BAB II - Bab 2 Kinematika

Kinematika

Partikel

Mekanik

a

Kinematika

Dinamika

Berapa jarak pengereman?

Berapa ketinggian maksimum?

Posisi, perpindahan, jarak, …

Apa yang menyebabkab gerak?

Kenapa lintasan lengkung?

Bagian Fisika yang mempelajari gerak disebut

6

Kinematika

Partikel

Asumsi yang digunakan dalam bab ini:

- Ukuran benda diabaikan



Partikel

(benda titik)

- Rotasi diabaikan

- Hanya gerak translasi



(gerak

berpindah tempat)

“Mempelajari atau mendeskripsikan

gerak benda adalah menyatakan

besaran-besaran gerak, seperti

:

Posisi,

Gerak

Berdasarkan

acuan

Bentuk

Lintasan

Gerak mutlak

(

gerak sesungguhnya)

Gerak relatif

(

gerak semu)

Gerak lurus

Gerak melingkar

Gerak parabola

Gerak tak

8

Posisi

Berapa posisi

mobil ??

Posisi adalah kedudukan/lokasi suatu benda terhadap

Berapa posisi mobil A??

Perlu ditetapkan acuan

(titik nol) yang sama.

Posisi mobil A:

50 m dari tiang ke arah depan atau

80 m dari mobil B ke arah depan

Ada banyak titik dengan jarak 50 m dari tiang !

Harus dinyatakan arahnya.

--> Posisi adalah besaran

vektor.

10

4 1

3 0

X (m)

A (2,3,4)

Y (m) 1

2 3 4

Z (m)

0 1 2 3 4

Posisi titik A dalam 3-dimensi

Sistem Koordinat

Sistem koordinat terdiri atas:

 _{Titik acuan atau titik asal (origin)}

disingkat menjadi titik O.

Titik acuan merupakan suatu posisi yang dijadikan sebagai acuan dalam menentukan posisi suatu benda yang diamati.

Biasanya merupakan posisi pengamat.

 _{Sumbu-sumbu koordinat (untuk}

menentukan arah)

 _{Label, huruf dan angka yang}

menunjukkan posisi suatu titik terhadap titik asal dan sumbu-sumbu koordinat.

4 1 2 3 0

X (m) A (2,3)

Y (m)

1 2 3 4

0

Posisi titik A dalam 2-dimensi

40 10 20 30

0 -10 -20 -30 -40 A B

-50 50 60

x (meter)

0 1 2 3 4 5 -2 -3 -1 A B

A



B



ˆ

5

A





i

ˆ

3

B



 

i

Vektor Posisi

ˆ

i

x

y

z

 i  j  k

r



O













x

i

y

j

z

k

r



Secara umum, posisi suatu benda dinyatakan dalam 3 dimensi sebagai

12

Jarak

&

Perpindahan

Sebuah mobil yang pindah dari posisi A ke posisi B, berapa jarak yang ditempuh dan perpindahannya?

A

4 km B C

3 km 5 km

Benda bergerak dari A ke B, lalu ke C.

Jarak tempuh (Δs) dari A ke C = AB + BC = 4 km + 3 km = 7 km

Perpindahan (Δr) dari A ke C = 5 km, dengan arah dari A ke C.

= Jarak

= Perpindahan

Jarak (distance) atau jarak-tempuh adalah panjang lintasan

sesungguhnya yang ditempuh benda dalam waktu tertentu, dan tidak bergantung arah.

Perpindahan (displacement) adalah perubahan posisi awal dan akhir suatu benda karena adanya perubahan waktu dan tidak bergantung pada jalan mana yang ditempuh oleh benda itu.

Jarak = 20 m Perpindahan = 20 m ke depan

Vektor perpindahan didefenisikan sebagai perubahan vektor posisi dari posisi awal (x_i) pada t₁ ke posisi akhir (x_f) pada t₂.

y z 1

r



1 t 2 t 2

r



s



r





Vektor Perpindahan

ˆ

40

i

x





i

ˆ

20

f

x



 

i

f i

x x

x

 









x (meter)

0 10 20 30 40 50 -20 -30 -10 B _A x  i

x



f

x



1 2

r

r

r













k

z

z

j

y

y

i

x

x

)



(

)



(

)



(

₂



₁



₂



₁



₂



₁





Posisi Awal:

Posisi Akhir:

1 1 1 1

r





x i

 



y j



z k



Posisi awal pada t₁ :

k

z

j

y

i

x

r



₂



₂





₂





₂



Posisi akhir pada t₂ :

ˆ

ˆ

ˆ

20

i

40

i

60

i

14

Sebuah mobil awalnya berada pada posisi A, kemudian bergerak maju sampai di B, lalu mundur sampai di C. Tentukan jarak dan perpindahan total mobil tersebut.

