Rangkum topologi

(1)

ATURLAH DUNIAMU ATURLAH DUNIAMU Sebelum Sebelum DUNIA MENGATURMU DUNIA MENGATURMU

▸ Baca selengkapnya: token digunakan atau diterapkan dalam topologi

(2)

BAB I BAB I HIMPUNAN HIMPUNAN 1.1. Himpunan 1.1. Himpunan Himpunan atau

Himpunan atau set set adalah kumpulan dari objek-objek yangadalah kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan disebut sebagai

disebut sebagaianggotaanggotaatauatauelemenelemenatauatauunsur unsur dari himpunan.dari himpunan.

Himpunan dinotasikan

Himpunan dinotasikan dengan dengan huruf huruf besar seperti besar seperti A, B, A, B, C,…..C,…..

Sedangkan anggota himpunan deng

Sedangkan anggota himpunan dengan huruf kecil a,b,c,…..an huruf kecil a,b,c,….. Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a

Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a



A A ,,

sedangkan pernyataan “b bukan anggota A” ditulis b



AA

Ada beberapa cara menuliskan himpunan yaitu : Ada beberapa cara menuliskan himpunan yaitu :

Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar

anggota-anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya

A = {a,b,c,d}, N = {1,2,3,…..}, Z

A = {a,b,c,d}, N = {1,2,3,…..}, Z = {…..,= {…..,-2,--2,-1,0,1,2,…..}1,0,1,2,…..}

2.

2. Menyebutkan Menyebutkan atau atau mendefinisimendefinisi kan kan persyaratan keanggotaanpersyaratan keanggotaan himpunan, misalnya

himpunan, misalnya N = {n/n bilan N = {n/n bilan 3.

3. Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunanMenggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana. dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana. Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn.

Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn. A = {a,b,c,d}

A = {a,b,c,d}

Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan

Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.

demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.

Contoh 1.1.

Contoh 1.1.::

A =

A = {a,b,c,b,d,{a,b,c,b,d,e} e} himpunan A himpunan A tersebut hanya tersebut hanya mempunyai limamempunyai lima anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.

anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.

Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol n(A), sehingga pada contoh 1.1 tesebut n(A) = 5.

n(A), sehingga pada contoh 1.1 tesebut n(A) = 5.

1.2. Himpunan Bagian 1.2. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian atau

Himpunan A disebut himpunan bagian atau subset subset dari B jikadari B jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi

Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi



, sehingga, sehingga

pernyataa

pernyataan “A n “A himpunan bagian dari himpunan bagian dari B” ditulis B” ditulis AA



B, dan jika “AB, dan jika “A bukan

bukan himpunan himpunan bagian bagian dari dari C” C” ditulis ditulis AA



C. Secara simbolik C. Secara simbolik ditulis ditulis B B x x A A x x B B A A













Simbol “



” menyatakan biimplikasi yang dibaca “Jika dan hanya” menyatakan biimplikasi yang dibaca “Jika dan hanya jika“.

jika“.

Pernyataan

Pernyataan A A



B B dapat ditulisdapat ditulis B B



A Adibaca B memuat A ataudibaca B memuat A atau dikatakan B

dikatakan Bsuperset superset A.A.

Contoh 1.2.

Contoh 1.2.::

1.

1. Diketahui N = {1,2,3,...}, G = {1,3,5,...}, dan P =Diketahui N = {1,2,3,...}, G = {1,3,5,...}, dan P = {2,3,5,7,....}, maka

{2,3,5,7,....}, maka GG N N ,, N N PPdandan GG



PP

2.

2. Jika N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, QJika N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, R himpunan bilangan riil, dan K himpunan bilangan rasional, R himpunan bilangan riil, dan K himpunan bilangan komplek maka

himpunan bilangan komplek maka N N  Z Z QQ R RK K Dalam Diagram Venn

Dalam Diagram Venn A A



B Bdigambarkan bahwa A berada dalam B,digambarkan bahwa A berada dalam B,

sebagai berikut sebagai berikut

Gambar 2 : Diagram Venn

Gambar 2 : Diagram Venn A A



B B

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap anggota B juga merupakan anggota A.

anggota B juga merupakan anggota A.

Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh bahwa dua himpunan A dan B sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika bahwa dua himpunan A dan B sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika memenuhi A

memenuhi A  _{B dan B}_{B dan B}_{A. Secara simbolik dapat ditulis}_{A. Secara simbolik dapat ditulis}

A A . . a a . . bb . . c c . . dd B B A A A A AA

(3)

A A B B B B A A B B A A











Dalam hal A

Dalam hal A_{B, tetapi A}_{B, tetapi A}



_{B dikatakan A himpunan bagian murni}_{B dikatakan A himpunan bagian murni}

atau

atau proper subset proper subset B, yaituB, yaitu



x x



B B sedemikian hinggasedemikian hingga x x



A A Contoh 1.3.

Contoh 1.3.::

Jika

Jika A A{{ x x / / x x22 33 x x4400,, x x R R}} dimana R himpunan bilangandimana R himpunan bilangan riil, dan B = {1,4}, maka A = B. Sedangkan B merupakan riil, dan B = {1,4}, maka A = B. Sedangkan B merupakan himpunan bagian sejati atau

himpunan bagian sejati atau proper proper subset subset dari N dimana Ndari N dimana N himpunan bilangan asli.

himpunan bilangan asli.

Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau

comparable

comparable jika memenuhi salah satu Ajika memenuhi salah satu A



B atau BB atau B



A. MisalnyaA. Misalnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan. genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan.

Teorema 1.1. : Teorema 1.1. :

Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka : Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka : (i)

(i) A A



A A

(ii) Jika

(ii) Jika A A



B B dandan B B



AA makamaka A A



B B

(iii) Jika

(iii) Jika A A



B B dandan B B



C C makamaka A A



C C 1.3. Himpunan Kosong dan Semesta.

1.3. Himpunan Kosong dan Semesta.

Himpunan kosong atau disebut

Himpunan kosong atau disebut void set void set dinotasikan dengandinotasikan dengan atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dalam arti atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dalam arti jika

jika persyarapersyaratan tan keanggokeanggotaan taan himpunan himpunan dikenakan dikenakan maka maka tidak tidak adaada obyek yang memenuhinya.

obyek yang memenuhinya.

Contoh 1.4 Contoh 1.4. :. :

Misalnya

Misalnya {{ x x / / x x22 00,, x x R R}} adalah himpunan kosong karenaadalah himpunan kosong karena tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif.

tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif.

Proposisi 1.1. : Proposisi 1.1. :



merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunanmerupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan termasuk himpunan kosong itu sendiri.

termasuk himpunan kosong itu sendiri.

Hal ini bisa kita buktikan secara tidak langsung sebagai berikut : Hal ini bisa kita buktikan secara tidak langsung sebagai berikut : Misalkan

Misalkan A A dimana dimana A A sebarang sebarang himpunan, himpunan, tentunya tentunya harusharus ada

ada anggota anggota yang yang bukan bukan anggota anggota A. A. Padahal Padahal tidak memilikitidak memiliki anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa

A. A.

Himpunan semesta atau

Himpunan semesta atau universeuniverse ditulis dengan notasi Sditulis dengan notasi S adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan N dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil R. bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil R.

Himpunan berhingga atau

Himpunan berhingga atau finite finite kita definisikan sebagaikita definisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu misalnya ada n anggota dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan misalnya ada n anggota dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan himpunan tak berhingga atau

himpunan tak berhingga atau infiniteinfinite..

Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut himpunan

himpunansingeltonsingelton..

Contoh 1.5.

Contoh 1.5.::

1.

1. A = {a,b,c,d},A = {a,b,c,d}, B B{{ x x / / x x22 44,, x x R R}}, dan C , dan C = {1,2,3,...100}= {1,2,3,...100} merupakan himpunan berhingga.

merupakan himpunan berhingga. 2.

2. N = {1,2,3,...},N = {1,2,3,...}, I I {{ x x / / 11 x x11,, x xRR}} dan Z = {...,-2,-dan Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} merupakan himpunan tak berhingga.

1,0,1,2,...} merupakan himpunan tak berhingga.

3.

3. C = {c/ c adalah bilangan prima genap} merupakanC = {c/ c adalah bilangan prima genap} merupakan singeltonsingelton

karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 saja.

saja.

