , } = { , }
Tentukan:
a. Titik interior, eksterior dan boundary dari b. Titik interior, eksterior dan boundary dari c. Titik interior, eksterior dan boundary dari
Suatu subset dari ruang topologi disebut padat tidak dimana-mana (nowhere dense) di
dalam jika interior dari penutup adalah kosong, yaitu ̅ = ∅ . Misal = { , , , … }
subset dari maka mempunyai tepat satu titik kumpul yaitu 0, sehingga ̅ = { , , , , }
dan ̅ padat tidak dimana-mana dalam . Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0 dan 1 yaitu = { : , < < } maka int (A) = ∅ tetapi tidak padat tidak dimana-mana dalam R karena penutup A adalah [ , ] dan ̅ = [ , ] = , ≠ ∅ .
3.6. LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN
Misal adalah titik dalam ruang topologi . Suatu subset dari disebut lingkungan dari
jika dan hanya jika � adalah suatu superset dari set buka yang memuat � yaitu: �
� dengan set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah invers
dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari disebut
sistem lingkungan (neighborhood system) dari . Untuk suatu sistem lingkungan dari suatu titik ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut:
Proporsisi: a. ≠ ∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota b. Irisan dari dua anggota termasuk
c. Setiap superset dari anggota termasuk
d. Tiap anggota adalah superset dari anggota dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu untuk tiap .
Contoh:
1. = { , , , , } = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }, { , , }} . Tentukan:
a.
b. c. d.
2. = { , , , , } dan = { , ∅, [ , , , ], { , , }, { , , }, { , }, { }} . Tentukan:
a. �
3.7 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
Misal � dan � adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota � subset dari X adalah anggota � subset dari X. Dengan demikian, bahwa � adalah kelas bagian dari � yaitu � � , sehingga dikatakan bahwa � adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker) terhadap � atau � lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap � . Perhatikan bahwa = {� } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan dapat ditulis � ≾ � � � dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya.
Contoh:
1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi � pada set X, maka � adalah korser terhadap D, dan � adalah finer terhadap Y. Jadi ≲ � ≲ .
2. Topologi = { , , , , } = { , ∅, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { , }, { , , }}
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} . Bandingkan topologi-topologi , !
3.8 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi , � . Kelas � yaitu kelas dari semua
irisan dari A dengan subset-subset buka � pada X adalah topologi pada A dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi � terhadap A dan ruang topologi , � disebut ruang bagian dari , � . Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari � , yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan � sedemikian hingga =
Contoh:
1. Topologi � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} pada = { , , , , } dengan = { , , } . Tentukan relatifisasi dari � terhadap A ( ) !
2. Dari soal diatas, apabila = { , , } maka tentukan topologi relatife dari B ( ) ! 3. = { , , , , , } dengan = { , ∅, { , }, { , , }, { , , , , }, { , , }, { , , , }, { , , , }}
3.9 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI
Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set :
Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap , � kelas dari subset-subset dari X memenuhi aksioma berikut:
a. � tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari � b. Irisan dari dua anggota � termasuk dalam �
c. Setiap superset dari anggota � termasuk �
d. Setiap anggota � adalah superset dari anggota � sedemikian hingga � untuk tiap maka ada satu dan hanya satu topologi � pada X sedemikian hingga � adalah sistem lingkungan � dari titik .
Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset Ak dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut: a. ∅� = ∅
b. �
c. � = � �
d. � � = �
maka ada satu dan hanya satu topologi � pada X sedemikian hingga � adalah penutup subset A dari X.
Soal
–
soal:1. Jika = { , , }, buktikan bahwa
X,0,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}
merupakantopologi pada S?
2. � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }, { , , }} adalah topologi pada = { , , } maka tentukan:
a. Subset-subset tutup dari X! b. Closure dari { }, { } { , } !
c. Manakah set dalam (b) yang merupakan padat dalam X! d. Set dari titik kumpul = { , , }
3. Jika = { , , }, dengan
X,0,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}
dan = { , , }dimana maka tentukan: a. Titik limit dari A!
b. Titik interior dari A! c. Titik eksterior dari A! d. Titik batas dari A!
e. Persekitaran/lingkungan dari c ( �)!
4. Jika = { , , }, dengan
X,0,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}
dan = { , , }, = { , , } dimana , maka tentukan:a. Topologi relatif dari � terhadap A (� )! b. Topologi relatif dari � terhadap B (� )!
5. Misal � adalah ruang topologi pada X yang terdiri dari empat set yaitu � = { , ∅, , } dimana A dan B tidak kosong dan merupakan subset-subset murni yang berlainan dari X.
Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh A dan B?
BAB IV
BASIS & BASIS BAGIAN
4.1. BASIS UNTUK TOPOLOGI
Definisi:
Misal , � suatu ruang topologi. Suatu kelas � yang terdiri dari subset-subset buka dari X yaitu � � adalah basis untuk topologi � bila dan hanya bila setiap set buka adalah gabungan dari anggota-anggota .
Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “� � adalah basis untuk topologi � bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada � dengan .
Dengan definisi lain:
Apabila diberikan ruang topologi , � , suatu koleksi dari himpunan-himpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi � jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada .
Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu:
Misal � adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka � adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat:
a. = { : �}
b. Untuk suatu B, �, adalah gabungan dari anggota-anggota � atau
bila maka � � sedemikian hingga .
Jika merupakan suatu basis untuk topologi � pada dan merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada dimana maka adalah juga basis untuk topologi . Contoh:
1. Diberikan = { , , , , , } dan = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} dengan = {∅, { }, { , }, { , , , , }} . Apakah merupakan basis dari ? Jelaskan!
2. = { , , , , } , ={ , ∅, { , , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }, { , , , }, { , , }} = { , ∅, { , , , }, { , , , }, { , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }}
= {{ , , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }}
= { , { , , , }, { , , }, { , , }, { }, { , }, { , }, { }} Apakah merupakan basis untuk topologi? Jelaskan!
3. = { , , } dengan = {∅, { }, { , }, { }, { , }, } dan = {{ }, { }, { , }, ∅} Apakah merupakan basis dari r ? Mengapa?
4. = { , , , } dengan = {∅, { }, { }, { , }, { , , }, { , , }}
4.2. BASIS BAGIAN
Misal , � suatu ruang topologi. Kelas yang anggotanya subset-subset buka dari yaitu � adalah basis bagian untuk topologi � pada bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggota-anggota membentuk basis untuk �.
Contoh:
1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga , ∞ dan −∞, : , = , ∞ −∞, . Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.
2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R2 adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R2 . Kelas dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R2.
y
0 x
3. = { , , , }
= {∅, , { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , , }} = {{ , }, { , }, { , }, }
Apakah merupakan sub bagian pada T ?
4.3 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
Misal � adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan � bukan merupakan basis untuk topologi pada . Jadi � selalu merupakan pembangunan dari topologi pada seperti dikemukakan pada teorema berikut:
Suatu kelas � yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong adalah basis bagian untuk suatu topologi � yang unik pada . Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota � membentuk basis untuk topologi � pada .
Misal subset-subset dari set tidak kosong . Meskipun bukan basis tapi dapat membentuk topologi dengan cara:
Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut:
Bila � adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong maka topologi � pada yang dibangun oleh � adalah irisan dari semua topologi pada yang memuat �.
Contoh:
1. � = {{ , }, { , }, { }} adalah kelas dari subset-subset dari = { , , , }. Tentukan topologi pada X yang dibangun (dibentuk) oleh � !
2. Let = { , , , , } . Find the topology � on generated by � = {{ }, { , , }, { , }}!
3. Misal = { , , , , } dan = {{ , , }, { , }, { , }} . Tentukan topologi pada X yang dibangun oleh P!
4.4 BASIS LOKAL
Misal adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas � dari subset-subset buka yang memuat p disebut basis lokal pada bila dan hanya bila untuk tiap set buka yang memuat ada � sedemikian hingga
Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi: 1. Bila � basis untuk topologi � pada X dan maka anggota dari basis � yang memuat p
membentuk basis lokal di p.
2. Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap-tiap anggota suatu basis lokal � pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p.
3. Barisan , , … dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke bila dan hanya bila tiap anggota dari sebarang basis lokal � pada p memuat semua suku-suku dari barisan itu.
Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut:
Bila � suatu basis untuk topologi � pada X maka :
a. adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap set basis buka � yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.
b. Barisan , , … dari titik-titik dalam X konvergen ke bila dan hanya bila tiap set basis buka � yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.
