LIMIT DERET GEOMETRI

(1)

MakalahAlatPeraga Limit DeretGeometri | 1

M A K A L A H

A L A T P E R A G A

” LIMIT DERET GEOMETRI”

O L E H

Nama

: VALENSIA C. LAMAPAHA

NIM

: 1101032055

Semester

: IV

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2013

(2)

BAB I

PENDAHULUAN

A. LatarBelakang

Kegiatan belajar mengajar (KBM) yang dilaksanakan setiap hari, merupakan rutinitas sehari-hari di dalam kelas, dimana guru dan peserta didik saling bertemu dan melakukan belajar mengajar. Keberhasilan dalam mengajar tersebut adalah tanggung jawab guru, oleh karena itu jika ada salah seorang peserta didik yang tidak mampu menguasai salah satu mata pelajaraan maka seorang guru dianggap gagal dalam melaksanakan tugasnya.

Menurut Mujiono (1994:31) dalam proses belajar mengajar ada empat komponenpenting yang berpengaruh bagi keberhasilan belajar siswa, yaitu bahan belajar, suasana belajar, media dan sumber belajar, serta guru sebagai subyek pembelajaran. Komponen-komponen tersebut sangat penting dalam proses belajar, sehingga melemahnya satu atau lebih komponen dapat menghambat tercapainya tujuan belajaryang optimal.

Media sebagai salah satu komponen dalam kegiatan belajar mengajar dan sumber belajar yang digunakan dalam pembelajaran dipilih atas dasar tujuan dan bahan pelajaran yang telah ditetapkan. Oleh karena itu, guru sebagai subyek pembelajaran harus dapat memilih media dan sumber belajar yang tepat, sehingga bahan pelajaran yang disampaikan dapat diterima siswa dengan baik.

Pada dasarnya secara individual manusia itu berbeda-beda. Demikian pula dalam memahami konsep-konsep abstrak akan dicapai melalui tingkat-tingkat belajar yang berbeda. Suatu keyakinan bahwa anak belajar melalui dunianyata menuju ke dunia abstrak dengan memanipulasi benda-benda nyata dapat digunakan sebagai perantaranya. Setiap konsep abstrak dalam matematika yang barudipahami anak perlu segera diberikan penguatan supaya mengendap, melekat dan tahan lama tertanam, sehingga menjadi miliknya dalam pola pikir maupun pola tindakan

Keterampilan berhitung merupakan salah satu tujuan pembelajaran matematika. Dengan adanya media pendidikan atau alat peraga siswa akan lebih banyak mengikuti pelajaran matematika dengan senang dan gembira sehingga minatnya dalam mempelajari matematika semakin besar. Siswa akan senang tertarik, terangsang dan bersikap positif terhadap pembelajaran matematika.

Konsep-konsep dalam matematika itu abstrak, sedangkan umumnya siswa berpikir darihal-hal yang konkret menuju hal-hal yang abstrak, maka salah satu jembatannya agar siswa mampu berpikir abstrak tentang matematika, adalah dengan menggunakan media pendidikan dan alat peraga. Untuk membantu hal tersebut dilakukan manipulasi-manipulasi obyek yang digunakan untuk belajar matematika yang lazim disebut alat peraga.

Alat peraga merupakan bagian dari media pendidikan penggunaannya diintegrasikan dengan tujuan dan isi pengajaran yang telah dituangkan dalam Garis

(3)

Besar Program Pengajaran (GBPP) mata pelajaran matematika dan bertujuan untuk mempertinggi mutu kegiatan belajar mengajar.

Ada beberapa fungsi penggunaan alat peraga dalam pengajaran matematika, diantaranya sebagai berikut:

a. Dengan adanya alat peraga, anak-anak akan lebih banyak mengikuti pelajaran matematika dengan gembira, sehingga minatnya dalam mempelajari matematika semakin besar. Anak senang, terangsang, kemudian tertarik dan bersikap positif terhadap pembelajaran matematika.

b. Dengan disajikan konsep abstrak matematika dalam bentuk konkret, maka siswa pada tingkat-tingkat yang lebih rendah akan lebih mudah memahami dan mengertikonsepmatematikatersebut.

c. Anak akan menyadari adanya hubungan antara pembelajaran dengan benda-benda yang ada di sekitarnya, atau antara ilmu dengan alam sekitar dan masyarakat.

d. Konsep-konsep abstrak yang tersajikan dalam bentuk konkret, yaitu dalam bentuk model matematika dapat dijadikan obyek penelitian dan dapat pula dijadikan alat untuk penelitian ide-ide barudan relasi-relasi baru.

