TEORI BILANGAN
Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Jenis-jenis bilangan bulat antara lain adalah:
✓ Bilangan Asli Terdiri atas : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
✓ Bilangan Cacah Terdiri atas : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
✓ Bilangan Prima Merupakan bilangan yang hanya memiliki 2 faktor yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Pecahan
Bentuk umum pecahan adalah . Dimana adalah pembilang dan adalah penyebut (pembagi). Bentuk- bentuk pecahan dapat dilihat pada tabel berikut:
Pecahan Desimal Persen
1 2
0,5 50%
1 3
0,3333 33,33%
1 4
0,25 25%
Pecahan Istimewa
Noted:
Hapalkan bilangan Istimewa sangat membantu dalam operasi bilangan
Operasi Pecahan
✓ Penjumlahan & pengurangan pecahan
± = . ± ..
✓ Perkalian pecahan x =
✓ Pembagian Pecahan : = x =
Contoh:
Tini memiliki persediaan terigu 2 kemudian membeli lagi 3 . Terigu tersebut digunakan untuk membuat kue sebanyak 4 . Sisa terigu sebanyak
2 + 3 = (2+3) +
= 5 kg 5 − 4 = (5-4) −
= 1 kg
OPERASI HITUNG ALJABAR
Perkalian Bentuk Aljabar Perpangkatan Bentuk Aljabar
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
❑ Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
❑ Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c) dengan a, b, dan c bilangan riil)
❑ Sifat Distributif
a(b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil
Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan linear yang variabel variabelnya berderajat (berpangkat) satu. Menyelesaikan persamaan linear dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan subtitusi.
Persamaan Linear Satu Variabel Contoh : 2x–3 = 5
2x = 8
x = 4
Persamaan Linear Dua Variabel Eliminasi
3x + 5y = 27 2x + 5y = 23 x = 4
Contoh : 2x + 5 < 5x –4 2x– 5x < -4–5 -3x < -9 (:-3)
x > 3
Subtitusi
2x + 5y = 23 2.4 + 5y = 23 5y = 15
y = 3 Petidaksamaan linear
Pertidaksamaan ditandai dengan simbol, ≤ , dan ≥ Misal :
1. x > 2→nilai terkecil x adalah mendekati 2.
2. x < 6→nilai terbesar x adalah mendekati 6
3. 2 < x ≤ 5 →nilai terkecil x mendekati 2 dan nilai x terbesar adalah 5.
PERSEN
1. Persen a dari b = x 100%
2. a% dari b = x b
3. Persen perubahan (kenaikan/penurunan)
% perubahan = x 100%
4. Persen gabungan/campuran
% gabungan = %. %.
fx = bobot x dan fy = bobot y
1. Hubungan antara harga pembelian (B), harga penjualan (J), dan untung (U)
U = J– B
2. Persen Untung = x 100%
3. Hubungan harga beli (B) dengan Diskon B = (100(D) – D)% x harga asli
ARITMATIKA SOSIAL
SKALA , KESEBANGUNAN
✓ Skala =
✓ Kesebangunan
HIMPUNAN
✓ DIAGRAM VENN
Memahami penggunaan Diagram Venn dalam pemecahan persoalan, berikut ini diberikan ilustrasi sebagai berikut :
Diagram Venn 2 Himpunan
A saja
A dan B
B saja
Bukan A dan B
Diagram Venn 3 Himpunan
Urutan pengisian diagram venn :
1. Yang menunjukkan anggota ketiga himpunan = g
2. Yang menunjukkan anggota dari dua himpunan saja yaitu : d,e, f 3. Yang menunjukkan anggota dari
satu himpunan saja yaitu : a, b, c
PERBANDINGAN
a. Perbandingan senilai adalah upaya membandingkan dua buah objek atau lebih, dengan besar salah satu nilai variabel yang bertambah, maka membuat variabel lain menjadi bertambah juga. Rumus:
=
b. Perbandingan berbalik nilai adalah suatu upaya membandingkan dua buah objek atau lebih dengan besar nilai salah satu variabel yang bertambah, maka membuat variabel lain menjadi berkurang nilainya atau tidak sama.
Rumus:
=
Contoh:
Pembuatan kolam ikan dilakukan oleh 8 pekerja dengan gaji seluruh pekerja sebesar Rp 300.000. Namun pemilik kolam ikan tersebut ingin mempercepat pembuatannya maka dari itu menambahkan 4 orang lagi. Hitunglah berapakah jumlah gaji tambahannya ?
Diketahui :
a1 = 8 b1 = 300.000 a2 = 4 Ditanya: b2 =…?
