Dosen Mata Kuliah Andhy Setiawan, M.Si

Dosen Mata Kuliah

Dosen Mata Kuliah

Dosen Mata Kuliah

Dosen Mata Kuliah

Andhy Setiawan, M.Si

Menu Utama

Pendahuluan

Persamaan Maxwell

Persamaan Gelombang Elektromagnetik

Transversalitas Gelombang Elektromagnetik

Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik

Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

Transversalitas Gelombang Elektromagnetik Vektor Poynting dan Kekekalan Energi

Gelombang dalam Medium Konduktif

Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma

Pandu Gelombang Elektromagnetik

Hukum Snellius

Persamaan Fresnel

Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar melalui vakum.

A. PENDAHULUAN

A. PENDAHULUAN

A. PENDAHULUAN

A. PENDAHULUAN

melalui vakum.

Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio.

Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan

sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.

B. PERSAMAAN MAXWELL

B. PERSAMAAN MAXWELL

B. PERSAMAAN MAXWELL

B. PERSAMAAN MAXWELL

Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan

Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun

sumber arus. sumber arus.

Persamaan-persamaan Maxwell

0

.

=

∇

E

Vakum Medium D =

ρ

∇. → 1.

0

.

=

∇

B

0

.

=

∇

E

t

B

xE

∂

∂

−

=

∇

b D =

ρ

∇.

0

.

=

∇

B

t

B

xE

∂

∂

−

=

∇

1. 2. 3.

t

E

xB

_o

∂

∂

=

∇

µ

ε

₀ 4.

Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing persamaan di atas

Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:

“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu

permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.”

dilingkupi permukaan tersebut.”

Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:

∫

→ ∧ =

∑

o q dA n E

ε

. .

∫

→

E

n

∧

dA

=

∫

dq

ε

1

.

.

∫

E

n

dA

=

∫

dq

o

ε

.

∫

→

E

•

n

∧

dA

=

∫

dV

o

ρ

ε

1

.

(

)

∫

→E n∧ dA =

∫

_f + _b dV o

ρ

ρ

ε

1 . .

(

)

∫

→E•n∧ dA =

∫

− ∇• P + _b dV o

ρ

ε

r 1 .

Dari teorema divergensi

_∫

→. ∧

_∫

r

∫

 =

∫

     • ∇ +       • ∇ E→

ε

_o →P dv

ρ

_bdV

(

)

∫

∇ • EdV =

∫

−∇ • P + _b dV o

ρ

ε

r r ₁

Dari teorema divergensi

_∫

→_E._•n∧ _{dA =}

_∫

_{∇• E}r_dV

D E P E o + = = → → →

ε

ε

b D =

ρ

•

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka 0 = ρ _sehingga:

ε

ρ

_b E= • ∇ r 0

ε

E= • ∇

0

=

•

∇

E

→

Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatan

Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatan

Persamaan Maxwell kedua

merupakan Hukum Gauss

magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu

tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.” tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”

Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapat dituliskan dalam bentuk integral:

∫

=

=

→

B

. dA

n

∧

0

B

φ

Dari teorema divergensi

_∫

_B→_.n∧ _{dA =}

_∫

_∇.B→_{dV maka} Dari teorema divergensi

_∫

_B→_.n∧ _{dA =}

_∫

_∇.B→_{dV maka}

∫

∇. BdV→ = 0

0

.

=

Persamaan Maxwell ketiga

merupakan ungkapan Hukum Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medan magnet yang berubah dengan waktu.”

Secara matematis dituliskan:

t ∂ ∂ − = φ ε dengan

φ

=

∫

→

B.

n

∧

dA

t ∂ − = ε dA n B t dl E ∧ → →

∫

∫

. = − _∂∂ .

Dari teorema Stokes

∫

E→.dl =

∫

∇x E→.n∧ dA

∫

=

B.

n

dA

φ

dengan karena

∫

_E.dl → = ε maka

Dari teorema Stokes

∫

E.dl =

∫

∇x E.n dA

∫

∫

∇ → ∧ = − _∂∂ →B n∧ dA t dA n E x . . t B E x ∂ ∂ − = ∇ →

→ _{Persamaan Maxwell (3) dalam medium}

Persamaan Maxwell keempat

merupakan Hukum Ampere:

∫

B→.dl =

µ

I

∫

H .dl = I dA n J J dl H. . ∧

∫

∫

    + = r r → → = H B

µ

I

∫

J ndA → ∧ = . dengan f b J J J → → → + = ; dan dA n J J dl H. _{b f} . ∧

∫

∫

        + = r r

(

)

n dA t E J dA n xH . _b . ∧ → → ∧

∫

∫

            ∂ ∂ + = ∇

ε

 

t

E

J

xH

b

∂

∂

+

=

∇

→ →

ε

t D J xH b ∂ ∂ + = ∇ → →

I dl B. =

µ

₀

∫

→ dA n B x l d B ∧ → →

∫

∫

. = ∇ . r → → ∧ →

Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:

Dari teorema Stokes maka

dA n J dA n B x → → ∧ →

∫

∫

∇ . =

µ

₀ . → → = ∇x B

µ

₀ J t E B x ∂ ∂ = ∇ → → 0 0

ε

µ

_{Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,} Tanpa sumber muatan

→

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

MEDAN LISTRIK

Dari persamaan Maxwell (3):

t B E ∂ ∂ − = × ∇ → →     × ∇ ∂ ∂ − =     × ∇ × ∇ E→ →B

Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan operasi rotasi, maka:

   ∇ × ∂ − =    ∇ × × ∇ B t E → → → ∇ −       ∇ ∇ =       × ∇ × ∇ E .E 2 E

      × ∇ ∂ ∂ − = ∇ −       ∇ ∇ → → →B t E E 2 . 2 ∂ → Maka: Dengan _∇.E→ _{= 0} t E B ∂ ∂ = × ∇ → → 0 0ε µ dan sehingga 0 2 2 0 0 2 = ∂ ∂ − ∇ → → t E E µ ε 2 2 0 0 2 t E E ∂ ∂ = ∇ → →

ε

µ

2 2 0 0 2 t E E ∂ ∂ − = ∇ − → → ε µ t ∂ 1 2 2 − ∂ = ∇ → → _E dengan 0 0 1

ε

µ

= c 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ → t E c E

0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → x E t c z y x 1 2 2 2 2   _{∂ ∂ ∂ ∂} →

Sehingga persamaan gelombang medan listrik dalam bentuk diferensial:

0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → y E t c z y x 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → z E t c z y x

Solusi paling sederhana: Solusi paling sederhana:

( )

z t E

(

kz t

)

E = − ω → → cos , 0

MEDAN MAGNET

Dari persamaan Maxwell (4):

t

E

xB

_o

∂

∂

=

∇

µ

ε

₀

Dengan operasi rotasi:

(

t E B B ∂ × ∇ ∂ = ∇ −       ∇ ∇ → → → ₎ . 2

µ

₀

ε

₀ t E B ∂ × ∇ ∂ =       × ∇ × ∇ → → _{( )} 0 0ε µ

Dengan operasi rotasi:

→ → → ∇ −       ∇ ∇ =       × ∇ × ∇ B .B 2 B 0 . = ∇ →B t B E ∂ ∂ − = × ∇ → →

Karena vektor identitas

Dan persamaan Maxwell (2) serta (3): dan

2 2 2 2 1 t B c B ∂ ∂ = ∇ → → 2 2 0 0 2 t B B ∂ ∂ = ∇ → →

ε

µ

sehingga 0 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ → → t B c B t c ∂

Maka persamaan gelombang medan magnet dalam bentuk diferensial: 1 2 2 2 2   _{∂ ∂ ∂ ∂} → 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → x B t c z y x 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → y B t c z y x

0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → z B t c z y x Solusinya: B

( )

z t = B

(

kz −ωt

)

→ → cos , 0

Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)

) (kz t f −ω

k

v

=

ω

Bentuk umum: Kecepatan:

Bentuk muka gelombangnya Bentuk muka gelombangnya tegak lurus vektor satuan k, maka: tan . z kons k = → ∧

Sifat-sifat gelombang datar:

1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan, arah z).

2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.

3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (pada contoh, koordinat

3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (pada contoh, koordinat

transversalnya x dan y).

Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:

) , ( ) , (z t j E z t E i E _{x y} ∧ ∧ → + = E j E_y(x,t) k E_z(x,t) ∧ ∧ → + = y x ) , ( ) , (z t j B z t B i B _{x y} ∧ ∧ → + = z y ) , ( ) , (x t k B x t B j B _{y z} ∧ ∧ → + =

B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG

B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG

B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG

B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

ELEKTROMAGNETIK

MEDAN LISTRIK

Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitu transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4): transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):

Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)

0 . = ∇ E→ 0 ) , ( ) , ( ) , ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → → → z t z E y t z E x t z E x y z 0 ) , ( = ∂ ∂ → z t z Ez t E B ∂ ∂ = × ∇ → → 0 0ε µ t E y B x B z z y ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ → → → 0 0ε µ ( , ) ₀ = ∂ ∂ → t t z E_z

Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)

Sisi temporal

Yang berarti Ez tidak bergantung pada t

Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getar dari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus

pada arah rambat. pada arah rambat.

