PELUANG

(1)

PELUANG

A. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Peluang Suatu Kejadian

Percobaan atau Eksperimen adalah suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan. Misalkan pada pelemparan sebuah dadu, hasil yang mungkin terjadi adalah munculnya mata dadu 1, mata dadu 2, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, atau mata dadu 6.

Jika hasil yang mungkin ini kita himpun, maka akan diperoleh himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Himpunan ini disebut Ruang Sampel.

Ruang Sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S. Anggota dari ruang sampel disebut titik sampel dan banyak titik sampel dilambangkan dengan n(S). Himpunan bagian dari ruang sampel disebut dengan kejadian atau peristiwa dan dinotasikan dengan huruf kapital misalkan A. Pada contoh di atas kejadian muncul mata dadu ganjil dinamakan kejadian A, maka A = {1, 3, 5} dan banyak kejadian A di notasikan dengan n(A) = 3.

Himpunan kosong dinotasikan dengan { }, himpunan kosong dan himpunan S adalah himpunan bagian dari ruang sampel sehingga keduanya merupakan suatu kejadian. Himpunan kosong { } disebut kejadian yang tak mungkin terjadi (mustahil terjadi) dan himpunan S disebut kejadian yang pasti terjadi. Contohnya pada pelemparan sebuah dadu, kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 adalah kejadian yang pasti terjadi sedangkan kejadian muncul mata dadu 1 dan 3 adalah kejadian yang tak mungkin terjadi (mustahil terjadi).

Contoh :

1. Sebuah uang logam dilemparkan sekali.

Tentukan :

a. Ruang Sampel d. Contoh kejadian yang mustahil terjadi b. Titik sampel e. Contoh kejadian yang pasti terjadi c. Banyak Titik Sampel

Penyelesaian :

Uang logam terdiri dari dua sisi yaitu sisi Angka (A) dan sisi Gambar (G).

a. Ruang Sampel : S = {A, G}

b. Titik Sampel : A dan G

c. Banyak Titik Sampel : n(S) = 2

d. Contoh kejadian yang mustahil terjadi : muncul sisi Angka dan sisi Gambar bersamaan.

e. Contoh kejadian yang pasti terjadi : muncul sisi Angka atau sisi Gambar.

2. Dua dadu dilempar bersamaan.

Tentukan : a. Ruang Sampel b. Banyak Titik Sampel

c. Kejadian muncul mata dadu berjumlah tujuh d. Kejadian muncul mata dadu sama

(2)

Penyelesaian :

a. Ruang Sampel dari pelemparan dua buah dadu secara bersamaan diperhatikan pada tabel berikut :

Dadu 2

1 2 3 4 5 6

Dadu 1

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Ruang Sampel : {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

b. Banyak Titik Sampel : n(S) = 36

c. Kejadian muncul mata dadu berjumlah tujuh : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3) (5,2), (6,1) d. Kejadian muncul mata dadu sama : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

3. Dua buah uang logam dilempar bersamaan.

Penyelesaian : a. Ruang Sampel

Uang 2

A G

Uang 1

A AA AG

G GA GG

Ruang Sampel : {AA, AG, GA, GG}

4. Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilempar bersamaan.

(3)

Penyelesaian : a. Ruang Sampel

Dadu

1 2 3 4 5 6

Uang

A A1 A2 A3 A4 A5 A6

G G1 G2 G3 G4 G5 G6

Ruang Sampel : {A1, A2, A3, A4, A5, A6, G1, G2, G3, G4, G5, G6}

Soal Latihan

Tiga uang logam dilempar secara bersamaan.

c. Kejadian munculnya paling sedikit satu gambar d. Kejadian muncul sisi sama

e. Kejadian muncul dua sisi angka

f. Kejadian tidak ada angka yang muncul

B. Peluang Suatu Kejadian

Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :

P(A) = ^𝒏(𝑨)_𝒏(𝑺) Dengan

P(A) = peluang kejadian A

n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) = banyaknya titik sampel

Peluang suatu kejadian nilainya berkisar antara 0 dan 1, ditulis 0 ≤ P(A) ≤ 1. Peluang kejadian bernilai 0 untuk suatu kejadian mustahil dan peluang bernilai 1 untuk suatu kejadian yang pasti terjadi.

