BAB X. PELUANG
Prinsip/kaidah perkalian:
Jika posisi /tempat pertama dapat diisi dengan r1 cara yang
berbeda, tempat kedua denan r2 cara, dan seterusnya,
sehingga langkah ke n ada rn cara maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah :
1
r x r
2 x … x rn
Contoh:
Nomor pegawai suatu pabrik terdiri atas 3 angka dengan angka pertama tidak nol. Banyaknya nomor pegawai yang genap adalah….
jawab:
Angka terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Æ 10 angka
akan dibuat 3 digit Æ XXX
digit pertama : tidak ada angka 0, maka angkanya berjumlah 10 – 1 = 9
digit kedua : angka penuh = 10
digit ketiga : nomor genap Æ 0,2,4,6,8 = 5
Maka banyaknya nomor pegawai yang genap adalah:
9 x 10 x 5 = 450 nomor
Kaidah Permutasi dan Kombinasi :
1. Permutasi
a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya cara untuk menyusun r buah unsur dari n buah unsur yang berbeda dengan urutan
diperhatikan
Rumusnya : n r
P = nPr =
)! (
!
r n
n
−
Misalkan n = A,B,C,D
Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu :
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12 kemungkinan
AB ≠ BA BD ≠ DB AC ≠ CA CD ≠ DC
AD ≠ DA BC ≠ CB n= 4 ; r =2
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
n r
P =
)! (
!
r n
n
− =
4 2 P =
)! 2 4 (
! 4
−
= 1 2
1 2 3 4
x x x x
= 12 kemungkinan (sama dengan di atas)
Contoh soal :
Di suatu kelas akan dipilih ketua, sekretaris dan bendahara dar orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengu kelas tsb adalah….
jawab:
diketahui calon= n = 6 posisi jabatan = r = 3
sebagai gambaran :
misalkan 6 calon tersebut A, B, C, D, E dan F
ABC ≠ ACB ; ABC ≠CBA
ABC orangnya sama tetapi urutan posisi jabatan yang berbeda.
ABC ≠ ACB
A sama tetapi B dan C berbeda
ABC = A ketua, B Sekretaris, C Bendahara ACB = A ketua, B Bendahara, C Sekretaris ini yang dinamakan urutan yang diperhatikan.
Gunakan rumus n r
P =
)! (
!
r n
n
−
P36 =
)! 3 6 (
! 6
−
=
. 1 . 2 . 3
. 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
10. SOAL-SOAL PELUANG
EBTANAS2000
1. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap adalah…
A. 7 B. 10 C. 21 D. 35 E. 210
Jawab:
soal di atas adalah urutan yang diperhatikan
karena dari ke 7 calon tersebut dapat menduduki ke 3 posisi yang berbeda, sehingga digunakan permutasi.
n r
P =
)! (
!
r n
n − ;
n = 7 dan r = 3
7 3 P =
)! 3 7 (
! 7
− = 4.3.2.1 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7
= 7 .6. 5 = 210
Jawabannya adalah E
UN2005
2. Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut adalah…
A. 70 cara C. 120 cara E. 720 cara B. 80 cara D. 360 cara
jawab:
soal di atas tidak memperhatikan urutan ada karena 1 orang hanya akan terpilih 1 kali saja. Akan berbeda kalau soal di atas akan memilih juara 1, 2 dan 3 seseorang bisa menempati ke 3 posisi tersebut. (urutan diperhatikan)
karena tidak memperhatikan urutan ada maka digunakan kombinasi.
n= 10 ; r = 3
n r
C =
)! ( !
!
r n r
n
− = 10 3 C =
)! 3 10 ( ! 3
! 10
− = 3!7! ! 10
= 1 . 2 . 3
8 . 9 . 10
= 5.3.8 = 120
Jawabannya adalah C
EBTANAS1999
3. Pada percobaan lempar undi dua buah dadu sebanyak 216 kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah genap adalah :
A. 36 B. 54 C. 72 D. 104 E. 108
jawab:
fH(A) = P(A) x N
N = 216
P(A) = ) (
) (
S n
A n
n(S) = 6 x 6 = 36
n(A) = …Æ buat tabel ruang sample percobaan
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
terlihat jumlah kejadian mata dadu berjumlah genap berjumlah 18. maka n(A) =18
P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 36 18
= 2 1
sehingga frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah genap adalah :
fH(A) = P(A) x N = 2 1
x 216 = 108
EBTANAS1994
4. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi sekali. Peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu adalah…
A.