Definisi basis lokal lainnya:
Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan maka koleksi � dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota dari B sehingga
G
Remark/Keterangan:
1. It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar).
2. Union of all bases froms bases for topology � defined on the any non-empty set X (Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi �, setiap tidak kosong X set).
Contoh:
1. Perhatikan topologi biasa pada bidang R2 dan maka kelas � yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya p adalah basis lokal pada p. Hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa sebarang set buka G yang memuat p juga memuat bola buka yang pusatnya p.
Demikian pula, kelas dari semua interval buka − �, + � dalam garis real R dengan pusat adalah basis lokal pada titik a.
2. = { , , } merupakan himpuan yang tidak kosong dan = {∅, , { }, { }, { , }, { , }}.
, merupakan rang topologi, tentukan: a. Basis lokal pada titik a (Ba)
b. Basis lokal pada titk b (Bb) c. Basis lokal pada titik c (Bc) d. Basis pada topologi T
4.5. BASIS LIMIT
Basis limit dengan teorema sebagai berikut:
1. B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu = { , ] ∕ , , < } dan , ] = { ∕ < } . R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1 maka
R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi limit atas (upper limit topology).
.
2. Bila = {[ , ⁄ , , < } yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana [ , = { ∕ < } maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R.
3. Bila = { , ⁄ , , < } yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana , ] = { / < < } maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.
Soal
–
soal:1. = { , , } dengan = {∅, { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, } dan = {{ }, { }, { }} Tunjukkan B merupakan basis topologi untuk T !
2. = { , , } dengan � = {∅, } dan = { } , tunjukkan B merupakan basis topologi untuk � ! 3. = { , , , , } dengan = {{ , , }, { , }, { , }, { }}
Tentukan topologi yang dibangun A!
4. = { , , } dengan � = {∅, { }, { }, { , }, { , }, } , tentuka Ba!
5. Tunjukkan bahwa irisan dari interval terbuka tak hingga < < dengan < merupakan sub basis!
BAB V
KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN
5.1. FUNGSI-FUNGSI KONTINU
Misalkan , � dan , � adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke � � atau kontinu � − � atau kontinu bila dan hanya bila bayangan invers − [ ] dari tiap � dengan H subset buka dari Y adalah anggota � merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila � − [ ] � .
Ditulis : , � → , � untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain , � dan , � merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi : → disebut kontinu − jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota berlaku − [ ] anggota dari .
Proposisi:
Fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis � untuk Y adalah subset buka dari X.
Teorema:
1. Misal � adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota � adalah sub set buka dari .
2. Fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari Y adalah tutup dari X.
Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu:
1. Suatu fungsi : → adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka.
2. Jika suatu fungsi : → adalah konstan yaitu = untuk setiap maka f adalah kontinu.
3. Jika suatu fungsi : → adalah fungsi identitas yaitu = maka f adalah kontinu. 4. Jika suatu fungsi : → dan : → adalah fungsi-fungsi kontinu maka ∶ →
adalah juga kontinu.
Dalil tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
1. Suatu fungsi : → adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka, dengan pembuktian: misalkan : → adalah fungsi kontinyu dan V adalah suatu himpunan bagian terbuka dari R. Akan ditunjukkan bahwa
− [ ] adalah juga merupakan himpunan yang terbuka. Ambil − [ ] berarti
. Menurut definisi kontinuitas ada suatu himpunan terbuka Up yang mengandung p sehingga [ ] dan − [ [ ] − [ ] maka jelas bahwa untuk setiap
− [ ] ada suatu himpunan terbuka Up sedemikian hingga − [ ] . Jadi − [ ] =
V f(Up) (p)
P
Up
f
-1[V]
Sebaliknya, misalkan invers dari setiap himpunan yang terbuka adalah terbuka, akan ditunjukkan bahwa f adalah kontinu di setiap titik . Ambil V adalah himpunan terbuka yang mengandung f(p) yaitu karena [ − [ ]] maka − [ ] adalah himpunan terbuka yang mengandung p. Jadi f adalah kontinu di p.
2. Jika suatu fungsi : → adalah konstan yaitu = untuk setiap maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: menurut dalil 1, fungsi f adalah kontinu jika hanya jika dari sebarang himpunan terbuka G yaitu − [ ] adalah juga himpunan yang terbuka karena = untuk setiap maka:
− [ ] = ∅,
, , untuk setiap himpunan terbuka G.
Karena ∅ dan R adalah himpunan yang terbuka maka − [ ] adalah terbuka.
3. Jika suatu fungsi : → adalah fungsi identitas yaitu = maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: ambil G adalah himpunan terbuka. Karena f(x )= x adalah fungsi identitas maka − [ ] = adalah himpunan yang terbuka. Jadi f adalah fungsi yang kontinu.
4. Jika suatu fungsi : → dan : → adalah fungsi-fungsi kontinu maka . ∶ → adalah juga kontinu, dengan pembuktian: harus ditunjukkan bahwa − [ ] dengan G adalah sebarang himpunan terbuka. Karena g adalah kontinu maka − [ ] adalah himpunan terbuka tetapi karena f adalah kontinu maka invers dari − [ ] yaitu
− [ − [ ]] adalah juga himpunan terbuka. Dari sifat − = − − maka
− [ ] = − − [ ] = − [ − [ ]] adalah suatu himpunan yang terbuka.
Jadi : → adalah kontinu.
Contoh:
1. Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,�) maka tiap fungsi : → ℎ − � kontinu karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers − [ ] adalah subset buka dari X dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka.
gabungan dari anggota-anggota dari � tetapi − [ ] = − [ � �] = � − [ �] dan tiap-tiap − [ �] adalah buka menurut hipotesis, jadi − [ ] adalah gabungan dari set-set buka, yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu.
3. = { , , , } = { , , , } , � = { , ∅, { }, { , }, { , , }} dan
� = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }}. Fungsi-fungsi : → : → didefinisikan:
f g
Apakah fungsi f dan g kontinu di dalam topologi? Jelaskan!
4. Misalkan topologi-topologi pada = { , , , } dan = { , , , } pada = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} Fungsi-fungsi : → dan : → didefinisikan:
: { , , , , , , , } dan : { , , , , , , , } Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan!
5.2. FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
Misal X adalah ruang topologi. Titik disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set bila dan p adalah titik kumpul dari A
Ingat bahwa ̅ = ′ ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa ̅ = , jadi p adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior atau titik batas dari A.
5.3. KONTINU PADA SUATU TITIK
Suatu fungsi : → adalah kontinu di titik bila hanya bila bayangan invers − [ ] dari tiap set buka yang memuat f(p) adalah superset dari set buka yang memuat p, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p yaitu ⟹ − [ ] .
Teorema:
Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi : → adalah kontinu bila dan hanya bila : → kontinu pada tiap titik dari X.
Contoh:
1. Apabila topologi pada = { , , , } diberikan oleh � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan fungsi : → didefinisikan oleh diagram:
Tunjukkan bahwa: a. f tidak kontinu di c ! b. f kontinu di d !
2. Apabila topologi pada = { , , , } diberikan oleh � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan fungsi : → didefinisikan : { , , , , , , , }.
a. Apakah f kontinu di p? b. Apakah f kontinu di q?
3. Kondisi apakah yang harus dipenuhi agar fungsi : → tidak kontinu di titik ?
5.4. KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
Fungsi : → adalah barisan kontinu di titik bila dan hanya bila untuk tiap barisan (an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu:
→ →
Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi : → kontinu di titik maka : → adalah barisan kontinu di titik p.
Catatan:
Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi � pada garis real R yang terdiri ∅ dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk , , … , , , , , … , maka
a
b
c
d
a
b
c
untuk suatu fungsi : , � → , � , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … , f(ano), f(p), f(p), f(p),…) konvergen ke f(p). Dengan kata lain, setiap fungsi pada , � adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi : , � → , yang didefinisikan oleh = , yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu � − karena − [ , ] = , bukan subset buka � dari R.
5.5. FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi : → disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka adalah buka.
Fungsi : → disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup.
Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.
Contoh:
1. Fungsi konstan = merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.
2. Fungsi = merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya = − , interval buka maka = [ , tidak terbuka.
5.6. RUANG HOMEOMORPHIS
Definisi:
Dua ruang topologi , , dikatakan homeomorphis bila dan hanya bila : → yang bijektif (one-one onto) sedemikian hingga f dan f-1 kontinu.
atau
Fungsi f disebut suatu kontinu bila f terbuka dan kontinu sehingga f homeomorphisme ↔ f bikontinu dan bijektif.