Contoh :

1. Dalam pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang : a. muncul mata dadu 2

b. muncul mata dadu genap

(4)

c. muncul mata dadu prima Penyelesaian :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6 a. Peluang muncul mata dadu 2

Misal A = kejadian muncul mata dadu 2, maka A = {2} dan n(A) = 1 Peluang muncul mata dadu 2 :

P(A) = ^n(A)_n(S) = ^𝟏_𝟔

b. Peluang mata dadu genap

Misal B = kejadian muncul mata dadu genap, maka B = {2, 4, 6} dan n(B) = 3 Peluang muncul mata dadu genap :

P(B) = ^n(B)

n(S)= ^𝟑_𝟔 == ^𝟏_𝟐 c. Peluang mata dadu prima

Misal C = kejadian muncul mata dadu prima, maka C = {2, 3, 5} dan n(C) = 3 Peluang muncul mata dadu prima :

P(C) = ^n(C)_n(S) =^𝟑_𝟔 == ^𝟏_𝟐

2. Sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang terambilnya :

a. sebuah bola putih b. sebuah bola merah

Penyelesaian :

Jumlah semua bola ada 8, sehingga n(S) = 8 a. Misalkan A = kejadian terambinya bola putih.

Banyak bola putih ada 5, maka n(A) = 5 Peluang terambilnya bola putih :

P(A) = ^n(A)

n(S) = ^𝟓_𝟖

b. Misalkan B = kejadian terambinya bola merah.

Banyak bola merah ada 3, maka n(B) = 3 Peluang terambilnya bola merah :

P(B) = ^n(B)_n(S)= ^𝟑_𝟖

3. Suatu kotak berisi 10 kelereng, 6 berwarna merah dan 4 berwarna biru. Dari kotak itu di ambil 3 kelereng secara acak. Tentukan peluang terambilnya :

a. semua kelereng merah b. semua kelereng biru

c. 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru d. 1 kelereng merah dan 2 kelereng biru

(5)

Penyelesaian :

Dari 10 kelereng akan diambil 3 kelereng. Banyak cara mengambil 3 kelereng dari 10 kelereng :

C₃

10 = 10 − 3 ! × 3!^10! =_{7! × 3!}^10! =10 × 9 × 8 × 7!

7! × 3! =10 × 9 × 8

3 ×2 × 1 = 120 cara Maka n(S) = 120

a. Misalkan A = kejadian terambilnya 3 kelereng merah.

Banyak cara mengambil 3 kelereng merah dari 6 kelereng merah : C₃

6 = 6 − 3 ! × 3!^6! =_{3! × 3!}^6! =6 × 5 × 4 × 3!

3! × 3! =^{6 × 5 × 4}_{3 ×2 × 1} = 20 cara Maka n(A) = 20

Jadi, peluang terambilnya semua kelereng merah : P(A) = ^n(A)

n(S) = ₁₂₀²⁰ =¹₆

b. Misalkan B = kejadian terambilnya 3 kelereng biru.

Banyak cara mengambil 3 kelereng biru dari 4 kelereng biru : C₃

4 = 4 − 3 ! × 3!^4! =_{1! × 3!}^4! =^{4 × 3!}_{1 × 3!}= ⁴₁ = 4 cara Maka n(B) = 4

Jadi, peluang terambil semua kelereng biru : P(B) = ^n(B)_n(S)= ₁₂₀⁴ =₃₀¹

c. Misalkan C = kejadian terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru.

Banyak cara mengambil 2 kelereng merah dari 6 kelereng merah dan 1 kelereng biru dari 4 kelereng biru :

C₂

6 × C₄ ₁ = 6 – 2 ! × 2!^6! × 4−1 ! × 1!^4!

=_{4! × 2!}^6! × _{3! × 1!}^4!