ˆ

5 0

i

x





i

ˆ

30

f

x





i

f i

x x

x

 









x (meter)

0 10 20 30 40 50

C A x  i

x



Posisi Awal: Posisi Akhir:

ˆ

ˆ

ˆ

30

i

50

i

20

i





 

f

x _B

60 ₇₀

Perpindahan:

1

20

x

m





2

40

x

m





20

40

60

t

x

m + m = m

 

0 10 20 30 40 50

C A

Jarak 1:

Jarak 2:

B

Jarak Total = Panjang Jalan Total

60 70

Panjang jalan dari 50 ke 70

Panjang jalan dari 70 ke 30

Anak panah dari 0 ke posisi awal (A)

Anak panah dari 0 ke posisi akhir (C)

Anak panah dari posisi awal (A) ke posisi akhir (C)

x



Uji

Pemahaman

Sebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke

B, diteruskan ke C, lalu ke D, dan akhirnya kembali ke A

(berhenti).

A

4 km

B

C

3 km

D

4 km

3 km



Tentukan jarak tempuh dan perpindahan mobil, sejak

bergerak hingga berhenti.



Jawab:

Jarak tempuh = 14

km

16

Soal Latihan

Sebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke B (AB =4 km),

diteruskan ke C (BC=3 km), lalu ke D (CD=4km), dan akhirnya kembali ke

A.

A

B

C

D

Tentukan jarak tempuh dan perpindahan mobil saat

bergerak dari:

A



B;

A



B



C;

B



C



D;

B



C



A;

PDG

BKT

100 km

Berangkat Jam: 08:00 Sampai Jam: 10:30

Berapa jarak rata-rata yang

ditempuh dalam waktu 1

jam atau 1 sekon?

PSL

PDG

100 km

Sampai Jam: 10:30 Berangkat Jam: 08:00

18

a v

x

v

t











Kecepatan dan Kelajuan Rata-Rata

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi antara perpindahan dan

waktu tempuh,

Kecepatan rata-rata,

v

av



Kelajuan rata-rata adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh (Δ

x

)

dengan selang waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut (Δ

t

).

av

x

v

t







Kelajuan rata-rata,

v

_av

Kecepatan rata-rata ≡ perpindahan dalam satu

satuan waktu.

Soal Latihan

Sebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke B (AB=4km),

diteruskan ke C (BC=3km), lalu ke D (CD=4 km), dan akhirnya kembali ke A.

Untuk menempuh jarak dari A ke B diperlukan waktu 30 menit, jarak dari

B ke C diperlukan waktu 15 menit, jarak dari C ke D diperlukan waktu 10

menit, dan D ke A perlu waktu 20 menit, dan A ke D selama 30 menit.

Tentukan kelajuan rata-rata dan kecepatan rata-rata dalam selang BCDAD

20

Kecepatan dan Kelajuan Sesaat

PDG

BKT

100 km

Berangkat Jam: 08:00 Sampai Jam: 10:30

Apakah kelajuan mobil ini

selalu

40 km/jam

Apakah kecepatannya selalu

40 km/jam arah maju?

Diam



Bergerak Lambat



Makin Kencang



Kencang Konstan

Melambat (mengeram)



Berhenti



Mundur



Mundur Makin Kencang



Mundur Melambat



Berhenti



Mulai Maju lagi



dst

Berapa kecepatan awal?

Berapa kecepatan saat lewat di depan kantor walikota?

Berapa kecepatan saat di lampu merah?