Proporsi:
Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi-ruang topologi yang didefinisikan oleh “X homeomorphis dengan Y” adalah relasi equivalen.
Relasi homeomorphis adalah relasi yang equivalen dan berlaku sifat: a. Refleksif homeomorphik dengan dirinya sendiri
b. Simetris bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S1 c. Transitif bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S3 maka
S1 homeomorphis S3
Contoh:
1. Misal = − , . Fungsi : → yang didefinisikan oleh = tan � yang
2. Misal X dan Y masing-masing ruang diskrit maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke fungsi yang lainnya adalah kontinu. Jadi X dan Y adalah homemorphis bila dan hanya bila ada fungsi satu-satu dan onto dari fungsi yang satu terhadap lainnya yaitu bila dan hanya bila X dan Y mempunyai kardinal yang sama.
5.7. SIFAT-SIFAT TOPOLOGI interval buka = − , . “Jarak” adalah bukan sifat topologi karena X dan R mempunyai perbedaan jarak dan keterbatasan juga bukan sifat topologi karena X terbatas sedangkan R tak terbatas. barisan Cauchy. Jadi sifat dari barisan Cauchy bukan topologi.
Topologi selanjutnya memeriksa akibat dari beberapa sifat topologi seperti kekompakan (compactness) dan keterhubungan (connectedness). Dalam kenyataannya, topologi formal adalah studi tentang invariant topologi.
Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi:
Ruang topologi , � disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu =
dengan , � = ∅, , ≠ ∅.
Bila : → suatu homemorphisma maka = bila dan hanya bila = [ ] [ ] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang topologi , � adalah terhubung (connected) bila dan hanya bila , � tidak tak terhubung.
5.8. TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
Misal { �, �� } adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap � terdapat fungsi � = → � yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X.
Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi adalah kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari � adalah subset buka dari X.
Dengan demikian, � memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang topologi �. Topologi � pada X yang dibangun oleh � disebut topologi yang dibangun leh fungsi � . Sifat-sifat topologi seperti itu mempunyai Sifat-sifat-Sifat-sifat berikut dengan teorema:
a. Semua fungsi � adalah kontinu relative terhadap � .
b. � adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi � adalah kontinu. c. � adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi � adalah topology with respect to which f and g are continuous!
2. = { , , , } dan , � merupakan ruang topologi � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} . Misal = { , , , } dan fungsi : → , � dan : → , � dengan diagram sebagai berikut:
f g
Tentukan sub basis � untuk topologi � pada X yang dibangun oleh f dan g yaitu topologi coarser (terkecil) dengan f dan g masing-masing kontinu!
3. Consider the following topology on = { , , , } , � = { , ∅, { , }, { , }} . Let = { , , , , } and let : → and : → be as follows:
: { , , , , , , , , , } and : { , , , , , , , , , } . Find the defining subbase for topology on X induced by f and g!
SOAL
–
SOAL:1. Let : → be a constant function, say = , for every . Then f is continuous relative to any topology T on X and any topology T* on Y.
(Biarkan f: X → Y menjadi fungsi konstan, katakanlah (x)= p Y, untuk setiap x X. Kemudian f relatif terus menerus untuk setiap T topologi pada X dan setiap topologi T* pada Y.)
2. Let : → be any function. If , � is an indiscrete space, then : , → , � is continuous for any T
(Biarkan f: X →Y menjadi fungsi apapun. Jika (Y, A) adalah sebuah ruang indiscrete, maka f: (X, T) → (Y, A) kontinu untuk setiap T)
3. Suppose a singleton set { } is an open subset of a topological space X. Show that for any topological space Y and any function : → , f is continuous at .
(Misalkan satu set tunggal {p} merupakan bagian terbuka dari X. Tampilkan ruang topologi bahwa untuk setiap Y topological ruang dan fungsi setiap f: X → Y, f kontinu pada p X.) 4. Fungsi nilai mutlak f pada R, = | | untuk adalah kontinu dengan A(a,b) interval
BAB VI
KONTABILITAS
6.1. RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG
Ruang Kontabel Pertama / Ruang Terhitung Pertama (First Countable Spaces)
Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut aksioma pertama dari kontabilitas yaitu:
Untuk setiap ada kelas dari set-set buka yang kontabel yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat anggota dari .
Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan hanya bila basis lokal pada tiap titik , dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal dari ruang topologi X .
Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung pertama jika untuk setiap memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap , yang dapat dihitung.
Teorema:
Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di bila dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p.
Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka : → kontinu di bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an)) konvergen ke (fp) dalam Y yaitu “bila → → ”.
Catatan:
Bila � merupakan basis local kontabel pada titik maka dapat ditulis � = { , , , … } dan bila , … , maka � disebut tumpukan basis lokal pada p.
Contoh:
1. Misal X adalah ruang metrik dan . Sudah diketahui bahwa kelas dari bola-bola buka { , , , , , , … } dengan pusat p adalah basis lokal pada p merupakan
kontabilitas.
2. Misal X adalah ruang diskrit, Set singleton { } adalah buka dan termuat di dalam set buka G yang memuat sehingga merupakan kontabilitas.
3. Apabila P(x) adalah topologi diskrit pada X maka (X,T) merupakan ruang topologi dan (X,T) merupakan ruang dihitung pertama karena untuk masing-masing , Bx merupakan basis
lokal dengan terbatas dan � = {{ }}, dan Bx dapat dihitung (terbatas).
4. = { , , , } merupakan himpunan yang tidak kosong dan (X,T) merupakan ruang topologi dengan = { , ∅, { }, { }, { , }, { , }, { , , }, { , , }}.
Ruang Kontabel Kedua / Ruang Terhitung Kedua (Second Countable Spaces)
Ruang topologi , � disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu:
Ada basis kontabel � untuk topologi .
Perhatikan bahwa kontabilitas kedua adalah keseluruhan dari sifat suatu local dari ruang topologi. Contoh:
1. Jika X terbatas dari masing � pada X yang terbatas maka (X,T) merupakan ruang dihitung kedua dan (X,T) merupakan ruang dihitung pertama. Dengan diberikan S adalah sub base dari T sehingga merupakan countable maka juga countable. Oleh karena itu (X,T) merupakan ruang dihitung kedua karena setiap basis lokal juga dapat dihitung sehingga (X,T) juga merupakan dihitung pertama.
2. Kelas � dari interval buka-interval buka (a,b) dengan titik-titik akhir rasinal yaitu ,
adalah kontabel dan merupakan basis untuk topologi pada garis real R sehingga R adalah ruang kontabel kedua yaitu R memenuhi aksioma kedua.
3. Perhatikan topologi diskrit kedua D pada garis real R. Ingat kembali bahwa kelas � adalah basis untuk topologi diskrit bila dan hanya bila � terdiri dari semua set singleton. Tetapi T dan kelas dari subset-subset singleton { } dari R adalah tidak kontabel, sehingga (R,D) tidak memenuhi aksioma kedeua dari kontabilitas.
Selanjutnya, bila � basis kontabel untuk suatu ruang X dan bila � memuat anggota dari � yang memuat maka � adalah basis lokal kontabel pada p.
Dengan kata lain dikemukakan teorema:
Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama
Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.
6.2. TEOREMA LINDELOF (terhingga) atau � disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga).
Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:
Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul kontabel
Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:
Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.
6.3. RUANG TERPISAH
Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma:
X memuat subset padat yang kontabel
Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu ̅ =
Contoh:
1. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu ̅ =
2. Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah.
Teorema:
Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah.
Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar.
6.4. SIFAT-SIFAT HEREDITER
Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel kedua dan setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama adalah kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan berarti herediter.
Hubungan ketiga aksioma pada kontabilitas ditunjukkan oleh diagram berikut:
BAB VII
AKSIOMA PEMISAH
7.1. RUANG – T1
Ruang topologi X adalah ruang T1 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T1]:
Untuk pasangan titik-titik yang berbeda , , tiap-tiap titik tersebut termasuk di dalam set-set buka yang berbeda.
Dengan kata lain, ada set-set buka G & H sedemikian hingga: , � , . Set-set buka G dan H tidak perlu saling lepas (disjoint)
Teorema:
Ruang topologi X adalah Ruang – T1 bila dan hanya bila setiap subset singleton { } dari X adalah tutup.
Karena gabungan terhingga dari set-set tutup adalah tutup maka yang berikut adalah teorema akibat (Corollary):
, � adalah ruang T1 bila dan hanya bila � memuat topologi kofinit pada X.
