i MAKALAH
ANALISIS KARAKTERISTIK DAN DIMENSI FRAKTAL LISTRIK PADA PERMUKAAN KAYU
Disusun untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Geometri Fraktal Kelas A
Oleh:
Zahirotul ‘Ula (NIM:140210101037)
Dosen Pengampu: Dr. Erfan Yudianto, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER
ii
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA ... 3
2.1Pengertian Fraktal ... 3
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik ... 8
3.3 Dimensi Fraktal Listrik ... 10
BAB 4. PENUTUP ... 17
4.1 Kesimpulan ... 17
4.2 Saran ... 17
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu. ... 7
Gambar 2. Pembentukan Fraktal ... 8
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu ... 8
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu ... 9
Gambar 5.Bagian dari fraktal listrik ... 9
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik ... 10
Gambar 7.Kotak menggunakan panjang sisi 2 cm ... 12
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm ... 13
Gambar 9. Kotak menggunakan panjang sisi 0,5 cm ... 13
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm ... 14
iv
DAFTAR TABEL
1
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Fraktal merupkan salah satu cabang matematika yang merupakan bagian dari bidang geometri. Fraktal banyak keterkaitannya dengan berbagai bidang dari bidang sains murni seperti graf yang diteliti oleh Warchalowski. Ia mengamati garis-garis dalam graf yang dapat dikaitkan dengan karakteristik dan dimensi fraktal. hingga terapan seperti di teknologi, biologi, dan lainnya. Di alam ini
terdapat berbagai bentuk fraktal yang dapat dijumpai seperti sungai, pohon, awan, gunung, petir, dan lain-lain. Fraktal dapat menjelaskan bentuk-bentuk alam yang ada di sekitar kita secara menarik. Fraktal dapat dibentuk dengan cara mengulang suatu pola sehingga memiliki struktur atau pola yang serupa dengan bentuk semula untuk setiap bagiannya. Salah satu contoh fraktal adalah petir. Petir merupakan kekuatan listrik yang mengalir dari tumbukan di awan menuju ke bumi. Bentuk petir yang dapat kita lihat memiliki suatu kemiripan baik ketika terjadi beberapa kali atau cabang-cabangnya. Petir merupakan wujud dari fraktal yang dihasilkan akibat aliran muatan listrik.
2 1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimana karakteristik fraktal listrik pada kayu ?
2. Bagaimana penerapan metode box counting dalam menghitung dimensi fraktal listrik pada permukaan kayu ?
1.3Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini sebagai berikut.
1. Menganalisis karakteristik fraktal listrik pada permukaan kayu.
2. Menerapkan metode box counting dalam menghitung dimensi fraktal listrik pada kayu.
1.4Manfaat
Manfaat dari penulisan makalah ini sebagai berikut. 1. Memberikan tambahan wawasan tentang fraktal.
2. Menerapkan dan menganalisis penelitian dari jurnal internasional. 3. Menemukan permasalahan sebagai bahan pengamatan.
3
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Fraktal
Fraktal untuk pertama kali diangkat pada tahun 1977 oleh ahli matematika yang berasal dari Polandian yaitu Benoit Mandelbrot. Istilah fraktal tersebut tercantum dalam buku yang berjudul “The Fractal Geometry of Nature”. Bentuk penemuan tersebut memberikan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan khususnya di bidang geometri. (Evertsz, Peitgen, & Voss, 1995).
Menurut Helja, Nurhasanah, & Sampurno (2013) fraktal berasal dari kata latin yaitu fractus yang artinya patah, tidak teratur, pecah atau urai. Sedangkan dalam kata kerja bahasa latin yaitu frangere, artinya membagi atau memecah menjadi potongan atau bagian tertentu. Apabila diretakkan dan dipilih bagian-bagian kecilnya, gambar di bagian kecil tersebut diperbesar akan terlihat mirip atau mendekati sama dengan gambar aslinya. Fraktal mempunyai rincian yang tidak terhingga dan tingkat perbesaran yang berbeda-beda. Fraktal memiliki pola kemiripan dengan fraktal aslinya. Menurut Addison (1997) menyatakan bahwa fraktal merupakan bentuk yang memiliki keserupaan yang simetris jika dilihat dengan skala atau ukuran tertentu dan merupakan bagian terkecil dari struktur objek secara keseluruhan .
