PPT Kinematika Partikel

Kinematika Partikel

Posisi, Kecepatan, dan Kelajuan

Gerak translasi → model partikel Benda bermass m Ukurannya amat kecil

Gerak partikel dapat diketahui jika posisi partikel setiap sat diketahui.

Posisi

Lokasi partikel pad suatu kerangka acuan yang dianggap sebagai titik

asal sistem koordinat.

Perhatikan pergerakan mobil berikut!

Sebuah mobil bergerak maju mundur

sepanjang garis lurus yang disebut sumbu-x

Grafik fungsi x-t yang merepresentsikan gerak mobil.

Posisi mobil tiap satuan waktu.

Perpindahan

Perubahan posisi dalam suatu selang waktu.

Ketika berpindah dari posisi awal (𝑥

_𝑖

) ke posisi akhir (𝑥

_𝑓

). Besar perpindahan partikel dapat dituliskan dengan:

∆𝑥 = 𝑥 _𝑓 − 𝑥 _𝑖

Jarak

Panjang lintasan yang dilalui partikel.

Contoh: pemain basket yang berpindah/berlari dari keranjang tim nya di lapangan ke keranjang tim lawan dan kembali ke keranjang tim nya.

Diketahui bahwa perpindahan pemain adalah nol.

Namun ia menempuh jarak 2x lapangan.

Besaran skalar Besaran vektor

Kecepatan Rata-rata

Perpindahan partikel ∆𝑥 dibagi selang waktu ∆𝑡 selama perpindahan tersebut terjadi.

𝑣

_𝑥

= ∆𝑥

∆𝑡

Kelajuan Rata-rata

Jarak tempuh total dibagi waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut.

𝑘𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ

Dalam fisika, Kecepatan ≠ kelajuan

Besaran skalar Besaran vektor

Percepatan

Perubahan kecepatan ∆𝑣

_𝑥

dibagi selang waktu ∆𝑡 dimana perubahan itu terjadi.

𝑎

_𝑥

= ∆𝑣

_𝑥

∆𝑡 = 𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡

_𝑓

− 𝑡

_𝑖

Besaran vektor

 Ketika kecepatan & percepatan memiliki arah yang sama → benda dipercepat

 Ketika kecepatan & percepatan memiliki arah yang berlawanan →

benda diperlambat

Contoh Soal

1. Posisi sebuah mobil diamati dari waktu yang berbeda beda menghasilkan data sebagai berikut.

t(s) 0 1 2 3 4 5

x(m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5

Cari kecepatan rata-rata mobil tersebut pada detik ke-5 Solusi:

𝑣

_𝑥

= ∆𝑥

∆𝑡

𝑣

_𝑥

= 𝑥

_𝑓

− 𝑥

_𝑖

𝑡

_𝑓

− 𝑡

_𝑖

= 57.5 − 0

5 − 0 = 11.5 𝑚/𝑠

Gerak Satu Dimensi

Gerak satu dimensi dengan percepatan 𝒂

_𝒙

𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏.

Jika 𝑡

_𝑖

= 0 dan 𝑡

_𝑓

= 𝑡, besarnya percepatan 𝑎

_𝑥

adalah

𝑎

_𝑥

= 𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡

_𝑓

− 𝑡

_𝑓

𝑎

_𝑥

= 𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡 − 0 = 𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡

𝑣

_𝑥𝑓

= 𝑣

_𝑥𝑖

+ 𝑎

_𝑥

𝑡

Kecepatan rata-rata

𝑣

_𝑥

= 𝑣

_𝑥𝑖

+ 𝑣

_𝑥𝑓

2

Posisi Benda sbg Fungsi waktu

Jika 𝑡

_𝑖

= 0 dan 𝑡

_𝑓

= 𝑡, besar percepatan 𝑎

_𝑥

adalah konstan 𝑣

_𝑥

= ∆𝑥

∆𝑡

𝑣_𝑥𝑖 + 𝑣_𝑥𝑓

2 = 𝑥_𝑓 − 𝑥_𝑖 𝑡 𝑥_𝑓 = 𝑥_𝑖 + 1

2 𝑣_𝑥𝑖 + 𝑣_𝑥𝑓 𝑡 𝑥_𝑓 = 𝑥_𝑖 + 1

2 𝑣_𝑥𝑖 + 𝑣_𝑥𝑖 + 𝑎_𝑥𝑡 𝑡 𝑥_𝑓 = 𝑥_𝑖 + 1

2 𝑣_𝑥𝑖𝑡 + 𝑣_𝑥𝑖𝑡 + 𝑎_𝑥𝑡² 𝑥_𝑓 = 𝑥_𝑖 + 𝑣_𝑥𝑖𝑡 + 1

2𝑎_𝑥𝑡²

Jika 𝑡

_𝑖

= 0 dan 𝑡

_𝑓

= 𝑡, besar percepatan 𝑎

_𝑥

adalah konstan Kecepatan Akhir Benda sbg Fungsi Posisi

𝑣

_𝑥𝑓

= 𝑣

_𝑥𝑖

+ 𝑎

_𝑥

𝑡 𝑡 = 𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑎

_𝑥

𝑥

_𝑓

= 𝑥

_𝑖

+ 1

2 𝑣

_𝑥𝑖

+ 𝑣

_𝑥𝑓

𝑡 𝑥

_𝑓

= 𝑥

_𝑖

+ 1

2 𝑣

_𝑥𝑖

+ 𝑣

_𝑥𝑓

𝑣

_𝑥𝑓

− 𝑣

_𝑥𝑖

𝑎

_𝑥

𝑥

_𝑓

= 𝑥

_𝑖

+ 𝑣

_𝑥𝑓²

− 𝑣

_𝑥𝑖²

2𝑎

_𝑥

𝑣

_𝑥𝑓²

= 𝑣

_𝑥𝑖²

+ 2𝑎

_𝑥

𝑥

_𝑓

− 𝑥

_𝑖

Grak Jatuh Bebas

Percepatan 𝑎_𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛.

𝑣

_𝑦𝑓

= 𝑣

_𝑦𝑖

+ 𝑎

_𝑦

𝑡 𝑦

_𝑓

= 𝑦

_𝑖

+ 1

2 𝑣

_𝑦𝑖

+ 𝑣

_𝑦𝑓

𝑡 𝑦

_𝑓

= 𝑦

_𝑖

+ 𝑣

_𝑦𝑖

𝑡 + 1

2 𝑎

_𝑦

𝑡

²

𝑣

_𝑦𝑓²

= 𝑣

_𝑦𝑖²

+ 2𝑎

_𝑦

𝑦

_𝑓

− 𝑦

_𝑖

𝑎

_𝑦

= −𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠

²

Contoh Soal

Sebuah bola dilemparkan dari tanah tegak lurus ke atas dengan laju 24 m/s. Tentukan:

a. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi . b. Berapa ketinggian yang dicapai bola.

Jawab:

a.

𝑣_𝑦𝑓 = 𝑣_𝑦𝑖 + 𝑎_𝑦𝑡 𝑡 = 𝑣_𝑦𝑓 − 𝑣_𝑦𝑖

𝑎_𝑦 = 0 − 24

−9.8 = 2.45 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛 b.

𝑦_𝑓 = 𝑦_𝑖 + 1

2 𝑣_𝑦𝑖 + 𝑣_𝑦𝑓 𝑡 𝑦_𝑓 = 0 + 1

2 24 + 0 2.45 = 29.4 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

Menghitung perpindahan total dari luasan garis

∆𝑥 = 𝑣

_𝑥

𝑡 𝑑𝑡

𝑡_𝑓 𝑡_𝑖

Persamaan Kinematika 𝑎_𝑥 = 𝑑𝑣_𝑥

𝑑𝑡

𝑣_𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡

Percepatan

Kecepatan

Gerak Dua Dimensi

𝐴

_𝑥

= 𝐴 cos 𝜃 𝐴

_𝑦

= 𝐴 sin 𝜃 𝐴 = 𝐴

_𝑥²

+ 𝐴

_𝑦²

𝜃 = tan

⁻¹

𝐴

_𝑦

𝐴

_𝑥

Sebuah vektor A pada bidang 𝑥𝑦 yang membentuk sudut 𝜃 dengan sumbu 𝑥 positif.