Untuk menentukan kecepatan sesaat (instaneous velocity), dihitung dengan cara yang sama untuk menghitung kecepatan rata-rata, dengan interval waktu (Δt) sekecil

mungkin, yaitu , ditulis



t



0

Kecepatan dan Kelajuan Sesaat

0 0

(

)

( )

( )

lim

lim

t t

x t

t

x t

x

dx

v t

t

t

dt

   

  























Kecepatan Sesaat,

v



 

t

( )

dx

v t

dt







_{Turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu}

Kelajuan sesaat

v t

 

 

 

v t



v t



22

Percepatan

sesaat

Perubahan kecepatan per satuan waktu

Percepatan

Rata-rata

f i av

v

v

v

a

t

t





















dt

v

d

t

v

a

t     









lim

0

Percepatan (

Acceleration

)

Turunan pertama fungsi kecepatan

terhadap waktu

2 2

dv

d dx d x

a

dt

dt dt

dt















24

Memplot Data dan Melukis Grafk

x

y

0

5

2

10

4

15

6

20

8

25

t

x

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

t

v

0

10

5

7

10

3

15

0

20

-4

25

-6

Plot data-data y terhadap x dan gambar grafik y-x

Plot data-data x terhadap t dan gambar grafik x-t

Plot data-data v terhadap t dan gambar grafik v-t

Bayangkan anda sedang mengamati mobil yang diam di

depan pos polisi (dianggap sebagai titik nol). Catatlah posisi

dan kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s

(Tampilkan dalam tabel).

Eksperimen Sederhana

Bayangkan anda sedang mengamati mobil yang diam 4 m di

depan pos polisi (dianggap sebagai titik nol. Catatlah posisi

dan kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s

(Tampilkan dalam tabel).

Bayangkan anda sedang berada di atas mobil dan

mengamati speedometer. Sejak diamati jarumnya selalu

menunjukkan angka 72 km/jam. Catatlah posisi dan

kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s

(Tampilkan dalam tabel).

26

Benda

Diam

Waktu,

t (s)

Posisi, x (m)

A B C

0 0 5 -10

1 0 5 -10

2 0 5 -10

3 0 5 -10

Posisi : tetap terhadap waktu Kecepatan : nol

Percepatan : nol

-2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4

v (m/s)

t (s)

Grafk kecepatan terhadap waktu

Grafk percepatan terhadap waktu -3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4

a (m/s2₎

t (s)

Grafk posisi terhadap waktu

x (m)

t (s)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

28

Kecepatan : Tetap / Konstan ---> GLB Percepatan : Nol

Posisi : Berubah secara beraturan (bertambah atau berkurang)

Dalam setiap selang waktu yang sama akan menempuh jarak yang sama

Gerak Dengan Kecepatan

Tetap

Waktu,

t (s)

Kecepatan, v

(m/s)

A B C D

0 2 5 10 -3

1 2 5 10 -3

2 2 5 10 -3

3 2 5 10 -3

4 2 5 10 -3

-5 0 5 10 15

0 1 2 3 4 5

Grafk kecepatan terhadap waktu

t (s)

Waktu,

t (s)

Posisi, x (m)

A B C D

0 0 0 0 0

1 2 5 10 -3

2 4 10 20 -6

3 6 15 30 -9

4 8 20 40 -12

-20 -10 0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5

Grafk posisi terhadap waktu

t (s)

x (m/s)

Grafk percepatan terhadap waktu -3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4

a (m/s2₎

t (s)

30

Percepatan : Tetap / Konstan

Kecepatan : Berubah secara beraturan ---> GLBB

Dalam setiap selang waktu yang sama kecepatan naik atau turun dengan jumlah yang sama

Posisi : Berubah, tetapi dalam selang waktu yang sama penambahan dan pengurangannya tidak sama.

Gerak Dengan Percepatan

Tetap

Waktu,

t (s)

Percepatan, a (m/s2)

A B C D

0 2 5 -2 -3

1 2 5 -2 -3

2 2 5 -2 -3

3 2 5 -2 -3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4

Grafk posisi terhadap waktu

t (s)

Waktu,

t (s)

Kecepatan, v (m/s)

A B C D

0 0 0 0 0

1 2 5 -2 -3

2 4 10 -4 -6

3 6 15 -6 -9

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

t (s)

v (m/s)_{Grafk kecepatan terhadap waktu}

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x (m)

t (s) Grafik posisi terhadap waktu

32 0 5 10 15 20 25

0 1 2 3 4 5

t (s)

x(m)

Δt = 2 s

Δx = 10 m

Benda bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s.

