Dokumen Tentang KINEMATIKA FLUIDA

BAB III

KINEMATIKA FLUIDA

3.1 Beberapa Definisi Penggambaran Gerak Fluida Garis Lintasan/Trayektori

Adalah garis yang dilalui oleh partikel fluida dalam suatu periode waktu tertentu.

trayektori

Garis lintasan dinyatakan oleh persamaan perpindahan Lagrange.

x1=x1(a,t) xI = xI (aI, t) STREAM LINE (Garis Arus)

Adalah garis dimana di setiap titiknya bersinggungan dengan vektor kecepatan.

Vr Vr Vr

Vr

V r

Garis arus

Pada saat t Vr

Stream line menggambarkan pola aliran sesaat Secara matematis dinyatakan sebagai :

( )

k dz j dy i dx s d

k v j v i v v

t y x v v

v s d

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

, ,

0

+ +

=

+ +

=

=

=

×

r r r

r r

Atau :

ir rj

kr

dx dy dz = 0

u v w

Determinan ini menghasilkan Persamaan Stream Line :

w dz v dy u

dx = =

………. (1)

STREAM TUBE

Adalah suatu elemen aliran yang dibatasi oleh garis-garis arus.

stream surface

Karena vr bersinggungan dengan stream line maka tidak ada fluida yang dapat melewati batas dari stream tube. Bila stream tube ini sangat kecil (infinitesimally small) maka kumpulan (bundle) stream line ini disebut stream fillament. Untuk stream tube yang cukup besar permukaan bidangnya disebut stream surface. Stream surface merupakan interface (muka antara) dari dua daerah aliran fluida yang berbeda.

STEAK STREA LINE (Garis Gores)

Adalah suatu garis yang menghubungkan semua partikel-partikel yang telah melalui suatu posisi koordinat euler yang tetap dan diketahui.

Garis Lintsan/path

line

Garis arus (stream line) stream line

Pada saat t=t₀ pada saat t=t₀+Δt

v v

•

Bila aliran adalah tunak (steady) maka steam lines , path lines, atau trayektori, dan streats lines adalah identik.

Garis gores /steak line

Path line

STREAM FLUID (Garis Fluida)

Adalah garis yang menghubungkan partikel-partikel fluida pada saat t₁yang mana sudah didefinisikan pada saat t₀sebelumnya.

Profil kecepatan Garis fluida pada saat t₁ Contoh penentuan stream lines, path lines, dan streat lines.

1. Komponen medan kecepatan diberikan oleh :

0 :

0 ,

;

₂

1 3

≥

=

=

=

⁻

t untuk

w y k v xe k

u

^{k t}

Tentukan persamaan yang menyatakan famili stream lines bila :

3

1

2

1

= k = k =

k

Solusi :

Terapkan persamaan :

Steam line pada saat t = t0 + 2 Δt

Garis fluida pada saatt₁

y dy xe

dx v dy u dx

t =

=

−

Integrasikan :

ta kons c cx y

cx y

c x

y

t t t

e e e

tan

; ln ln

ln ln

ln

=

=

=

+

=

Dari komponen-komponen kecepatan yang diberikan dapat dilihat bahwa kecepatan sama dengan nol di titik pusat koordinat. Misalkan pada suatu waktu t stream lines melalui titik (a,b).

Dengan menggunakan harga x = a dan j = b diperoleh : et

ca b

b y a x t t

=

=

=

= ; ;

Konstanta integrasi : _e^e

a c = b

Jadi Persamaan Stream Lines : t

ae

y= b x^{e t}

Atau :

et

a b x

y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

y

(a, b)

x

t = 0 t = 1 t = 2

2. Tentukan garis lintasan (path lines) dari partikel fluida bila pada t = 0 ia berimpit dengan titik (x y )

Steam line yang melalui titik (a, b) untuk waktu yang berbeda

Solusi:

y dt v

dy

xe dt u

dx ^t

=

=

=

= ⁻

Integrasi persamaan-persamaan di atas menghasilkan :

) 1 ...(

1 ln

1 0 0

0 0

e t

t t t x

x

e x x

x e x

dt x e

dx

− −

−

−

=

−

=

=

∫

∫

atau dari :

) 2

0 ...(

0 0

t y t

y

e y y

y dt dy

=

=

∫

∫

Untuk mendapatkan persamaan path line kita eliminasi t dari persamaan(1) dan (2) :

Dari persamaan (1) :

0 0 0

ln 1

1 ln 1

1 ln

x e x

x e x

x e x

t t

t

−

=

−

=

−

=

−

−

Subtitusi ke dalam persamaan (2) menghasilkan persamaan path line :

0 0

ln

1 x

x y y

−

=

3. Tentukan persamaan stream line yang melalui titik(x0,y0) dan persamaan path line dari partikel fluida yang berimpit dengan titik (x0,y0) pada t=0 bila medan kecepatan diberikan oleh :

(

^{k xe}

)

ⁱ

⁽

^{k y}

^{) ( )}

^{j k}

v ^k ˆ ˆ 0 ˆ

2

1 + +

= ⁻

r

k = konstanta tak berdimensi k1 = k2 = 1 dan dimensinya ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ τ 1 Solusi :

ek k

cx y

y dy xe

x v dy u dx

=

=

=

−

c = konstanta integrasi

Di titik (x0,y0) konstanta integrasi dapat ditentukan :

k e k

x e

c y

cx y

0 0

0 0

=

=

Jadi persamaan stream line :

ek

x y x

y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

path line :

∫

^{x =}

∫

⁻

x t

kdt x e

dx

0 0

atau x= x₀e^e−k.t...(1)

∫

^{y =}

∫

y t

y dt dy

0 0

atau y= y₀e^t...(2)

dari persamaan (1) :

t e t e e

t e

t e

e x e

x x e

x e x x

k k k

k k

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

−

−

−

. 0

. 0

. 0

Path line :

ek

x y x

y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

4. Tentukan persamaan garis gores (streak line) yang melalui titik (a,b) untuk medan kecepatan yang diberikan dalam contoh 3.