Dari uraian di atas dijelaskan bahwa penggunaan alat peraga dapat membantu kelancaran proses belajar mengajar. Alat peraga dapat mengatasi beberapa masalah pengajaran dan dapat menunjang tercapainya tujuan pengajaran. Akan tetapi ini sama dengan syarat kita untuk dapat memilih dan menggunakannya.

Penggunaan alat peraga harus sesuai dengan materi pokok bahasan yang diberikan sehingga didalam proses belajar mengajar akan terjadi komunikasi timbal-balik antara guru dan siswa. Dengan demikian diharapkan siswa dapat lebih memahami konsep materi yang diajarkan dan dapat meningkatkan kemampuan penalaran mereka.Salah satu contoh alat peraga yang digunakan adalah “Limit Deret Geometri”.LimitDeret Geometri adalah suatu alat peraga yang digunakan untukmerangsangpenalaransiswadan menentukan rumus deret geometri dengan rasio r, untuk0<r<1.

B. RumusanMasalah

Berdasarkanlatarbelakangdiatas,

makadapatdisimpulkanrumusanmasalahsebagaiberikut :

Bagaimanacaramenentukanrumusderet geometri dengan rasio r, untuk 0 <r <1?

C. Tujuan

Adapuntujuandaripembuatanalatperagainiadalah:

(4)

D. Manfaat

 SecaraTeoritis:

Secarateoritispembuatanalatperagainidiharapkandapatbergunabagiperke mbanganpendidikan, terutamabagiperkembangan model pembelajaranmatematikaberbasisalatperaga.

 SecaraPraktis:

Dapatmeningkatkanmotivasidansemangat belajar siswa, mempermudahpemahamansiswatentangpolabarisanbilangan,

danmengembangkanpenalaransiswa. E. Sasaran

(5)

BAB II

D A S A R T E O R I

A. BarisanGeometri

Barisangeometriadalahbarisandenganduasukuberurutan yangmempunyairasio𝑟

yang tetap. Misalkan suku awal barisan geometri 𝑎, sukuke-𝑛 ditentukan dengan cara berikut: 𝑈₁= 𝑎 𝑈₂= 𝑈₁𝑟 = 𝑎𝑟 𝑈3= 𝑈2𝑟 = 𝑎𝑟2 … 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1𝑟 = 𝑎𝑟𝑛−1

Dengandemikian, sukuke-𝑛 barisan geometri dapat dirumuskan dengan

dengan: 𝑈_𝑛= sukuke-𝑛 𝑎 = sukuawal 𝑟 = rasio 𝑛 = banyaksuku Karenadalambarisangeometriberlakubahwa 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1= 𝑈𝑛+1 𝑈𝑛 maka dengan

menganalogikan seperti ini, untuk suku tengah barisan geometri 𝑈1 ditentukan

dengan

B. DeretGeometri

Deretgeometriadalahjumlahdarisuku-sukubarisangeometri(𝑆_𝑛).Jumlah𝑛 suku pertama deret geometri dirumuskan dengan

𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ ⋯ + 𝑎𝑟}𝑛−1_{+ 𝑎𝑟}𝑛

Jika𝑆_𝑛 = 𝑟𝑆_𝑛 diselesaikan maka akan diperoleh rumus jumlah (deret) geometri berikut. 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1_untuk_{𝑟 =} 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 𝑆_𝑛 = 𝑎(𝑟_𝑟−1𝑛−1), untuk𝑟 > 1 𝑆_𝑛 = 𝑎(1−𝑟_1−𝑟𝑛), untuk𝑟 < 1 𝑈_𝑖2 = 𝑎𝑈_𝑛atau𝑈₁ = √𝑎. 𝑈_𝑛

(6)

MakalahAlatPeraga Limit DeretGeometri | 6 C. DeretGeometriTakHingga Jikabanyaksuku-sukupenjumlahanderetgeometribertambahterusmendekatitakhingga, makaderetgeometrisemacaminidinamakansebagaideretgeometritakhingga. Deretgeometritakhinggainiditulissebagaiberikut: 𝑢₁+ 𝑢₂+ 𝑢₃+ ⋯ + 𝑢_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ ⋯ + 𝑎𝑟}𝑛−1

Jumlahdarideretgeometritakhinggadilambangkandengan𝑆 dan𝑆 = lim 𝑛→∞𝑆𝑛,

dikatakan 𝑆diperoleh dari𝑆𝑛 dengan proses limit 𝑛 mendekati tak hingga.