1.4. Kelas Himpunan dan Himpunan Kuasa 1.4. Kelas Himpunan dan Himpunan Kuasa

Kelas himpunan atau juga disebut keluarga himpunan atau Kelas himpunan atau juga disebut keluarga himpunan atau famili himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya famili himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya himpunan. Kelas himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar himpunan. Kelas himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar latin seperti A,B, .... Sedangkan anggota kelas himpunan latin seperti A,B, .... Sedangkan anggota kelas himpunan menggunakan huruf besar seperti A, B, ... sebagai notasi himpunan menggunakan huruf besar seperti A, B, ... sebagai notasi himpunan biasa.

biasa.

Contoh 1.6.

Contoh 1.6.::

1.

1. Himpunan garis-garis, dimana garis merupakan himpunanHimpunan garis-garis, dimana garis merupakan himpunan titik-titik

titik-titik 2.

(4)

Jika A sebarang himpunan, himpunan dari semua himpunan bagian Jika A sebarang himpunan, himpunan dari semua himpunan bagian dari A ditulis dengan P (A) atau sering ditulis 2

dari A ditulis dengan P (A) atau sering ditulis 2AA juga juga merupakanmerupakan kelas himpunan yang disebut himpunan kuasa atau

kelas himpunan yang disebut himpunan kuasa atau power set power set dari A.dari A.

Contoh 1.7.

Contoh 1.7.::

Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah 2

2AA= {= { , {a}, {a},{b},,{b},[c},{[c},{a,b},a,b},{a,c{a,c},{b,},{b,c},{ac},{a,b,c},b,c}}} Istilah kelas bagian atau

Istilah kelas bagian atau subclasssubclass mengandung pengertian yang samamengandung pengertian yang sama dengan himpunan bagian atau

dengan himpunan bagian atau subset subset pada himpunan.pada himpunan.

A A

Secara induktif kita bisa menunjukkan jika himpunan A mempunyai Secara induktif kita bisa menunjukkan jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2 anggota sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2nn . Untuk memudahkan pemahaman hal tersebut bisa dilihat tabel . Untuk memudahkan pemahaman hal tersebut bisa dilihat tabel berikut : berikut : Himpunan Himpunan A A Banyak Banyak Anggota Anggota n(A) n(A) Kelas Himpunan Kelas Himpunan Bagian 2 Bagian 2AA Banyak Anggota Banyak Anggota Kelas Himpunan Kelas Himpunan Bagian n(2 Bagian n(2AA)) 0 0 } } 1 1 = = 2200 {a} 1 {a} 1 2 2 = = 2211 {a,b} {a,b} 2 2 4 4 = = 2222 {a,b,c} 3 {a,b,c} 3 {a,c},{b,c},{a,b,c}} {a,c},{b,c},{a,b,c}} 8 = 2 8 = 233 ….. ….. …..….. n n 22nn 1.5. Operasi Himpunan 1.5. Operasi Himpunan

Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau beberapa unsur tertentu. Jika operasi berlaku dalam suatu satu atau beberapa unsur tertentu. Jika operasi berlaku dalam suatu himpunan semesta S yaitu merupakan aturan untuk mendapatkan himpunan semesta S yaitu merupakan aturan untuk mendapatkan unsur tungga

unsur tunggal dalam S dari satu atau lebih l dalam S dari satu atau lebih unsur dalam S. Jika hasilunsur dalam S. Jika hasil dari suatu operasi termasuk dalam semesta S, maka operasi yang dari suatu operasi termasuk dalam semesta S, maka operasi yang demikian disebut tertutup atau

demikian disebut tertutup atau closureclosure. Jika aturan dalam operasi. Jika aturan dalam operasi berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi

uner

uner , dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi, dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi biner biner ,, tiga unsur

tiga unsur terner terner , dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner, dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner

misalnya operasi ingkaran (dalam logika), tambah satu (dalam misalnya operasi ingkaran (dalam logika), tambah satu (dalam bilangan), transpose (dalam matriks), maupun komplemen (dalam bilangan), transpose (dalam matriks), maupun komplemen (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut). Sedangkan himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut). Sedangkan operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan, perkalian, operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan, perkalian, pembagian (dalam bilangan), dan, atau (dalam logika), tambah, pembagian (dalam bilangan), dan, atau (dalam logika), tambah, pengurangan, perkalian (dalam matriks), gabungan, irisan (dalam pengurangan, perkalian (dalam matriks), gabungan, irisan (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut).

himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut).

Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih himpunan untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan. Bebeberapa operasi yang berlaku dalam himpunan himpunan. Bebeberapa operasi yang berlaku dalam himpunan didefinisikan sebagai berikut :

didefinisikan sebagai berikut :

Gabungan atau

Gabungan atau UnionUnion

Gabungan dua himpunan A dan B, ditulis A

Gabungan dua himpunan A dan B, ditulis A B , adalahB , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A atau B, himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A atau B, secara

secara simbolik dsimbolik ditulis itulis :: A

A B B = = {{xx//xx A A aattaau u xx BB}}

Gambar 3 : Diagram Venn A Gambar 3 : Diagram Venn A



BB Pada gambar A

Pada gambar A



B adalah daerah yang kena arsiran.B adalah daerah yang kena arsiran.

2.

2. Irisan atauIrisan atau Interseksi Interseksi

Irisan dua himpunan A dan B, ditulis A Irisan dua himpunan A dan B, ditulis A

yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A dan B, yaitu : yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A dan B, yaitu :

Gambar 4 : Diagram Venn A Gambar 4 : Diagram Venn A



BB Pada gambar A

Pada gambar A



B adalah daerah yang kena arsiran dua kaliB adalah daerah yang kena arsiran dua kali

3.

3. Selisih atau Komplemen Relatif Selisih atau Komplemen Relatif

Selisih dua himpunan A dan B, ditulis A-B , adalah himpunan Selisih dua himpunan A dan B, ditulis A-B , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A tetapi bukan unsur yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A tetapi bukan unsur

A

A B

B

A

(5)

B, yaitu : B, yaitu :

A-Gambar 5 : Diagram Venn A-B Gambar 5 : Diagram Venn A-B

Pada gambar A-B adalah daerah yang kena arsiran Pada gambar A-B adalah daerah yang kena arsiran

4.

4. Komplemen atau Komplemen MutlakKomplemen atau Komplemen Mutlak

Komplemen dari himpunan A ditulis

Komplemen dari himpunan A ditulis A Aatau Aatau ACC atau A’ adalahatau A’ adalah

himpunan yang anggota-anggotanya tidak termasuk dalam A, himpunan yang anggota-anggotanya tidak termasuk dalam A, tetapi masih termasuk anggota semesta S yaitu :

tetapi masih termasuk anggota semesta S yaitu : A

Acc -A-A

Gambar 6 : Diagram Venn A Gambar 6 : Diagram Venn A Pada gambar A

Pada gambar Acc adalah daerah yang kena arsiran diluar A tetapiadalah daerah yang kena arsiran diluar A tetapi masih berada di dalam S

masih berada di dalam S

Contoh 1.8.

Contoh 1.8.::

1.

1. Jika S = {a,b,c,d, ... Jika S = {a,b,c,d, ... ,x,y,z},x,y,z} A = {a,b,c,d} dan B = {

A = {a,b,c,d} dan B = { c,d,e,f,g}, makac,d,e,f,g}, maka

A

A – – B = {a,b}B = {a,b} A

Acc= {e,f,g,h, ..., x,y,z}= {e,f,g,h, ..., x,y,z} 2.

2. Dalam semesta N himpunan bilangan asli dan B Dalam semesta N himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,...}= {2,4,6,...} merupakan

merupakan himpunan bilangan himpunan bilangan genap maka genap maka BBcc = {1,3,5,...}= {1,3,5,...} adalah himpunan bilangan ganjil.

adalah himpunan bilangan ganjil.

Proposisi 1.2.

Proposisi 1.2.::

1.

1. Himpunan A memuat A-B sebagai himpunan bagian, berartiHimpunan A memuat A-B sebagai himpunan bagian, berarti A-B

A-B



AA 2.

2. Himpunan A-B, AHimpunan A-B, A



B, dan B-A saling asing, yaitu irisanB, dan B-A saling asing, yaitu irisan setiap dua himpunan tersebut merupakah himpunan kosong. setiap dua himpunan tersebut merupakah himpunan kosong. 3.

3. Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B,Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B, yaitu

yaitu

A-B = A A-B = A



BBcc

Beberapa sifat atau teorema berikut merupakan hukum aljabar dalam Beberapa sifat atau teorema berikut merupakan hukum aljabar dalam himpunan.

himpunan.

Teorema 1.3. Teorema 1.3. ::

HUKUM ALJABAR HIMPUNAN HUKUM ALJABAR HIMPUNAN

Hukum Idempoten Hukum Idempoten 1a. A 1a. A_A_{A =}_{= A}_A _1b._{1b. A}_A_{A = A}_{A = A} Hukum Assosiatif Hukum Assosiatif 2a. (A 2a. (A_B)_B)_{C = A}_{C = A}_(B_(B_C)_{C) 2b.}_{2b. (A}_(A_B)_B) _{C = A}_{C = A}_(B_(B_C)_C) Hukum Komutatif Hukum Komutatif 3a. A 3a. A_{B = B}_{B = B}_A_A _{3b. A}_3b._A_{B = B}_{B = B}_C_C Hukum Distributif Hukum Distributif 4a. A 4a. A_(B_(B_{C) =}_{C) =} (A (A_B)_B)_(A_(A_C)_C) 4b. A 4b. A_(B_(B_{C) =}_{C) =} (A (A_B)_B) _(A_(A_C)_C) Hukum Identitas Hukum Identitas 5a. A 5a. A



_{= A}_{= A} 6a. A 6a. A_{S = S}_{S = S} 5b. A 5b. A_{S = A}_{S = A} 6b. A 6b. A



₌₌



Hukum Komplemen Hukum Komplemen 7a. A 7a. A _A_Acc_{= S}_{= S} 8a.

8a. A Acc cc __ A A

)) (( 7b. A 7b. A _A_Acc₌₌



8b. 8b. cc S S ==



,, cc   = S= S Hukum De Morgan’s Hukum De Morgan’s 9a.

9a. (( A A B B))cc  A Acc B Bcc 9b.9b. (( A A B B))cc  A Acc B Bcc

A A BB S S A A

(6)

Penomoran dengan menggunakan huruf a dan b dibelakang angka Penomoran dengan menggunakan huruf a dan b dibelakang angka dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam hukum aljabar di atas saling

hukum aljabar di atas saling dualdual, yaitu pernyataan yang diperoleh, yaitu pernyataan yang diperoleh dengan mempertukarkan

dengan mempertukarkan  _dengan_dengan  _dan_dan



_{dengan S.}_{dengan S.}

Sebagai

Sebagai contoh contoh bahwa bahwa dual dual dari dari 5a. 5a. AA



₌_{= A adalah}_{A adalah 5b.}_{5b. A}_A_{S =}_{S =}

A. A.

Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua pernyataan yang saling dual tersebut tidak perlu membuktikan pernyataan yang saling dual tersebut tidak perlu membuktikan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan menggunakan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan menggunakan prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.

kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.

Contoh 1.9. Contoh 1.9.:: Buktikan Buktikan : : (A(A_B)_B) _(A_(A cc B B ) = A !) = A ! Bukti : Bukti : 1. 1. (A(A_B)_B)_(A_(A_B_Bcc₎_{) =}_{= A}_A___(B_(B___B_Bcc ) ) …………... …………... hukumhukum distributif distributif 2. 2. BB B Bcc==



………... hukum………... hukum komplemen komplemen 3. 3. Jadi (AJadi (A_B)_B)_(A_(A_B_Bcc₎_{) =}_{= A}_A



.…………...…………... substitusi substitusi 4. 4. AA



₌_{= A}_{A ...}_{... hukum}_hukum identitas identitas 5. 5. Jadi (AJadi (A_B)_B)_(A_(A cc B B ) ) = = A A ... substitusi substitusi

Kita tidak perlu membuktikan dualnya, yaitu (A

Kita tidak perlu membuktikan dualnya, yaitu (A_B)_B)_(A_(A B Bcc) ) == A, dengan menggunakan prisnsip dual kebenarannya terpenuhi. A, dengan menggunakan prisnsip dual kebenarannya terpenuhi.

Dalam prinsip dual tidak melibatkan hubungan

Dalam prinsip dual tidak melibatkan hubungan subset subset atauatau himpunan bagian, oleh karena itu jika ada pernyataan dengan himpunan bagian, oleh karena itu jika ada pernyataan dengan hubungan A

hubungan A_{B untuk membuktikannya tidak menggunakan definisi}_{B untuk membuktikannya tidak menggunakan definisi}

himpunan bagian , jika x



A maka xA maka x



B, tetapi kita gunakanB, tetapi kita gunakan hubungan lain seperti dinyatakan dalam teorema berikut :

hubungan lain seperti dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema 1.4. Teorema 1.4. ::

Jika A

Jika A _{B berarti :}_{B berarti :}

1. 1. AA_B_{B =}_{= A}_A _4._{4. A}_AB’ = SB’ = S 2. 2. AA_B_{B =}_{= B}_B _5._5._B’_B’



_A’_A’ 3. 3. AA_{B’ =}_{B’ =}



_{6. A}_{6. A}



_(B-A)=B_(B-A)=B 1.6.

1.6. Operasi HOperasi Himpunan Yang impunan Yang DiperumumDiperumum

Sebelumnya kita definisikan himpunan berindeks yang Sebelumnya kita definisikan himpunan berindeks yang digunakan dalam mendefinisikan operasi himpunan yang digunakan dalam mendefinisikan operasi himpunan yang diperumum. Himpunan yang dituliskan dengan lambang diperumum. Himpunan yang dituliskan dengan lambang A Aii

dinamakan himpunan berindeks, dan i disebut sebagai indeks, dengan dinamakan himpunan berindeks, dan i disebut sebagai indeks, dengan I = {i/i

I = {i/iN, N himpunan N, N himpunan bilangan asli} disebut sebagai bilangan asli} disebut sebagai himpunanhimpunan indeks.

indeks.

Kelas dari himpunan berindeks ditulis Kelas dari himpunan berindeks ditulis

} } / / {

{ A A_ii iiI I _atau_atau{{ A A_ii}}_ii___I_Iatau hanya ditulisatau hanya ditulis {{ A A_ii}}

n n

D

D = {x/x= {x/x



N, x kelipantan dari nN, x kelipantan dari nN}N}

1 1 D D = {1,2,3,4,…..}= {1,2,3,4,…..} 2 2 D D = {2,4,6,8,…..}= {2,4,6,8,…..} 3 3 D

D = {3,6,9,12,….}….. dan = {3,6,9,12,….}….. dan seterusnyaseterusnya

Pada uraian sebelumnya telah didefinisikan operasi gabungan Pada uraian sebelumnya telah didefinisikan operasi gabungan dan irisan tetapi kedua operasi tersebut hanya diterapkan pada dua dan irisan tetapi kedua operasi tersebut hanya diterapkan pada dua himpunan. Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk tiga himpunan. Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih dengan menggunakan sifat assosiatif. Karena himpunan atau lebih dengan menggunakan sifat assosiatif. Karena

C C B B A A C C B B A

A((  ))((  )) maka selanjutnya operasi gabunganmaka selanjutnya operasi gabungan tersebut ditulis dengan menghilangkan tanda kurung, yaitu tersebut ditulis dengan menghilangkan tanda kurung, yaitu

C C B B A A C C B B A A C C B B A

A((  ))((  ))    . Demikian juga untuk . Demikian juga untuk operasi irisan

operasi irisan A A(( B BC C ))(( A A B B))C C  A A B BC C . Jika operasi. Jika operasi tersebut dilakukan berulang dengan memperluas sifat assosiatif tersebut dilakukan berulang dengan memperluas sifat assosiatif kepada sejumlah himpunan yang banyaknya berhingga yang termuat kepada sejumlah himpunan yang banyaknya berhingga yang termuat dalam kelas himpunan

dalam kelas himpunan {{ A Aii}}ii I I dengan I = {1,2,3,…..,n} makadengan I = {1,2,3,…..,n} maka

didefinisikan operasi yang diperumum sebagai berikut : didefinisikan operasi yang diperumum sebagai berikut :

n n n n ii ii I I

ii A Aii 



₁₁ A A  A A11 A A22  A A33...AA



(7)

n n n n ii ii I I

ii A Aii 



₁₁ A A  A A11 A A22  A A22...AA





_ii___I_I A Aiiterdiri dari unsur-unsur yang berada pada paling sedikit satuterdiri dari unsur-unsur yang berada pada paling sedikit satu

unsur dalam A

unsur dalam Aiidimana idimana i



I, atau lebih singkat ditulisI, atau lebih singkat ditulis

Sedangkan untuk irisan Sedangkan untuk irisan



_ii___I_I A Aii terdiri dari unsur-unsur yang merupakan unsur dari setiap Aterdiri dari unsur-unsur yang merupakan unsur dari setiap Aii,,

dimana i



I , atau lebih singkat ditulisI , atau lebih singkat ditulis

} } ,, / / {

{ x x x x A A ii I I A A _ii I I ii ii











Contoh 1.11 Contoh 1.11. :. : 1.