Solusi :

Lokasi tiap titik partikel fluida untuk sembarang waktu t diberikan oleh persamaan (1) dan (2) di atas :

e k

e x

x =

₀ ^τ− dan

b = y

₀

e

^τ

untuk tiap partikel yang melalui titik (a,b) pada t=τ berlaku : ( )

: .

.

t untuk

be y

ae x

t t

e k

≤

=

=

−

− −

τ

τ τ

τ

τ e y b

e k e x a

0

0

=

= −

atau

τ τ

−

−

=

= ⁻

be y

ae

x ^{e k}

0 0

eliminasi (τ -2) dari kedua persamaan di atas menghasilkan :

ek

a b x

y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ dengan demikian lokasi tiap partikel melalui titik (a, b) pada t ≤τ

Summary : Stream Line :

ek

x y x

y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

Path Line :

ek

x y x

y ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

Streak Line :

ek

a b x

y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Kesimpulan :

Untuk medan kecepatan yang tidak bergantung pada waktu (steady), Stream Line, Path Line, dan Streak Line adalah IDENTIK.

z w T y v T x u T t T dt

dT

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

z w T y v T x u T t T Dt

DT

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

w z v y

u x t Dt D

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂() () () () )

(

4.2 Derivative Total ( Total Derivative, Material Derivative )

Didalam mempelajari gerak fluida kita tentunya ingin menyatakan perubahan parameter fluida dalam ruang dan waktu ( x, y, z, t ) Perubahan total dari parameter fluida misal suhu air yang merupakan fungsi dari x,y,z, dan t secara matematis dapat dinyatakan oleh

:

Bila kita bagi ruas kiridan ruas kanan , persamaan (1) dengan dt diperoleh :

Persamaan ini sering ditulis sebagai :

Atau

Operator Dapat diterapkan baik untuk besaran skalar, mis : Suhu, densitas, dll maupun besaran Vektor, mis :

= Perubahan Total dari suhu

= Perubahan lokal dari suhu dgn waktu di suatu lokasi tertentu Suku ini disebut suhu perubahan lokal

Disebut suhu perubahan advektif / suku perubahan konvektif.

dt w dz

dt v dy

dt u dx

z dz dy T

y dx T x dt T t dT T

t z y x T T

=

=

=

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

) 1 .(

...

...

) , , , (

Perubahan Total dari suhu

Dt D

V r

Dt DT

t T

∂

∂

z w T y

v T x u T

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

Suku ini menyatakan perubahan suhu dari partikel fluida akibat perpindahannya dari suatu tempat ke tempat yg lain dimana terdapat gradien suhu .

Secara illustratif perubahan total dari suhu dengan waktu dapat diterangkan sebagai berikut :

Misalkan suatu front udara panas bergerak dari lintang rendah ke lintang tinggi.

Suatu stasiun meteorologi yang terletak dijalur lintasan udara panas tersebut akan mencatat perubahan suhu dengan waktu. Perubahan suhu dengan waktu yang tercatat di stasiun meteorologi tersebut dinamakan perubahan lokal dari suhu ⎟⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ t

T Udara panas

yang bergerak dari lintang rendah ke lintang tinggi dengan kecepatan tertentu juga mengalami perubahan suhu karena ada gradien suhu diantara lintang rendah dan lintang tinggi. Perubahan suhu ini disebut : Perubahan konvektif

Perubahan total dari suhu yang dialami partikel udara yang bergerak dari lintang rendah ke lintang tinggi dinyatakan oleh :

Perubahan total dari suhu yang dialami oleh partikel udara sama dengan perubahan lokal dari suhu dengan waktu ditambah perubahan suhu partikel udara yang dialaminya selama pergerakannya di dalam ruang yang memiliki gradien suhu

Perubahan total adalah perubahan yang dialami pengamat yang bergerak bersama fluida.

Contoh :

1). Suhu permukaan air sungai yang diukur dengan termometer yang bergerak dengan kecepatan 10 km / hari bersama arus sungai menunjukkan air mengalami peningkatan suhu 0,5 ⁰C perhari. Pada saat yang sama suhu air yang diukur di suatu lokasi tertentu menunjukkan pengurangan suhu dengan laju 1,4⁰C per minggu a) Berapa gradien longitudinal dari suhu didalam sungai

b) Apakah air sungai lebih panas atau lebih dingin didaerah hulu

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ dt dT

z w T y v T x u T

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z w T y v T x u T t T dt

dT

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

Solusi :

Aliran sungai dapat kita pandang sebagai aliran satu dimensi a)

-1,4

Tanda minus dari menunjukan pengurangan suhu dengan waktu U =10 km/hari

= 10⁴ m/hari

b) Disini kita lihat jadi suhu air sungai bertambah kearah hilir.