Selanjutnya, nilai 𝑆 = lim

𝑛→∞𝑆𝑛 ditentukan dengan menggunakan teorema limit

sebagai berikut: lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑛→lim∞ 𝑎(1− 𝑟𝑛₎ 1− 𝑟 lim 𝑛→∞𝑆𝑛 =𝑛→lim∞ 𝑎 1− 𝑟−𝑛→lim∞ 𝑎 1− 𝑟𝑟𝑛 lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑎 1− 𝑟− 𝑎 1− 𝑟𝑛→lim∞𝑟 𝑛

Berdasarkanpersamaan yang terakhiritujelasbahwalim

𝑛→∞𝑆𝑛 ditentukan oleh ada

atau tidaknya nilailim 𝑛→∞𝑟 𝑛_. Berdasarkanuraiandiatas, cirideretgeometritakhinggadapatditetapkandenganmenggunakansifatsebagaiberiku t: Sifatderetgeometritakhingga: Konsepmatematikauntukpenggunaanalatperagainiadalah: 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ ⋯ =1 1 3+ 1 9+ 1 27+ 1 81+ 1 243+ ⋯ = 1 2 1 4+ 1 16+ 1 64+ 1 256+ 1 1024+ ⋯ = 1 3 Deretgeometritakhingga𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1+ ⋯ dikatakan 1. mempunyai limit jumlahataukonvergen, jikadanhanyajika l r l < 1

Limit jumlahituditentukanoleh𝑆 =_1−𝑟𝑎

(7)

Setiap bilangan yang dijumlahkan selalu merupakan hasil perkalian antara bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap, yang disebut rasio. Penjumlahan bilangan-bilangan inilah yang disebut deret geometri. Pada berbagai macam deret geometri, ada suatu deret geometri yang memiliki suku-suku yang tak hingga banyaknya, tetapi jumlahnya mendekati nilai tertentu. Deret yang seperti itu disebut deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga tersebut memiliki rasio di antara 0 dan 1. Bagaimana cara menentukan nilai dari deret geometri tak hingga tersebut?

Dalam menemukan limit dari deret geometri tak hingga dapat dilakukan dengan menggunakan alat peraga “Limit DeretGeometri”.

(8)

BAB III

PEMBAHASAN

A. Nama Dan DeskripsiAlatPeraga

Namadarialatperagainiadalah “LIMIT DERET GEOMETRI”

Alat peraga ini terdiri dari puzzle dan bingkainya. Perhatikan gambar berikut:

Puzzle dari alat peraga ini terdiri dari segitiga dan beberapa trapesium yang memiliki sepasang sisi siku-siku yang sama panjang sehingga trapesium-trapesium tersebut merupakan trapesium-trapesium-trapesium-trapesium yang sebangun. Untuk membuat alat peraga ini harus memenuhi syarat-syarat tersebut

(9)

B. AlatdanBahan  Alat

Alat yang digunakandalampembuatanalatperagainiadalah:

 Catter  Pensil  Spidol  Mistar  KertasPasir  Kuas  Bahan

Adapunbahan yang digunakanadalah:

 Tripleks 3mm ukuran 73cm x 35cm

 4 botol Cat warnaMerah, Kuning, Hijau, Biru

 Plamir

 Lem Weber

 Thiner C. Estimasi Dana

Dana yang diperlukanuntukpembuatanalatperagainiadalah :  Alat  1 buahCatter @Rp15.000,- Rp 15.000,-  SpidolPermanen @Rp 5.000,- Rp 5.000,-  Kuas @Rp3.500,- Rp3.500,-  KertasPasir @Rp2.500,- Rp2.500,- Jumlah Rp 26.000,-  Bahan  Tripleks @Rp 12.000,- Rp 12.000,-  4 botol Cat @Rp 10.000,- Rp40.000,-  Plamir @Rp 15.000,- Rp15.000,-  Lem Weber @Rp 15.000,- Rp15.000,-  1 Liter Thiner @Rp 25.000,- Rp25.000,- Jumlah Rp 107.000,-

Jadibanyaknyabiaya yang dibutuhkanuntukmembuatalatperagainiadalahRp 133.000,-

(10)

D. Cara Pembuatan

1. Membuatdesaingambar 1 buahsegitigasiku-sikudan 4 buah trapezium denganukuran yang berbeda

2. Memotongdesaingambardenganmenggunakancatter

3. Menempelkanbingkaidarisisatripleks yang adadengan 1 buahtripleksutuhdenganukuran yang samayaitu 73cm x 35cm

(11)

4. Menghaluskanpermukaanbingkai, kepingansegitigasiku-sikudankepingan trapezium denganmenggunakankertaspasir

5. Menutupipermukaanbingkai, kepingansegitigasiku-sikudankepingan trapezium yang sudahdihaluskantadidenganmenggunakanplamir

6. Menghaluskankembalipermukaanbingkai,

kepingansegitigasiku-sikudankepingan trapezium yang

sudahditutupiplamirtadidenganmenggunakankertaspasir

7. Mengecatsetiapkepingandenganwarna yang

berbedayaituwarnakuninguntuksegitigasiku-siku, warnamerahuntuk 2 buah trapezium danwarnahijauuntuk 2 buah trapezium lainnya

8. Mengecatbingkai (warnabiru)

9. Menulisnamaalatperagadanketeranganpadabingkai E. Cara Menggunakan

Alatperagainidapatdigunakanoleh guru

sebelummengajarmateriDeretGeometriTakHingga.

1. Guru menjelaskanpengertianDeretGeometriTakHinggadan guru memberikanbeberapacontoh limit deretgeometritakhingga, misalnya :

1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ ⋯ =1 1 3+ 1 9+ 1 27+ 1 81+ 1 243+ ⋯ = 1 2 1 4+ 1 16+ 1 64+ 1 256+ 1 1024+ ⋯ = 1 3 2. Guru memberikanpertanyaankepadasiswa “bagaimanacaramenentukannilaidaribeberapacontohderetgeometridiatas?”

3. Selanjutnya guru menjelaskanuntukmenentukannilai limit dari deret geometri tak hinggadiatas, dapat dilakukan dengan menggunakan alat peraga “Limit DeretGeometri”

4. Guru mendeskripsikanalatperagaLimit DeretGeometridanmemperagakannya didepankelassertamemintasiswauntukmemperhatikannya

5. Guru meletakkankepingan-kepinganpuzzle, yaitusatusegitigakuning, dua trapezium merah, dandua trapezium hijaukedalambingkaipuzzle

sepertigambar di bawahini.

(12)

b)Meletakkansebuah trapezium hijau yang memilikipanjangalasnya yang samadenganpanjangsisisebelumnyayaitusebesarr

c) Meletakkankembalisebuah trapezium merah yang memilikipanjangalasnya yang

samadenganpanjangsisisebelumnyayaitusebesar𝑟2

d)Selanjunyameletakkankembalisebuah trapezium hijau yang memilikipanjangalasnya yang

samadenganpanjangsisisebelumnyayaitusebesar𝑟3

e)Dst

6. Setelahpuzzleterbentuk,

trapezium-trapesiumtersebutakanmembentuksegitigasiku-sikubesar. Guru bertanyalagi

“apakahsegitigabesarinisebangundengansegitigakuning?”

7. Guru menjelaskansegitigakecil (warnakuning)

sebangundengansegitigabesar, sehinggaperbandingansisi-sisi yang bersesuaiandarikeduasegitigatersebutsama.

(13)

Guru menulispersamaan yang diperoleh di papantulis :

8. Gurumenunjukseorangsiswauntukmenyelesaikanpersamaantersebut di papantulisdansiswa yang lain menyelesaikanpersamaantersebut di bukumerekamasing-masing,

hinggadiperolehrumusderetgeometridengansukupertama 1 danrasioruntuk 0 <r< 1 adalah

9. Guru menambahkan,

untukmendapatkanrumusderetgeometridengansukupertamaadanrasioruntu k 0 <r< 1, kalikankeduaruaspadapersamaandiatasdengana.

10. Gurumemintaseorangsiswiuntukmembuktikancontohlimit

deretgeometritakhingga yang telahdiberikantadidenganpersamaan yang diperoleh di papantulisdansiswa yang lain mencobanya di bukumerekamasing-masing.

11. Guru

menunjukseorangsiswauntukmenarikkesimpulandariperagaanalatperaga Limit DeretGeometri yang telahdilakukan.

12. Guru menegaskankembalikesimpulan yang dikemukakanolehsiswatersebut. Jadirumusderetgeometridengansukupertamaadanrasioruntuk 0 <r< 1adalah

1 1 + 𝑟 + 𝑟2_{+ 𝑟}3_{+ ⋯}= 1 − 𝑟 1 1 + 𝑟 + 𝑟2_{+ 𝑟}3_{+ ⋯ =} 1 1 − 𝑟 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ 𝑎𝑟}3_{+ ⋯ =} 𝑎 1 − 𝑟 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ 𝑎𝑟}3_{+ ⋯ =} 𝑎 1 − 𝑟

(14)

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Alatperaga Limit DeretGeometriinidigunakanoleh guru matematika SMA kelas XII untukmengajarmateriBarisandanderetGeometri.

Selainuntukmenurunkan rumus deret geometri dengan rasio r,untuk0<r<1, alatperaga Limit DeretGeometriinijugadigunakanuntukmembantu siswa untuk berpikir dengan menggunakan objek konkrit. Dengan demikian, diharapkan konsep deret geometri akan lebih mudah dipahami.