Ada dua cara dalam pengerjaan soal diatas :
Cara 1 :
dengan rumus peluang:
P(A) =
- mata uang terdiri dari angka(A) dan gambar(G) - dadu terdiri dari 6 angka
Bilangan prima ganjil dari 1,2,3,4,5,6 adalah 3 dan 5.
ada 2 kejadian yaitu (A,3) dan (A,5)Æ n(A) = 2
kejadian soal di atas adalah saling bebas karena kejadian munculnya angka pada uang tidak mempengaruhi kejadian munculnya angka prima.
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
jawabannya adalah E
silakan pilih cara mana yang tercepat !!!
EBTANAS1993
5. Dua buah dadu dilempar bersama-sama satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 atau 10 adalah…
soal di atas adalah kejadian saling lepas karena kejadian munculnya mata dadu berjumlah 7 dan mata dadu berjumlah 10 tidak dapat terjadi secara bersama-sama.
sehingga menggunakan rumus :
maka peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 atau 10
jawabannya adalah B
UN2006
6. Dari suatu kantong yang berisi 5 bola merah dan 3 bola biru, dua bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil berbeda warna adalah….
A.
Soal di atas adalah perpaduan dari kejadian saling lepas dan saling bebas.
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B ) Æ saling lepas P(A) dan P(B) Æ saling bebas
peluang bola yang terambil berbeda warna, maka
P(A) = P(merah,biru) Æ yang terambil warna merah dahulu
P(B) = P(biru,merah) Æ yang terambil warna biru dahulu
=
Sehingga peluang bola yang terambil berbeda warna adalah:
P(A ∪ B ) =
soal no 6 dapat dikembangkan dengan pertanyaan sbb: a. bagaimana kalau 2 bola diambil sekaligus
b. bagaimana kalau bola diambil satu demi satu dengan pengembalian.
n(S) = kombinasi 2 bola dari 8 bola yang tersedia
= C8
7. Banyak bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak ada angka yang sama adalah….
A.1680 B. 1470 C. 1260 D. 1050 E. 840
Jawab:
Jumlah angka= 8 (0,1,2,3,4,5,6,7)
angka pertama = 4
angka 0,1,6 dan 7 tidak ikut, kenapa?
bilangan di atas akan merupakan bilangan 2013 s/d 5987 dan tidak ada angka yang sama.
angka 0,1,6,7 untuk angka pertama tidak masuk dalam range bilangan.
Angka kedua := 8 -1 = 7 (angka berkurang 1) Angka ketiga = 8 -2 = 6 (angka berkurang 2) Angka keempat = 8 -3 = 5 (angka berkurang 3)
angka berkurang karena tidak ada angka yang sama
Maka banyaknya bilangan yang dapa disusun=
4 x 7 x 6 x 5 = 840
jawabannya adalah E EBTANAS2000
8. Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah…
A.336 B. 168 C. 56 D. 28 E. 16
jawab:
menjawab soal di atas menggunakan kombinasi karena prinsip AB = BA, tidak memperhatikan urutan ada
karena satu garis memerlukan 2 titik maka hasil adalah hasil kombinasi dibagi 2 :
Banyaknya garis yang dapat dibuat = 2
8 3 C
= 2
)! 3 8 ( ! 3
! 8
−
= 2
1 . 2 . 3
6 . 7 . 8
= 2 56
= 28
Jawabannya adalah D
EBTANAS2003
9. Banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola volley yang terdiri dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak bisa bermain karena cedera adalah….
A. 90 B. 84 C. 56 D. 45 E. 28
jawab:
Perhatikan kata-kata soal ini dengan hati-hati !!
penyelesaian menggunakan kombinasi karena 1 orang pemain mempunyai kans hanya satu.
Dari 10 pemain :
1 pemain tidak bisa ikut karena cedera = -1 1 pemain selalu menjadi kapten = -1
n = calon pemain yang tersisa = 10 -2 = 8
pemain volley adalah 6 orang, tetapi satu posisi sudah terisi oleh kapten yang harus selalu bermain sehingga posisi yang tersedia= 6 – 1 = 5 = r
Maka banyaknya susunan pemain =
C8 3 =
)! 3 8 ( ! 3
! 8
− = 3.2.1 6 . 7 . 8
= 56
jawabannya adalah C UN2007
10. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah…..