Dengan demikian air sungai bertambah dingin kearah hulu.

Tinjau kembali Operator

atau dapat ditulis sebagai :

Operator dapat kita terapkan pada vektor kecepatan

Atau

z w V y v V x u V t a V

V t V

a V

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

=∂

∇

∂ +

=∂

r r

r r r

r r r

r

Dalam bentuk komponen – komponennya :

[ ]

⁴

4 0,5 0,2 0,7 10

10 1 1

× −

= +

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

− ∂

∂ =

∂

∂

∂

∂ =

∂

=

∂ + ∂

∂

= ∂

t T dt dT u x T

t T t

T dt dT

x u T t T dt

dT

>0

∂

∂ x T

Dt D

w z v y

u x t Dt

D

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

∂ +

= ∂ V

t Dt

D r

Dt

D

V r

) 2 ...(

...

.∇

∂ +

= ∂ V

t V V Dt

D r r r

oC/m 0,5⁰C/hari

-1,4⁰C/minggu

z w w y v w x u w t a w

z w v y v v x u v t a v

z w u y v u x u u t a u

z y x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

Percepatan konvektif

Percepatan Lokal

Percepatan lokal ≡ Perubahan lokal dari kecepatan

Percepatan konvektif ≡ Perubahan kecepatan akibat pengerakan didalam ruang yg memiliki gradien kecepatan

Contoh :

2). Perhitungan material derivatif untuk kecepatan medan kecepatan aliran tiga dimensi diberikan oleh ft/sec

Tentukan percepatan dalam arah Y ( ay = ? )

dititik x = 1 ft; y = 1 ft; z = 9 ft; dan t = 2 sec Solusi :

3). Medan kecepatan aliran 2 dimensi diberikan oleh :

a) Apakah Aliran Steady ?

b) Tentukan material derivatif / perubahan total dari kecepatan ! Percepatan

total

t V

∂

∂ r

V V r r

∇

=

( ^{z x} ) ^{i yt j xz k}

V r

₂

r

₂

r

₂

r

3 − + +

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 4 4

2 2

2 2

2 2

2

sec ft 20 16 4

2 1 2 1 2 2 , 9 , 1 , 1

2

0 0

3 2 3

= +

=

+

= +

=

+ +

− +

=

=

=

−

=

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

y

y y

a

yt yt

xz t

yt x

z yt a

xz w

yt v

x z u

z w v y v v x u v t a v

(

^{x y}

)

ⁱ

(

^{xy x}

)

^j

Vr ₂ r ₂ r

3

2 − + +

=

Solusi :

a) Karena medan kecepatan tak bergantung pada waktu maka aliran adalah steady b)

Efek Unsetady

Misalkan kita tinjau perubahan suhu dalam aliran satu dimensi

Suhu tetap bisa berubah meskipun tidak ada gerakan (u=0). Perubahan suhu ini akibat suku atau suku unsteady

Jadi perubahan suhu yg terjadi adalah efek dari suku unsteady atau akibat efek unsteady Contoh :

Bila kita biarkan kopi panas di dalam cangkir dalam waktu yang cukup lama suhunya lama kelamaan akan turun, karena pengaruh dari ∠0

∂

∂ t

T

Efek unsteady ini dapat juga kita lihat pada aliran didalam pipa yg uniform : artinya kecepatan aliran konstan didalam ruang tetapi berubah dengan waktu.

u=V1 u =V2=V1

x1 x2

Kecepatan aliran di X1 adalah V1, di X2 adalah V2 yg besarnya sama dengan V1 → V2=V1

x u T t T dt dT

∂ + ∂

∂

= ∂

( ) ( ( ) ) ( )( )

(

x xy x

) (

i x xy x y y

)

j Dt

V D

j x i x xy j

x y i x y Dt x

V D

x xy v

y x u

t V y v V x u V Dt

V D

r r r

r r

r r

r r r

r

2 2

3 2

3

2 2

2 2

3 15

2 7 7

8

0 3

3 2

3 4

2 3 2

− +

− +

−

−

=

+ +

− + +

+ +

−

= +

=

−

=

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

t T

∂

∂

Jadi kecepatan aliran adalah konstan didalam ruang namun ia berubah dengan waktu Dengan demikian aliran tetap mengalami percepatan atau Perlambatan atau perubahan kecepatan akibat pengaruh perubahan lokal dari kecepatan

Efek Konvektif

Perubahan suhu atau perubahan kecepatan dapat terjadi akibat efek konvektif (efek suku konvektif)

Contoh :

Kita tinjau perubahan suhu yang dialami oleh partikel air didalam suatu pemanas air (water heater)

Suhu air yang masuk dan suhu air yang keluar dibuat konstan → (prosesnya Steady) Partikel air bergerak dengan kecepatan u didalamwater heater Tout > Tin → ada gradien suhu didalam water heater. Jadi partikel air mengalami perubahan suhu dalam gerakannya di dalam water heater sebesar Perubahan suhu yang dialami partikel air ini adalah efek dari suku konvektif atau efek konvektif.