=^{6 × 5 × 4!}_{4! ×2!} × _{3! × 1!}^{4 × 3!}

= ^{6 × 5}

2 ×1 ×⁴

1

= 60 cara Maka n(C) = 60

Jadi, peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru : P(C) = ^n(C)_n(S) =₁₂₀⁶⁰ = ¹₂

(6)

d. Misalkan D = kejadian terambilnya 1 kelereng merah dan 2 kelereng biru.

Banyak cara mengambil 1 kelereng merah dari 6 kelereng merah dan 2 kelereng biru dari 4 kelereng biru :

C₁

6 × C₄ ₂ = 6 – 1 ! × 1!^6! × 4 −2 ! × 2!^4!

=_{5! × 1!}^6! × _{2! × 2!}^4!

=^{6 × 5!}

5! ×1! × ^{4 × 3 ×2!}

2! × 2!

= ⁶₁ ×^{4 × 3}_{2 ×1}

= 36 cara Maka n(D) = 36

Jadi, peluang terambilnya 1 kelereng merah dan 2 kelereng biru : P(D) = ^n(D)

n(S) = ³⁶

120 = ³

10

Soal Latihan

1. Dua keping uang logam diundi bersama-sama satu kali.

Tentukan peluang munculnya : a. dua sisi angka

b. satu sisi angka dan satu sisi gambar c. sekurang-kurangnya satu sisi angka

2. Sepasang suami istri berencana memiliki 3 anak. Tentukan peluang pasangan tersebut memiliki :

a. tiga anak laki-laki b. dua anak laki-laki

c. paling sedikit satu perempuan

3. Dua dadu dilempar bersamaan satu kali. Berapakah peluang muncul : a. kedua mata dadu berjumlah 5

b. kedua mata dadu bilangan ganjil

c. kedua mata dadu berjumlah lebih dari 6

4. Jika 3 keping uang logam dilempar sekali secara bersamaan, tentukan peluang munculnya : a. 2 sisi angka dan 1 sisi gambar

b. ketiganya sisi gambar

c. sekurang-kurangnya satu sisi gambar

(7)

5. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar sekali secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya :

a. mata dadu empat dan sisi gambar pada uang logam b. mata dadu genap dan sisi angka pada uang logam c. mata dadu prima dan sisi angka pada uang logam

6. Terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru dalam sebuah kotak. Akan diambil 5 bola secara acak.

Berapa peluang terambilnya : a. 4 bola merah dan 1 bola biru b. 3 bola merah dan 2 bola biru c. 2 bola merah dan 3 bola biru d. 1 bola merah dan 4 bola biru

7. Sebuah kotak memuat 20 bola, terdiri dari 8 bola putih dan 12 bola hitam. Diambil 3 bola sekaligus secara acak. Berapa peluang terambilnya :

a. semua bola putih b. semua bola hitam

c. 1 bola putih dan 2 bola hitam d. 2 bola putih dan 1 bola hitam

8. Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng putih, 10 kelereng merah, dan 6 kelereng kuning.

Dari kantong tersebut akan di ambil 6 kelereng secara acak. Berapa peluang terambilnya : a. 1 kelereng putih, 3 kelereng merah, dan 2 kelereng kuning

b. 2 kelereng putih, 2 kelereng merah, dan 2 kelereng kuning c. 2 kelereng putih, 3 kelereng merah, dan 1 kelereng kuning d. 3 kelereng putih, 1 kelereng merah, dan 2 kelereng kuning

C. Frekuensi Harapan

Dalam pelemparan sebuah uang logam, peluang munculnya angka adalah ¹₂. Dengan demikian untuk 10 kali pelemparan kemungkinan munculnya angka adalah ¹

2 × 10 = 5 kali.

Untuk 24 kali pelemparan kemungkinan munculnya angka adalah ¹₂ × 24 = 12 kali. Hasil ini merupakan harapan dari munculnya sisi angka bila dilakukan pelemparan sebanyak n kali.