Contoh:
1. Topologi kofinit pada X adalah topologi terkecil pada X dengan , � adalah ruang T1, sehingga topologi kofinit disebut juga topologi T1. Jadi topologi kofinit disebut juga topologi [T1]
2. Setiap ruang metrik X adalah Ruang – T1 karena subset-subset terhingga dari X adalah tutup. 3. Perhatikan topologi � = { , ∅, { }} pada set = { , } dan , � merupakan ruang topologi. Perhatikan bahwa X adalah set buka yang memuat a dan juga X adalah set buka yang memuat b. Jadi , � tidak memenuhi [T1] atau , � bukan ruang [T1]. Set singleton { } tidak tutup karena komplemen { } yaitu { }� = { } adalah tidak buka
7.2. RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T2]:
Setiap pasang titik yang berbeda , berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas (disjoint)
Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga:
, � = ∅
Teorema:
Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut: 1. Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik
(konversnya tidak benar)
2. Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
Contoh:
1. Setiap ruang metrik X adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan ,
adalah titik-titik yang berbeda sehingga menurut [ ] , = � > . Perhatikan bola-bola
buka = , � = , � yang berturut-turut pusatnya a dan b. Diketahui
bahwa G dan H adalah disjoint karena jika maka , < � , < � .
Dengan kesamaan segitiga yaitu: , , + , < � + � = � , tetapi hal
ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa , = � , sehingga G dan H disjoint(lepas) yaitu a dan b berturut-turut termasuk ke dalam bola-bola buka G dan H sehingga X merupakan ruang hausdorff.
f. Bilangan real d(a,b) disebut jarak dari A ke B
2. Misal � adalah topologi pada garis real R yang terdiri dari interval-interval buka tutup (a,b]. , � adalah bukan ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah tak hingga karena G dan H set-set buka tidak kosong pada �. G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set tak hingga. Bila = ∅ maka G adalah set tak hingga, yang termasuk di dalam komplemen tak hingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada � yang disjoint (lepas) sehingga ruang T1 tidak perlu ruang hausdroff.
7.3. RUANG REGULER (RUANG – T3)
Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:
Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga
Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:
1. Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan dengan dimisalkan , titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka { } adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka { }. Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga { } sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.
2. Topologi � = { , ∅, { }, { , }} pada set = { , , } . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah , ∅, { }, { , } dan , � memenuhi [R] tetapi , � bukan ruang T1 karena ada set terhingg { } tidak tutup.
7.4. RUANG NORMAL (RUANG – T4)
Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut:
Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas
sedemikian hingga .
Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:
Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga ̅
Contoh:
1. Setiap ruang metrik adalah ruang normal berdasarkan teorema pemisah.
2. Topologi � = { , ∅, { }, { }, { , }} pada set = { , , } . Perhatikan bahwa set-set tutupnya adalah , ∅, { , }, { , }, { }. Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset tutup dari , � maka salah satu dari F1 atau F2, misalnya F1 haruslah set kosong ∅ sehingga ∅ adalah lepas dan merupakan set-set buka dengan ∅ .
Dengan kata lain , � adalah ruang normal tetapi , � bukan ruang T1 karena set singleton { } tidak tutup dan selanjutnya , � bukan ruang regular karena superset buka dari set tutup {�} adalah X yang memuat a.
Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T1 yaitu Ruang T4.
Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma pemisah:
7.5. LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI Teorema Lemma Urysohn’s:
Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu : → [ , ] sedemikian hingga [ ] = { } [ ] = { }.
Teorema Metrisasi Urysohn:
Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.
7.6. FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
Misal � = { : } adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas � dari fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik yang berbeda , ada fungsi f dalam � sedemikian hingga ≠ dengan proposisi:
Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah Ruang Hausdroff.
Contoh:
1. Kelas dari fungsi-fungsi bernilai real adalah:
� = { = sin , = sin , = sin } didefinisikan pada R. Perhatikan bahwa untuk setiap fungsi �, = � = .
Jadi kelas � bukan titik-titik terpisah.
RUANG TOPOLOGI
RUANG – T1
RUANG – T2 (RUANG HAUSDORFF)
RUANG – T3 (RUANG T1– REGULER)
RUANG – T4 (RUANG T1– NORMAL)