Kemiringan kurva posisi terhadap waktu:

10

5 /

2

x

m

t

s

m

s









Analisis Grafk Posisi terhadap Waktu

4 1 4 1

20 5 15

5 / 4 1 3

x x x

m s t t t



 

   

  

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =4s :

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =3s :

Kecepatan rata-rata selalu sama untuk selang waktu sembarang.

3 1 3 1

15 5 10

5 / 3 1 2

x x x

m s t t t



 

   

  

Untuk gerak dengan kecepatan tetap

:

Bila kurva posisi terhadap waktu,

34









50 12,5 37,5 / 2 1 m x m s t s      









112, 5 12, 5

50 / 3 1 m x m s t s      

Gerak Dengan Percepatan

Tetap

Kecepatan rata-rata berbeda untuk selang waktu berbeda.

Kecepatan sesaat selalu berubah Kecepatan rata-rata dalam

selang waktu t=1s dan t =3s :

0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4

x

t

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =2s :

Bagaimana cara menentukan

kecepatan sesaat , , dari kurva posisi terhadap waktu?

 

t

v



Hitung kecepatan rata-rata untuk selang waktu (Δt) mendekati nol.

0 0

( ) ( )

( )

lim

lim

t t

x t t x t x dx v t

t t dt

Nilainya sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva posisi terhadap waktu pada titik (t, x(t)).

Defenisi turunan

0 0

( ) ( )

( )

lim

lim

t t

x t t x t x dx v t

t t dt

                 

( )

dx

v t

dt







Nilainya sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

kecepatan terhadap waktu pada titik (t, v(t)).

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan percepatan rata-rata dan percepatan sesaat dari grafk kecepatan terhadap waktu.

0 0

(

)

( )

( )

lim

lim

t t

v t

t

v t

v

dv

a t

t

t

dt

   

  























( )

dv

a t

dt



36

Persamaan

Gerak

A

Suatu mobil bergerak dengan kecepatan konstan 5 m/s selama 4 s.

Luas di bawah kurva v-t dari t = 0s sampai t = 4s adalah A. Dimana A = 5*4 = 20.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

t (s)

v (m/s)

Dapat dilihat bahwa

Luas di bawah kurva

v-t

= Jarak tempuh

38

Δx = Δx

₁

+ Δx

₂

+ Δx

₃

+ … + Δx

_N

Menghitung luas daerah di bawah kurva

Δx₁ Δx₂ Δx_i Δx_N

Δx

t

_a

t

_b

t v

t

_a

t

_b

t v

Δt

t_i v(t_i)

Δx_i

 

t

t

v

x

_i



_i





Δx = Δx

₁

+ Δx

₂

+ Δx

₃

+ … + Δx

_N

 





 







N i i i N i

i

v

t

t

x

1 1

 

b a t t

x

v t d t







 

 

v t







a t dt



Untuk menaikkan ketelitian Δt  nol, N  ∞

Penjumlahan menjadi

penjumlahan kontinu (integral). Σ ----> ∫

 

 

x t







v t d t



40

 

 

v t







a t dt



 

v t





at C







0



.0

v t







a





C



0



_o

C



v t







v



 

o

v t





v





at



 

 

x t







v t dt



 



o



x t







v





at dt



 

o

1

2

2

x t





v t





at





C

 

0

.0

1

.0

2

o

x





v





a





C

 

0

_o

C



x





x



 

0 2

1

2

o

x t





x





v t





at



Gerak Dengan Percepatan

Tetap

 

a t





a



 

v t







adt



--> Konstanta

Persamaan Kecepatan

Sesaat

)

(

t

a



( )

x t



Turunan

Integral

( )

t



v

Hubungan antara , dan

)

(

t

a



( )

x t



v



(

t

)

Turunan

Integral

t

a

d

d

v







dx

dt







v

 

 

42

Kemungkinan model soal

1. Narasi / Cerita ?

Essay

2. Grafk

3. Tabel Data

4. Persamaaan /

Fungsi Gerak

1. Angka

2. Grafk

3. Tabel Data

4. Persamaaan /

Fungsi Gerak

44

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafk posisi terhadap waktu suatu motor ketika mulai bergerak pada lintasan lurus.

Ubah soal menjadi bentuk persamaan atau tabel data.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t(s)

x(

m

Sebuah motor bergerak dengan kecepatan tetap 20 m/s tetap.