Bentuk-bentuk geometri fraktal bersifat mirip terhadap diri artinya setiap bagian kecil dari fraktal merupakan penggandaan/pengkopian dengan ukuran kecil dari bentuk keseluruhan. Fraktal mempunyai ciri yang unik dibandingkan dengan bentuk-bentuk yang telah dipelajari sebelumnya yaitu gambar klasik sederhana atau geometri Euclid misalnya belah ketupat, layang-layang, lingkaran, persegi, elips, trapesium, bola dll. Fraktal dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan berbagai objek yang bentuknya tidak beraturan. Salah satu bentuk tersebut sering dijumpai dalam
4 2.2 Karakteristik Fraktal
Fraktal menurut keserupaan dirinya terbagi menjadi tiga jenis, yaitu serupa diri secara persis, serupa diri sebagian, dan serupa diri secara statistik. Serupa diri secara persis mempunyai struktur fraktal yang sangat identik di semua skala. Karakteristik seperti ini biasanya terjadi pada bentuk fraktal yang terdefinisi secara matematika seperti segitiga sierpinski, koch snowflake(kurva kepingan salju). Karakteristik yang kedua adalah serupa diri sebagian. Fraktal jenis ini memiliki keserupaan diri yang tidak begitu mirip jika skalanya diubah. Contoh dari fraktal jenis tersebut
adalah himpunan Mandelbrot. Jenis yang ketiga adalah serupa diri secara statistik. Keserupaan dirinya bersifat statistik pada skala tertentu, jenis ini memiliki tingkat serupa diri yang paling lemah. (Subiantoro, 2005).
Fraktal mempunyai dua ciri khas, yaitu self-similarity dan infinite detail. Self
similarity merupakan keadaan objek yang dibentuk secara berulang dengan
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari asalnya dengan kata lain sekecil gambar tersebut apabila diperbesar hasilnya akan sama. Sedangkan infinite detail merupakan objek fraktal yang memiliki bentuk dasar yang seakan-akan tidak habis-habis apabila diperhatikan. Contohnya kurva Koch apabila diperbesar dengan generasi yang tak terhingga akan mempunyai ketidakrataan yang sama (Santosa, 2013)
Menurut sifat self-similarity ada dua jenis yaitu regular fractal dan random
fractal. Regular fractal mempunyai sifat exactly self-similarity yaitu setiap bagian
dari fraktal menyerupai secara sama dengan bentuk objek secara keseluruhan terhadap berbagai skala. Pada salah satu fraktal yaitu segitiga Sierpinski, jika sebagian darinya diperbesar bagian potongan tersebut, maka akan terlihat kesamaan bentuk yang menyerupai diri secara sama. Contoh objek fraktal yang mempunyai sifat exactly self-similarity adalah struktur himpunan Kantor, daun pakis, dan
segitiga Sierpinski, (Baichaqi, 2015). Sedangkan random fractal mempunyai sifat
statistically self-similarity yaitu setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai
5 2.3 Jenis Fraktal
2.1.1 Fraktal Alami
Fraktal alami adalah fraktal yang berada di lingkungan sekitar. Beberapa contoh fraktal alami adalah kembang kol, akar tumbuhan, daun pakis, awan, sungai, dan lainnya. Contoh-contoh tersebut memiliki sifat rekursif yang bisa dilihat dengan mudah yaitu dengan mengambil satu cabang objek dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari objek secara keseluruhan.
2.1.2 Fraktal Buatan
Fraktal buatan merupakan gambar, bentuk, atau pola matematika yang secara murni memiliki suatu kemiripan. Contohnya kepingan salju alami yang memiliki enam simetri lipat. Fraktal kepingan salju memiliki ciri khas menyerupai dirinya, dengan kata lain terdiri atas tiga bagian yang sama (identik), masing-masing pada bagiannya tersusun dari empat bagian dan secara mirip merupakan bentuk secara keseluruhan dalam skala kecil dari gambar aslinya. (Nawira, 2016)
2.4 Dimensi Fraktal
Menurut kamus matematika, dimensi mengacu pada sifat-sifat yang dinamakan panjang, luas dan volume. Dimensi adalah bilangan yang menyatakan kebebasan untuk melakukan pergerakan di sebuah ruang. Pada umumnya, dimensi suatu objek adalah bilangan yang mendefinisikan, mendeskripsikan, membandingkan bentuk dan ukuran suatu objek. Konsep dimensi fraktal digunakan sebagai alat ukur kekasaran permukaan suatu objek. Untuk suatu himpunan fraktal, dimensi Hausdorff- Besicovitch lebih besar dibandingkan dimensi topologi. (Sankar & T, 2010).
