Materi Statistika

Aksioma Peluang

Notasi dan Terminologi

Ruang Contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S

Contoh

 Perhatikan percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam.

Bila kita tertarik pada bilangan yang muncul, ruang contohnya adalah S1 = 1,2,3,4,5,6}

Bila kita tertarik pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil

ruang contohnya adalah S2 = genap, ganjil

 Sebuah percobaan pelemparan dua koin dan pengamatan pada

sisi mana yang muncul,

 Kejadian : Suatu himpunan bagian dari ruang contoh

Contoh

 Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52

helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = hati

yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S = hati, sekop, klaver, wajik. Kejadian B yaitu

terambilnya kartu merah, B = hati, wajik

 Pada percobaan pelemparan 2 koin, E = {GG, GA}

Kejadian Sederhana : adalah suatu

kejadian yang dapat dinyatakan sebagai suatu himpunan yang hanya terdiri dari satu titik contoh.

Kejadian majemuk : adalah suatu

kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian

Contoh

 Pada contoh pelemparan dua koin dengan S

={GG, GA, AG, AA}, kejadian munculnya

Gambar pada koin pertama dan Gambar pada koin kedua adalah kejadian sederhana yang dapat dilambangkan dengan A = {GG}.

Kejadian munculnya Gambar pada koin

Pengolahan Kejadian

Irisan dua kejadian (A_B) : adalah

kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan kejadian B

Gabungan dua kejadian (A_B) : adalah

kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya

Komplemen suatu kejadian (Ac) :

Contoh

 Misalkan A = _1,2,3,4,5_ dan B = _2,4,6,8_;

maka AB = 2,4

 Bila R adalah himpunan semua pembayar

pajak dan S adalah himpunan semua orang yang berusia di atas 65 tahun,

maka RS adalah himpunan semua

pembayar pajak yang berusia di atas 65 tahun

 Jika A = _2,3,5,8_ dan B = _3,6,8_,

 Jika M = _x|3<x<9_ dan N = _y|5<y<12_,

maka MN = z|3<z<12

 Misalkan S = _buku, anjing, rokok, uang logam, peta,

perang. Jika A = anjing, perang, buku, rokok

maka Ac = uang logam, peta

 Misalkan K adalah kejadian terambilnya kartu merah

dari seperangkat kartu bridge dan S adalah ruang contohnya yang berupa seluruh kartu tersebut.

Dua kejadian A dan B dikatakan saling

terpisah atau mutually exclusive bila AB = , artinya A dan B tidak

Diagram Venn : Representasi secara

Diagram Venn

Bagian yang diarsir : E_F

E _ F

Hukum – hukum operasi dari

gabungan, irisan dan komplemen

Hukum komutatif : A_B = B_A, A_B =

BA

Hukum Asosiatif : (A_B) _C = A_(B

C), (AB)C=A(BC)

Hukum Distributif : (A_B) _C = (A_C) _

(BC), (AB) C = (AC)  (BC)

Definisi Peluang dan Sifat – sifatnya

Definisi dalam term frekuensi relatif

dengan P(E) = peluang kejadian E n(E) = banyaknya kejadian E

n = banyak percobaan

Definisi berdasar pendekatan

aksiomatik modern

Misalkan sebuah percobaan dengan

ruang contoh S. Untuk setiap kejadian E dari ruang contoh S diasumsikan P(E) terdefinisi dan memenuhi tiga aksioma berikut :

Aksioma 3 : Untuk barisan kejadian yang

saling lepas (mutually eksklusive) E1, E2, …( yaitu kejadian kejadian dimana EiEj =  di mana i  j),

dimana P(E) adalah peluang kejadian E

Contoh

 Dalam percobaan pelemparan koin, jika kita mengasumsikan

bahwa peluang munculnya Gambar dan Angka sama besar, maka P({G}) = P({A}) = ½. Tetapi jika kita mengasumsikan bahwa koin tersebut tidak setimbang sehingga peluang

munculnya Gambar adalah dua kali peluang muncul Angka, maka P({G}) = 2/3 dan P({A}) = 1/3

 Jika sebuah dadu bermata 6 dilemparkan dan misalkan peluang

Proposisi yang berkaian dengan

peluang

Proposisi 1 :

P(Ec) = 1 – P(E)

Proposisi 2

Jika E  F, maka P(E)  P(F)

Proposisi 3 :

Contoh

 Misalkan P = {a, i, u ,e ,o} dan R adalah {b, c, d, f, g},

maka PR = . P dan R adalah dua kejadian yang

saling terpisah atau mutually exlusive.

 Pada percobaan pelemparan dadu bermata 6, A

adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan B adalah kejadian munculnya mata dadu 3.

Proposisi 4 : P(E1_E2_…_En)

= + +

…+(-1)n+1P(E1E2…En)

Penjumlahan P(Ei1_Ei2_…_Eir)

diambil dari semua himpunan bagian

berukuran r yang mungkin dari himpunan

 Diasumsikan bahwa semua hasil dalam ruang

contoh mempunyai peluang terjadi yang sama.

 Misalkan suatu percobaan dengan ruang

contoh terbatas, S = 1,2,…,N, maka

diasumsikan

 P_1_= P_2_=…= P_N_

 sehingga P(_i_) = 1/N

Contoh

 Dalam pelemparan dua koin, ruang contohnya adalah {GG, GA,

AG, AA}. Sehingga masing – masing titik contoh memiliki peluang ¼ untuk terjadi. Peluang terjadinya kejadian A yaitu munculnya Gambar pada koin pertama 2/4 karena kejadian A mengandung dua titik contoh.

 Dalam kejadian pelemparan dua dadu, terdapat 36 titik contoh

Definisi berdasar term ukuran

keyakinan: peluang merupakan ukuran keyakinan seseorang pada pernyataan yang dinyatakan olehnya

Bersifat sangat subyektif dan

Soal - soal

1. Sebuah koin dilempar tiga kali dan sisi apa yang muncul diamati (Gambar

atau Angka)

 Daftarkan ruang contohnya.

 Daftarkan unsur yang menyusun kejadian

A = kejadian muncul sedikitnya dua

2. Dari 5 orang laki – laki dan 4 orang perempuan akan dipilih 3 orang

sebagai wakil dari suatu partai yang akan dikirim untuk menghadiri suatu konferensi. Berapa peluang yang