Dokumen Tentang KINEMATIKA PARTIKEL

1

KINEMATIKA PARTIKEL

Banyak gerak yang kita amati dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari gerak benda- benda besar seperti pergerakan planet dalam tata surya, sampai pergerakan benda-benda yang sangat kecil seperti pergerakan elektron mengelilingi inti atom. Bila diperhatikan, alam selalu berubah. Ada suatu pepatah yang mengatakan bahwa tidak ada yang abadi di alam ini, kecuali perubahan itu sendiri. Namun tahukah Anda, hukum apakah yang mengendalikan pergerakan benda-benda yang ada di alam ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, dikembangkanlah suatu cabang fisika yaitu Mekanika. Mekanika merupakan bidang ilmu fisika yang sangat ampuh untuk membahas fenomena alam yang berhubungan dengan gerakan benda-benda di alam ini, serta gaya-gaya yang menyebabkan terjadinya gerakan tersebut.

Secara garis besar, mekanika dapat dibagi 2 bagian, yaitu :

1. Kinematika, yaitu cabang mekanika yang mempelajari gerak titik materi secara ilmu ukur, tanpa menghiraukan gaya-gaya apa yang menimbulkan gerakan itu.

2. Dinamika, yaitu cabang mekanika yang mempelajari bagaimana bagaimana interaksi antara gaya dan benda.

Untuk memudahkan pembahasan, kita akan memulai dengan benda titik atau partikel.

Benda titik atau partikel ialah benda yang ukurannya dapat diabaikan terhadap skala ukuran lain. Misalnya dalam meninjau gerak benda langit, bumi dapat dianggap sebagai benda titik karena ukurannya jauh lebih kecil daripada ukuran orbitnya. Gerak benda yang bukan titik dapat pula dipandang sebagai gerak benda titik asalkan benda secara keseluruhan hanya bergerak translasi saja. Setiap titik pada benda akan mengalami pergerakan yang serupa karena itu gerak benda secara keseluruhan dapat diwakili oleh gerak salah satu titik saja.

Jika ditinjau dari bentuk lintasannya, gerak sebuah benda dapat dibedakan atas gerak lurus dan gerak lengkung. Gerak lurus adalah gerak yang lintasannya berbentuk garis lurus dan biasanya disebut gerak satu dimensi. Gerak lengkung adalah gerak yang lintasannya berbentuk garis lengkung, misalnya lingkaran, parabola, dan lain-lain. Pembahasan akan dititikberatkan pada persamaan gerak dan hubungannya satu sama lain.

A. Gerak Lurus

Gerak lurus atau disebut juga gerak satu dimensi merupakan gerak benda yang lintasannya berbentuk garis lurus. Dalam mempelajari gerak lurus dapat dibayangkan sebuah bis yang bergerak pada jalan yang lurus meninggalkan sebuah halte. Untuk mempelajari gerak bis tersebut, kita membutuhkan suatu titik acuan O yang dalam hal ini kita ambil halte bus tersebut. Kedudukan bis setiap saat dapat dihitung dari titik acuan ini dengan sebuah koordinat seperti sumbu x. Jika kita amati gerak bis, adakalanya bis bergerak cepat dan adakalanya lambat. Untuk mendeskripsikan gerakan bis dengan baik, kita memerlukan tiga besaran pokok yaitu perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Berikut ini akan dibahas masing-masing besaran tersebut.

1. Perpindahan dan Jarak

Perpindahan dapat didefinisikan dengan perubahan posisi benda pada selang waktu

2 tertentu. Misalnya sebuah mobil mengalami perpindahan sebesar Δx setelah bergerak selama selang waktu Δt, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Perpindahan merupakan perubahan posisi benda dalam selang waktu tertentu. Titik O adalah titik acuan

Misalkan pada saat t₁ mobil berada di x₁ dan pada saat t₂ mobil berada di x₂. Ini berarti terjadi perubahan posisi mobil dari x1 ke x2 selama selang waktu dari t1 dan t2. Karena perpindahan mobil mempunyai besar dan arah, maka perpindahan merupakan besaran vektor, sedangkan besarnya perpindahan disebut dengan jarak. Perpindahan bus dapat dinyatakan sebagai berikut.

