Persamaan dengan dengan 3 3 Variabel Variabel Tidak Tidak Diketahui Diketahui

Pertemuan ke-5

Persamaan Linier Simultan

Metode

Metode Eliminasi

Eliminasi Gauss

Gauss

(Gaussian Elimination)

(Gaussian Elimination)

Persamaan Linier Simultan

11 Oktober 2012

•• SuatuSuatu metodemetode untukuntuk menyelesaikanmenyelesaikan persamaanpersamaan linier

linier simultansimultan daridari [A][X]=[C][A][X]=[C]

•• Dua

Dua langkah

langkah penyelesaian

penyelesaian::

Metode

Metode Eliminasi

Eliminasi Gaus

Gaus

•• Dua

Dua langkah

langkah penyelesaian

penyelesaian::

–

– EliminasiEliminasi majumaju (Forward Elimination)(Forward Elimination) –

Eliminasi Maju

Eliminasi Maju

•• HasilHasil akhirakhir daridari eliminasieliminasi majumaju adalahadalah mengubahmengubah koefisien

koefisien matriksmatriks menjadimenjadi matriksmatriks segitigasegitiga atasatas..

1

25 5 1 106.8

64 8 1 177.2

x x

     

     

=

   2  

3

64 8 1 177.2

144 12 1 279.2

x x

=

     

     

     

  

 

  

 

− =

  

 

  

 

  

 

  

 

− −

735 . 0

21 . 96

8 . 106

7 . 0 0

0

56 . 1 8 . 4 0

1 5

25

3 2 1

x x x

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju

1 1

3 13 2

12 1

11

x

a

x

a

x

...

a

x

b

a

+

+

+

+

_{n n}

=

...

a

x

b

x

a

x

a

x

a

₂₁

x

₁

+

a

₂₂

x

₂

+

a

₂₃

x

₃

+

...

+

a

₂

x

=

b

₂

a

+

+

+

+

_{n n}

=

n n

nn n

n

n

x

a

x

a

x

a

x

b

a

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

...

+

=

. . . . . .

!" #

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju: 3

: 3 Persamaan

Persamaan

dengan

dengan 3

3 Variabel

Variabel Tidak

Tidak Diketahui

Diketahui

11 1 12 2 13 3 1

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

+

+

=

+

+

=

!"

"

%

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

+

+

=

+

+

=

"

"

•• BagiBagi persamaanpersamaan (1) (1) dengandengan aa₁₁₁₁ dandan dikalikandikalikan dengan

dengan aa₂₁₂₁

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju:

:

Langkah

Langkah 1

1--a

a

21

a

 

 

& 21

11 1 12 2 13 3 1

11

( )

a

a x a x a x b a

 

+ + =

 

 

21 21 21

21 1 12 2 13 3 1

11 11 11

a a a

a x a x a x b

a a a

Eliminasi Maju:

Eliminasi Maju:

Langkah

Langkah 1

1--b

b

•• KurangkanKurangkan persamaanpersamaan (4) (4) dengandengan persamaanpersamaan (2):

(2):

21 21 21

a

a

a

a x

+

a x

+

a x

=

b

21 1 22 2 23 3 2

a x

+

a x

+

a x

=

b

_"

$"

'

21 21 21

22 12 2 23 13 3 2 1

11 11 11

a a a

a a x a a x b b

a a a

   

− + − = −

   

   

' ' '

22 2 23 3 2

a x

+

a x

=

b

21 1 12 2 13 3 1

11 11 11

a x

a x

a x

b

a

a

a

+

+

=

_$"

%"

•• UlangiUlangi sepertiseperti LangkahLangkah 1 1 untukuntuk persamaanpersamaan (3), (3), dengan

dengan membagimembagi persamaanpersamaan (1) (1) dengandengan aa₁₁₁₁ dandan dikalikan

dikalikan dengandengan aa₃₁₃₁::

Eliminasi Maju:

Eliminasi Maju:

Langkah

Langkah 1

1--c

c

31

a

 

 

( 31

11 1 12 2 13 3 1

11

( )

a

a x a x a x b a

 

+ + =

 

 

13 31

12

31 1 31 2 31 3 1

11 11 11

a a

a

a x a x a x b

a a a

•• UlangiUlangi sepertiseperti LangkahLangkah 2 2 untukuntuk persamaanpersamaan (3), (3), persamaan

persamaan (6) (6) dengandengan persamaanpersamaan (3): (3): ::

Eliminasi Maju:

Eliminasi Maju:

Langkah

Langkah 1

1--d

d

13

12 a 1

a b

31 1 32 2 33 3 3

a x

+

a x

+

a x

=

b

_"

) 13

12 1

31 1 31 2 31 3 31

11 11 11

a

a b

a x a x a x a

a a a

+ + = _&"

13 31

12

32 31 2 33 31 3 3 1

11 11 11

a a

a

a a x a a x b b

a a a

     

− + − = −

     

     

' ' '

32 2 33 3 3

a x

+

a x

=

b

'"

•• LangkahLangkah 1 1 menghasilkanmenghasilkan persamaanpersamaan berikutberikut ::

Hasil

Hasil

Langkah

Langkah 1

1

' ' '

22 2 23 3 2

a x

+

a x

=

b

%"

11 1 12 2 13 3 1

a x

+

a x

+

a x

=

b

!"