Gerak Dua Dimensi

Vektor Satuan  Vektor satuan merupakan vektor tak berdimensi yang besar nilainya sama dengan 1.

 Memudahkan dalam menentukan arah dalam suatu bidang ruang.

𝑨 = 𝑨

_𝒙

𝒊 + 𝑨

_𝒚

𝒋

Gerak Dua Dimensi

Vektor Posisi

Bayangkan sebuah titik pada bidang 𝑥𝑦 yang memiliki koordinat Cartesian (𝑥, 𝑦). Titik tersebut dapat dinyatakan dengan vektor posisi r dalam bentuk vektor

satuannya adalah

𝒓 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋

Gerak Dua Dimensi

Vektor Posisi

Oleh karena,

maka komponen vektor resultannya adalah

Kita dapatkan besar R dan sudut yang dibentuk dengan sb-x dari komponen- komponennya adalah

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Asumsi pada gerak proyektil:

1. Percepatan gravitasi g konstan selama gerakannya berlangsung dan memiliki arah ke bawah.

2. Pengaruh hambatan udara diabaikan.

Lintasan pada gerak proyektil selalu berbentuk parabola.

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Misalkan, y memiliki arah vertikal dan nilai positifnya berarah ke atas.

Oleh karena hambatan udara diabaikan, 𝑎_𝑦 = −𝑔 dan 𝑎_𝑥 = 0.

Pada saat 𝑡 = 0, proyektil meninggalkan titik awal

𝑥_𝑖 = 𝑦_𝑖 = 0 dengan kelajuan 𝑣_𝑖. Vektor 𝑣_𝑖 membentuk sudut 𝜃_𝑖 dengan sumbu horizontal.

Dari definisi cos dan sin, diperoleh:

cos 𝜃

_𝑖

= 𝑣

_𝑥𝑖

𝑣

_𝑖

sin 𝜃

_𝑖

= 𝑣

_𝑦𝑖

𝑣

_𝑖

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Jadi komponen-komponen x dan y dari kecepatan awalnya adalah

𝑣

_𝑥𝑖

= 𝑣

_𝑖

cos 𝜃

_𝑖

𝑣

_𝑦𝑖

= 𝑣

_𝑖

sin 𝜃

_𝑖

Dengan mensubtitusikan komponen x pada persamaan posisi, dengan 𝑥_𝑖 = 0 dan 𝑎_𝑥 = 0, didapatkan

𝑥

_𝑓

= 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡 = 𝑣

_𝑖

cos 𝜃

_𝑖

𝑡

Dengan mensubtitusikan komponen y pada persamaan posisi, dengan 𝑦_𝑖 = 0 dan 𝑎_𝑦 = −𝑔, didapatkan

𝑦

_𝑓

= 𝑣

_𝑦𝑖

𝑡 + 1

2 𝑎

_𝑦

𝑡

²

= 𝑣

_𝑖

sin 𝜃

_𝑖

𝑡 − 1

2 𝑔𝑡

²

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Vektor posisi gerak proyektil sebagai fungsi waktu

𝑥

_𝑓

= 𝑥

_𝑖

+ 𝑣

_𝑖

𝑡 + 1

2 𝑔𝑡

²

Perpindahan jika tidak ada percepatan

Percepatan gravitasi

Dengan kata lain, jika tidak ada percepatan gravitasi partikel akan terus bererak sepanjang garis lurus arah 𝑣_𝑖. Oleh sebab

itu jarak vertikal ¹

2𝑔𝑡² dimana partikel “jatuh” dari lintasan lurus sama dengan jarak yang akan ditempuh benda yang

jatuh bebas selama selang waktu yang sama.