A. 40 39
B. 13
9 C.
2 1
D. 20
9
E. 40
9
jawab:
Kejadian di atas adalah saling bebas sehingga digunakan rumus :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
P(A) Æ peluang di kantong I untuk kelereng putih
P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 8 3
n(A) = 3 kelereng putih
P(B) = ) (
) (
S n
B n
= 10
6
n(B) = 6 kelereng hitam
n(S) = jumlah kelereng di kantong II = 4 + 6 = 10
Sehingga Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah :
P(A ∩ B ) = 8 3
x 10
6 =
80 18
= 40
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “MATEMATIKA” adalah:
Jawab :
Permutasi duduk melingkar seperti ini disebut permutasi siklis, dirumuskan sbb:
Pn
s = (n-1) ! ; n= banyaknya unsur; s = siklis
Permutasi siklis untuk 3 orang tsb bisa dicari dengan menggunakan rumus ini. Yaitu:
P3s = (3-1) ! = 2 ! = 2 kemungkinan
2. Kombinasi :
Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan ada
Misalkan n = A,B,C,D
Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6 kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada)
Rumusnya : n
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
Diketahui n = 4 dan r = 2
contoh soal:
Dalam suatu acara silaturahmi yang dihadiri 20 orang, setiap orang saling bersalaman. Banyaknya salaman yang terjadi adalah….
AB = BA Æ orangnya sama yang melakukan salaman
dinamakan tidak memperhatikan urutan ada.
n = 20 ; r = 2
Pakai rumus n r
C =
)! ( !
!
r n r
n
−
=
)! 2 20 ( ! 2
! 20
− = 2!18! ! 20
= 1 . 2
19 . 20
= 10.19 = 190
Peluang suatu kejadian :
Rumus peluang kejadian :
P(A) = ) (
) (
S n
A n
p(A) = peluang kejadian
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
Contoh sederhana: sebuah dadu dilempar, berapa peluang terjadi yang muncuk angka ganjil ?
semua angka dadu adalah 6 sehingga n(S) = 6 angka ganjil adalah 1, 3 dan 5 sehingga n(A) = 3
P(A) = 6 3
= 2 1
Hukum-hukum Peluang :
1. Kejadian saling komplemen
Jika A'
= kejadian bukan A (komplemen A) maka :
P(A'
) = 1 – P(A)
didapat dari :
s
A’ A
Pada diagram Venn di atas :
n (A) + n (A’) = n (S)
bagi masing-masing dengan n(S) menjadi :
) (
) ( ) (
) ' ( ) (
) (
S n
S n
S n
A n
S n
A n
= +
P(A) + P(A’) = 1 maka P(A’) = 1 – P(A)
Contoh:
Peluang satu kelas lulus UNAS adalah 0.97. Peluang tidak lulus ujian adalah :
jawab:
P(A’) = 1 – P(A)
diketahui peluang lulus ujian = P(A) = 0.97 ditanya peluang tidak lulus = P(A’)=…
P(A’) = 1 – 0.97 = 0.03
2. Kejadian Majemuk :
A. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas
a. Kejadian saling lepas
A ∩ B =φ
Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara sama.
Diagram Venn:
s
A B
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Contoh:
jawab:
buat tabel ruang sample percobaan seperti di bawah:
Dadu terdiri dari angka 1 ,2,3,4,5, dan 6
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 36
Ada dua peluang kemungkinan yang terjadi : 1. jumlah dadu berjumlah 5 kita sebut peluang A berjumlah 4 (warna merah)
2. jumlah dadu berjumlah 8 kita sebut peluang B berjumlah 5 ( warna biru)
A dan B merupakan kejadian saling lepas karena munculnya jumlah dadu baerjumlah 5 dan 8 terjadi tidak secara bersamaan, ini ynag disebut dengan kejadian saling lepas.
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 36
4
; P(B) = ) (
) (
S n
B n
= 36
5
P (A ∪ B ) = 36
4 +
36 5
= 36
9 =
4 1
b. Kejadian tidak saling lepas A ∩ B ≠φ
Kejadian A dan B dapat terjadi secara bersama-sama.