Awalnya motor berada pada posisi 50 m.

t (s)

x (m)

0

50

1

70

2

90

3

110

4

130

5

150

6

170

7

190

8

210

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafk kecepatan terhadap waktu suatu motor ketika mulai bergerak pada lintasan lurus.

Posisi sebuah motor

dinyatakan oleh persamaan:

 

t

t

meter

46

a) Tentukan percepatan rata-rata untuk interval waktu t = 0 sampai t

= 4s

b) Kapan percepatan memiliki nilai posistif terbesar dan berapa percepatan saat itu.

c) Kapan percepatan bernilai nol

d) Gambarlah grafk posisi terhadap waktu

e) Gambarlah grafk percepatan terhadap waktu f) Berapa percepatan saat t = 7 s

g) Berapa posisi akhir motor

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafk kecepatan ( ) terhadap waktu (t) suatu

motor ketika mulai bergerak dari keadaan diam dalam lintasan

lurus.

v



 

s t

a) Tentukan percepatan rata-rata untuk interval waktu t = 0 sampai t

= 4s

b) Kapan percepatan memiliki nilai posistif terbesar dan berapa percepatan saat itu.

c) Kapan percepatan bernilai nol

d) Gambarlah grafk kecepatan terhadap waktu e) Gambarlah grafk percepatan terhadap waktu f) Berapa percepatan saat t = 7 s

g) Berapa posisi akhir motor

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafk posisi (x) terhadap waktu (t) suatu motor ketika mulai bergerak dari

keadaan diam dalam lintasan lurus.

x(m)

48

Amir berangkat ke sekolah mengendarai sepeda. Dari rumah ke

jalan raya sepeda dijalankan dengan percepatan tetap 0,2 m/s

2

selama 10 s. Setelah sampai dijalan raya sepeda dijalankan

dengan kecepatan tetap. Amir sampai di sekolah 5 menit

kemudian. Berapa jarak rumah Amir dengan sekolahnya?

 

o

v t





v





at



 

2

0

1

2

o

Dua kereta berjalan pada lintasan lurus beriringan. Kereta

pertama berjalan dengan kecepatan 36 km/jam. Kereta kedua,

mendekati dari belakang, berjalan dengan kecepatan 72 m/s. Saat

kereta kedua berada pada 25 m dibelakang kereta pertama,

operatornya menekan rem dan menghasilkan perlambatan 2 m/s

2

.

50

52

 

o

v t





v





gt



 

0 2

1

2

o

y t





y





v t





gt



Gerak jatuh adalah gerak yang dipercepat oleh gravitasi bumi

 

a t



g

Persamaan kecepatan setiap saat

Persamaan posisi setiap saat

Gerak

Jatuh

g : percepatan gravitasi bumi

g = 9,8 m/s2 _{≈ 10 m/s}2 {arah menuju pusat bumi}

 

o

v t





v





at



 

0 2

1

2

o

x t





x





v t





at



 

_o

10

v t





v





t

 

0 o

5

2

y t





y





v t





t

+

-j

g

g







ˆ

53

Gerak Jatuh Bebas

Gerak Vertikal ke Atas



v

_o

= kecepatan awal



y

_o

= ketinggian awal



v

_t

= kecepatan pada

waktu

t



y

_t

= ketinggian pada

waktu

t



y

_maks

= ketinggian

maksimum



v

_ymaks

= kecepatan di

o

v



t

y



0

y





o

y



t

v



maks

y



0

maks

y

54

Gerak Parabola

56

Lintasan gerak parabola selalu dalam bidang vertikal yang

ditentukan oleh arah kecepatan awal.

Bidang gerak peluru ini dapat

disebut bidang x-y, dengan sumbu-x dalam arah horizontal dan

sumbu-y arah ke atas.

x

y

Hal ini karena percepatan gravitasi murni dalam arah vertikal.

Gravitasi tidak dapat

memindahkan bidang gerak peluru.

Perhatikan snapshot sebuah bola yang mengalami gerak peluru

berikut: Komponen x posisi _{bergerak seperti benda}

yang bergerak dengan kecepatan tetap

Komponen y posisi bergerak seperti benda yang bergerak

dengan percepatan tetap arah ke

Jadi gerak peluru dapat dianalisis sebagai

kombinasi gerak dengan kecepatan tetap (pada

arah horizontal) dan gerak dengan percepatan tetap (pada arah vertikal).