Dimensi fraktal adalah dimensi yang tidak umum atau dimensi yang kompleks daripada dimensi yang biasa dikenal dalam geometri euclid. (Lu, Croome, &
6 2.5 Box Counting
Menurut Klinkenberg (1994) dimensi fraktal dapat dihitung dengan metode perhitungan kotak (box counting). Metode box counting banyak digunakan untuk menentukan dimensi fraktal dari banyak fenomena yang berbeda. Sebelum penerapan dalam penelitian fraktal, box counting khususnya dipakai untuk menentukan luasan yang tidak teratur seperti kartografi. Hal ini dikarenakan bisa diterapkan dengan efektivitas sama dengan fitur linear, daerah, himpunan titik, dan volume. metode perhitungan kotak merupakan metode yang banyak digunakan
untuk menentukan dimensi fraktal. Metode ini juga dikenal sebagai grid atau metode perhitungan sel retikular.
Menurut Murwani (2011) Box counting adalah salah satu metode perhitungan dimensi yang banyak digunakan karena perhitungannya relatif mudah. Gagasan mendasar dari perhitungan ini adalah pengukuran pada skala tertentu. Objek yang akan dihitung dimensinya ditempatkan pada jaring-jaring persegi atau kotak-kotak berupa grid berukuran skala tertentu, kemudian dihitung banyak kotak yang memuat objek tersebut.Tahapan-tahapan menggunakan metode box counting yaitu.
a. Mengambil suatu objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
b. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran yang berbeda
c. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek.
d. Menghitung besarnya dimensi 𝐷 dengan persamaan(Putra,2009)
𝐷𝑠 =log 𝑁𝑠
7
BAB 3. PEMBAHASAN
3.1 Fraktal Listrik
Pola petir di langit merupakan salah satu wujud fraktal. Petir memiliki beberapa cabang berukuran besar, sedang dan sangat kecil. Pola petir memiliki suatu kemiripan. Cabang yang kecil merupakan pengulangan cabang yang lebih kecil membentuk suatu cabang yang lebih besar. Hal tersebut berlaku seterusnya. Panjang cabang dapat dikembangkan dengan ukuran tertentu. Tidak ada ukuran rata cabang: semakin besar jumlah cabang yang lebih kecil semakin kecil rata-rata panjang dan ketebalannya (Liebovitch & Shehadeh, 1998)
Fraktal listrik merupkan fraktal yang dapat diterapkan ke media tertentu. Jika fraktal petir medianya adalah udara maka fraktal yang diamati pada makalah ini adalah permukaan kayu. Fraktal listrik pada kayu dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu.
Cara pembentukan fraktal listrik yang pertama menyiapkan kayu diutamakan kayu yang memiliki tekstur halus dan keras. Selanjutnya mengolesi permukaan kayu tersebut dengan larutan elektrolit seperti larutan soda kue, larutan garam, ataupun lainnya. Semakin pekat larutan elektrolit maka semakin bagus pola fraktal yang dihasilkan. Hal ini dikarenakan ketika terjadi petir udara sebagai media konduktor/perantara aliran, sedangkan kayu merupakan bahan bersifat isolator sehingga perlu larutan elektrolit yang kuat agar listrik dapat mengalir. Selanjutnya menyetrum atau menghantarkan listrik pada permukaan kayu tersebut dengan jarak tertentu dengan tegangan 15.000 volt sampai fraktal terbentuk dan pola yang
8
Setelah pola terbentuk maka pola tersebut difoto untuk diamati dan dianalisis karakteritik dan dimensinya.
Gambar 2. Pembentukan Fraktal
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dijadikan usaha yang bersifat komersil. Perabotan atau kebutuhan manusia yang berasal dari kayu dapat diberikan sentuhan pola fraktal listrik sehingga memberikan kesan unik khususnya masyarakat yang belum mengetahuinya.
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik
9
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari asalnya. Self-similarity ada dua macam fraktal yaitu regular fractal dan random
fractal. Fraktal listrik pada permukaan kayu termasuk kategori random fractal
karena setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai secara persis dengan bentuk objek secara keseluruhan.