Efek konvektif ini dapat juga kita lihat pada kasus aliran yang berubah dalam ruang tetapi tidak dengan waktu.

u=V1 u=V3=V1<V2

u=V2>V1

x2

x1 x3

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

∂

∂ 0

x u

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ≠

∂

∂ 0

t u

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ dt du

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ t u

t u dt

du

∂

= ∂

Path Lines

Air Dingin Tin

Water Heater

Air Panas

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

∂

∂ 0

t T

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ x T

x u T dt dT

∂

= ∂

Kecepatan aliran di x1 adalah u= V1

x2 adalah u = V2 → V2 > V1

x3 adalah u = V3 → V3 = V1 < V2

Kecepatan aliran tidak berubah dengan waktu . Meskipun perubahan lokal sama dengan nol aliran fluida tetap mengalami perubahan kecepatan akibat pengaruh suku konvektif ( Efek konvektif )

Perubahan kecepatan ini timbul akibat partikel fluida bergerak di dalam ruang yg memiliki

gradien kecepatan

Didaerah jadi aliran dipercepat Jadi aliran diperlambat

Karena V1=V3, maka jumlah pertambahan kecepatan = jumlah pengurangan kecepatan meskipun jarak antara x1 dan x2 tidak sama dengan jarak x2 dan x3

3.3 Kekekalan Massa

Salah satu konsep penting didalam gerak fluida adalah konsep kekekalan massa. Massa fluida adalah kekal. Kalau kita tinjau suatu sistem , pertama bahan massa didalam sistem akan diimbangi oleh pengurangan massa yg sama jumlahnya didalam sistem tersebut . Pertambahan massa disuatu tempat diimbangi dengan jumlah yang sama oleh pengurangan massa ditempat lain didalam sistem yang sama. Konsep kekekalan massa ini dinyatakan oleh persamaan kontinuitas.

Tinjau suatu volume kontrol (control volume) seperti terlihat pada gambar berikut;

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

∂

∂ 0

t u

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

∂

∂ 0

t u

0 0

3 2

2 1

∂ <

< ∂

<

∂ >

< ∂

<

∂

= ∂

=

x x u

x x

x x u

x x

x u u dt a

du

x

z

^ρudydzdt

dy

dxdx

y

x

Kita akan meninjau aliran massa yang masuk kedalam dan aliran massa dari suatu volume kontrol (dx,dy,dz) yang keluar.

Massa fluida yang masuk kedalam kontrol volume melalui bidang (dy dz) dlm interval waktu dt = ρudydzdt

dimensi dari ρudydzdt adalah

xLxLxT [ ] M T

x L L

M ⎥⎦ ⎤ =

⎢⎣ ⎡

3

Massa fluida yg keluar kontrol volume melalui bidang (dy,dz) pada jarak dx dalam interval waktu dt dapat ditentukan dari uraian Taylor yg besarnya

= ρu dydzdt+ [ (∂ρu/∂x) dx] dydzdt+ 0 (dx²)

ρudydzdt +

( )

) ( 0 dx

²

dydzdt

x dx

u +

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∂

∂ ρ

0(dx²) menyatakan suku-suku orde tinggi

Bila kita tinjau uraian taylor sampai orde 1 saja maka aliran massa yang keluar dlm interval waktu dt dapat ditulis sebagai

ρu dydzdt + ∂(ρu)∂x dxdydzdt

Aliran massa bersih (netto) dalam arah x samadengan aliran yang keluar dikurangi aliran yang masuk

ρu dydzdt + ∂(ρu)∂x - dxdydzdt ρu dydzdt = ∂(ρu)∂x dxdydzdt

dz dx

( ) dx dydzt x

u u ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∂

+ ∂ ρ

ρ

Dengan cara yg sama kita dapat menentukan aliran bersih dari massa fluida dalam arah y dan arah z.

Aliran massa bersih dalam arah y diberikan oleh : ∂(ρv)∂y dy dx dz dt Aliran massa bersih dalam arah z diberikan oleh : ∂(ρw)∂z dz dx dy dt

Jadi aliran massa bersih yang keluar dari volume kontrol sama dengan jumlah aliran massa bersih dalam arah x,arah y dan arah z yg besarnya

[∂ρu/∂x +∂ρv/∂y +∂ρw/∂z] dx dy dz dt………..(1)

Aliran massa yg keluar dari volume kontrol ini harus sama dgn pengurangan massa didalam volume kontrol.

Pengurangan massa didalam volume kontrol dalam interval waktu dt.

= - (∂ρ/∂t) dt dx dy dz….(2)

tanda minus menunjukan pengurangan

Dengan menyamakan persamaan (1) dan (2) diperoleh

[∂ρu/∂x +∂ρu/∂y +∂ρu/∂z] dx dy dz dt = - (∂ρ/∂t)dt dx dy dz atau [∂ρu/∂x +∂ρv/∂y +∂ρw/∂z] = - (∂ρ/∂t)……..(3)

pers(3) dapat ditulis dalam bentuk lain

u∂ρ/∂x+ ρ∂u/∂x+v∂ρ/∂y+ ρ∂v/∂y+w∂ρ/∂z+ ρ∂w/∂z = - ∂ρ/∂t

u∂ρ/∂x + v(∂ρ/∂y)+ w(∂ρ/∂z) + [ ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z] ρ= - ∂ρ/∂t [∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z] ρ= - [∂ρ/∂t+ u∂ρ/∂x+ v∂ρ/∂y+w∂ρ/∂z]= - Dρ/Dt ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = - 1/ρ Dρ/Dt…………..(4)

Persamaan (3) menyatakan persamaan kotinuitas pada suatu titik yg tetap dimana perubahan lokal dari densitas diamati.

Persamaan (4) menyatakan persamaan kontinuitas dimana perubahan densitas diamati selama gerakan fluida (perubahan total dari densitas terhadap waktu).

Persamaan (3) ditinjau dari sudut pandang Euler (titik/lokasi yg tetap) sementara persamaan (4) ditinjau dari sudut pandang Lagrange (bergerak bersama fluida).

Bila fluida adalah inkompresibel (tidak mampat) maka (Dρ/Dt) = 0, dengan demikian pers(4) dapat disederhanakan menjadi;

∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0……….(5)

Persamaan (5) menyatakan persamaan kontinuitas untuk fluida yg inkompresibel.

Catatan

(Dρ/Dt) = 0 tidak harus berarti fluida adalah homogen.

Pernyataan ini hanya menyatakan densitas partikel air tidak berubah selama gerakannya.

ρ

1

ρ

1

ρ

1

ρ

1

ρ

2

ρ

2

ρ

2

ρ

3

ρ

3

ρ

3

Bagi fluida yg homogen secara otomatis berlaku (D

ρ

/Dt) = 0 Fluida homogen Æ(D

ρ

/Dt) = 0,fluida inkompresibel.

Fluida inkompresibel tidak berarti homogen.

Pers(3) dan(4) dapat ditulis dalam bentuk divergensi : Pers (3) menjadi

∇ [ρ vr] = - ∂ρ/∂t………….(6) dan pers (4) dapat ditulis sebagai

∇ Dt

v Dρ

ρ

.r=−1 ……..(7)

fluida inkompresibel ; Dρ/Dt =0 Æ ∇ . vr= 0 ………..(8)

Konsep kekekalan massa dapat juga kita lihat dari aliran massa didalam suatu stream tube (tabung arus) seperti yang terlihat pada gambar

S

1

V

1

S

Jika kita lakukan integrasi volume dari persamaan (6) pada tabung arus antara persamaan S1 dan S2 diperoleh:

∫∫∫ ∇. [ρvr]dx dy dz = 0……..(9)

bila kita tinjau suatu aliran yg steady (∂ρ/∂t) = 0. Selanjutnya kita terapkan teorema Gauss untuk merubah integral volume menjadi integral permukaan

∫∫∫ ∇. [ρvr]dx dy dz = ∫∫ ρvr .nr ds = 0………….(10)

dimana nr adalah vektor satuan normal trhadap permukaan dan dianggap positif kearah luar. Di S2 positif di S1 negatif

Dalam melakukan integrasi permukaan kita bagi tabung arus dalam 3 bagian yaitu permukaan S1 ,permukaan S2 dan permukaan yg meliputi permukaan tabung arus.

0 . .

. .

2 1

= +

+

=

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

^vn

A n v S n v S n

vr r

ρ

r r

ρ

r r

ρ

rr

ρ

……….(11)

A = permukaan tabung

Kita tahu vektor kecepatan bersinggungan dengan garis arus . sementara permukaan tabung arus merupakan kumpulan dari garis arus . Dengan demikian integral permukaan dinyatakan oleh pers (11) dipermukaan tabung arus hasilnya akan nol karena

nr⊥ vrÆ vr.nr = 0. Jadi integral permukaan yg dilakukan pada tabung arus hanya ada pada permukaan S1 dan S2.

S1∫∫ρ vr.nrds = - S2∫∫ ρ vr.nr ds …………..(12)

Misal kita definisikan aliran massa rata-rata melalui penampang S sebagai ρ v = (1/s) ∫∫ ρ vr.nr ds

menggunakan definisi ini pers (12) dapat ditulis sebagai ρ1 V1 S1 =ρ2 v1 S2 = m……….(13)

tanda negatif hilang karena di S2 nr arahnya keluar (tandanya positif).

m& = menyatakan aliran massa persatuan waktu. Pers (13) menyatakan massa yg

melalui penampang S1 sama dengan massa yg melewati penampang S2. Dengan perkatan lain massa yang masuk sama dengan massa yang keluartabung arus.

2 2 2 1 1

1

v s v s

m & = ρ = ρ

………(14)

contoh : suatu aliran steady dan inkompresible mengalir melalui suatu tabung arus (stream tube) bercabang seperti terlihat pada gambar :

V2

S2

S1

V1

S3

V3

Kecepatan di S1 adalah V1 di S2 adalah V2

di S3 adalah V3

jika S1 = S2 = S3

tentukan hubungan antara V1, V2, dan V3

Solusi : terapkan pers. (12)

3 3 3 2 2 2 1 1

1V S ρ V S ρ V S

ρ = +

massa yang masuk = massa yang keluar

karena S1 = S2 = S3 dan aliran adalah inkompresible (ρ = konstan), maka pers. di atas dapat

ditulis sebagai :

V1 = V2 + V3

Karena S2 = S3 maka V2 + V3 ; V1 = 2V2 atau V1 = 2V3

Untuk kasus fluida yang inkompresible (ρ = konstan) maka pers (12) dapat ditulis sebagai :

Q = V1 S1 = V2S2 + V3S3

Q = kecepatan x penampang = discharge

=

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

T xL L

T

L

₂ ³

4.4 Penerapan persamaan kontinuitas untuk menghitung kecepatan dalam arah vertikal (w).

Disini kita menganggap fluida adalah inkompresible (Dρ/Dt) = 0 Dengan demikian persamaan kontinuitas menjadi :

Vr . 0 = Δ

atau

z w y V x u

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ 0

atau

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

∂

y V x u z

w

……….(15)

Integrasikan pers ini dari permukaan s/d kedalaman z

∫ ∫

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

z z

y dz v x dz u

z w

0 0

∫ ∫

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

=

∂

z

y dz v x w u

0

∫

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

=

− dz

y v x w u

w_{z 0}

kecepatan vertikal dipermukaan w0 = 0, jadi kecepatan vertikal dikedalaman z :

∫ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

=

^z

z

dz

y v x w u

0

………(16)

Contoh penerapan persamaan (16).

Disuatu perairan lepas pantai dilakukan pengukurankecepatan arus permukaan sampai kedalaman 100 m ( z = - 100 m ) pada empat stasiun yang membentuk segi empat dengan panjang 20 km dan lebar 10 km, seperti pada gambar :

y(utara)

2m/dt 2m/dt

1,5m/dt 3m/dt

10km

1,5m/dt 1,5m/dt

1,5m/dt 3m/dt

x(timur)

Kecepatan arus dalam arah horizontal di ke – 4 stasiun tersebut diberikan pada gamba.

Tentukan kecepatan vertikal pada kedalaman z = - 100 m Solusi :

Kitan anggap fluida adalah inkompresibel. Untuk menghitung wz (z = -100) kita perlu menetukan

y dan v x u

∂

∂

∂

∂

1 5 4

1 5 4

det 10 10 5

1 5 , 1 2

det 10 5 , 10 7 2

5 , 1 3

−

−

−

−

− = Δ =

≈ Δ

∂

∂

− = Δ =

≈Δ

∂

∂

x x y v y v

x x x u x u

persamaan 13 dapat kia tulis sebagai :

y v x u z

w

Δ + Δ Δ

− Δ Δ = Δ

= (7,5 x 10^-5 + 5 x 10^-5) = - 1,25 x 10^-4 det^-1 dw = (- 1,35 x 10^-4)dz

wz =

_∫

^z

(

^{x −}

)

^dz

0

10 4

25 , 1

= - 1,25 x 10^-4−100

∫

0

dz

w- 100 = (- 1,25 x 10^-4) (- 100) 20km

harga w- 100 yang positif menunjukan arah gerakan adalah kearah atas (ke arah permukaan)

w > 0 ke arah atas w < 0 ke arah bawah

Persamaan kontinuitas dalam koordinat polar/silinder diberikan oleh :

( )

z w v

u r r r r

t ∂

+ ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ Δ

− 1 * *

* 1 .

1

θ ρ

ρ ……….(17)

( )

z w v

ru r r V r

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ 1 *

1 *

. θ

r ……….(18)

Contoh :

Medan kecepatan di dalam koordinat silinder diberikan oleh u* = 0,02/r m/det V* = 0,03 cos θ m/det

W* = 0,05 m/det

Tentukan perubahan total dari densitas pada suatu titik yang dinyatakan oleh r = 4 m, θ π/4 rad dan z = 0

densitas rata – rata : 35 kg/m³ Solusi :

Terapkan pers. (15) :

( )

z

w v

ru r r r Dt D

∂ +∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

− θ

ρ ρ

*

* 1 1

1

( )

^r

r r ru r

r

r ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

∂ 1 0,02

1 *

= 1

(

0,02

)

r r ∂

∂

= 0

(

θ

)

θ

θ r ^Cos

v

r * 1 0,03 1

∂

= ∂

∂

∂

=

(

^Sinθ

)

r 0,03 1 −

=

(

Sinθ

)

r 0,03 1⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

(

^0,05

)

* z z w

∂

= ∂

∂

∂ = 0

(

θ

)

ρ

ρ Dt r ^Sin

D 1 0,03

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

−

ρ θ

ρ Sin

r Dt

D ⎟0,03

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

ρ = 35 kg/m

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

03 4 , 4 0

35 π

ρ Sin

Dt D

=

(

^{0,03 0,07}

)

4

35 ⎟ x

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= 0,00015 kg/m det 4.5 Gerakan dengan rotasi

Sebegitu jauh kita telah membahas gerakan fluida yang tidak disertai dengan rotasi. Di alam gerakan dengan rotasi mungkin saja terjadi akibat adanya shear kecepatan (kecepatan gesek / gradien kecepatan).

Ukuran rotasi dari suatu fluida dinyatakan vortisitas yang dinyatakan oleh τ.

Suatu aliran yang tidak mempunyai shear kecepatan tidak mempunyai vortisitas atau tidak berotasi.

Tidak ada rotasi karena tidak ada shear kecepatan

τ < 0 ada rotasi karena ada shear kecepatan

Konvensi : 1. rotasi yang searah dengan arah jarum jam → viskositas negatif ⇒ τ < 0

2. rotasi yang berlawanan dengan putaran jarum jam → viskositas positif ⇒ τ > 0

τ > 0

Contoh gerakan yang berotasi dan gerak tanpa rotasi : 1. Gerakan yang berotasi

Revolusi bulan mengelilingi bumi.

Dalam gerakan yang mengelilingi permukaan bulan yang sama selalu menghadap ke bumi, bila bulan juga berotasi pada sumbunya dengan kecepatan sudut yang sama dengan kecepatan revolusi bulan mengelilingi bumi.

2. Gerakan tanpa rotasi

Gerakan rotasi ini dapat kita lihat pada gerakan gondola di suatu “Femu Wheel.”

Selama gerakannya mengikuti gerakan roda yang berputar gondola-gondola tidak berotasi. Jadi kalau kita tinjau gerakan gondola mengikuti gerakan roda yang berputar maka gerak gondola tersebut merupakan gerak tanpa rotasi.

Earth _M

2

U (y)

M4

M2

•

Selanjutnya bila kita ingin menentukan vortisitasnya yang merupakan rotasi suatu gerakan fluida secara kuantitatif. Kita dengan menyatakan vortisistas sebagai fungsi dari shear kecepatan. Tinjau suatu aliran sejajar dengan sumbu x dimana aliran tersebut mempunyai gradien yang konstan.

Kecepatan aliran sejajar sumbu x diberikan oleh U(y) = Uo + _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ y

U y …….(1)

Distribusi kecepatan dalam arah y yang dinyatakan oleh pers. (1) diperlihatkan pada gambar berikut : y

Gradien kecepatan dalam arah y dapat terlihat pada gambar yang akan menghasilkan vortisitas yang negatif (searah dengan putaran jarum jam).

Kita ingin menyatakan kecepatan sudut partikel fluida yang berotasi dalam arah putaran jarum jam akibat shear kecepatan dalam arah y. tinjau suatu titik P di dalam medan kecepatan untuk mudahnya kita menyatakan titik P dalam koordinat polar (r,θ).

Titik P (r,θ) berotasi pada bidang (x,y) mengelilingi titik asal (0,0).

Kita ingin menentukan kecepatan sudut partikel fluida yang diwakili oleh titik P mengelilingi titik (0,0). Dari meknika dasar kita telah mengetahui hubungan antara kecpatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh :

V = ω r

r = jari – jari rotasi V = kecepatan linier ω = kecepatan sudut

Kecepatan sudut partikel fluida mengelilingi titik (0,0) diberikan oleh : ω (r,θ) =

rotasi jari jari

linier kecepa

− tan ω (r,θ) = - (U(y)−Uo)sinθ

…………(3) U (y)

U sin θ θ

r

P y

x

Dengan menerapkan pers.(2) , pers.(3) dapat ditulis sebagai : ω (r,θ) = -

r y G .sinθ

Dari gambar y = r sin θ , dengan demikian ω (r,θ) = - 6 sin²θ …..(4)

Pers.(4) menyatakan suatu kecepatan partikel fluida mencapai maksimum di sb. y (θ=90^o) sin θ = 1 dan minimum di sb.x ( θ = 0 ) sin θ = 0.

Kalau kita tinjau fluida sebagai kontinum yang terdiri dari banyak partikel maka kecepatan sudut fluida yang berotasi pada bidang (x,y) akibat Shear kecepatan dalam arah y merupakan rata – rata dari kecepatan sudut seluruh partikel fluida untuk seluruh harga θ.

Kecepatan sudut fluida ini diberikan oleh : ω = -

π 2

1 ²

∫

^{πω ∂θ}

0

= - π 2

1 ²

∫

^{π− θ θ}

0

sin 2

.

6 d =

π 2

6 ²

∫

^{π θ θ}

0

sin 2d

ω = - π 2

6 (π) = - 2 6 = -

2 1

y u

∂

∂ ……….(5)

Pers.(5) menyatakan kecepatan sudut fluida yang berotasi dalam bidang (x,y) akibat shear kecepatan dalam arah y. Dengan cara yang sama untuk kasus fluida yang mengalir ke arah sumbu x dan sejajar sumbu y dan gradien kecepatan - ^∂_∂^U_x (tanda yang menyatakan rotasi dalam arah putaran jarum jam). Diperoleh kecepatan sudut yang besarnya = - ₂⁶

atau ω = x U

∂

∂ 2 1

……….(6)

Pers.(6) menyatakan kecepatan sudut fluida berotasi pada bidang (x,y) akibat shear kecepatan dalam arah x. Untuk harus yang umum diman terdapat shear kecepatan baik dalam arah x maupun dalam arah y maka kecepatan sudut fluida diberikan oleh :

ωz = ₂¹ (^∂_∂^U_x - ^∂_∂^U_y )

indeks z menyatakan komponen sudut dalam arah z.

Untuk fluida yang medan kecepatannya dinyatakan v = iˆ U + ˆ V + j kˆ W

Kecepatan sudut fluida mempunyai komponen – komponen dalam arah x, y, z diberikan oleh :

ωx = ½ ( ^∂_∂^w_y - ^∂_∂z^v )

ωy = ½ ( ^∂_∂^u_z - ^∂_∂^w_x ) (7) ωz = ½ ( _∂^∂_x^v - ^∂_∂^U_y )

Lihat kembali pers.(7) dan bandingkan dengan curl dari kecepatan (∇xv)

∇ x v =

W V U

k j i

z y

x ∂∂

∂∂

∂∂

ˆ ˆ ˆ

=

( )

Wx i ˆ

_∂^∂_y^w

−

_∂^∂_z^v

+

( )

Wy j

_∂^∂_z^u

−

^∂_∂^w_x

ˆ

+

( )

Wz k ˆ

_∂^∂_x^v

−

_∂^∂_y^u

…….(8)

Kalau kita perhatikan pers.(7) dan pers.(8) kecuali faktor ½ , komponen – komponen kecepatan sudut fluida samadengan komponen – komponen curl V . Dengan demikian didefinisikan voskisitas(rotasi) yang 2 kali kecepatan sudut.

Vortisitas =

ζ ^r

= ∇ x v = 2ω

Vektor vortisitas dinyatakan oleh τ = iˆ τx + jˆ τy + kˆ τz

dimana :

ζ

x = komponen vortisitas dalam arah x = ^∂_∂^w_y - z

∂v

∂

ζ

y = komponen vortisitas dalam arah y

= z

∂u

∂

- x

∂w

∂

ζz = komponen vortisitas dalam arah z = _∂^∂_x^v - ^∂_∂^U_y

ζx menyatakan rotasi dalam bidang (y,z) ⇒ sb. x sebagai sb. rotasi ζy menyatakan rotasi dalam bidang (x,z) ⇒ sb. y sebagai sb. rotasi ζz menyatakan rotasi dalam bidang (x,y) ⇒ sb. z sebagai sb. rotasi

contoh : Tentukan vortisitas pada titik (1,2,3) dalam medan kecepatan yang diberikan oleh V = (y² + z²)iˆ + (x² + z²)jˆ + ( x² + y²)kˆ

solusi : ζx = ^∂_∂^w_y - _∂^∂_z^v = 2y – 2z ζy = ^∂_∂^u_z - ^∂_∂^w_x = 2z – 2x ζz = _∂^∂_x^v - ^∂_∂^U_y = 2x – 2y di titik (1,2,3) τx = 2(2) – 2(3) = -2 /det τy = 2(3) – 2(1) = 4 /det τz = 2(1) – 2(2) = -2 /det Vortisitas : ζ^r = ∇ x v

Di dalam koordinat polar vektor kecepatan diberikan oleh : v = U* lrˆ + V* lθ^ˆ + W* lˆ z

U* = ^dr_dt , V* = _dt

d r− θ

, W* = ^dz_dt Curl v diberikan dalam koordinat diberikan oleh :

∇ x v =

(

_r¹

(

^∂_∂^wθ^*

−

^∂_∂^u_z^*

) ) ( ^{l r ˆ} +

^∂_∂^u_z^*

−

^∂_∂^w_r^*

) ^l θ ^ˆ +

¹_r

[

^∂(r_∂^._r^v*)

−

^∂_∂^uθ^*

] ^{l z ˆ}

……….(9) Contoh :

Suatu fluida berotasi dengan kecepatan linier V = ω.r dimana ω = kecepatan sudut.

Tentukan vortisitasnya ! Solusi :

Terapkan pers.(9) dengan memperhatikan komponen dalam arah z ; u* = 0 dan v* = v

= ω.r

ζz =

[

( ) ∂∂_θ

]

∂

∂ ^{. *}

−

^*

1 u

r v r

r

ζz =

[

⁽ r ⁾

]

v r r ∂ ∂.

1 = ¹_r r _∂^∂_r^v + ¹_r v _∂^∂_r^r = _∂^∂_r^v + r v

= ω + ω = 2ω.

Dari hasil terlihat bahwa vortisitas harganya 2 kali kecepatan sudut τ = 2ω.

Free vortex

Tornado, Whirpol dan water spouts adalah contoh-contoh dari free vortex. Di dalam free vortex fluida bergerak dalam suatu lintasan berbentuk lingkaran terjadi vortisitasnya nol ( tak ada gradien kecepatan ) ( curl v = 0 atau ∇ x v =0 )

Bila z ditempatkan di titik pusat voertex

→ U = W = 0

∇ x v = 0 = _r

[

(∂^r_r^v)

] ^{e z}

∂ .

1

atau _∂^∂_r^v + r v

= 0 _∂^∂_r^v _r^v

v

∂v

r

∂r

Integrasi persamaan ini menghasilkan V= r k

K = konstanta yang menyatakan kekuatan dari vortex.

Aliran fluida yang vortisitasnya nol disebut aliran irotasional (aliran tak berotasi ) ζ^r= ∇ x v = 0

ζx = 0 → ^∂_∂^w_y - z

∂v

∂ = 0 → ∂∂^w_y = z

∂v

∂

ζy = 0 → ^∂_∂^u_z - ^∂_∂^w_x = 0 → ^∂_∂^u_z = ^∂_∂^w_x ζz = 0 → _∂^∂_x^v - ^∂_∂^U_y = 0 → _∂^∂_x^v = ^∂_∂^U_y

Di dalam koordinat polar irotasianal dinyatakan oleh ¹_{r ∂}^∂w_θ

=

_∂^∂_z^v

^∂_∂^w_z

=

^∂_∂^w_r

¹_r ^∂_∂^rv_r

=

_∂^∂_θ^v ……..(12)

•

•

•

Core

= -

= -

Contoh :

Tentukan dimana irotasionalitas terjadi di dalam medan kecepatan yang diberikan oleh : V = (y² + z²)iˆ + (x² + z²)ˆ + ( xj ² + y²)kˆ

Solusi : irotasionalitas y

∂w

∂ _∂^∂_z^v 2y = 2z

z

∂u

∂ = x

∂w

∂

2z = 2μ

x

∂v

∂

^∂_∂^U_y 2μ = 2y

dari hasil ini dapat disimpulkan irotasionalitas terjadi sepanjang garis μ = y = z

=

=

=