𝑥

_𝑓

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Gerak dua dimensi dengan percepatan konstan dapat dianalisis sebagai kombinasi antara dua gerak yang terpisah dalah arah x dan y, dengan percepatan masing-masing

𝑎_𝑥 dan 𝑎_𝑦

Jadi saat menganalisis gerak proyektil, anggaplah gerak tersebut sebagai superposisi dua gerak:

(1) Gerak dengan kecepatan konstan dalam arah horizontal

𝑥

_𝑓

= 𝑥

_𝑖

+ 𝑣

_𝑥𝑖

𝑡

(2) Gerak jatuh bebas dalam arah vertikal

𝑣

_𝑦𝑓

= 𝑣

_𝑦𝑖

− 𝑔𝑡 _𝑦

𝑓

= 𝑦

_𝑖

+ 1

2 𝑣

_𝑦𝑖

+ 𝑣

_𝑦𝑓

𝑡 𝑦

_𝑓

= 𝑦

_𝑖

+ 𝑣

_𝑦𝑖

𝑡 − 1

2 𝑔𝑡

²

𝑣

_𝑦𝑓²

= 𝑣

_𝑦𝑖²

− 2𝑔 𝑦

_𝑓

− 𝑦

_𝑖

𝑣

_𝑦

= 𝑣

_𝑦𝑖

+ 𝑣

_𝑦𝑓

2

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Jarak Horizontal dan Tinggi Maksimum

Misalkan sebuah proyektil bergerak dari titik asal saat 𝑡_𝑖 = 0 dengan komponen 𝑣_𝑦𝑖 positif.

Terdapat dua titik yang dapat disimak, yaitu titik A ^𝑹

𝟐 , 𝒉 , dan titik B 𝑹, 𝟎 . Jarak R → jarak horizontal proyektil Jarak h → ketinggian maksimum

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Jarak Horizontal dan Tinggi Maksimum

Pada saat proyektil mencapai tinggi maksimum (h), 𝑣_𝑦𝐴 = 0.

Dengan menggunakan persamaan 𝑣_𝑦𝑓 = 𝑣_𝑦𝑖 + 𝑎_𝑦𝑡, kita dapat menentukan waktu 𝑡_𝐴 saat proyektil mencapai puncak.

𝑣_𝑦𝑓 = 𝑣_𝑦𝑖 + 𝑎_𝑦𝑡

0 = 𝑣_𝑖 sin 𝜃_𝑖 − 𝑔𝑡_𝐴

Waktu maksimum 𝑡_𝐴 = 𝑣_𝑖 sin 𝜃_𝑖

𝑔

Gerak Dua Dimensi

Gerak Proyektil

Jarak Horizontal dan Tinggi Maksimum

Dengan mensubtitusikan persamaan 𝑡_𝐴 ke persamaan 𝑦_𝑓 = 𝑦_𝑖 + 𝑣_𝑦𝑖𝑡 − ¹

2𝑔𝑡² dan mengganti 𝑦_𝑓 = ℎ, didapatkan

ℎ = 𝑣_𝑖sin 𝜃_𝑖 𝑣_𝑖 sin 𝜃_𝑖

𝑔 − 1

2𝑔 𝑣_𝑖 sin 𝜃_𝑖 𝑔

2

ℎ = 𝑣_𝑖² sin²𝜃_𝑖

2𝑔 Tinggi maksimum

Gerak Proyektil

Jarak Horizontal dan Tinggi Maksimum

Gerak Dua Dimensi

Jangkauan R merupakan posisi horizontal proyektil. Untuk menjangkau R dibutuhkan waktu 2x waktu maksimum mencapai puncak, 𝑡_𝐵 = 2𝑡_𝐴.

Dengan mengganti 𝑥_𝑓 = 𝑅, 𝑣_𝑥𝑖 = 𝑣_𝑖 cos 𝜃_𝑖, dan t = 2𝑡_𝐴 dan mensubtitusikan ke dalam persamaan 𝑥_𝑓 = 𝑥_𝑖 + 𝑣_𝑥𝑖𝑡, diperoleh