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu
10
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik
3.3 Dimensi Fraktal Listrik
Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Amarasinghe dan Sonnadara tahun 2008 tentang perhitungan pendekatan dimensi fraktal dari aliran listrik menggunakan tiga metode yaitu metode box counting, metode sandbox dan metode fungsi korelasi. Metode pertama adalah box counting yang dirumuskan dengan
𝑟 ∝ [𝑛(𝑟)]1 𝐷𝑙
Keterangan :
𝑛(𝑟) adalah banyak kotak
𝑟 adalah ukuran kotak
𝐷𝑙 adalah dimensi
Metode kedua adalah modifikasi dari box counting yang dinamakan sandbox yang dirumuskan dengan
𝑀(𝐿) ∝ 𝐿𝐷2
Keterangan :
𝐿 adalah ukuran kotak(persegi)
𝑀(𝐿) adalah rata-rata massa.
11
Metode ketiga disebut metode Fungsi Korelasi. Metode ini memakai nilai statistik untuk dimensi fraktal berdasarkan pair-wise distance antartitik. Metode kedua dan ketiga tidak digunakan karena pengamatan yang dilakukan berdasarkan objek gambar. Hasil penelitian Amarangsinghe dinyatakan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Pendekatan Dimensi Fraktal
Perhitungan dimensi fraktal listrik dapat menggunakan metode box counting. Metode ini sering dikenal sebagai metode perhitungan kotak atau grid. Metode ini membagi suatu objek dapat berupa gambar menjadi beberapa bagian kotak(persegi) dengan berbagai ukuran yang berbeda-beda. Selanjutnya dihitung banyaknya kotak yang menutupi objek tersebut. Dimensi boxcounting merupakan hasil perhitungan banyaknya jumlah kotak yang berubah ketika ukuran kotak tersebut diperkecil hingga panjang sisi 𝜀 mendekati 0.
Langkah-langkah bekerja dengan metode boxcounting adalah sebagai berikut. 1. Menentukan objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
2. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran (r) yang berbeda.
3. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek pada objek N. 4. Menghitung besarnya dimensi D dengan persamaan.
12
5. Menghitung rata-rata dimensi antariterasi untuk mendapatkan nilai yang valid dengan rumus
𝐷 = log 𝑁′ − log 𝑁
log (1𝑟′) − log(1𝑟)
Keterangan :
𝑁 adalah banyak garis 1
𝑟 adalah perbandingan panjang segmen garis
Perhitungan pertama menggunakan garis berukuran 2 cm seperti Gambar 7.
13
Perhitungan kedua menggunakan garis berukuran 1 cm seperti gambar 8.
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm
Perhitungan ketiga menggunakan garis berukuran 0,5 cm seperti Gambar 9.
14
Perhitungan keempat memakai garis berukuran 0,25 cm seperti Gambar 10.
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm Hasil dari perhitungan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel berikut.
Tabel 2.Perhitungan dengan metode Box Counting
Iterasi Banyak kotak(N) Panjang sisi kotak(r)
1. 39 2 cm
2. 105 1 cm
3. 248 0,5 cm
4. 1089 0,25 cm
Selanjutnya dihitung dimensinya antariterasi berdasarkan rumus
𝐷 = log 𝑁′ − log 𝑁
log (1𝑟′) − log(1𝑟)
𝐷21 = log(105) − log(39)
log (11) − log(12)
15
Selanjutnya dihitung rata-rata dimensi untuk memperoleh nilai yang valid.
𝐷 =𝐷21+ 𝐷31+ 𝐷32+ 𝐷6 41+ 𝐷42+ 𝐷43
=1,429 + 1,429 + 1,239 + 1,601 + 1,688 + 2,1366 = 1,571
Jadi dimensi fraktal listrik menggunakan metode box counting adalah 1,571. Perhitungan dimensi dari hasil metode box counting dapat menggunakan aplikasi yaitu Graphmatica. Grafik yang dihasilkan oleh aplikasi Graphmatica merupakan hasil pendekatan sebagai slope(kemiringan) dari regresi linier ketika
memplot log (1
𝑟) sebagai nilai di sumbu X dan log (𝑁) sebagai nilai di sumbu Y. Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut.(Jiang,2012)
log 𝑁 + 𝐷 ∙ log (1𝑟) + 𝑘 = 0
Hasil plot dapat dilihat pada Gambar 11 yaitu persamaan 𝑦 = 1,565𝑥 +
16
Gambar 11. Hasil grafik dari aplikasi Graphmatica
Perhitungan dimensi fraktal listrik ini belum tentu kebenarannya dikarenakan masih banyak error yang terjadi. Error yang terjadi biasanya dikarenakan ketidak telitian menghitung banyak kotal. Perhitungan dengan menggunakan metode box
counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57. Dimensi fraktal listrik pada
17
BAB 4. PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dikategorikan serupa sebagian. Sedangkan berdasarkan ciri khas fraktal listrik pada kayu termasuk self-similarity Fraktal listrik pada kayu termasuk kategori random fractal. Perhitungan dengan menggunakan metode box counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57. Hal ini dapat disimpulkan bahwa pengamatan dan perhitungan memberikan hasil yang memiliki error kecil dengan hasil penelitian sebelumnya.