Maka nilai b2
=
. = (kali silang) 8 x b2 = 300.000 x 4
b2 = 1.200.000/8 b2 = 150.000
Maka, jumlah gaji tambahannya sebesarRp 150.000
Contoh:
Pembangunan rumah dilakukan oleh 6 pekerja dengan waktu penyelesaikan selama 22 hari. Apabila jumlah pekerjanya menjadi 8 orang maka membutuhkan waktu berapa hari agar rumah tersebut dapat selesai ?
Diketahui :
a1 = 6 b1 = 22 a2 = 8 Ditanya : b2 = ?
Maka nilai b2
=
= (kali silang) 6 x 22 = 8 x b2
b2 = 132/8 b2 = 16.5
Maka, pekerja tersebut membutuhkan waktu selama16,5 hariuntuk menyelasaikan pembangunan rumah tersebut.
JARAK, WAKTU, DAN KECEPATAN
✓ Hubungan Jarak (S), Waktu (T), Dan Kecepatan (V) Hubungan antara v, s, dan t dapat dilihat pada segitiga berikut.
✓ KECEPATAN RATA-RATA
Kecepatan (v) = ( )( )
Kecepatan (v) = (( ⋯⋯ ))
✓ KECEPATAN RELATIF
❑ Gerak Searah: Jika A bergerak dengan kecepatan v1 dan B bergerak dengan kecepatan v2, A dan B bergerak dengan arah yang sama, maka kecepatan relatif antara A dan B adalah: jika t2 adalah waktu yang dibutuhkan orang kedua untuk dapat menyusulorang pertama dengan v2 > v1, dan ∆t adalah selisih waktu kedua orang tersebut mulai bergerak, maka:
❑ Berlawanan Arah/Saling Mendekati: Jika A bergerak dengan kecepatan v1 dan B bergerak dengan kecepatan v2, A dan B bergerak dalam arah yang berlawanan, maka kecepatan relatif antara A dan B adalah:
Jika A dan B terpisah sejauh s, dengan kecepatan masing-masing v1 dan v2. Jika keduanya samsama bergerak dalam arah yang saling mendekati, waktu yang dibutuhkan A dan B untuk berpapasan adalah:
Waktu menyusul (t2) = ∆
V = v1+v2
Waktu berpapasan (t) =
TEORI PELUANG
✓ KAIDAH PENCACAHAN
Jika A dapat terjadi dengan m cara dan B dapat terjadi dengan n cara maka:
❑ Jika A dan B adalah peristiwa yang terjadi bersamaan atau berurutan maka A dan B dapat terjadi dengan m x n cara.
❑ Jika A peristiwa yang terpisah dengan B maka peristiwa A atau B dapat terjadi sebanyak m + n cara.
Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya.
Contoh : penomoran, posisi duduk, susunan buku pada rak, susunan kepengurusan organisasi, dll.
Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang tidak memperhatikan urutannya.
Contoh : cara menjawab soal-soal ujian, mengambil bola dari dalam sebuah kotak, banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, dll. Kombinasi n unsur dari r unsur adalah :
✓ PELUANG
P(A) adalah peluang kejadian
A n(A) adalah banyaknya kejadian A n(S) adalah banyaknya sampel kajadian
Peluang Kejadian Majemuk
Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Lepas Peluang Kejadian Bersyarat
peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul
✓ FREKUENSI HARAPAN
Frekuensi harapan terjadinya A adalah hasil kali peluang
STATISTIKA
Sumber: idschool.net
✓ Data Tunggal ✓ Data Kelompok
BARISAN ARITMATIKA DAN GEOMETRI
✓ Barisan aritmatika :
a, a + b, a + 2b, …, a + (n-1)b ✓ Barisan Geometri : a, ar, ar^2 , …, arn^ – 1
Untuk r >1
Untuk r <1
Jika p, q dan r adalah suatu pernyataan, maka terdapat tiga cara dalam penarikan kesimpulan, yaitu :
PENARIKAN KESIMPULAN
Premis1 : Jika anak itu siswa SMAN 2 Bengkulu maka ia memakai seragam batik biru Premis 2 : Ahmad siswa SMAN 2 Bengkulu
p : ”Anak itu siswaSMAN 2 Bengkulu”
q : ”Anak itu memakai seragam batik biru”
maka menurut aturan modus ponens berlaku :
p → q : Jika anak itu siswa SMAN 2 Bengkulu maka ia memakai seragam batik biru p : Ahmad siswa SMAN 2 Bengkulu
Jadi Kesimpulannya:
q : Ahmad memakai seragam batik biru
Premis 1 : Jika x bilangan kelipatan 6 maka x habis dibagi 3 Premis 2 : 8 tidak habis dibagi 3
p : ” Wati malas belajar”
q : ”Wati naik kelas”
maka menurut aturan modus tolens berlaku :
p → –q : Jika Wati malas belajar maka ia tidak naik kelas q : Wati naik kelas
Jadi Kesimpulannya:
–p : Wati tidak malas belajar