•• MasihMasih terdapatterdapat 2 2 variabelvariabel tidaktidak diketahuidiketahui padapada persamaan

persamaan (5) (5) dandan (7), (7), sehinggasehingga salahsalah satunyasatunya harus

harus dieliminasidieliminasi..

!*

' ' '

32 2 33 3 3

a x

+

a x

=

b

'"

22 2 23 3 2

•• UntukUntuk sistemsistem _nn persamaanpersamaan, , makamaka LangkahLangkah 1a 1a hingga

hingga 1d 1d akanakan menghasilkanmenghasilkan ::

Eliminasi Maju

Eliminasi Maju

1 1

3 13 2

12 1

11x a x a x ... a x b

a + + + + _{n n} =

!!

' 2 '

2 3

' 23 2

'

22x a x ... a x b

a + + + _{n n} =

' 3 '

3 3

' 33 2

'

32x a x ... a x b

a + + + _{n n} =

' '

3 '

3 2

'

2 n ... nn n n

n x a x a x b

a + + + =

. . .

. . .

. . .

•• EliminasiEliminasi xx₂₂ padapada persamaanpersamaan (5) (5) dengandengan caracara membaginya

membaginya dengandengan a’a’₂₂₂₂ dandan mengalikannyamengalikannya dengan

dengan a’a’₃₂₃₂::

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju:

:

Langkah

Langkah 2

2--a

a

'

a





!

' '

' ' 23 32 '

32 2 32 _' 3 _' 2

22 22

a

a

a x

a

x

b

a

a

+

=

("

(

' ' '

)

32

22 2 23 3 2

' 22

a

a x

a x

b

a





+

=





•• KurangkanKurangkan persamaanpersamaan (8) (8) padapada persamaanpersamaan (7):(7):

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju:

:

Langkah

Langkah 2

2--b

b

' '

' '

a

23

a

32 '

a x

+

a

x

=

b

("

' ' '

32 2 33 3 3

a x

+

a x

=

b

'"

!

' ' 23 32 '

32 2 32 _' 3 _' 2

22 22

a x

a

x

b

a

a

+

=

("

' '

' ' 23 ' 32 '

33 32 _' 3 3 _' 2

22 22

a

a

a

a

x

b

b

a

a









−

=

−

















'' '' ''

32 2 33 3 3

a x

+

a x

=

b

)"

•• LangkahLangkah 2 2 menghasilkanmenghasilkan persamaanpersamaan berikutberikut ::

Hasil

Hasil

Langkah

Langkah 2

2

' ' '

22 2 23 3 2

a x

+

a x

=

b

%"

11 1 12 2 13 3 1

a x

+

a x

+

a x

=

b

!"

•• PersamaanPersamaan barubaru tersebuttersebut memilikimemiliki elemenelemen matriks

matriks berupaberupa matriksmatriks segitigasegitiga atasatas..

!$

'' ''

33 3 3

a x

=

b

)"

22 2 23 3 2

•• UntukUntuk sistemsistem _nn persamaanpersamaan, , makamaka LangkahLangkah 1 1 akan

akan menghasilkanmenghasilkan ::

Eliminasi Maju

Eliminasi Maju

1 1

3 13 2

12 1

11x a x a x ... a x b

a + + + + _{n n} =

!%

. . .

. . .

. . .

' 2 '

2 3

' 23 2

'

22x a x ... a x b

a + + + _{n n} =

" 3 "

3 3

"

33x ... a x b

a + + _{n n} =

" "

3 "

3 ... nn n n

n x a x b

a + + =

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju

+ !" # ,

' 2 '

2 3

' 23 2

'

22x a x ... a x b

a + + + _{n n} =

1 1

3 13 2

12 1

11x a x a x ... a x b

a + + + + _{n n} =

2 2

3 23 2

22 n n

" 3 "

3 3

"

33x ... a x b

a + + _{n n} =

( ₋₁) ( −1 )

= _nn

n n

nn x b

a

. .

. .

. .



Bentuk

Bentuk Matriks

Matriks hasil

hasil Eliminasi

Eliminasi

Maju

Maju



•• Dari Dari sistemsistem persamaanpersamaan hasilhasil LangkahLangkah 2, 2, hitunghitung variabel

variabel yang yang tidaktidak diketahuidiketahui daridari persamaanpersamaan yang

yang terakhirterakhir yaituyaitu : :

Substitusi

Substitusi Balik

Balik:

:

Langkah

Langkah 3

3--a

a

'' 3

b

x

=

!*"

•• AtauAtau untukuntuk _nn persamaanpersamaan::

•• HitungHitung variabelvariabel tidaktidak diketahuidiketahui lainnyalainnya daridari persamaan

persamaan (5) (5) dandan (1), (1), yaituyaitu : :

Substitusi

Substitusi Balik

Balik:

:

Langkah

Langkah 3

3--b

b

' '

2 23 3

b

a x

x

=

−

!!"