Banyaknya kemunculan yang diharapkan dalam suatu percobaan tersebut dinamakan Frekuensi Harapan. Frekuensi harapan suatu kejadian dinotasikan dengan Fr.

Frekuensi harapan suatu kejadian pada percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr (A) = P(A) × n

Contoh :

1. Sebuah dadu dilemparkan 300 kali, berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu 5?

(8)

Penyelesaian :

Peluang muncul mata dadu 5 : P(5) = ¹

6

Banyak pelemparan : n = 300 kali

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 5 : Fr (5) = P(5) × n = ¹

6 × 300 kali = 50 kali

Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu 5 adalah 50 kali.

2. Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01. Dari 8.000 orang anak, berapa kira- kira yang terjangkit polio?

Penyelesaian :

Peluang terkena polio : P(kena polio) = 0,01 Jumlah anak : n = 8.000

Frekuensi harapan anak terkena penyakit polio :

Fr (kena polio) = P(kena polio) × n = 0,01 × 8.000 = 80

Jadi, dari 8.000 anak, diperkirakan 80 anak yang terkena polio.

3. Budi membeli benih jagung, pada kemasannya tertulis potensi tumbuh 98%. Jika di dalam kemasan terdapat 200 biji jagung, berapa banyak biji jagung yang diperkirakan tumbuh?

Penyelesaian :

Peluang tumbuh : 98% = ⁹⁸

100 Jumlah biji jagung : n = 200

Frekuensi harapan biji jagung tumbuh : Fr (biji tumbuh) = P(tumbuh) × n = ⁹⁸

100 × 200 = 196

Jadi, banyak biji jagung yang diperkirakan tumbuh adalah 196 biji.

Soal Latihan

1. Tiga uang logam dilempar bersamaan 120 kali. Berapa frekuensi harapan muncul 2 sisi angka dan 1 gambar?

2. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan sebanyak 36 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu genap dan sisi angka?

3. Dua dadu dilempar 100 kali secara bersamaan. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu sama?

4. Peluang seorang siswa menjawab benar dari soal pilihan ganda adalah ¹₅. Dari 40 soal pilihan ganda, berapa kira-kira soal yang dijawab benar oleh siswa tersebut?

5. Dua dadu dilempar bersama-sama sebanyak 360 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 7?

6. Sebuah perusahaan memproduksi televisi sebanyak 1.000.000 unit. Bila peluang perusahaan memproduksi produk yang cacat adalah 0,01 maka dari 1.000.000 unit televisi yang

diproduksi berapa banyak kemungkinan televisi yang tidak cacat?

(9)

7. Frekuensi harapan munculnya mata dadu genap pada pelemparan sebuah dadu yang dilakukan sebanyak 120 kali?

8. Tiga mata uang logam dilempar undi sebanyak 120 kali, berapa frekuensi harapan muncul paling sedikit 2 sisi gambar?

9. Dua dadu dilempar secara bersamaan sebanyak 180 kali. berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 8?

10. Sebuah perusahaan memproduksi handphone sebanyak 2.000.000 unit. Bila peluang perusahaan memproduksi produk yang cacat adalah 0,002 maka dari 2.000.000 unit handphone yang diproduksi berapa banyak kemungkinan yang cacat?

D. Kejadian Majemuk

A ∪ B adalah kejadian A atau B A ∩ B adalah kejadian A dan B

1. Kejadian Saling Lepas

Bila dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan maka dua buah kejadian itu dikatakan saling lepas. Dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B tidak memiliki titik sampel yang sama.

Contohnya pada pelemparan sekali sebuah uang logam, kejadian munculnya gambar dan kejadian munculnya angka tidak dapat terjadi secara bersamaan. Maka kejadian tersebut saling lepas.

Peluang kejadian A atau B sebagai berikut : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Pada dua kejadian yang saling lebas (A ∩ B) = ∅.

Sehingga peluang dua kejadian A atau B yang saling lepas adalah : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh :

1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10!

Penyelesaian :

Perhatikan tabel berikut : Dadu 2

1 2 3 4 5 6

Dadu 1

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

(10)

Diketahui : n(S) = 36

Misalkan A : kejadian muncul mata dadu berjumlah 4.

