Matematika Diskrit Liduina Asih Primandari
15
BAB III
FUNGSI
1. Definisi Fungsi Definisi 1
Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B, maka
f : A → B
artinya, f memetakan A ke B
Nama lain dari fungsi adalah pemetaan. Himpunan A disebut daerah asal (domain) sedangkan himpunan B disebut daerah hasil (codomain). Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a dan a dinamakan pra – bayangan dari b.
A B
f
Contoh:
a. A = , , dan B = u,v,w dan f = ,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B? Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B
b. A = , , dan B = u,v,w dan f = ,u , ,u , ,v . Apakah f : A → B?
Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B meskipun u merupakan bayangan dari 1 dan 2 c. A = , , , dan B = u,v,w dan f = ,u , ,v , ,w . Apakah f : A → B?
Tidak, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B
Definisi 2
Fungsi f dikatakan satu – ke – satu ( one – to – one) atau injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama
A B
a b
a b c d
Matematika Diskrit Liduina Asih Primandari
16
Definisi 3
Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
A B
Definisi 4
Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu – satu atau bijektif jika ia fungsi satu – ke – satu dan juga fungsi pada.
Contoh:
a. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi satu – ke – satu? i. = pada f : Z → Z
Bukan fungsi satu – ke – satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 5 sedangkan untuk f (-2) = 5, jadi f (2) = f (-2) padahal - ≠ .
ii. = pada f : Z → Z
Fungsi satu – ke – satu, karena untuk a ≠ b, a – ≠ b – 1. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 1 sedangkan untuk f (-2) = -3
b. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi pada? i. = pada f : Z → Z
Bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. Misalnya tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu
= tidak dipenuhi untuk nilai x berapapun. ii. = pada f : Z → Z
Fungsi pada, karena untuk untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu = akan dipenuhi untuk = .
c. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu? i. = pada f : Z → Z
Bukan fungsi berkorespondensi satu – satu karena bukan fungsi satu – ke – satu dan bukan fungsi pada.
ii. = pada f : Z → Z
Fungsi berkorespondensi satu – satu karena merupakan fungsi satu – ke – satu dan fungsi pada.
a b c d
Matematika Diskrit Liduina Asih Primandari
17
2. Fungsi Invers
Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu – satu dari A ke B, maka ada inversi / invers dari f
. Misal a adalah anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B, maka =
dan =
A B
Contoh:
a. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} dan f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi berkorespondensi satu – satu. Tentukan invers dari fungsi f.
= u, , v, , w,
b. Tentukan fungsi invers dari =
= = =
=
c. Tentukan fungsi invers dari =
= bukan merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu, sehingga tidak mempunyai invers.
NOTE:
Fungsi yang berkorespondensi satu – satu disebut fungsi invertible (dapat dibalikkan), karena dapat didefinisikan fungsi inversnya.
Fungsi non invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi bukan merupakan fungsi yang berkorespondensi satu – satu dan tidak mempunyai fungsi invers.
3. Komposisi Fungsi
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke B dan f adalah fungsi dari himpunan B ke A. Komposisi f dan g adalah = ( ).
Contoh:
Diberikan fungsi = dan = . Tentukan dan .
= ( ) = = = =
= ( ) = = = = =
Matematika Diskrit Liduina Asih Primandari
18
4. Beberapa Fungsi Khusus a. Fungsi floor and ceiling
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Dapat pula dikatakan bahwa fungsi floor membulatkan ke bawah
Fungsi ceiling dinotasikan dengan
menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Dapat pula dikatakan bahwa fungsi ceiling membulatkan ke atas
Contoh:
. = . = . = . =
. = . = . = . =
b. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r dengan ≤ r ≤ m.
Contoh: 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 3
-25 mod 7 = 3 (karena -25 = 7 (-4) + 3)
c. Fungsi faktorial
Untuk sembarang bilangan bulat tak negatif n, faktorial n dilambangkan dengan n!
= { , , =
Contoh: 0 ! = 1
3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
d. Fungsi eksponensial
= { , , =
Contoh:
43 = 4 x 4 x 4 = 64
33 = 3 x 3 x 3 = 27
Kasus pangkat negatif
Matematika Diskrit Liduina Asih Primandari
19
Contoh:
= =
= =
e. Fungsi logaritmik
= og maka =
Contoh:
