PELUANG SUATU KEJADIAN
PELUANG SUATU KEJADIAN
Oleh : Oleh :
Saptana Surahmat Saptana Surahmat
Sepanjang sejarah peradaban manusia, kegiatan mengundi peruntungan selalu muncul dalam Sepanjang sejarah peradaban manusia, kegiatan mengundi peruntungan selalu muncul dalam berbagai bentuk, mulai dari peramalan, perjudian, bisnis asuransi hingga para pialang di lantai berbagai bentuk, mulai dari peramalan, perjudian, bisnis asuransi hingga para pialang di lantai bursa. Meskipun profesi mereka
bursa. Meskipun profesi mereka berbeda, namun sebenarnya konsep yang mereka berbeda, namun sebenarnya konsep yang mereka gunakan sama,gunakan sama, yakni mengumpulkan dan mengolah sekian banyak alternatif
yakni mengumpulkan dan mengolah sekian banyak alternatif kejadian yang mungkin terjadi ataukejadian yang mungkin terjadi atau tidak terjadi,
tidak terjadi, untuk selanjutnya menetapkan kemungkinan yang diyakini memiliki peluang untuk selanjutnya menetapkan kemungkinan yang diyakini memiliki peluang besarbesar untuk muncul.
untuk muncul.
Untuk menetapkan alternatif kejadian mana yang dipilih, pada awalnya digunakan teknik Untuk menetapkan alternatif kejadian mana yang dipilih, pada awalnya digunakan teknik menebak, mengundi dengan menggunakan alat, atau menghitung berdasarkan pengalaman. menebak, mengundi dengan menggunakan alat, atau menghitung berdasarkan pengalaman. Mulai abad pertengahan, sejalan dengan berkembangnya matematika, segala yang berkaitan Mulai abad pertengahan, sejalan dengan berkembangnya matematika, segala yang berkaitan dengan kejadian, harapan terjadi atau tidak terjadi, dan
dengan kejadian, harapan terjadi atau tidak terjadi, dan peluang mulai dikaji secara ilmiah peluang mulai dikaji secara ilmiah dengandengan menggunak
menggunakan pendekatan matematis. Hasil an pendekatan matematis. Hasil kajian ilmiah tersebut selanjutnya kajian ilmiah tersebut selanjutnya dirangkum dalamdirangkum dalam sebuah disiplin ilmu dengan nama teori peluang (
sebuah disiplin ilmu dengan nama teori peluang ( probabilita probabilitass) atau teori ) atau teori kemungkinankemungkinan..
Sebelum membahas lebih jauh tentang peluang, perlu dipahami terlebih dahulu istilah Sebelum membahas lebih jauh tentang peluang, perlu dipahami terlebih dahulu istilah penga-matan (
matan (observasiobservasi), percobaan, ruang sampel, tit), percobaan, ruang sampel, titik sampel dan kejadian. Untuk memahami istilah-ik sampel dan kejadian. Untuk memahami istilah-istilah tersebut ada baiknya kita melakukan kegiatan melempar sebuah koin satu kali dan istilah tersebut ada baiknya kita melakukan kegiatan melempar sebuah koin satu kali dan mencatat hasil yang diperoleh. Hasil yang kita lihat dan catat itu disebut
mencatat hasil yang diperoleh. Hasil yang kita lihat dan catat itu disebut pengamatanpengamatan atau atau pengukuran
pengukuran, dan , dan proses pelaksanaan suatu pengamatan disebutproses pelaksanaan suatu pengamatan disebut percobaanpercobaan ( (eksperimeneksperimen).). Melalui percobaan sederhana berupa pelemparan sebuah koin, akan diperoleh dua hasil dasar, Melalui percobaan sederhana berupa pelemparan sebuah koin, akan diperoleh dua hasil dasar, yaitu muncul sisi Angka (A) atau sisi Gambar (G). Bila percobaan dilakukan satu kali, maka akan yaitu muncul sisi Angka (A) atau sisi Gambar (G). Bila percobaan dilakukan satu kali, maka akan diperoleh satu dan hanya satu
diperoleh satu dan hanya satu dari dua hasil dasar tersebut dari dua hasil dasar tersebut dan hasilnya tidak dapat ditentukan.dan hasilnya tidak dapat ditentukan. Hasil dasar ini disebut
Hasil dasar ini disebut Titik SampelTitik Sampel. Kumpulan dari semua titik sampel yang mungkin muncul. Kumpulan dari semua titik sampel yang mungkin muncul dalam suatu percobaan disebut
dalam suatu percobaan disebut Ruang SampelRuang Sampel..
Contoh 1 Contoh 1..
Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan ruang sampel dalam percobaan tersebut. Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan ruang sampel dalam percobaan tersebut. Penyelesaian :
Enam hasil dasar yang mungkin muncul dalam percobaan pelemparan sebuah dadu adalah : 1. muncul angka 1, atau
2. muncul angka 2, atau 3. muncul angka 3, atau 4. muncul angka 4, atau 5. muncul angka 5, atau 6. muncul angka 6.
Berdasarkan hasil di atas, ruang sampel dalam percobaan ini dalam bentuk notasi himpunan adalah berupa himpunan yang berisi enam titik sampel, yaitu :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Contoh 2.
Dua koin dilemparkan, kemudian sisi yang muncul di catat. Buatlah daftar semua titik sampel untuk percobaan ini dan susunlah ruang sampelnya.
Penyelesaian :
Untuk memudahkan menemukan titik-titik sampel dalam percobaan di atas dibuat sebuah diagram pohon sebagai berikut :
Berdasarkan diagram diatas, tampak terdapat empat titik sampel, yaitu AA, AG, GA dan GG. Dengan demikian diperoleh ruang sampel :
S = { AA, AG, GA, GG }
Himpunan bagian dari suatu ruang sampel dinamakankejadian atau peristiwa. Terdapat empat macam kejadian yang mungkin terjadi, yaitu :
1. Kejadian pasti, yaitu kejadian yang memuat semua titik sampel, misalnya kejadian munculnya mata dadu kurang dari atau sama dengan 6 pada pelemparan sebuah dadu. 2. Kejadian mustahil, yaitu kejadian yang bukan salah satu dari titik-titik sampel yang ada
dalam suatu ruang sampel, misalnya kejadian terpilihnya seorang, dari 50 orang siswa yang dipilih, yang lahir pada tanggal 30 Pebruari.
3. Kejadian sederhana, yaitu kejadian yang memuat paling sedikit satu titik sampel, misalnya kejadian munculnya gambar (G) pada pelemparan sebuah uang logam.
4. Kejadian majemuk , yaitu kejadian yang memuat dua atau lebih titik sampel, misalnya pada kejadian munculnya mata dadu ganjil pada pelemparan sebuah dadu.
Frekuensi Relatif
Dalam sebuah percobaan sederhana melempar sebuah koin satu kali, kemungkinan kejadian yang akan muncul adalah muncul sisi Angka (A) atau muncul sisi Gambar (G). Kedua kejadian memiliki peluang yang sama untuk muncul. Artinya banyaknya kemunculan sisi Angka (A) dan sisi Gambar (G) akan seimbang atau 50% : 50%.
Bagaimana jika pelemparan koin dilakukan berulang kali, apakah banyaknya muncul sisi Angka (A) dan sisi Gambar (G) akan selalu sseimbang ?
Gambar 1 menunjukan grafik yang menggambarkan rata-rata munculnya sisi Gambar (G) dalam suatu percobaan melemparkan koin sebanyak 1 – 100 kali.
Gambar 1
Dari gambar di atas, tampak bahwa pada awal percobaan hingga banyak lemparan mendekati 60, rata-rata banyaknya kemunculan sisi Gambar (G) bersifat fluktuatif. Setelah itu nilai rata-rata relatif tetap berada disekitar angka 0,5.
Angka rata-rata kemunculan sisi Gambar (G) pada setiap dilakukan percobaan seperti tersaji pada gambar 1 disebut frekuensi relatif . Dengan demikian, jika x menyatakan banyaknya muncul kejadian A dan n menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan, maka frekuensi relatif adalah nilai perbandingan x terhadap n atau secara simbolik ditulis :
( ) r x f A n = Contoh 3.
Dalam suatu percobaan melempar sebuah koin, tercatat hasil pengamatan sebagai berikut : Percobaan
ke :
Banyak Pelemparan
Banyak Angka (A) muncul
Banyak Gambar (G) muncul
1. 10 kali 6 kali 4 kali
2. 20 kali 8 kali 12 kali
3. 30 kali 15 kali 15 kali
4. 40 kali 21 kali 19 kali
Tentukan frekuensi relatif dari :
a. Kemunculan sisi Angka (A) pada percobaan ke-3.
b. Kemunculan sisi Gambar jika dilakukan pelemparan sebanyak 50 kali.
Penyelesaian :
a. Pada percobaan ke-3 dari 30 lemparan diperoleh hasil kemunculan sisi Angka (A) sebanyak 15 kali. Dengan demikian, frekuensi rekatif muncul sisi Angka (A) adalah :
15
( ) 0,5 30
r
f A = =
b. Pada percobaan dimana dilakukan pelemparan koin sebanyak 50 kali diperoleh hasil kemunculan Gambar (A) sebanyak 26 kali. Dengan demikian frekuensi relatif muncul sisi Gambar (G) adalah : 26 ( ) 0,52 50 r f A = =
Peluang Suatu Kejadian
Sebelumnya telah dibahas tentang frekuensi relatif. Hal yang menarik dari frekuensi relatif adalah bila suatu percobaan peluang dilakukan berulang kali sebanyak-banyaknya, maka nilai frekuensi relatif cendrung menuju bilangan tertentu yang bersifat konstan. Nilai tertentu ini disebut peluang suatu kejadian.
Berdasarkan itulah, pengertian peluang suatu kejadian dirumuskan sebagai berikut :
Jika suatu percobaan mempunyai ruang sampel berhingga dan setiap titik sampel mem-punyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang munculnya kejadian A adalah sebesar : ( ) ( ) ( ) n A P A n S =
Dimana n( A) menyatakan banyaknya kejadian A muncul dalam ruang sampel dan n(S) menyatakan banyaknya anggota ruang sampel.
Jikan( A) =n(S), makaP( A) = 1. Dalam hal ini dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi. Sebaliknya, jikan( A) = 0, makaP( A) = 0. Ini artinya kejadian A mustahil terjadi. Di luar itu semua, nilai kejadian
A berkisar antara 0 sampai dengan 1 atau 0 < P( A) < 1.
Contoh 4.
Dua keping uang logam dilempar secara bersamaan satu kali. Tentukan peluang munculnya sisi gambar (G) pada salah satu koin !
Penyelesaian :
Pada pelemparan dua koin sekaligus akan diperoleh ruang sampel :
S = { (AA), (AG), (GA), (GG) } → n(S) = 4
Kejadian munculnya sisi gambar (G) pada salah satu koin meliputi tiga titik sampel, yaitu (AG), (GA) dan (GG) atau :
Berdasarkan itu, peluang munculnya sisi gambar pada salah satu koin adalah : 3 ( ) 0, 75 4 P A = = Contoh 5.
Tentukan peluang terambilnya kartu As pada pengambilan sebuah kartu pada satu set kartu Bridge tanpa Joker !
Penyelesaian :
Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu As. Banyaknya anggota himpunan A sama dengan banyaknya kartu As dalam satu set kartu Bridge, yaitu ada 4 buah ataun( A) = 4. Banyaknya semua kartu dalam satu set kartu Bridge tanpa Joker adalah 52 buah atau n(S) = 52. Dengan demikian, peluang terambilnya kartu As dari satu set kartu Bridge tanpa Joker adalah :
4
( ) 0, 077 52
P A = = Contoh 6.
Pada sebuak kotak kardus terdapat 12 buah lampu bohlam dimana tiga diantaranya rusak. Bila diambil secara acak sebuah lampu bohlam, tentukan peluang terambilnya lampu bohlam yang tidak rusak !
Penyelesaian :
Banyak lampu bohlam dalam kardus 12 buah → n(S) = 12
Misal A menyatakan kejadian lampu bohlam rusak dan Ac menyatakan kejadian lampu bohlam tidak rusak. Karena terdapat tiga bohlam dalam dus kondisinya rusak, maka :
n( A) = 3 dan n( Ac) = n(S) –n( A) = 12 – 3 = 9. Jadi, peluang terambilnya sebuah lampu bohlam yang tidak rusak adalah :
9 ( ) 0, 75 12 c P A = = Contoh 7 .
Sebuah kantong berisi 10 kelereng yang terdiri dari 5 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong tersebut diambil dua buah kelereng secara acak, tentukan peluang bahwa yang terambil kedua-duanya adalah kelereng merah !
Penyelesaian :
Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 kelereng merah dari 10 buah kelereng yang terdiri dari 5 kelereng merah dan 5 kelereng biru.
• Banyak cara terambil 2 dari 5 kelereng merah yang tersedia dapat dihitung dengan
meng-gunakan rumus kombinasi, yaitu sebanyak :
5! 5! 3! ( ) (5, 2) (5 2)!. 2! 3!2! n A =C = = = − 4 5 3! × × 20 10 2 2 = = ×
• Banyak cara terambil 2 dari 10 kelereng yang tersedia adalah :
10 ! 10 ! 8! ( ) (10, 2) (10 2)!. 2! 8!2! n S =C = = = 9 10 8 ! × × 90 45 2 2 = =
Berdasarkan itu, peluang terambilnya 2 kelereng merah dari 10 buah kelereng adalah sebesar : 10 2 ( ) 0, 22 45 9 P A = = =
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan (ekspektasi) adalah angka yang menyatakan banyaknya kejadian yang diharap-kan adiharap-kan muncul dari suatu percobaan bila peluang dari kejadian yang diharapdiharap-kan tersebut ditetapkan/diketahui. Bila peluang munculnya kejadian A sebesar P(A) dan percobaan dilakukan sebanyak n kali, maka frekuensi harapan munculnya kejadian A adalah :
( ) ( )
h
f A n P A= ×
Contoh 8 .
Jika peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah 0,33. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 3 pada pelemparan dadu sebanyak 120 kali !
Penyelesaian :
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3. Frekuensi harapan munculnya A
adalah sebesar : f h( A) =0,33 × 120 =39,6 ≈40 kali.
Contoh 9.
Peluang siswa mendapat nilai ulangan harian di atas atau sama dengan KKM pada materi Aturan Pencacahan adalah sebesar 0,72. Jika yang mengikuti ulangan harian tersebut sebanyak 114 siswa dan bagi siswa yang memperoleh nilai di bawah KKM wajib mengikuti remedial, tentukan banyak siswa yang harus mengikuti remedial ?
Penyelesaian :
Misal A menyatakan kejadian siswa yang mendapat nilai ulangan harian di atas atau sama dengan KKM pada materi Aturan Pencacahan.
Frekuensi harapan terjadinya A adalah sebesar :
( ) 114 0, 72 82
h
f A = × =
Hasil di atas menunjukan bahwa banyak siswa yang mendapat nilai ulangan harian di atas atau sama dengan KKM pada materi Aturan Pencacahan adalah sebesar 82 siswa. Dengan demikian siswa yang mendapat nilai di bawah KKM adalah sebanyak 114 – 82 = 32 siswa. Artinya, banyak siswa yang harus mengikuti remedial adalah sebanyak 32 orang.
Soal Latihan
1. Tentukan banyaknya anggota ruang sampel dari percobaan : a. Melempar dua buah koin sekaligus.
b. Melempar dua buah dadu sekaligus
c. Melempar sebuah koin dan sebuah dadu sekaligus.
d. Mengambil tiga kartu sekaligus dari satu set kartu Bridge. 2. Tentukan banyaknya kejadian :
a. Memperoleh mata dadu bilangan prima pada pelemparan sebuah dadu.
b. Memperoleh jumlah mata dadu kurang dari 10 pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
c. Memperoleh paling sedikit satu Angka pada pelemparan dua buah koin.
3. Seorang peternak bebek dalam sebulan memperoleh telur sebanyak 420 butir. 92% diantaranya dalam kondisi baik. Selebihnya dibuang karena busuk. Dari jumlah telur yang baik, 30% dijual dalam keadaan mentah, 30 % dibuat telur asin dan 40% ditetaskan. Tentukanlah :
a. Frekuensi relatif diperoleh telur busuk dalam sebulan. b. Frekuensi relatif telur yang dibuat menjadi telur asin. c. Frekuensi relatif yang ditetaskan.
4. Untuk memperoleh hadiah, seorang anak harus mampu memasukan bola ke dalam keranjang yang berjarak 5 meter dari tempatnya. Untuk itu, si anak diberi 3 kesempatan dengan ketentuan rata-rata frekuensi relatif banyaknya bola yang masuk ke keranjang dari tiga kesemptana tersebut tidak boleh kurang dari 0,6. Tentukanlah berapa banyak paling sedikit bola yang harus masuk ke keranjang pada setiap kesempatan.
5. Sebuah dadu dilempar satu kali. Hitunglah peluang munculnya mata dadu kurang dari 3. 6. Dari satu set kartu Bridge diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya :
a. Kartu As c. Kartu As warna hitam
b. Kartu berwarna hitam d. Kartu keriting warna merah
7. Dalam sebuah kantong terdapat 8 kelereng merah, 12 kelereng kuning dan 10 kelereng hijau. Dari kantong tersebut diambil sebuah kelereng secara acak. Tentukan peluang terambilnya sebuah kelereng berwarna bukan hijau.
8. Dalam sebuah kotak ada 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Jika dua bola diambil secara acak sekaligus, tentukan peluang terambilnya kedua bola bernomor ganjil.
9. Dari data pasien sebuah rumah sakit di Jakarta diperoleh informasi bahwa dari t iap 100 orang pasien terdapat 8% diantaranya menderita penyakit HIV. Jika dirumah sakit tersebut terdapat 360 pasien, tentukan jumlah pasien yang tidak terkena virus HIV.
10. Hasil survey yang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan mobil dan sepeda diperoleh data 25% penduduk memiliki mobil, 50% memiliki sepeda motor dan 35 % memiliki kedua-duanya. Penduduk wilayah itu berjumlah 6800 orang. Jika dari wilayah itu diambil 1 orang secara acak, tentukan peluang ia memiliki mobil atau sepeda.