1. MisalkanMisalkan A A11= {1,10},= {1,10}, A A22= {2,4,6,10},= {2,4,6,10}, A A33= {3,6,9},= {3,6,9}, A A44==

{4,8}.

{4,8}. A A55= {5,6,10}= {5,6,10}

Dan jika I = {2,3,5}, maka Dan jika I = {2,3,5}, maka

} } 6 6 { { 5 5 3 3 2 2







 I I A A A A A A AA

ii ii



2. 2. MisalkanMisalkan B Bnn

  

nn 1 1 ,, 0 0 

 _,, _n_n



_N_N_{himpunan bilangan asli, maka}_{himpunan bilangan asli, maka}

} } 0 0 { {



 



_ii _N_N B Bii dandan



_ii___N_N B Bii



  

00,,11 Teorema 1.5 Teorema 1.5. :. :

Hukum Distributif yang diperumum Hukum Distributif yang diperumum Untuk sebarang kelas himpunan

Untuk sebarang kelas himpunan {{ A Aii}}ii I I dan sebarang himpunan B,dan sebarang himpunan B,



_ii_I_I A Aii _ii _I_I B B AAii B

B



(( __ ))



__ ((



))



_ii_I_I A Aii _ii _I_I B B AAii B

B



(( __ ))



__ ((



))

Teorema 1.6

Teorema 1.6 . :. :

Hukum De Morgan’s yang diperumum Hukum De Morgan’s yang diperumum

Untuk kelas himpunan

Untuk kelas himpunan {{ A Aii}}ii I I dari himpunan bagian-himpunandari himpunan bagian-himpunan

bagian dalam semesta S, maka bagian dalam semesta S, maka i. i.





I I ii c c ii c c I I ii A Aii))   AA (( ii. ii.

_

_

I I ii c c ii c c I I ii A Aii))   AA (( Teorema 1.7 Teorema 1.7 . :. :

Misalkan A sebarang himpunan, untuk setiap p



A, A, GGpp himpunanhimpunan

bagian A yang memuat p sehingga

bagian A yang memuat p sehingga p pGG p p  A A, maka, maka

} } / / { {GG p p AA A A _p_p  Contoh 1.12 Contoh 1.12. :. :

Jika A = {a,b,c}, maka Jika A = {a,b,c}, maka

}} }} ,, ,, { { }, }, ,, { { }, }, ,, { { }, }, {{ {{ } } { {GG_a_a  aa aa bb aa cc aabb cc dandan





AA }} }} ,, ,, { { }, }, ,, { { }, }, ,, { { }, }, {{ {{ } } { {GG_b_b  bb aa bb bb cc aabb cc dandan





AA }} }} ,, ,, { { }, }, ,, { { }, }, ,, { { }, }, {{ {{ } } { {GG_c_c  cc aa cc bb cc aabb cc dandan





AA Berdasarkan

Berdasarkan teorema di atas dalam hal teorema di atas dalam hal A adalah A atau A adalah A atau I himpunanI himpunan



 maka didefinisikan :maka didefinisikan : 1.

1. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dariGabungan dan irisan kelas himpunan bagian dari   adalahadalah



{{ A A / / AA



  }}



  dandan



{{ A A / / A A



  }}



SS

2.

2. Gabungan dan Gabungan dan irisan kelas himpunan irisan kelas himpunan bagian bagian dengan himpunandengan himpunan berindeksnya

berindeksnya   adalahadalah



{{ A Aii I I / / I I



  }}



  dandan



{{ A Aii I I / / I I



  }}



SS 1.7. Partisi

1.7. Partisi

Partisi suatu himpunan adalah kelas himpunan bagian tak Partisi suatu himpunan adalah kelas himpunan bagian tak kosong dari suatu

kosong dari suatu himpunan yang memenuhi himpunan yang memenuhi sifat sifat sebagai berikut :sebagai berikut : 1.

1. Gabungan seluruh himpunan bagian dalam kelas tersebutGabungan seluruh himpunan bagian dalam kelas tersebut merupakan himpunan itu sendiri.

merupakan himpunan itu sendiri. 2.

2. Sebarang dua himpunan bagian yang tidak sama dari kelasSebarang dua himpunan bagian yang tidak sama dari kelas tersebut saling asing.

tersebut saling asing.

} } ,, / / { { ii I I

ii A Aii



x x



ii



I I x x



AA



} } 10 10 ,, 9 9 ,, 6 6 ,, 5 5 ,, 4 4 ,, 3 3 ,, 2 2 { { 5 5 3 3 2 2







 I I A A A A A A AA

ii ii



(8)

Atau dengan kata lain jika himpunannya adalah A maka partisi dari Atau dengan kata lain jika himpunannya adalah A maka partisi dari A adalah kelas himpunan bagian

A adalah kelas himpunan bagian {{ B Bii}}ii I I dari himpunan A yangdari himpunan A yang

memenuhi memenuhi 1. 1. B B A A I I ii ii





dandan 2.

2. Untuk sebarang i,j berlaku salah satuUntuk sebarang i,j berlaku salah satu B Bii BB j j atauatau       _jj ii BB B B Contoh 1.13 Contoh 1.13. :. : 1. 1. Misalkan A = Misalkan A = {1,2,3,...,9,10}{1,2,3,...,9,10} } } 3 3 ,, 1 1 { { 1 1  B B ,,_B_B₂₂ {{77,,88,,1010}}_,, B B₃₃ _{_{₂₂_,,₅₅_,,₆₆_}_} dandan_B_B₄₄ {{44,,99}} Kelas B = {

Kelas B = { B B₁₁,, B B₂₂,, B B₃₃,,BB₄₄}} memenuhi sifat sebagai berikut :memenuhi sifat sebagai berikut :

A A B B B B B B B

B₁₁ ₂₂  ₃₃ ₄₄ {{11,,22,,33,,44,,55,,66,,77,,88,,99,,1010}} dan untuk dan untuk sebarang

sebarang

i,j dimana i,j



I = {1,2,3,4} berlakuI = {1,2,3,4} berlaku B Bii BB j j atauatau       _jj ii BB B B ,, maka B = {

maka B = { B B₁₁,, B B₂₂,, B B₃₃,,BB₄₄}} disebut partisi dari Adisebut partisi dari A 2.

2. Jika N himpunan bilangan asli, B himpunan bilangan genap,Jika N himpunan bilangan asli, B himpunan bilangan genap, dan G

dan G

himpunan bilangan gasal maka {B,G} merupakan partisi dari himpunan bilangan gasal maka {B,G} merupakan partisi dari N.

N.

SOAL : SOAL :

1.

1. Buktikan teorema-teorema yang belum dibuktikan.Buktikan teorema-teorema yang belum dibuktikan. 2.

2. BuktikanBuktikan a.

a. (( B BC C ))((C C  A A))(( A A B B))(( B BC C ))((C C  A A))(( A ABB))

b.

b. (( A A B B))C C (( A A B B))(((( B BC C ))C C   c.

c. (( A A B B))C C (( A AC C ))(( B BC C ))

3.

3. Tunjukkan bahwa :Tunjukkan bahwa : a. a. cc B B A A B B A A







b.

b. (( A A B B))(( A AC C ))(( A A(( B BC C ))(( A A B B))C C

4.

