UJIAN AKHIR SEMSTER STRUKTUR ALJABAR

(1)

2. Tulislah permutasi : a.

8 9 7 6 1 5 4 3 2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

b.

2 1 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

Tulislah hasil permutasi diatas menjadi perkalian cycle yang saling lepas ? JAWAB :

a.

8 9 7 6 1 5 4 3 2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

(

1,2, 3, 4, 5

)(

8, 9

)

=

Dari permutasi dibuat hasil perkalian cycle yang saling lepas yaitu :

(

1,2, 3, 4, 5

)(

8, 9

)

=

b.

2 1 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

(

1, 6, 2, 5

)(

3, 4

)

=

Dari permutasi dibuat hasil perkalian cycle yang saling lepas yaitu :

(

1, 6, 2, 5

)(

3, 4

)

=

4. Buktikan bahwa

(

1, 2,3, , n

)

−1 =

(

n,n−1,n−2, ,2,1

)

JAWAB :

Ambil

(

1 2 3 n

) (

= 1 2

) (

1 3

) (

1 4

)

(

1 n

)

Diketahui :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

1

)

1 3 3 1

1 2 2 1

1 1 1

n

n =

= =

− − −

Dimana :

(

)(

)

(

)(

)

(

1

)(

1

)

1

1 3 1 3 1

1 2 1 2 1

1 1

1

= =

=

− −

−

(2)

Jika

(

)(

) (

)

(

)

( )(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

n

)

n n n 1 4 1 3 1 1 4 1 3 1 1 1 4 1 3 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 = = =

(

)(

) (

)

(

)

(

) ( ) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) ( ) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

(

n

)

n n n n n n n 1 4 1 1 4 1 1 1 4 1 3 1 1 3 1 4 1 3 1 1 1 3 1 4 1 3 1 1 3 1 4 1 3 1 1 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 3 3 2 1 1 2 1 3 = = = = = = =

Dan seterusnya, sehingga

(

n 1

) (

n−1 1

) (

n−2 1

)

(

3 1

)(

2 1

) (

1 2 3 n

)

=1 Maka diperoleh

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

1, 2, 3, ,

)

(

, 1, 2, , 2,1

)

1 , 2 , 3 , , 2 , 1 , 1 , 2 1 , 3 1 , 2 , 1 , 1 , 2 1 , 3 1 , 2 1 , 1 , 1 , 2 1 , 3 1 , 2 1 , 1 1 , , , 3 , 2 , 1 1 1 − − = − − = − − = − − = − − = − − n n n n n n n n n n n n n n n n n

Jadi terbukti bahwa

(

1, 2,3, , n

)

−1 =

(

n,n−1, n−2, ,2,1

)

6. a. Apakan order nari n-cycle ? JAWAB :

Untuk n=2, ambil 2-cycle, misal

(

1,2

)

maka cycle adalah

(

1,2

)

sehingga ordernya 1=1!.

(

1,2,3

)

maka cycle adalah

(

1, 2,3

)

sehingga

(

1,3, 2

)

dan ordernya 2=2!.

(

1, 2,3,4

)

maka cycle adalah

(

1, 2,3

)

dan

(

1,2,3, 4

) (

, 1,2, 4,3

) (

, 1,3, 4, 2

) (

, 1,3,2, 4

) (

, 1,4,2, 3

) (

, 1,4,3, 2

)

(3)

Dan seterusnya,

untuk n=n, ambil n-cycle, misal

(

1,2,3, , n

)

maka diperoleh

(

n−1

)

!cycle. Sehingga, order dari n-cycle =

(

n−1

)

!

b. Apakan order dari hasil kali dua cycle yang saling lepas dengan panjang

k

m m

m₁, ₂, , ?

JAWAB :

(

1,2

)

maka cycle adalah

(

1,2

)

(

3,4

)

maka cycle adalah

(

3,4

)

Maka

(

1, 2

)(

3,4

)

memiliki order 1=1!