Gambar 2. Panjang Lintasan

Misalkan sebuah bus bergerak dari x₁ ke x₂ dan terus ke x₃. Pada posisi x₃ bis berbalik arah dan kembali ke posisi x₂. Dalam hal ini panjang lintasan bus adalah jarak yang ditempuh bus dari x₁ ke x₃ dan kembali ke x₂. Namun, perpindahan bus adalah dari x₁ ke x2.

2. Kecepatan dan Kelajuan

Untuk melihat seberapa cepat benda berpindah dari x₁ ke x₂ kita harus membandingkan perpindahan benda dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut. Hasil perbandingan ini disebut kecepatan rata-rata.

Nilai dari kecepatan dinamakan dengan kelajuan.

Misalkan pada t1 benda berada pada x1 dan pada saat t2 benda berada pada x2 seperti terlihat pada Gambar 1 di atas. Kecepatan rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut:

Grafik perpindahan sebagai fungsi waktu diperlihatkan dalam Gambar 3.

3

Gambar 3. Grafik perpindahan sebagai fungsi waktu untuk menentukan kecepatan rata- rata

Dalam Gambar 3, besar kecepatan rata-rata dilukiskan dengan sudut α, sehingga besarnya kecepatan rata-rata dinyatakan dengan:

Kecepatan rata-rata tidak menggambarkan kecepatan benda sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. Sebagai ilustrasi, bila jarak dari kota Padang ke Padang Panjang adalah 72 km, ditempuh oleh sebuah bis dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata bis adalah 36 km/jam. Ini tidak berarti bahwa kecepatan bis sepanjang perjalanan adalah 36 km/jam, sebab bis itu cenderung bergerak lebih cepat pada jalan yang lurus dan bergerak lebih lambat pada jalan yang menanjak. Hanya rata-ratanya saja yang berharga 36 km/jam. Bila dikaitkan dengan panjang lintasan yang ditempuh oleh benda selama gerakan, dikenal istilah laju rata-rata, yakni :

Untuk mendapatkan gambaran gerak yang lebih rinci tentang kecepatan, kita harus meninjaunya dalam selang waktu yang lebih kecil. Makin kecil selang waktu yang ditinjau, makin teliti gambaran yang diperoleh.

Kecepatan sesaat

Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol. Besarnya kecepatan sesaat dapat dirumuskan sebagai berikut:

(1-4)

Gambar 4. Grafik perpindahan terhadap waktu untuk menentukan kecepatan sesaat

4 Kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva x terhadap t pada saat itu, seperti dilukiskan pada Gambar 4. Jadi:

(1-5) Satuan kecepatan adalah m/s.

Contoh Soal 1

Grafik posisi terhadap waktu untuk sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu x ditunjukkan dalam Gambar 5.

Gambar 5. Kurva posisi terhadap waktu dari suatu partikel

a. Tentukanlah kecepatan rata-rata dalam interval waktu (i) 0 sampai 2 s, (ii) 0 sampai 4 s, (iii) 2 s sampai 4 s, (iv) 4 s sampai 7 s, dan (v) 0 sampai 8 s.

b. Tentukanlah kecepatan sesaat dari partikel pada saat: (i) t = 1 s, (ii) t = 3s, (iii) t = 4,5 s dan (iv) t = 7,5 s

Penyelesaian:

a. Kecepatan rata-rata adalah perpindahan benda persatuan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut.

b. Kecepatan sesaat

5 Kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva x terhadap t pada saat itu.

Tanda negatif (-) menyatakan arah dari kecepatan, dimana kecepatan ke berarah pada sumbu x negatif.

Contoh Soal 2

Sebuah benda bergerak dengan posisi yang memenuhi persamaan x(t) = -2t² +10t, dengan x dalam meter dan t dalam detik. Tentukan: a) Kecepatan rata-rata selama selang waktu dari 0 sampai 2 detik. b) Kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 detik.

Penyelesaian:

a. Kecepatan Rata-rata

b. Kecepatan Sesaat

Saat t = 2 detik, kecepatan benda adalah v = -4 (2) + 10 = 2 m/s

3. Percepatan

Benda yang bergerak dengan kecepatan yang berubah dikatakan benda mengalami percepatan. Karena kecepatan adalah besaran vektor, maka perubahan kecepatan menyangkut perubahan besar kecepatan (laju), perubahan arah kecepatan, atau kedua- duanya. Percepatan adalah ukuran cepat atau lambatnya perubahan kecepatan.