4. Jika diketahui dua kelas himpunanJika diketahui dua kelas himpunan {{ A A_ii}} dandan{{ B B_ii}} sedemikiansedemikian hingga

hingga{{ A A_ii}}{{BB_ii}}, tunjukkan bahwa, tunjukkan bahwa



ii ii ii A Aii



BB dandan



ii A Aii



iiBBii BAB II BAB II

RELASI DAN FUNGSI RELASI DAN FUNGSI 2.1. Perkalian Himpunan

2.1. Perkalian Himpunan

Sebelum mendefinisikan perkalian himpunan kita definisikan Sebelum mendefinisikan perkalian himpunan kita definisikan dulu tentang pasangan berturutan sebagi berikut :

dulu tentang pasangan berturutan sebagi berikut :

Definisi 2.1. Definisi 2.1. ::

Pasangan berturutan (a,b) didefinisikan sebagai (a,b) = Pasangan berturutan (a,b) didefinisikan sebagai (a,b) = {{a},{a,b}} dan a disebut komponen pertama sedangkan b {{a},{a,b}} dan a disebut komponen pertama sedangkan b disebut komponen kedua.

disebut komponen kedua.

Dari definisi tersebut terkandung pengertian bahwa suatu pasangan Dari definisi tersebut terkandung pengertian bahwa suatu pasangan berturutan harus memperhatikan urutan dari komponen-berturutan harus memperhatikan urutan dari komponen-komponennya. Jika letak dari komponennya ditukar maka akan komponennya. Jika letak dari komponennya ditukar maka akan dan jika

dan jika (a,b) = (c,d) maka a = c dan (a,b) = (c,d) maka a = c dan b = d.b = d.

Hal ini bisa ditunjukkan berdasarkan definisi pasangan berturutan Hal ini bisa ditunjukkan berdasarkan definisi pasangan berturutan tersebut di atas, yaitu

tersebut di atas, yaitu

(a,b) = {{a},{a,b}} dan (c,d) = {{c},{c,d}}. Sehingga berdasarkan (a,b) = {{a},{a,b}} dan (c,d) = {{c},{c,d}}. Sehingga berdasarkan kesamaan dua himpunan diperoleh {a} = {c} dan diperoleh a = c. kesamaan dua himpunan diperoleh {a} = {c} dan diperoleh a = c. Dari {a,b} = {c,d}, karena a

Dari {a,b} = {c,d}, karena a = c = c maka diperoleh b = maka diperoleh b = d.d.

Definisi 2.2. Definisi 2.2. ::

Untuk sebarang himpuanan A dan B, perkalian himpunan A Untuk sebarang himpuanan A dan B, perkalian himpunan A dengan B ditulis AxB didefinisikan sebagai himpunan pasangan dengan B ditulis AxB didefinisikan sebagai himpunan pasangan berturutan sebagai berikut :

berturutan sebagai berikut :

perkalian himpunan tidak perkalian himpunan tidak

(9)

kecuali A = B kecuali A = B

Perkalian himpunan dengan dirinya sendiri yaitu AxA biasanya Perkalian himpunan dengan dirinya sendiri yaitu AxA biasanya ditulis

ditulis A A22

Proposisi 2.1 Proposisi 2.1. :. :

1.

1. Jika himpunan A mempunyai m anggota dan himpunan BJika himpunan A mempunyai m anggota dan himpunan B mempunyai n anggota maka perkalian himpunan AxB mempunyai n anggota maka perkalian himpunan AxB mempunyai mn anggota.

mempunyai mn anggota. 2.

2. Jika A, B salah satunya himpunan kosong maka AxB jugaJika A, B salah satunya himpunan kosong maka AxB juga himpunan kosong.

himpunan kosong. 3.

3. Jika A, B salah satunya himpunan tak hingga dan yang lainJika A, B salah satunya himpunan tak hingga dan yang lain tidak kosong maka AxB juga tak hingga

tidak kosong maka AxB juga tak hingga

1.

1. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,2}, makaMisalkan A = {a,b,c} dan B = {1,2}, maka AxB

AxB = = {(a,1),(a,2),(b,1{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c),(b,2),(c,1),(c,2)},2)} 2.

2. Jika P = {p,q} makaJika P = {p,q} maka 22

P

P = = {(p,p),(p,q),({(p,p),(p,q),(q,p),(q,q)}q,p),(q,q)}

Himpunan pasangan berturutan dari AxB dapat digambarkan Himpunan pasangan berturutan dari AxB dapat digambarkan dalam diagram koordinat dengan sumbu koordinat horisontal dalam diagram koordinat dengan sumbu koordinat horisontal menyatakan himpunan A dan sumbu koordinat vertikal menyatakan menyatakan himpunan A dan sumbu koordinat vertikal menyatakan himpunan B. Setiap pasangan berturutan digambarkan sebagai titik himpunan B. Setiap pasangan berturutan digambarkan sebagai titik dalam bidang koordinat yang merupakan pertemuan garis yang dalam bidang koordinat yang merupakan pertemuan garis yang melalui komponen masing-masing.

melalui komponen masing-masing.

2 (c,2) 2 (c,2) 1 1 a a b b cc

Gambar 2.1 : Diagram koordinat AxB Gambar 2.1 : Diagram koordinat AxB

Jika R merupakan himpunan bilangan riil , maka Jika R merupakan himpunan bilangan riil , maka

} } ,, / / )) ,, {( {( 2

2 _x_x_y_y _x_x_y_y _R_R

R

R  

2 2

R

R digambarkan dalam bidang koordinat bilangan riil yang disebutdigambarkan dalam bidang koordinat bilangan riil yang disebut

”Bidang Koordinat Cartesius”. ”Bidang Koordinat Cartesius”.

Garis bilangan riil R yang horizontal biasanya dinyatakan sebagai Garis bilangan riil R yang horizontal biasanya dinyatakan sebagai sumbu X sedangkan garis bilangan riil yang vertikal dinyatakan sumbu X sedangkan garis bilangan riil yang vertikal dinyatakan sebagai sumbu Y. Sehingga bidang

sebagai sumbu Y. Sehingga bidang 22

R

R juga disebut sebagai bidangjuga disebut sebagai bidang XY. Sedangkan suatu titik P dinyatakan dengan pasangan berturutan XY. Sedangkan suatu titik P dinyatakan dengan pasangan berturutan (x,y), seperti gambar berikut :

(x,y), seperti gambar berikut :

Y Y (R (R vertikal)vertikal) y P(x,y) y P(x,y) X (R X (R horizontal) horizontal) -3 -2 -3 -2 -1 0 -1 0 1 1 2 2 3 x 3 x 44

Gambar 2.2 : Bidang koordiant Gambar 2.2 : Bidang koordiant Cartesius

Cartesius

Perkalian himpunan dapat diperluas untuk tiga himpunan atau Perkalian himpunan dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih. Misalnya perkalian himpunan tiga himpunan A, B dan C lebih. Misalnya perkalian himpunan tiga himpunan A, B dan C didefinisikan sebagai berikut :

didefinisikan sebagai berikut :

} } ,, ,, / / )) ,, ,, {( {(aa bbcc aa A Abb B B cc C C C C B B A A     

Pasangan berturutan tiga (a,b,c) disebut tripel. Pasangan berturutan tiga (a,b,c) disebut tripel.

Secara umum perkalian n himpunan didefinisikan sebagai berikut : Secara umum perkalian n himpunan didefinisikan sebagai berikut :

} } ,..., ,..., ,, / / )) ,..., ,..., ,, {( {( .... .... ₁₁ ₂₂ ₁₁ ₁₁ ₂₂ ₂₂ 2 2 1

1 A A A Ann aa aa aann aa A A aa A A aann AAnn

A

A       

Pasangan berturutan

Pasangan berturutan ((aa₁₁,,aa₂₂,...,,...,aa_n_n)) disebut pasangan berturutandisebut pasangan berturutan n- n-tupel

tupel..

Contoh 2.2.

Contoh 2.2.::

1.

1. Misalkan A = {a,b}, B = (1,2,3}, dan C = {p,q}. MakaMisalkan A = {a,b}, B = (1,2,3}, dan C = {p,q}. Maka AxBxC

AxBxC = = {(a,1,p),(a,1{(a,1,p),(a,1,q),(a,2,p),(a,2,q,q),(a,2,p),(a,2,q),(a,3,p),(a,3,q),),(a,3,p),(a,3,q), (b,1,p),(b,1,q

(10)

2.