𝑅 = 𝑣_𝑥𝑖𝑡 = 𝑣_𝑖 cos 𝜃_𝑖 2𝑡_𝐴 𝑅 = 𝑣_𝑖 cos 𝜃_𝑖 2𝑣_𝑖 sin 𝜃_𝑖

𝑔 𝑅 = 2𝑣_𝑖² cos 𝜃_𝑖 sin 𝜃_𝑖

𝑔 ↔ 𝑅 = 𝑣_𝑖² sin 2𝜃_𝑖 𝑔

Jarak maksimum

Contoh Soal

1. Seorang pelompat jauh meninggalkan tanah dengan sudut 20° di atas sumbu horizontal pada kelajuan 11 m/s.

a. Seberapa jauh ia melompat dalam arah horizontal b. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai

2. Sebuah batu dilempar vertikal dari sebuah bangunan dengan sudut 30° terhadap horizontal dengan

kecepatan awal 20 m/s. Ketinggian gedung 45 m.

a. Berapa lama waktu yang diperlukan batu untuk mencapai tanah?

b. Berapa kelajuan batu tepat sebelum menyentuh tanah

Gerak Dua Dimensi

Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Mobil yang bergerak pada lintasan melingkar dengan kecepatan konstan v.

Meskipun benda bergerak dengan kecepatan konstan dalam lintasan melingkar, benda tersebut tetap

mengalami percepatan.

Percepatan dapat terjadi disebabkan dua hal,

(1) Perubahan besar kecepatan dan arah kecepatan (2) Benda bergerak dengan kecepatan konstan dalam

lintasan melingkar

Arah percepatan selalu mengarah ke pusat lintasan, disebut percepatan sentripetal.

Gerak Dua Dimensi

Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Besarnya percepatan sentripetal adalah

𝑎

_𝑐

= 𝑣

²

Dimana, 𝑟 merupakan jari-jari lingkaran

𝑟

Besarnya periode T adalah

𝑇 = 2𝜋𝑟 𝑣

Periode T adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran revolusi.

Besarnya kecepatan v adalah

𝑣 = 2𝜋𝑟

𝑇

Gerak Dua Dimensi

Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Besarnya kecepatan anguler adalah

𝜔 = 2𝜋 𝑇

Subtitusikan persamaan T, diperoleh

𝜔 = 2𝜋 2𝜋𝑟

𝑣 𝜔 = 𝑣

𝑟 → 𝑣 = 𝜔𝑟

Besarnya percepatan sentripetal juga dapat dituliskan sebagai berikut.

𝑎

_𝑐

= 𝑣

²

𝑟 = 𝜔𝑟

²

𝑟 = 𝜔

²

𝑟

Contoh Soal

Berapa percepatan sentripetal Bumi saat bergerak dalam orbitnya mengelilingi Matahari?

𝑎

_𝑐

= 5.93 × 10

⁻³

𝑚/𝑠

²

Gerak Dua Dimensi

Percepatan Tangensial dan Radial

Sebuah partikel bergerak sepanjang lintasan yang melengkung seperti pada gambar. Arah percepatan a mengalami perubahan pada tiap titik.

Komponen pada percepatan a terdiri dari 𝑎_𝑟 sepanjang jari-jari lingkaran dan 𝑎_𝑡 tegak lurus jari-jari tersebut. Percepatan total a dinyatakan sebagai jumlah vektor

komponennya yaitu sbb.

𝑎 = 𝑎

_𝑟

+ 𝑎

_𝑡

Gerak Dua Dimensi

Percepatan Tangensial dan Radial

Komponen percepatan tangensial menyebabkan perubahan kelajuan partikel.

Komponen ini sejajar dengan kecepatan dan berasal dari

𝑎

_𝑡

= 𝑑 𝑣 𝑑𝑡

Komponen percepatan radial muncul dari perubahan arah kecepatan dan bersal dari

𝑎

_𝑟

= −𝑎

_𝑐

= − 𝑣

²

𝑟

Contoh Soal

Sebuah mobil mengalami percepatan konstan 0,3 m/s

²

yang arahnya tegak lurus jalan. Mobil tersebut melintasi tanjakan dijalan yang puncaknya berbentuk lingkaran dengan jari-jari 500 m. Saat mobil berada di puncak tanjakan, vektor kecepatannya horizontal dan besarnya 6 m/s. Bagaimana arah

dan besar vektor percepatan total dari mobil pada saat itu?

Thank you