(

1,2

)

maka cycle adalah

(

1,2

)

(

3,4,5

)

maka cycle adalah

(

3,4,5

)

dan

(

3,5,4

)

sehingga ordernya 2=2!. Maka

(

1, 2

)(

3,4,5

)

diperoleh :

(

1, 2

)(

3, 4,5

)

(

1, 2

)(

3,5, 4

)

(

1, 2,3

)

maka cycle adalah

(

1,2,3

)

dan

(

1,3, 2

)

sehingga ordernya2=2!.

(

4,5,6

)

maka cycle adalah

(

4,5,6

)

dan

(

4,6,5

)

sehingga ordernya 2=2!. Maka

(

1, 2,3

)(

4,5,6

)

diperoleh :

(

1, 2,3

)(

4,5,6

)

(

1, 2,3

)(

4,6,5

)

(

1,3, 2

)(

4,5,6

)

(4)

sehingga ordernya 4=2!x2!. dan seterusnya

karena order, m₁- cycle =

(

m₁−1

)

!

m₂- cycle =

(

m₂−1

)

!

m_k- cycle =

(

m_k −1

)

!

Maka hasil kali cycle yang saling lepas dengan panjang m₁,m₂, ,m_k

memiliki order

(

m₁−1

) (

!x m₂ −1

)

!x x

(

m_k −1

)

! c. Bagaimana menentukan order dari permutasi ?

JAWAB :

Misalkan ambil permutasi

(

1 2 3 n

)

∈S

Untuk permutasi yang tidak mengubah posisi elemen pertamanya diperoleh order

(

m−1

)

! artinya

(

m−1

)

! berlaku untuk semua

(

1 2 3 n

)

sehingga memberikan tambahan m menjadi n

(

n−1

)

!=n!

Sehingga order dari permutasi adalah o

( )

S_n =n!

8. a. Diberikan permutasi x=

(

1,2

)(

3, 4

)

,y=

(

5, 6

)(

1,3

)

tentukan nilai permutasi a sehingga a−1xa= y?

JAWAB :

Nilai permutasi a ada jika struktur cycle permutasi x dan y adalah sama. Sehingga :

Ambil a=

(

5, 4, 1

)(

6, 2

)

sehingga −1 ₌

(

1, 4, 5

)(

2, 6

)

a

Jika a−1xa

sehingga :

1

(

1, 4, 5

)(

2, 6

)(

1, 2

)(

3, 4

)(

5, 4, 1

)(

6, 2

)

=

− xa a

3 3 3 4 4

1→ → → maka 1→3=

(

1, 3

)

1 4 4 3 3

3→ → → maka 3→1=

(

3, 1

)

2 6 6 6 6

2→ → → maka 2→2=

( )

2

4 5 5 5 5

(5)

6 2 2 1 1

5→ → → maka 5→6=

(

5, 6

)

5 1 1 2 2

6→ → → maka 6→5=

(

6, 5

)

Maka didapatkan :

(

1, 4, 5

)(

2, 6

)(

1, 2

)(

3,4

)(

5, 4, 1

)(

6, 2

) (

5, 6

)(

1, 3

)

1

= =

− xa a

b. Buktikan tidak ada permutasi asehingga −1

(

1,2,3

)

₌

(

1, 3

)(

5, 7, 8

)

a a

JAWAB :

Misalkan x=

(

1, 2,3

)

, y=

(

1, 3

)(

5,7, 8

)

Untuk mencari nilai a maka struktur cycle x (3-cycle) dan y (2 cycle, 3 cycle) haruslah sama sehingga tidak ada nilai permutasi a.

c. Buktikan tidak ada permutasi asehingga a−1

(

1,2

)

a=

(

3, 4

)(

1, 5

)

JAWAB :

Misalkan x=

(

1, 2

)

, y=

(

3, 4

)(

1, 5

)

Untuk mencari nilai a maka struktur cycle x (2-cycle) dan y (2-cycle, 2-cycle) haruslah sama sehingga tidak ada nilai permutasi a.