0

x

58

Sebuah bola dilempar dengan kelajuan v_o dan membentuk sudut θ

terhadap arah sumbu-x. Koordinat x dan y dapat diperlakukan secara terpisah.

θ

v

_ox

v

_oy

x

y

cos

ox o

v



v



0

x

a



a

y

 

g

Komponen-x dari percepatan adalah nol dan komponen-y nya adalah g.

sin

oy o

v



v



o

 

x ox

v t



v

 

0 ox

x t



x



v t

 

y oy y

v t



v



a t

 

o oy

1

2

y 2

y t



y



v t



a t

0

x

a



a

_y

 

g

 



sin



1

2

2

o o

y t



y



v



t



gt

 

sin

y o

v t



v





gt

 

cos

x o

v t



v



 

0



o

cos



x t



x



v



t

Komponen gerak pada arah horizontal (gerak dengan

kecepatan tetap  GLB)

60

 



sin



1

2

2

o o

y t



y



v



t



gt

 

sin

y o

v t



v





gt

 

cos

x o

v t



v



x t

 



x

0





v

o

cos





t

Pada tinggi maksimum, v

_y

=

0

2 2 y x

v

v

v





0

x_o = 0 m

y_o = 0 m

x

y

y = 0

x_o = 0 m

y_o = 50 m

Penentuan Pusat

koordinat

62

x

y

0

Penentuan Pusat koordinat yang

dipakai pada kuliah ini:

x_o

xmaks

y_maks y_o

x_o y_o

x

y

y_maks

x_maks

y_o = 0 x_o = 0

θ

o

64

0

x_o = 0 m

y_o = 0 m

x

y

y = 0

0

x_o = 0 m

y_o = 50 m

Penentuan Pusat

koordinat

Ketinggian Maksimum

0

y

v



m o

y



y



H





2

sin

2

1

sin

sin





















g

v

g

g

v

v

H

o o

o







 



sin



1

2

2

o o

y t



y



v



t



gt

2

sin

2

2

o

v

H

g





 

sin

y o

v t



v





gt

sin

o

v

t

g





0



v

_o

sin





gt



sin



1

2

2

o m m

H



v



t



gt

Pada ketinggian

maksimum,

(Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum)



sin



1

2

2

m o o m m

y



y



v



t



gt

m

t

m o

y



H



y

66

Jarak Maksimum

 



sin



1

2

2

o o

y t



y



v



t



gt

Pada jarak maksimum,

y

(

t

)

= 0



sin



1

2

0

2

o o

y



v



t



gt



Untuk y

_o

= 0,

maka



sin



1

2

0

2

o

v



t



gt



1

( sin

) 0

2

o

t v





gt



2 sin

v

_o

t

g





 

0



o

cos



x t



x



v



t

Substitusi ke dalam

x

(

t

):





0

2 sin

cos

o m o

v

x

x

v

g









2 0

sin 2

o m

v

x

x

g







Tentukan

t

dengan rumus

abc, lalu substitusi ke dalam

Sudut tembak yang menghasilkan jarak terjauh

2 0

sin 2

o m

v

x

x

g







Jarak terjauh,

x

_m

akan maksimum bila sin2

θ

bernilai maksimum. Nilai

maksimum sin2

θ

adalah 1, yaitu saat 2θ = 90 atau θ =

45

o.

Jadi sudut tembak yang menghasilkan jarak terjauh

68

Contoh kasus

P

Berapa kecepatan motor

saat meninggalkan bibir

jurang agar mendarat

tepat di titik P?

Berapa jarak AT bila peluru

dilempar dengan kecepatan awal 25 m/s? Ketinggian tangan saat melempar adalah 2 m dari lantai

T

Seekor burung gagak terbang horizontal dengan kelajuan tetap 2.70 m/s saat

melepaskan sebutir biji dari paruhnya. Biji tersebut mendarat di pantai 2.10 s

kemudian. Berapa”

70

Shoot the

monkey

Seorang pemburu akan menembak seekor monyet yang

sedang bergantung pada dahan sebuah pohon. Si pemburu

mengarahkan senjata tepat ke arah si monyet. Tetapi si

monyet menjatuhkan dirinya pada saat yang bersamaan

Gerak Relatif

Kecepatan benda yang terlihat

(terukur) oleh pengamat

bergantung tidak hanya pada

gerak benda, tetapi juga pada

gerak pengamat tersebut.