2. Dalam geometri Euklides untuk menggambarkan ruangDalam geometri Euklides untuk menggambarkan ruang berdimensi 3 digunakan tiga sumbu koordinat yaitu sumbu X, berdimensi 3 digunakan tiga sumbu koordinat yaitu sumbu X, Y, dan Z yang masing-masing merupakan garis bilangan riil. Y, dan Z yang masing-masing merupakan garis bilangan riil. Suatu titik dinyatakan sebagai tripel dari komponen-x, Suatu titik dinyatakan sebagai tripel dari komponen-x, komponen-y, dan komponen-z yaitu (x,y,z), seperti gambar komponen-y, dan komponen-z yaitu (x,y,z), seperti gambar berikut :

berikut :

Gambar 2.3 : Koordinat XYZ atau Gambar 2.3 : Koordinat XYZ atau_R_R33 Teorema 2.1.

Teorema 2.1. ::

Misalkan A,B dan C sebarang himpunan , maka Misalkan A,B dan C sebarang himpunan , maka 1.

1. A A(( B BC C ))(( A A B B))(( A AC C ))

2.

2. A A(( B BC C ))(( A A B B))(( A AC C ))

3. Jika

3. Jika A A



B B dandanC C



D D makamaka A A



C C



B B



D D 2.2. Relasi

2.2. Relasi

Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka secara intuitif Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka secara intuitif relasi dari A ke B didefinisikan sebagai hubungan antara relasi dari A ke B didefinisikan sebagai hubungan antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B atau pernyataan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B atau pernyataan yang menghubungkan antara anggota A dengan anggota B. Secara yang menghubungkan antara anggota A dengan anggota B. Secara simbolik jika x, y secara berturutan mewakili sebagai variabel simbolik jika x, y secara berturutan mewakili sebagai variabel anggota A dan B maka pernyataan hubungan x dan y dituliskan anggota A dan B maka pernyataan hubungan x dan y dituliskan sebagai

sebagai P(x,y). P(x,y). Jika aJika a



A, A, dan dan bb



B maka P(a,b) menjadi kalimatB maka P(a,b) menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar atau salah.

tertutup yang bernilai benar atau salah.

Misalkan jika A himpunan pembaca buku dan B himpunan buku Misalkan jika A himpunan pembaca buku dan B himpunan buku

maka P(x,y) menyatakan “x membaca y”. maka P(x,y) menyatakan “x membaca y”.

Dari pengertian di atas secara ringkas suatu relasi R terdiri dari : Dari pengertian di atas secara ringkas suatu relasi R terdiri dari :

1.

1. sebuah himpunan Asebuah himpunan A 2.

2. sebuah himpunan Bsebuah himpunan B 3.

3. suatu kalimat terbukasuatu kalimat terbuka P(x,y)P(x,y)dimanadimanaP(a,b)P(a,b)adalah benar atauadalah benar atau salah untuk sebarang pasangan berturut (a,b)

salah untuk sebarang pasangan berturut (a,b)



AxBAxB Maka dapat disebutkan suatu relasi R dari A ke B dengan Maka dapat disebutkan suatu relasi R dari A ke B dengan

R = (A,B,P(x,y)) R = (A,B,P(x,y))

Selanjutnya jika P(a,b) bernilai benar dikatakan a dihubungkan Selanjutnya jika P(a,b) bernilai benar dikatakan a dihubungkan

dengan b karena relasi R atau “a berelasi dengan

dengan b karena relasi R atau “a berelasi dengan b” b” dapat dapat ditulisditulis

dengan aRb atau a dengan aRb atau a    R R

b atau (a,b)



R, sedangkan pernyataan “aR, sedangkan pernyataan “a tidak berelasi dengan b” ditulis

tidak berelasi dengan b” ditulis aa R R



bb atau (a,b)atau (a,b)



R, yaitu jika P(a,b)R, yaitu jika P(a,b) merupakan pernyataan yang bernilai salah.

merupakan pernyataan yang bernilai salah. Relasi juga

Relasi juga bisa dipandang bisa dipandang sebagai himpunan sebagai himpunan bagian bagian daridari perkalian himpunan. Jika relasi dari himpunan A ke himpunan B perkalian himpunan. Jika relasi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R , berarti R

dinyatakan dengan R , berarti R



AxB.AxB.

Jika A sebarang himpunan, maka Relasi R dari A ke A dinamakan Jika A sebarang himpunan, maka Relasi R dari A ke A dinamakan relasi pada A.

relasi pada A.

Macam-macam relasi pada A Macam-macam relasi pada A

Diketahui R relasi pada A, yaitu R : A



A, maka :A, maka :

Relasi Refleksif Relasi Refleksif

Relasi R pada A disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap Relasi R pada A disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri.

anggota A berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis :

Atau lebih singkat ditulis : R

Rrefleksif refleksif



((



aa



A) . aRaA) . aRa

Relasi Non-refleksif Relasi Non-refleksif

Relasi R pada A disebut non-refleksif jika dan hanya jika tidak setiap Relasi R pada A disebut non-refleksif jika dan hanya jika tidak setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri.

anggota A berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis :

Rnon-refleksif non-refleksif



aa A A..aRaaRa == ((aa A A).).aa R Raa

Relasi Ir-refleksif Relasi Ir-refleksif

Relasi R pada A disebut ir-refleksif jika dan hanya jika untuk setiap Relasi R pada A disebut ir-refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A tidak berelasi dengan diri sendiri.

anggota A tidak berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis :

Atau lebih singkat ditulis :

Z Z X X Y Y 0 0 P(x,y,z) P(x,y,z)

(11)

R

Rir-refleksif ir-refleksif



((aa A A).).aa R Raa

Relasi A simetris Relasi A simetris

Relasi R pada A disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap dua Relasi R pada A disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap dua anggota A saling berelasi.

anggota A saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Atau lebih singkat ditulis :

R

Rsimetrissimetris



((



a,ba,b



A) . aRbA) . aRb



bRabRa

Relasi Non-simetris Relasi Non-simetris

Relasi R pada A disebut non-simetris jika dan hanya jika tidak setiap Relasi R pada A disebut non-simetris jika dan hanya jika tidak setiap dua anggota A saling berelasi.

dua anggota A saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Atau lebih singkat ditulis :

R

Rnon-simetrisnon-simetris



((aa,,bb A A).).aRbaRbbRabRa == ((aa,,bb A A).).aRbaRbbb R Raa

Relasi a-simetris Relasi a-simetris

Relasi R pada A disebut a-simetris jika dan hanya jika setiap dua Relasi R pada A disebut a-simetris jika dan hanya jika setiap dua anggota A tidak saling berelasi.

anggota A tidak saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Atau lebih singkat ditulis :

R

Ra-simetrisa-simetris



((aa,,bb A A).).aRbaRbbb R Raa

Relasi Anti Simetris Relasi Anti Simetris

Relasi R pada A disebut anti-simetris jika dan hanya jika dua anggota Relasi R pada A disebut anti-simetris jika dan hanya jika dua anggota A saling berelasi jika keduanya sama.

A saling berelasi jika keduanya sama. Atau lebih singkat ditulis :

Ranti-simetrisanti-simetris



((aa,,bb A A).).aRbaRbbRabRaaabb

Relasi Transitif Relasi Transitif

Relasi R pada A disebut transitif jika dan hanya jika Relasi R pada A disebut transitif jika dan hanya jika

R

Rtransitif transitif



((aa,,bb,,cc A A).).aRbaRbbRcbRcaRcaRc

Relasi non-transitif Relasi non-transitif

Relasi R pada A disebut non-transitif jika dan hanya jika Relasi R pada A disebut non-transitif jika dan hanya jika

R

Rnon-transitif non-transitif



((aa,,bb,,cc A A).).aRbaRbbRcbRcaRcaRc ==

c c R R a a bRc bRc aRb aRb A A c c b b a a       ,, ,, ).). (( Relasi in-transitif Relasi in-transitif Relasi R pada A

Relasi R pada A disebut in-transitif jika dan hanya jikadisebut in-transitif jika dan hanya jika R

Rin-transitif in-transitif



((aa,,bb,,cc A A).).aRbaRbbRcbRcaa R Rcc

Relasi Ekivalen Relasi Ekivalen

Relasi R pada A disebut ekuivalen jika dan hanya jika R refleksif, Relasi R pada A disebut ekuivalen jika dan hanya jika R refleksif, simetris dan transitif.

simetris dan transitif.

1.

1. Relasi “sebangun” , Relasi “sebangun” , “ sejajar” “ sejajar” dalam gemetri Euklides adalahdalam gemetri Euklides adalah relasi ekivalen, tetapi “tegak lurus” bukan relasi ekivalen relasi ekivalen, tetapi “tegak lurus” bukan relasi ekivalen

karena tidak berisfat refelksif , misalkan garis g tidak tegak karena tidak berisfat refelksif , misalkan garis g tidak tegak lurus garis g.

lurus garis g. 2.

2. Relasi “=” atau “sama dengan” merupakan relasi ekivalenRelasi “=” atau “sama dengan” merupakan relasi ekivalen

karena untuk sebarang unsur dalam himpunan memenuhi karena untuk sebarang unsur dalam himpunan memenuhi

(1)

(1) a = a (refleksif)a = a (refleksif) (2)

(2) a = b maka b = a (simetris)a = b maka b = a (simetris) (3)

(3) a = b dan b = c maka b = c (transitif)a = b dan b = c maka b = c (transitif)

2.3. Fungsi 2.3. Fungsi

Fungsi merupakan relasi yang memetakan setiap anggota Fungsi merupakan relasi yang memetakan setiap anggota suatu himpunan ke satu dan hanya satu anggota himpunan lainnya. suatu himpunan ke satu dan hanya satu anggota himpunan lainnya. Jadi fungsi merupakan relasi khusus sehingga fungsi merupakan Jadi fungsi merupakan relasi khusus sehingga fungsi merupakan himpunan bagian dari relasi.

himpunan bagian dari relasi.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B ditulis dengan f : A



B atauB atau A

A    f f 

B B

Himpunan A disebut

Himpunan A disebut domaindomainatau daerah asal sedangkan himpunan Batau daerah asal sedangkan himpunan B disebut

disebutcodomaincodomainatau daerah peta.atau daerah peta. Jika a

Jika a



A dan bA dan b



B, dan b merupakan pasangan a karena fungsi f B, dan b merupakan pasangan a karena fungsi f maka b disebut nilai fungsi dari a atau b bayangan a dan ditulis b = maka b disebut nilai fungsi dari a atau b bayangan a dan ditulis b = f(a)

f(a) atau atau aa    f f 

b. b.

Sedangkan himpunan nilai fungsi f dari setiap anggota A disebut Sedangkan himpunan nilai fungsi f dari setiap anggota A disebut Range f atau daerah hasil f ditulis dengan R

Range f atau daerah hasil f ditulis dengan Rf f atau f(A) yaitu :atau f(A) yaitu :

Jika f : A→B maka R

Jika f : A→B maka R f f = {b= {b



B/f(a) = b,B/f(a) = b,



aa



A}A}

1.

1. Misalkan A = {a,b,c,d,e} dan B = {p,q,r,s,t}. Fungsi f : AMisalkan A = {a,b,c,d,e} dan B = {p,q,r,s,t}. Fungsi f : A



BB ditentukan oleh

ditentukan oleh diagram berikut diagram berikut :: A A BB f f aa b b cc d d ee p p q q rr ss tt

(12)

Gambar 2.4. : Fungsi f : A Gambar 2.4. : Fungsi f : A



BB Pada gambar, f merukan suatu fungsi

Pada gambar, f merukan suatu fungsi dari A ke B dari A ke B dan Rdan Rf f ==

{p,q,r,s} {p,q,r,s} 2.

2. f : Rf : R



R yang dirumuskan olehR yang dirumuskan oleh f f (( x x))xx22 merupakan fungsimerupakan fungsi pada bilangan riil, maka domain dari f adalah himpunan pada bilangan riil, maka domain dari f adalah himpunan bilangan riil R itu sendiri, sedangkan Range f adalah bilangan riil R itu sendiri, sedangkan Range f adalah himpunan bilangan riil non negatip atau

himpunan bilangan riil non negatip atau {{ x x R R / / xx00}}

Dua fungsi f : A



B dan g : AB dan g : A



B adalah B adalah sama, ditulis sama, ditulis f = g, f = g, jikajika dan hanya jika f(a) = f(b) untuk setiap a,b

dan hanya jika f(a) = f(b) untuk setiap a,b



AA

Macam-macam Fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi Konstan

Fungsi Konstan

f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika setiap anggota f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika setiap anggota domain dipetakan ke tepat satu anggota codomain, yaitu domain dipetakan ke tepat satu anggota codomain, yaitu ((



aa



A)A)



f(a) = c, dimanaf(a) = c, dimana cc



B B

Fungsi

Fungsi Into dan Into dan fungsi Ontofungsi Onto

Suatu fungsi f : A



B disebut fungsi into jika dan hanya jikaB disebut fungsi into jika dan hanya jika ada anggota B y

ada anggota B yang ang tidak dipasangkan oleh fungsi f atau bukan tidak dipasangkan oleh fungsi f atau bukan nilainilai fungsi anggota A, tetapi jika semua anggota B dihabiskan oleh fungsi fungsi anggota A, tetapi jika semua anggota B dihabiskan oleh fungsi f atau f(A) = B maka f disebut fungsi onto atau

f atau f(A) = B maka f disebut fungsi onto atau surjektif surjektif .. Secara simbolik ditulis :

Secara simbolik ditulis :

B B A A f

f ::  surjektif jika dan hanya jika surjektif jika dan hanya jika ((bb B B)()(aa A A).). f f ((aa))bb Fungsi satu-satu atau

Fungsi satu-satu atau injektif dan korespondensi 1-1 injektif dan korespondensi 1-1 atau bijektif.atau bijektif.

Suatu fungsi f : A



B disebut 1-1 atau injektif jika dan hanya jikaB disebut 1-1 atau injektif jika dan hanya jika setiap anggota A yang berbeda dipetakankan dengan anggota B yang setiap anggota A yang berbeda dipetakankan dengan anggota B yang berbeda

berbeda. . Secara simbSecara simbolik ditulis :olik ditulis :

B B A A f

f ::  injektif injektif jika dan jika dan hanya jikahanya jika

2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1,, )()( ,, ).). (( )) (( )) ((



aa aa



A A



aa



aa



bb bb



B B f f aa



bb



f f aa



bb



bb



bb

Jika f fungsi injektif dan surjektif maka f disebut fungsi bijektif atau Jika f fungsi injektif dan surjektif maka f disebut fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

korespondensi 1-1.

Komposisi Fungsi Komposisi Fungsi

Jika diketahui fungsi f : A



B dan fungsi g : BB dan fungsi g : B



C makaC maka komposisi fungsi f dengan g atau disebut perkalian fungsi f dengan g komposisi fungsi f dengan g atau disebut perkalian fungsi f dengan g

ditulis g◦f adalah fungsi yang memetakan anggota

ditulis g◦f adalah fungsi yang memetakan anggota-anggota himpunan-anggota himpunan

A ke himpunan C , yang didefiniskan oleh A ke himpunan C , yang didefiniskan oleh

g◦f (a) = g(f(a)), g◦f (a) = g(f(a)),



aa



AA

Fungsi Identitas dan fungsi invers Fungsi Identitas dan fungsi invers

Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan sebarang Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan sebarang anggota suatu himpunan ke dirinya sendiri.

anggota suatu himpunan ke dirinya sendiri.

Jika A tidak kosong, maka fungsi identitas pada A ditulis I

Jika A tidak kosong, maka fungsi identitas pada A ditulis IAA: A: A



A,A,

didefiniskan oleh rumus fungsi I

didefiniskan oleh rumus fungsi IAA(a) = a,(a) = a,



aa



A.A.