Diagram Venn:
s
A B
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
Contoh soal:
Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Peluang terambilnya kartu berwarna hitam dan As adalah…
jawab: catatan:
kartu bridge terdiri dari 4 macam:
kartu sekop, kartu keriting, kartu wajik dan kartu hati masing-masing berjumlah 13.
angka 1 s/d 10, Jack, Queen, King dan AS Yang berwarna hitam : sekop dan keriting yang berwarna merah: wajik dan hati
n(S) = 52 (jumlah kartu)
A = kejadian terambilnya kartu hitam.
Ada dua kartu hitam yaitu sekop dan kriting. masing-masing mempunyai 13 kartu,
sehingga n(A) = 2 x 13 = 26 B = kejadian terambilnya kartu as.
kartu as pada satu set kartu bridge terdiri dari 4 kartu, sehingga n(B) = 4
Kartu hitam dan kartu as dapat terjadi secara bersamaan jika yang terambil kartu as sekop dan kartu as keriting, sehingga dan B adalah kejadian yang tidak saling lepas
sehingga n(A ∩B) = 2
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
=
) (
) (
) (
) ( ) (
) (
S n
B A n
S n
B n
S n
A
n ∩
−
+
=
52 2 52
4 52
26+ − =
52 28
= 13
7
3. Kejadian saling bebas dan tidak saling bebas
a . Kejadian saling bebas.
Munculnya kejadian A tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian B.
Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
Contoh:
Sebuah dadu dan sebuah uang logam (koin) delempar secara bersama-sama. Berapa peluang kejadian munculnya gambar pada koin dan munculnya angka ganjil pada dadu ?
jawab:
misal A= kejadian munculnya angka pada koin.
P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 2 1
catatan:
koin terdiri dari angka dan gambar maka n(S) = 2 n(A) = gambar = 1
misal B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu
P(B) = ) (
) (
S n
B n
= 6 3
= 2 1
catatan:
dadu terdiri dari 6 angka maka n(S) = 6
angka ganjil pada dadu terdiri dari 3 angka (1,3 dan 5) maka n(B) = 3
maka peluang kejadian munculnya gambar pada koin dan munculnya angka ganjil pada dadu :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
= 2 1
x 2 1
= 4 1
contoh kedua:
Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98.
Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus UNAS adalah
jawab:
P(A) = peluang siswa sekolah A lulus P(B’) = peluang siswa sekolah B tidak lulus
P(A∩B’) = P(A) x P(B’) P(A) = 0.99 P(B) = 0.98
P(B) + P(B’) = 1
P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 0.98 = 0.02
Maka peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus adalah :
P(A∩B’) = P(A) x P(B’)
= 0.99 x 0.02 = 0.0198
b. Kejadian tidak saling bebas (bersyarat)
Kejadian A mempengaruhi peluang kejadian B .
Jika A dan B adalah dua kejadian tidak saling bebas, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)
P(B|A) = peluang terjadinya B setelah terjadinya A
contoh soal:
Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak. Peluang kedua bola yang terambil berwarna hijau adalah…
jawab:
pengambilan bola pertama:
Banyaknya bola pada pengambilan pertama adalah 4 + 6 = 10, maka n(S) = 10.
A adalah kejadian terambilnya bola hijau = 4
maka P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 10
4 =
5 2
pengambilan bola kedua:
Banyaknya bola pada pengambilan kedua10-1, maka n(S) = 9. (bola berkurang 1)
kejadian pertama dan kejadian kedua saling berpengaruh, maka dikatakan kejadian tidak saling bebas.
P(B|A) = ) (
) | (
S n
A B n
P(B|A) = 9 3
= 3 1
Maka peluang terambilnya 2 bola hijau adalah :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)
= 5 2
x 3 1
= 15
2
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari kejadian A adalah fH(A) = P(A) x N
fH(A) = frekuensi harapan kejadian A P(A) = peluang kejadian A
N = banyaknya pecobaan
Contoh Soal :
Suatu percobaan lempar undi dua mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya sisi dua angka adalah…
jawab:
ditanya . fH(A) = P(A) x N
- diketahui N = 104
- cari P(A) dimana :
P(A) = ) (
) (
S n
A n
Tabel ruang sample :
uang logam terdiri dari angka (A) dan gambar (G)
A G
A (A,A) (A,G)
G (G,A) (G,G)
didapat n(A) = sisi dua angka (warna merah) = 1 n(S) = 4
P(A) = ) (
) (
S n
A n
= 4 1
sehingga fH(A) = P(A) x N
= 4 1