Misalkan bis pada Gambar 1 bergerak dengan kecepatan v pada saat t1 dan v pada saat t2, besarnya percepatan rata-rata adalah:

| ⃗| ⃗ ⃗

⃗

(1-6)

Analogi dengan besar kecepatan sesaat, besar percepatan sesaat adalah besarnya perubahan kecepatan dalam selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol,

6

(1-7)

Gambar 6. Grafik kecepatan sebagai fungsi waktu

Pada Gambar 6, besar percepatan rata-rata dilukiskan dengan sudut β dan besar percepatan sesaat dilukiskan dengan sudut γ pada Gambar 4, sehingga

(1-8) Satuan percepatan adalah m/s².

Contoh Soal 3

Grafik kecepatan terhadap waktu dari sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu x diperlihatkan dalam Gambar 7. (a) Plotlah grafik percepatan terhadap waktu. (b).

Hitunglah percepatan rata-rata benda dalam interval waktu; 0 sampai 20 detik dan 5 sampai 15 detik.

Gambar 7. Kurva kecepatan terhadap waktu

Penyelesaian:

a. Percepatan adalah kemiringan grafik v terhadap t Dari Gambar 7 diperoleh,

7 Grafik percepatan terhadap waktu diperlihatkan dalam Gambar di bawah.

Gambar 8. Grafik percepatan terhadap waktu

b. Percepatan rata-rata,

c.

4. Hubungan Posisi, Kecepatan, dan Percepatan

Jika perpindahan sebagai fungsi waktu, atau x = f(t), maka kecepatan dan percepatan dapat pula dinyatakan sebagai fungsi waktu, yakni berturut-turut v = f(t) dan a = f(t).

Persamaan kecepatan dan percepatan telah diungkap dalam persamaan (1-4) dan (1-7), yang menunjukkan bahwa kecepatan, v adalah turunan pertama dari posisi, x, sedangkan perepatan, a adalah turunan pertama dari kecepatan, v atau turunan kedua dari posisi, x.

Berdasarkan pers. (1-7) diperoleh hubungan percepatan dan kecepatan benda,

(1-9)

Persamaan (1-9) di atas berlaku secara umum untuk mencari hubungan antara kecepatan dan percepatan dari benda yang bergerak.

(1-10) dengan v adalah kecepatan saat t = t dan v₀ adalah kecepatan saat t = t₀

Dari persamaan (2-4) diperoleh hubungan posisi dengan kecepatan:

8 (1-11)

Persamaan (2-11) di atas berlaku secara umum untuk mencari hubungan antara posisi dan kecepatan dari benda yang bergerak. Bila percepatan konstan, maka hasil integral di atas adalah:

(1-12) )

Lihat kembali persamaan (2-7),

(1-13)

Indeks o dalam persamaan di atas menyatakan keadaan awal.

Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan

Benda yang bergerak lurus dengan kecepatan konstan sepanjang geraknya, dinamakan gerak lurus beraturan. Apabila benda yang bergerak lurus dengan percepatan konstan dinamakan dengan gerak lurus berubah beraturan. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, kita rangkumkan kembali persamaan gerak untuk benda yang bergerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan seperti dalam tabel di bawah ini.

Contoh Soal 4

9 Gerak Jatuh Bebas

Salah satu contoh gerak lurus dengan percepatan konstan adalah gerak benda jatuh bebas dengan hambatan udara diabaikan. Benda akan mengalami percepatan konstan yaitu percepatan gravitasi, disimbol g. Besarnya percepatan gravitasi di dekat permukaan Bumi adalah sekitar 9,8 m/s². Secara umum, istilah benda jatuh bebas, tidak selalu merujuk kepada benda yang di jatuhkan dari keadaan diam. Tetapi, setiap benda yang bergerak bebas dan hanya dipengaruhi oleh gravitasi saja, dikatakan benda yang bergerak jatuh bebas. Dengan demikian, benda yang dilemparkan ke atas juga termasuk dalam gerak benda jatuh bebas.

Persamaan gerak benda jatuh bebas diturunkan dari persamaan gerak lurus dengan percepatan konstan atau gerak lurus berubah beraturan, yaitu:

10 Contoh Soal 5

Sebuah bola golf dijatuhkan dari keadaan diam dari puncak gedung yang tinggi. Abaikan hambatan udara dan hitunglah posisi dan kecepatan bola saat 1, 2 dan 3 detik setelah dijatuhkan.