A = {(1,3), (2,2), (3,1)}, maka n(A) = 3 Jadi, P(A) = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = ³

36 = ¹

12

Misalkan B : kejadian muncul mata dadu berjumlah 10.

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}, maka n(B) = 3 Jadi, P(B) = ^𝑛(𝐵)_𝑛(𝑆) = ₃₆³ = ₁₂¹

Jika kedua dadu berjumlah 4 maka tidak mungkin sekaligus berjumlah 10.

Sehingga (A ∩ B) = ∅, berarti A dan B adalah kejadian saling lepas.

Jadi peluang A atau B adalah :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = ₁₂¹ +₁₂¹ =₁₂² =¹₆

2. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge (kartu remi). Berapa peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna hitam?

Penyelesaian :

Jumlah kartu bridge = 52, maka n(S) = 52

Misalkan A : kejadian terambil kartu As, maka n(A) = 4 Jadi, P(A) = ^𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) =₅₂⁴ =₁₃¹

Misalkan B : kejadian terambil kartu warna hitam, maka n(B) = 26 Jadi, P(B) = ^𝑛(𝐵)_𝑛(𝑆) = ²⁶₅₂= ¹₂

Karena ada dua kartu As yang berwarna hitam, maka (A ∩ B) ≠ ∅, berarti A dan B adalah kejadian tidak saling lepas.

n(A ∩ B) = 2, maka P(A ∩ B) = ₅₂² =₂₆¹

Jadi, peluang A atau B adalah :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = ₅₂⁴ +²⁶₅₂−₅₂² =²⁸₅₂ =₁₃⁷

Soal Latihan :

1. Dalam pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 5 atau 10.

2. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge. Berapa peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna merah?

(11)

3. Sebuah kantong berisi 5 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola hijau. Berapa peluang terambilnya sebuah bola merah atau bola hijau?

4. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang terambilnya satu kartu As atau kartu King.

5. Dua bola diambil secara acak dari dalam kotak yangg berisi 4 bola merah, 3 bola ungu, dan 2 bola hitam. Tentukan peluang terambilnya bola ungu atau bola hitam.

2. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain.

Misalkan sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang kejadian A dan kejadian B yang saling bebas sebagai berikut : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan dua kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan mata dadu 5 pada pelemparan kedua?

Penyelesaian : Diketahui : n(S) = 6

Misalkan A : kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka n(A) = 1 Jadi, P(A) = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =¹₆

Misalkan B : kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka n(B) = 1 Jadi, P(B) = ^𝑛(𝐵)_𝑛(𝑆) = ¹₆

Karena kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua tidak saling mempengaruhi kejadian satu dengan lainnya, maka kejadian itu saling bebas.

Jadi, peluang A dan B adalah : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = ¹₆×¹₆= ₃₆¹

Soal Latihan

1. Dua dadu berwarna merah dan biru dilempar bersamaan. Berapa peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu merah dan mata dadu 3 pada dadu biru?

2. Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang munculnya gambar pada uang logam dan munculnya bilangan prima pada dadu?

3. Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 2 bola putih. Dalam kotak yang lain terdapat 5 bola merah dan 4 bola biru. Dari masing-masing kotak diambil satu bola.

Berapa peluang terambil bola merah dari kotak pertama dan bola biru dari kotak kedua?

(12)

4. Kotak A berisi 8 butir telur dengan 3 butir diantaranya cacat dan kotak B berisi 5 butir telur dengan 2 diantaranya cacat. Dari masing-masing kotak diambil sebutir telur, berapa peluang bahwa kedua butir telur yang terambil itu cacat?

5. Peluang Alvian untuk lulus ujian adalah 0,75 sedangkan peluang Ikhsan untuk lulus ujian adalah 0,83. Tentukan peluang bahwa Alvian dan Ikhsan akan lulus ujian.

DAFTAR PUSTAKA

Kasmina, dkk. 2008. Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas XII. Jakarta: Erlangga.