!)

2 _'

22

x

a

=

!!"

1 12 2 13 3

1

11

b

a x

a x

x

a

−

−

=

_{! "}

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

, 1 1 , 2 2 ... ,

i i i i

i i i i i i i i n n

b a x a x a x

x

− − − −

+ + + +

− − − −

=

Substitusi

Substitusi Balik

Balik

) 1 (

) 1 (

− −

=

n nn n n n

a

b

x

( 1)

i _i

ii x

a −

=

( ) ( )

( )

1 1

1 1 n

i i

i ij j

j i

i _i

ii

b

a

x

x

a

− −

= + −

−

∑

=

*

- . !, /, !

Contoh

Contoh Penggunaan

Penggunaan

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss

!

Contoh

Contoh 1

1

ν νν ν

% !*& ( 0 1

2 3

Tabel 1 _{Data Kecepatan vs. waktu.}

% !*& (

( !''

! ')

1

3

_{( )}

2

1 2 3

, 5

t

12.

v t

=

a t

+

a t

+

a

≤ ≤

Contoh

Contoh 1 Cont.

1 Cont.

( )

t at a t a , 5 t 12.

v = ₁ 2 + ₂ + ₃ ≤ ≤

Sistem persamaan

 279

2 . 177

8 . 106

1 12 144

1

Contoh

Jumlah

Jumlah LangkahLangkah EliminasiEliminasi MajuMaju: (n: (n--1) = (31) = (3--1) = 21) = 2

Eliminasi

Eliminasi Maju

Maju

%

5 ! % &$,

3

Langkah 1

Langkah 1

25 5 1 106 8 64 8 1 177 2 144 12 1 279 2

. . .

 

 

 

 

 

64

25 5 1 106.8 64 12.8 2.56 273.408 25

 × =  

   

64_ 8 1 177.2_

&

.

64 8 1 177.2

64 12.8 2.56 273.408

0 4.8 1.56 96.208

 

 

 

−_{ }

 − − − 

 

0

6

25 5 1 106 8

0 4.8 1.56 96.208

144 12 1 279 2

.

.

 

 

− − −

 

 

Langkah 1

Langkah 1

25 5 1 106 8 64 8 1 177 2 144 12 1 279 2

. . .

 

 

 

 

 

5 ! % !$$,

3

144

25 5 1 106.8 144 28.8 5.76 615.168 25

 × =  

   

144 12 1 279.2_ _

'

.

0

6

144 12 1 279.2

144 22.8 5.76 615.168

0 16.8 4.76 335.968

 

 

 

−_{ }

 _{− − −} 

 

25 5 1 106 8

0 4.8 1.56 96.208 0 16.8 4.76 335.968

.

 

 

− − −

 

 _{− − −} 

 

Langkah 2

Langkah 2

25 5 1 106 8

0 4.8 1.56 96.208 0 16.8 4.76 335.968

.

 

 

− − −

 

 _{− − −} 

 

5 $ (

!& (, 3

16.8

0 4.8 1.56 96.208 0 16.8 5.46 336.728 4.8

−

 

 − − − ×_{ } =  − − − 

  _{ − }  

0_ −16.8 −4.76 −335.968_

(

0

6

0 16.8 4.76 335.968

0 16.8 5.46 336.728

0 0 0.7 0.76

 _{− − −} 

 

 

−_ − − − _

 

 

25 5 1 106 8

0 4.8 1.56 96.208

0 0 0.7 0.76

.

 

 

− − −

 

 

Substitusi

Substitusi Balik

Balik

Substitusi

Substitusi Balik

Balik

)

Substitusi

Substitusi Balik

Balik

1 2 3

25 5 1 106 8 25 5 1 106 8

0 4.8 1.56 96.208 0 4.8 1.56 96.208

0 0 0.7 0.76 0 0 0.7 0.76

. a .

a a

       

       

− − − ⇒ − − = −

       

  _   _{  } _ _

 

*

08571

.

1

7

.

0

76

.

0

76

.

0

7

.

0

3 3 3

=

=

=

a

a

a

Back Substitution (cont.)

Back Substitution (cont.)

+

208 . 96

8 . 106

7

6905 19.

4.8

1.08571 1.56

96.208 8 208 . 96

208 .

Back Substitution (cont.)

Back Substitution (cont.)

+

_! 106

7

290472 .

0

25

08571 .

1 6905 .

19 5 8 . 106

25 5 8 . 106

Hasil

Hasil Eliminasi

Eliminasi Gauss C

Gauss Co

ontoh

ntoh 1

1



279

2

177

8

106

1

12

144

1

08571

.

1

6905

.

19

290472

.

Contoh

Contoh 1 C

1 Co

ont.

nt.

08571 .

1

6905 .

19

290472 .

Persamaan kecepatan dituliskan menjadi :

$

( )

( )

( )

. m/s 686 . 129

08571 .

1 6 6905 .

19 6

290472 .

Persamaan kecepatan dituliskan menjadi :

( )

12 5

, 08571 .

1 6905 .

19 290472