Dengan menggunakan definisi komposisi fungsi, jika diketahui Dengan menggunakan definisi komposisi fungsi, jika diketahui fungsi f:A

fungsi f:A



B, makaB, maka I I B B f f



f f  I I A A



f f dan jika f fungsi pada Adan jika f fungsi pada A

dan I fungsi identitasnya maka ditulis

dan I fungsi identitasnya maka ditulis I I  f f  f f  I I  f f

Jika f : A



B, maka invers fungsi f ditulisB, maka invers fungsi f ditulis 11 f

f merupakan relasi darimerupakan relasi dari B ke A yang memetakan balik setiap anggota range f ke anggota asal B ke A yang memetakan balik setiap anggota range f ke anggota asal dalam A. dalam A. A A B B f

f 11::  dengan definisidengan definisi f f R R f f



f f f f A A



A A

    )) )) (( (( )) (( 11 1 1 , dimana , dimana f f R R b b a a b b f f 11(( ))



,,





Invers fungsi f belum tentu merupakan fungsi dari B ke A. Tetapi Invers fungsi f belum tentu merupakan fungsi dari B ke A. Tetapi jika f

jika f merupakamerupakan n fungsi bijeksi fungsi bijeksi makamaka 11 f

f merupakan fungsi dari Bmerupakan fungsi dari B ke A yang disebut fungsi invers, dan berlaku

ke A yang disebut fungsi invers, dan berlaku

A A I I f f f f 11_  dan

dan f f f f  I I B B  11



Dan jika f fungsi pada A maka Dan jika f fungsi pada A maka

I I f f f f f f f f 11_  _ 11

Untuk sebarang fungsi bijektif f, jika f mempunyai fungsi invers Untuk sebarang fungsi bijektif f, jika f mempunyai fungsi invers maka inversnya adalah tunggal .

maka inversnya adalah tunggal .

Ekivalensi D

Ekivalensi Dua Himpunaua Himpunann Definisi 2.2

(13)

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen yang ditulis A Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen yang ditulis A B

B jika jika dan dan hanya hanya jika jika ada ada fungsi fungsi bijektif f bijektif f : : A A BB Dalam himpunan berhingga (

Dalam himpunan berhingga ( finite finite) pengertian tersebut) pengertian tersebut mempunyai

mempunyai konsekuensi konsekuensi bahwa A bahwa A B B jika jika dan dan hanya hanya jikajika n(A) = n(B). Tetapi hal ini tidak berlaku jika A dan B n(A) = n(B). Tetapi hal ini tidak berlaku jika A dan B himpunan tak berhingga (

himpunan tak berhingga (infiniteinfinite).).

Contoh 2.5.

Contoh 2.5.::

1.

1. A A = = {a,b,c} dan {a,b,c} dan B B = = {1,2,3}, keduanya {1,2,3}, keduanya ekuivalen atau ekuivalen atau A A BB karena ada frungsi bijeksi dari A ke B misalnya fungsi karena ada frungsi bijeksi dari A ke B misalnya fungsi {(a,3),(b,1),(c

{(a,3),(b,1),(c,2)}. Mungk,2)}. Mungkin masih in masih ada benada bentuk-bentuk tuk-bentuk lainlain fungsi bijeksi dari A ke B.

fungsi bijeksi dari A ke B. 2.

2. A = {1,2,3,...} dan G = {1,3,5,...}, maka ada fungsiA = {1,2,3,...} dan G = {1,3,5,...}, maka ada fungsi - 1 - 1 3. 3. I I = = {{xx/ / -- --11,,11] ] ddaan n R R = = {{x x//--Jika diketahui Jika diketahui x x x x x x f f     1 1 :: R R Himpunan B

Himpunan Berhingga derhingga dan Himpunan Himpunan Tak Berhan Tak Berhinggaingga

Pengertian himpunan berhingga atau finite dan tak hingga Pengertian himpunan berhingga atau finite dan tak hingga atau infinite pada uraian sebelumnya ada keterbatasannya. Untuk itu atau infinite pada uraian sebelumnya ada keterbatasannya. Untuk itu kita perlu mendefinisikan secara luas dengan menggunakan kita perlu mendefinisikan secara luas dengan menggunakan ekuivalensi himpunan.

ekuivalensi himpunan. Jika A

Jika Ann = {1,2,3,...n} dengan n bilangan asli, didefinisikan= {1,2,3,...n} dengan n bilangan asli, didefinisikan

himpunan berhingga sebagai berikut : himpunan berhingga sebagai berikut :

Definisi 2.3 Definisi 2.3. :. :

Himpunan H disebut himpunan berhingga atau

Himpunan H disebut himpunan berhingga atau finite finite jika dan jika dan hanya

hanya jika jika H H ==



atau ada himpunan Aatau ada himpunan Ann sedemikian hinggasedemikian hingga

A

Ann dimanadimana A Ann {{11,,22,,33,....,,....,nn}} untuk suatu n bailanganuntuk suatu n bailangan

asli. asli.

Berdasarkan definisi tersebut di atas bisa dikatakan suatu Berdasarkan definisi tersebut di atas bisa dikatakan suatu himpunan

himpunan finite jika finite jika banyaknya anggota banyaknya anggota himpunan tersebuthimpunan tersebut merupakan bilangan cacah tertentu.

merupakan bilangan cacah tertentu.

Contoh 2.6 Contoh 2.6 . :. :

Himpunan Berhingga Himpunan Berhingga

1.

1. B = {p,q,r,s,t} B = {p,q,r,s,t} adalah contoh himpunan finite karena n(A) = 4adalah contoh himpunan finite karena n(A) = 4 atau

atau B B AA44

2.

2. C C = = {a/a {a/a prima prima dan dan 2 2 a a < < 30}30} Himpunan Tak Berhingga

Himpunan Tak Berhingga 1.

1. G = {1,3,5,7,…….}G = {1,3,5,7,…….}

2.

2. P = {x/x bilangan Prima}P = {x/x bilangan Prima} 3.

3. R = Himpunan bilangan riilR = Himpunan bilangan riil 4.

4. I I = = {{xx/ / -- --11,,11]] SOAL :

SOAL : 1.

1. Tunjukkan bahwaTunjukkan bahwa {{aa}}{{aa}}{{{{{{aa}}}}}}

2.

2. Tunjukkan bahwa jikaTunjukkan bahwa jika f f :: X X Y Y sebarang fungsi, makasebarang fungsi, maka a.

a. f f (( A A B B)) f f (( A A)) f f ((BB))

b.

b. f f 11(( f f (( A A)))) A A

c.

c. f f (( f f 11(( B B)))) B B

d.

d. f f 11((C C  D D)) f f 11((C C )) f f 11(( D D)) untuk setiap himpunanuntuk setiap himpunan bagian

bagian

C, D dari Y C, D dari Y 3.

3. Tunjukkan bahwa untuk suatu fungsiTunjukkan bahwa untuk suatu fungsi f f :: X X Y Y dan B =dan B =

} } {

{ B B_ii adalah kelas himpunan bagian dari Y, bahwaadalah kelas himpunan bagian dari Y, bahwa a. a.



B B B B     

_

B B B B B B B B f f 11(( )) (( )) b. b.



B B B B       

_

B B B B B B f f B B f f 11(( )) (( 11(( )) 4.

4. Jika X himpunan yang tidak kosong dan f fungsi bijeksi dariJika X himpunan yang tidak kosong dan f fungsi bijeksi dari X ke dirinya

X ke dirinya sendiri, tunjukkan bahwa g◦f juga fungsi bijeksisendiri, tunjukkan bahwa g◦f juga fungsi bijeksi

ke dirinya sendiri dan

ke dirinya sendiri dan 11 11 11

))

((gg f f   f f  gg

5.

5. Diketahui B himpunan semua bilangan bulat, dan mDiketahui B himpunan semua bilangan bulat, dan m merupakan bilangan bulat positip. Dua bilangan bulat a dan b merupakan bilangan bulat positip. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo m dengan simbol

dikatakan kongruen modulo m dengan simbol aabb(mod(modmm))

jika

jika aa – – b habis dibagi oleh m, yaitu jika ab habis dibagi oleh m, yaitu jika a – – b merupakanb merupakan kelipatan

kelipatan bulat dari bulat dari m. Tunjukkm. Tunjukkan bahwa an bahwa relasi terserelasi tersebutbut merupakan relasi ekivalen. Nyatakan himpunan ekivalennya merupakan relasi ekivalen. Nyatakan himpunan ekivalennya dan berapa banyaknya himpunan ekivalen yang berbeda. dan berapa banyaknya himpunan ekivalen yang berbeda. 6.

6. Dalam himpunan bilangan riil R, diketahui x~y berarti bahwaDalam himpunan bilangan riil R, diketahui x~y berarti bahwa x