Hujan terlihat jatuh miring bila

pengamat sedang bergerak pada arah

74

Gerak Relatif 1

Dimensi

C

A

O P Arah arus

A dan B diam, C bergerak, maka orang A dan B melihat orang C bergerak dengan kecepatan yang sama

Kecepatan C terhadap A: V_{CA }10iˆ

ˆ 4

BA

V  i

ˆ

ˆ

ˆ

10

4

6

V



V



V



i

i

i

Kecepatan B terhadap A:

Kecepatan C terhadap B:

Orang B melihat orang C bergerak lebih lambat daripada yang dilihat orang A

ˆ

ˆ

ˆ

2

4

6

CB

V



  

i

i

 

i

ˆ

2

CA

V



 

i

V



_BA



3

i

ˆ

76

C

A

A berdiri di lantai dan C berjalan di lantai berjalan. Berapa kecepatan C yang diliahat A?

Seorang pengamat (O) berdiri di atas jembatan mengamati sebuah perahu (P) yang sedang bergerak pada sungai berarus. Bagaiman kecepatan perahu yang teramati?

Untuk menganalisis masalah-masalah tersebut diperlukan dua acuan. 1. Acuan diam :

suatu titik yang diam di luar lantai berjalan (misalnya posisi pengamat A) atau seorang pengmat yang diam di atas jembatan (O).

2. Acuan bergerak :

CA

X

CB

X

BA

X

: Posisi C terhadap acuan diam A

: Posisi C terhadap acuan bergerak B

: Posisi acuan bergerak B terhadap acuan diam A

CA

X

CB

X

BA

X

CA BA CB

V





V





V



: Kecepatan C terhadap acuan diam A

: Kecepatan C terhadap acuan bergerak B (Kecepatan C terhadap lantai berjalan)

: Kecepatan acuan bergerak B terhadap acuan diam A

CA

V

CB

V

BA

V

CA BA CB

X





X





X



A berdiri di lantai dan C berjalan di lantai berjalan. Berapa kecepatan C yang dilihat A?

78

Gerak Relatif 2 Dimensi

Sebuah perahu akan menyeberangi suatu sungai berarus. Perahu di arahkan membentuk sudut α

terhadap arah arus dengan kelajuan V_PA . Sedangkan kelajuan arus adalah V_A.

Bagaimana lintasan perahu dan di mana posisi perahu saat sampai diseberang?

Arah arus

x



PA

V

A

P A O P

r



A

r



PA

r



PA A

P

r

r

r











: Posisi perahu terhadap pengamat diam di O

: Posisi acuan bergerak (A) terhadap O : Posisi perahu terhadap acuan bergerak

P

r



PA

r



A

r



P : Perahu yang melintasi sungai berarus

O : Pengamat yang diam di pinggir sungai (acuan diam)

A : Suatu titik pada air sebagai acuan bergerak (dapat diwakili oleh daun di permukaan air)

P A PA

dr

dr

dr

dt



dt



dt







P A PA

V





V





V



: Kecepatan perahu yang terlihat oleh pengamat diam di O

: Kecepatan acuan bergerak terhadap O (= kecepatan arus sungai)

P

V



A

V

80

P A PA

V





V





V



ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Px Py Ax Ay PAx PAy

V i V j V i V j V i V











j

cos

Px P

V



V



V

Py



V

P

sin



ˆ

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

Px Py Ax PAx Ay PAy

V i V j





V



V

i



V



V

j

cos

Ax A

V _V



V_{Ay }V_A sin



cos

PAx PA

V V _ V_PAy V_PA sin



Arah arus A B C θ α _x P

V



PA V A V

Perahu di arahkan membentuk sudut α terhadap arah arus dengan kelajuan V_PA . Sedangkan kelajuan arus adalah V_A.dengan arah β (β = 0).

Px Ax PAx

 

Px 2

 

Py 2

P

V

V

V





          Px Py V V 1 tan



Waktu untuk sampai diseberang:

Kecepatan perahu menurut pengamat di pinggir sungai:

Arah gerak perahu : P

AB

t

V



Contoh:

Suatu perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 100 m.

Air sungai mengalir dengan kelajuan 2 m/s ke arah Selatan.

Perahu dijalankan dengan kelajuan 5 m/s. Berapa sudut