10. Dibawah ini yang mana permutasi genap : a.

(

1, 2, 3

)(

1, 2

)

b.

(

1, 2, 3, 4, 5

)(

1, 2, 3

)(

4, 5

)

c.

(

1, 2

)(

1, 3

)(

1, 4

)(

2, 5

)

JAWAB : a.

(

1, 2, 3

)(

1, 2

)

( )(

)

(

2, 3

)

3 , 2 1

2 3 1

3 2 1

3 1 2

3 2 1 1 3 2

3 2 1

= = = =

(6)

b.

(

1, 2, 3, 4, 5

)(

1, 2, 3

)(

4, 5

)

(

)

(

1, 3

)(

1, 5

)(

1, 2

)

2 , 5 , 3 , 1

2 4 5 1 3

5 4 3 2 1

4 5 3 2 1

5 4 3 2 1 5 4 1 3 2

5 4 3 2 1 1 5 4 3 2

5 4 3 2 1

= = = =

Terdapat 3 transposisi, maka permutasinya ganjil c.

(

1, 2

)(

1, 3

)(

1, 4

)(

2, 5

)

(

)(

)

(

)

(

1, 5

)(

1, 2

)(

1, 3

)(

1, 4

)

4 , 3 , 2 , 5 , 1

5 , 2 4 , 3 , 2 , 1

= = =

Terdapat 4 transposisi, maka permutasinya genap.

12. Buktikan bahwa untuk n≥3 ada subgroup yang dibangun oleh 3-cycle adalah A_n? JAWAB :

Untuk n=n maka A_n =

(

a₁, a₂, ,a_n

)

, dimana n≥3

Ambil 3-cycle, misal

(

a_i₁, a_i₂, a_i₃

)

untuk i=1, 2, ,n

Misal

( )

a_i₁ adalah generator maka :

(

) (

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

(

1 3 2

)(

1 2 3

) ( )

1

(

2

)(

3

)

( )

1

3 3 2 1

2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1

3 2 1 1 3 2 1

, , ,

, ,

,

, , ,

, ,

,

, , ,

,

i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i

i i

i i i i

i i

a a a a a a a a a a a

a a

a a a a a a a a a a

a a

a a a a

a a

= =

=

= =

=

Dan seterusnya

Maka diperoleh G suatu grup siklik, dengan generator

( )

a_i₁ yaitu

( )

a_i₁

(

a_i₁, a_i₂, a_i₃

)(

a_i₁, a_i₃, a_i₂

)

(7)

16. Temukan semua subgroup normal di S₄

JAWAB : Permutasi

{

₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄

}

4 f , f ,f , f , f ,f , f , f ,f , f , f ,f ,f f f f f f f f f f f f

S = adalah : = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 f = 4 2 1 3 4 3 2 1 13 f = 3 4 2 1 4 3 2 1 2 f = 2 4 1 3 4 3 2 1 14 f = 4 2 3 1 4 3 2 1 3 f = 4 1 2 3 4 3 2 1 15 f = 2 4 3 1 4 3 2 1 4 f = 1 4 2 3 4 3 2 1 16 f = 3 2 4 1 4 3 2 1 5 f = 2 1 4 3 4 3 2 1 17 f = 2 3 4 1 4 3 2 1 6 f = 1 2 4 3 4 3 2 1 18 f = 4 3 1 2 4 3 2 1 7 f = 3 2 1 4 4 3 2 1 19 f = 3 4 1 2 4 3 2 1 8 f = 2 3 1 4 4 3 2 1 20 f = 4 1 3 2 4 3 2 1 9 f = 3 1 2 4 4 3 2 1 21 f = 1 4 3 2 4 3 2 1 10 f = 1 3 2 4 4 3 2 1 22 f = 3 1 4 2 4 3 2 1 11 f = 2 1 3 4 4 3 2 1 23 f = 1 3 4 2 4 3 2 1 12 f = 1 2 3 4 4 3 2 1 24 f