4.2 Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
Addison, S. P. (1997). Fractal and Caos n Illustated Course. London: Institute of Publishing.
Ahmad, M. H., Bashir, N., Ahmad, H., Piah, M. A., Malek, Z. A., & Yusof, F. (2013). Statistical Analysis of Electrical Tree Inception Voltage, Breakdown Voltage and Tree Breakdown Time Data of Unsaturated Polyester Resin. Journal Electric Engineering Technology, Vol.8.halaman:821-830.
Amarasinghe, D., & Sonnadara, U. (2008). Fractal Characteristics od Simulated Electrical Discharges. Journal of the National Science Foundation of Sri
Lanka, vol.36(2) halaman: 137-143.
Azmi, M. (2013). Dimensi Fraktal. Journal Mathematical Education, 11(1) 1-2.
Baichaqi, A. (2015). Penggabungan Geometri Fraktal dengan Batik Labako.
.skripsi.Jember: Universitas Jember.
Evertsz, C., Peitgen, H., & Voss, R. (1995). Fractal Geometry and Analysis. Singapore: World Scientific.
Helja, M., Nurhasanah, & Sampurno, J. (2013). Analisis Fraktal Citra Mammogram Berbasis Tekstur Sebagai Pendukung Diagnosis Kanker Payudara.
POSITRON, ISSN:2301-4970 Vol.3(2) halaman:35-28.
Jiang, S. (2012). Box-Counting Dimension of Fractal Urban Form:Stability Issue and Measurement Design. Internasional Journal of Artificial Life
Research., Vol3(3).halaman:41-63.
Klinkenberg, B. (1994). Review of Method Used to Determine the Fractal Dimension of Linier Features. Journal Mathematical Geology, vol.26(1),halaman:12.
Liebovitch, L. S., & Shehadeh, L. A. (1998). Introduction to Fractals. U.S.A: Florida Atlantic University.
Lu, X., Croome, D. C., & Viljanen, M. (2012). Fractal Geometri and Architecture Design: Case Studt Review. Chaotic Modeling and Simulation
(CMSIM),vol. 2, halaman:311-322.
Murwani, T. (2011). Dimensi Fraktal Himpunan Julia. Yogyajarta: Universitas Sanata Dharma.
19
Perera, M. D., & Sonnadara, D. U. (2012). Fractal Nature of Simulated Lighting Channels. Sri Lankan Journal of Physics, Vol.13(2),halaman:9-25.
Putra, K. (2009). Sistem Vericikasi Biometrika Telapak Tangan dengan Metode Dimensi Fraktal dan Lacunarity. Teknologi Elektro, Vol 8(2),halaman:1-6.
Ratri, A. A. (2015). Penerapan Metode Box Counting untuk Identifikasi Telapak Tangan. skripsi.Jember: Universitas Jember.
Safiudo, J., Gomez, J. B., Castafio, F., & Pacheco, A. (1995). Fractal Dimension of Lighting Discharge. Nonlinear Processes in Geophysics,vol 2,halaman: 101-106.
Sankar, D., & T, T. (2010). Fractal Featur based on Differential Box Counting Method for Categoriztion of Digital Mammograms. International Journal of Computer Information Systems and Industrial Management Applications
(IJCISIM), ISSN 2150-7988, Vol 2 halaman:011-019.
Santosa, P. (2013). Grafika Komputer dan Antarmuka Grafis Teknis Penyusunan
Program Aplikasi Berbasis Grafis yang Profesional. Yogyakarta: Andi
Offset.
Shen, G. (2002). Fractal Dimension and Fractal Growth of Urbanized Areas.
International Journal of Geographical Information Science, vol. 16, no.5,
halaman : 419-437.
Subiantoro, N. (2005). Penentuan Dimensi Objek Fraktal dengan Metode Box Counting. Skripsi. Jember: Universitas Jember.
Wachalowski, W., & Krawczyk, M. J. (2017). Line graphs for fractals. Commun
Nonlinier Sci Numer Simulat Vol.44, halaman:506-512.
