MODUL PERKULIAHAN
5.
Bentuk-Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi
Fakultas Program Studi TatapMuka Kode MK DisusunOleh
Teknik Teknik Sipil
03
90016 Reza Ferial Ashadi, ST, MTAbstract
Kompetensi
Dalam menyelesaikan soal-soal mengenai limit akan banyak dijumpai bentuk-bentuk yang tidak wajar atau tidak tentu. Modul ini akan membahas mengenai penyelesaian bentuk tak tentu, termasuk untuk membuat asimtot grafik fungsi kontinu dan fungsi trigonometri, serta membahas mengenai kekontinuan fungsi komposisi
Diharapkan setelah membaca modul ini Mahasiswa mampu:
Pembahasan
1. KONSEP KEKONTINUAN FUNGSI
Sebagian besar fungsi yang akan kita jumpai adalah kontinu di mana-mana atau di setiap
titik terkecuali di beberapa titik. Teorema berikut akan menggambarkan hal ini.
Fungsi polinom adalah sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan
fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Ini
sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk :
dengan koefisien-koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif.
Jika an ≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinomnya. Khususnya, f(x) = ax + b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 + bx + c adalah fungsi derajat dua, atau fungsi kuadrat.
Hasilbagi fungsi-fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika
berbentuk :
2. KEKONTINUAN DALAM OPERASI FUNGSI
Contoh : f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 5, g(x) = x + 3 kontinu di x = 5,
maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4 kontinu di x = 5 Fungsi polinomkontinu di setiap bilangan riil c.
Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali di
mana penyebutnya sama dengan nol.
Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g, f.g, f/g (asalkan g(c)≠ 0),
3. KEKONTINUAN FUNGSI KOMPOSISI
CONTOH:
Tunjukkan fungsi
√ kontinu pada daerah asalnya.
Jawab : Kita tentukan dahulu daerah asal fungsi ini. Agar , syaratnya adalah
dan √
Dari syarat yang pertama diperoleh atau , sedangkan dari syarat kedua diperoleh
Jadi daerah asal fungsi f adalah :
Df = ((-∞,-3] [3, ∞)) – {-5, 5} = (-∞, -5) (-5, -3] [3,5) (5, ∞)
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi f pada Df, tulislah
, dengan g(x) = x – 1 dan √
Disini h dapat ditulis sebagai komposisi dari tiga fungsi yang kontinu, yaitu
h(x) = (k◦l◦m)(x) = k(l(m(x))), dengan m(x) = x2– 9 ,
l(x) = √ , dan k(x) = 4 – x
Karena fungsi m kontinu di Df, l kontinu di setiap m(x) ≥ 0, dan k kontinu pada R, maka
fungsi komposisi h = k◦l◦m kontinu pada Df. Selanjutnya, kekkontinuan fungsi g dan h pada
Dfmengakibatkan fungsi f juga kontinu pada Df.
Teorema
1. Jika fungsi f dan g memenuhi RfϹ Dg, f kontinu di c Df, dan g kontinu di f(c) Dg,
maka fungsi g ◦ f kontinu di c.
2. Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg, f kontinu pada Dfdan g kontinu pada Dg,
4. LIMIT FUNGSI KOMPOSISI
CONTOH :
Dengan menggunakan teorema di atas, karena fungsi √ kontinu untuk setiap x ≥ 0, maka
√ √ √
5. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Teorema
Jika dan fungsi g kontinu di L, maka ( )
CONTOH :
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati grafik fungsinya.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yaitu
1. Asimtot tegak.
Tentukan semua asimtot dari fungsi :
Jadi asimtot miring : y = x + 2 ; asimtot datar tidak ada
Grafik :
x
y
0
2
-2
y = x + 2
7. BENTUK-BENTUK TAK TENTU LIMIT FUNGSI
a. LIMIT TAK HINGGA
menyatakan bahwa :
f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.
f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x
yang cukup dekat ke c, tetapi x ≠ c.
x y
x c x 0
f
x = c
Teorema
1.
2.
Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :
sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup besar
atau
jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif
c. LIMIT TAK HINGGA di TAK HINGGA
Limit tak hingga di tak hingga adalah kasus dimana f(x) → ± bila x . Terdapat empat kasus untuk limit ini. Situasi geometri untuk dua kasus pertama diperlihatkan pada gambar
dibawah ini.
Teorema
x y
0
f
x y
0
f
d. BENTUK TAK TENTU
dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri dan
limit trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.
e. BENTUK TAK TENTU
dicoba adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk , n bilangan asli,
dan sebagainya
memperoleh bentuk , kembali ke masalah sebelumnya.
g. BENTUK TAK TENTU
Kita akan menghitung , dengan dan
Cara penyelesaian
SOAL QUIZ
Hitunglah :
1.
√
a. 2 b. 4 c. ¾ d. ½
2.
√
a. 1 b. 2 c. 4 d.
3.
a.
b.
c. 2
d. 4
4. Carilah asimtot miring dari fungsi
a. y = x + 2 b. y = 2x + 2 c. y = x2 + 2 d. y = 2x2 + 2
5.
DaftarPustaka
1. _____. e-paper. http://www.konsep-matematika.com/2015/11/penyelesaian-limit-fungsi-trigonometri.html
2. _____. e-paper. http://alewoh.com/limit-fungsi-trigonometri.php 3. _____. e-paper. http://elib.unikom.ac.id/download.php?id=106713 4. _____. e-paper. http://id.wikihow.com/Mencari-Asimtot-Miring
5. Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit Erlangga.
6. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis. Jilid 1.