(8)

genap permutasi 4

3 2 1

4 3 2 1

1 = =

f

( )( )(

1 2 3, 4

) (

3, 4

)

permutasiganjil 3

4 2 1

4 3 2 1

2 = = =

f

( )(

1 2, 3

)( ) (

4 2, 3

)

permutasiganjil 4

2 3 1

4 3 2 1

3 = = =

f

( )(

1 2,3,4

) (

2,3,4

) (

2, 3

)(

2, 4

)

permutasigenap 2

4 3 1

4 3 2 1

4 = = = =

f

( )(

1 2, 4, 3

) (

2, 4, 3

) (

2, 4

)(

2, 3

)

permutasigenap 3

2 4 1

4 3 2 1

5 = = = =

f

( )(

1 2,4

)( ) (

3 2,4

)

permutasiganjil 2

3 4 1

4 3 2 1

6 = = =

f

(

1, 2

)( )( ) (

3 4 1, 2

)

permutasiganjil 4

3 1 2

4 3 2 1

7 = = =

f

(

1, 2

)(

3, 4

)

permutasigenap 3

4 1 2

4 3 2 1

8 = =

f

(

1, 2, 3

)( ) (

4 1, 2

)(

1, 3

)

permutasigenap 4

1 3 2

4 3 2 1

9 = = =

f

(

1, 2, 3, 4

) (

1, 2

)(

1, 3

)(

1, 4

)

permutasiganjil 1

4 3 2

4 3 2 1

10 = = =

f

(

1,2, 4,3

) (

1, 2

)(

1, 4

)(

1, 3

)

permutasiganjil 3

1 4 2

4 3 2 1

11 = = =

f

(

1, 2, 4

)( ) (

3 1,2, 4

) (

1, 2

)(

1,4

)

permutasigenap 1

3 4 2

4 3 2 1

12 = = = =

f

(

1, 3,2

)( ) (

4 1, 3, 2

) (

1,3

)(

1,2

)

permutasigenap 4

2 1 3

4 3 2 1

13 = = = =

f

(

1,3, 4, 2

) (

1,3

)(

1,4

)(

1, 2

)

permutasiganjil 2

4 1 3

4 3 2 1

14 = = =

f

(

1,3

)( )( ) (

2 4 1,3

)

permutasiganjil 4

1 2 3

4 3 2 1

15 = = =

f

=

1 4 2 3

4 3 2 1

(9)

(

1,3

)(

2,4

)

permutasigenap 2

1 4 3

4 3 2 1

17 = =

f

(

1,3,2, 4

) (

1,3

)(

1, 2

)(

1,4

)

permutasiganjil 1

2 4 3

4 3 2 1

18 = = =

f

(

1,4,3, 2

) (

1,4

)(

1,3

)(

1, 2

)

permutasiganjil 3

2 1 4

4 3 2 1

19 = = =

f

(

1,4, 2

)( ) (

3 1,4, 2

) (

1, 4

)(

1, 2

)

permutasigenap 2

3 1 4

4 3 2 1

20 = = = =

f

(

1,4,3

)( ) (

2 1,4,3

) (

1, 4

)(

1,3

)

permutasigenap 3

1 2 4

4 3 2 1

21 = = = =

f

(

1, 4

)(

1, 2

)

permutasigenap 1

3 2 4

4 3 2 1

22 = =

f

(

1, 4, 2,3

) (

1, 4

)(

1,2

)(

1,3

)

permutasiganjil 2

1 3 4

4 3 2 1

23 = = =

f

(

1,4

)(

2,3

)

permutasigenap 1

2 3 4

4 3 2 1

24 = =

f