B. Gerak Lengkung

Gerak lengkung merupakan gabungan dari beberapa gerak lurus. Gerak lengkung dapat juga merupakan gerak dua dimensi dan tiga dimensi. Berikut ini akan dibahas perpindahan, kecepatan, dan percepatan dari gerak lengkung. Untuk selanjutnya, pembahasan gerak lengkung dinyatakan dalam notasi vektor.

Posisi

Misalkan sebuah benda titik bergerak dari A ke B, membentuk lintasan berupa garis lengkung seperti yang dilukiskan pada Gambar 2.12. Pada saat t, posisi benda berada di A dinyatakan oleh vektor posisi:

sedangkan pada saat t’ posisi benda berada di B dinyatakan oleh vektor posisi:

11

Gambar 9. Lintasan pada gerak lengkung

Dari Gambar 9, dapat dilihat bahwa jarak AB menunjukkan perpindahan benda dari posisi ⃗ ke posisi ⃗⃗⃗⃗, sehingga:

Jadi perpindahan dinyatakan dengan vektor perpindahan sebagai berikut:

(1-14)

(1-15)

(1-16)

(1-17)

(2-18) Arah vektor kecepatan dapat ditentukan terhadap masing-masing sumbu sebagai berikut:

12 (2-19) Perubahan vektor kecepatan baik arah maupun besarnya menunjukkan bahwa benda mengalami percepatan. Arah vektor kecepatan searah garis singgung seperti dilukiskan pada Gambar 10.

Gambar 10. Kecepatan pada gerak lengkung

Percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

Perubahan vektor kecepatan dalam selang waktu disebut percepatan rata-rata dan dirumuskankan sebagai,

(1-20)

(1-21)

(1-22)

13

(1-23)

Contoh Soal 6

14 C. Gerak Melingkar

Gerak melingkar dapat didefinisikan sebagai gerak benda pada lintasan berupa keliling lingkaran, baik lingkaran penuh atau tidak penuh. Dalam gerak melingkar, jarak benda ke suatu titim acuan, yang merupakan titik pusat lingkaran selalu tetap. Pada gerak melingkar, arah kecepatan selalu menyinggung lintasan, yang berarti pada gerak melingkar kecepatan selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran. Dalam pembahasan ini, akan ditinjau gerak melingkar beraturan dan gerak melingkar berubah beraturan.

Berdasarkan Gambar 11, posisi benda yang bergerak melingkar setiap saat dapat dilukiskan sebagai berikut.

(1-24)

dengan θ adalah sudut yang dibuat vektor posisi benda terhadap sumbu x, dan R adalah jari- jari lingkaran.

Gambar 11. Ilustrasi partikel yang melakukan gerak melingkar

Perhatikan bahwa dalam hal ini R adalah konstan, tetapi vektor satuannya merupakan fungsi dari waktu. Bila sudut θ dinyatakan dalam radian, maka panjang busur s dapat dinyatakan sebagai

s = R (1-25)

(1-26) disebut besar kecepatan sudut.

Dalam koordinat polar, kecepatan linier benda dapat ditulis

(1-27)

(1-28)

15 disebut percepatan sudut dengan satuan radian/s².

Dalam koordinat polar percepatan benda dapat ditulis

(1-29)

(1-30)

(1-31)

(1-32)

16 D. Gerak Peluru

Gerak sebuah peluru dipengaruhi oleh percepatan gravitasi g

dengan arah vertikal ke bawah.

Pada arah horizontal percepatannya sama nol. Misalkan sebuah peluru ditembakan dengan kecepatan awal vo dan arah membentuk sudut elevasi θ terhadap garis horizontal. Lintasan peluru dapat dilihat pada Gambar 12 di mana y_maks dan R berturut-turut adalah titik tertinggi dan titik terjauh yang dapat dicapai oleh peluru.

Gambar 12. Lintasan gerak peluru

(1-33)

(1-34)

(1-35)

(1-36)

(1-37)

(1-38)

17 Dengan mengeliminir harga t pada pers. (1-33) ke (1-34) didapatkan persamaan lintasan peluru:

(1-39)

yang menghasilkan sebuah grafik berbentuk parabola.