0 . = ∇ →B ) , ( ) , ( ) , ( ∂ ∂ ∂ B→ z t B→ z t B→ z t MEDAN MAGNET

Dari persamaan Maxwell (2):

0 ) , ( ) , ( ) , ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ → → → z t z B y t z B x t z Bx y z 0 ) , ( = ∂ ∂ → z t z Bz

Sisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantung pada z.

t B E x ∂ ∂ − = ∇ → → t t z B y E x E_{y x z} ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ → → (→ , )

Dan dari persamaan Maxwell (3):

t y x ∂ ∂ ∂ 0 ) , ( = ∂ ∂ → t t z B_z

Sisi temporal, yang berarti Bz tidak bergantung pada t.

Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegak lurus terhadap arah rambatnya.

lurus terhadap arah rambatnya. Dengan demikian maka gelombang

y x j E E i E ∧ ∧ → + = ) cos( ) cos( ₀ 0 kz t j E kz t E i E = _x −ω + _y −ω ∧ ∧ → y x j B B i B ∧ ∧ → + =

Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:

y x ) cos( ) cos( ₀ 0 kz t j B kz t B i B = _x −

ω

+ _y −

ω

∧ ∧ → t B E x ∂ ∂ − = ∇ → →     + − − =     − − t ∧i E_oy jE∧_ox kz t ∧i B_ox jB∧ _y kz k sin(

ω

)

ω

sin(

ω

) ₀     + − =     − ∧ ∧ ∧ ∧ y ox ox oy jE i B jB E i k

ω

₀

( )

→ − = × − k E

ω

B r r B k E = ω E = cB B E r r ⊥

Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN

ENERGI

ENERGI

ENERGI

ENERGI

Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari Energi Medan listrik dan energi medan magnet.

u u u = u_B + u_E u = + 2 0 2 0 2 1 2 1 E B u

ε

µ

+ = E B du ∂ ∂ → → → → 1

Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energi terhadap waktu: t E E t B B dt du ∂ ∂ • + ∂ ∂ • = → ₀ → 0 1 ε µ t B E x ∂ ∂ − = ∇ → →

Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka: dan t E B ∂ ∂ = × ∇ → → 0 0

ε

µ

      × ∇ • +       × ∇ − • = B→ E→ E→ →B dt du 0 0 1 1 µ µ             × ∇ • −       × ∇ • − = B→ E→ E B→ dt du r 0 1 µ Sehingga

( )

      × ∇ • −       × ∇ • = × • ∇ E B B→ E→ E→ →B r r         dt µ₀

( )

E B dt du r r × • ∇ − = 0 1

µ

+ ∇ • = 0 → S dt du

Dari vektor identitas

maka

( )

r r

→ ₁

dengan disebut vektor poynting

Hukum Kekekalan Energi

( )

E B S r r × = → 0 1

µ

dengan disebut vektor poynting

mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu per satuan luas yang dibawa oleh

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

DALAM MEDIUM

DALAM MEDIUM

DALAM MEDIUM

DALAM MEDIUM

D = ∇. ρ Persamaan-persamaan Maxwell t D J H t B E B D b b ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ = ∇ = ∇ 0 . . ρ t ∂

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan dari hubungan B = µ H dan D = ε E, persamaan

Maxwell 4 dapat ditulis:

), ( ) ( B J E dengan E B t E J B t D J H _b ∂ − = × ∇ ∂ + ∂ = × ∇ ∂ ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ + = × ∇

εµ

µ

εµ

µ

, ) ( ), ( ) ( 2 2 t E t J E t E dengan t J t B t ∂ ∂ + ∂ ∂ = × ∇ × ∇ − ∂ − = × ∇ ∂ + ∂ = × ∇ ∂

µε

µ

εµ

µ

maka 0 ) ) . ( ( 2 2 2 2 2 ∂ + ∂ = ∇ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ − ∇ ∇ − E E E t E t E E E

µε

µσ

µε

µσ

E J dan E E E = ∇ ∇ − ∇ =

σ

× ∇ × ∇ 2 ) . ( ) ( 0 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ + t E t E E t E t E E

µσ

µε

µε

µσ

Dengan solusi : _{E(z, t) = E0 cos (κz - ωt)} Atau dalam bentuk kompleks :

Atau dalam bentuk kompleks : E(z, t) = E₀ e-i (κz - ωt )

Sehingga : E(z, t) = E₀ e-i (κz - ωt ) ₀ 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∇ t E t E E

µε

µσ

(

E e

)

i E e E z E _{2 0} i( z t) 2 2 ₀ i( z t) 2 2 2 κ ω =

κ

κ ω = −

κ

∂ ∂ = ∇ − − − −

E

e

E

i

t

E

E

i

e

E

i

t

E

t z i t z i 2 ) ( 0 2 2 2 2 ) ( 0

ω

ω

ω

ω

ω κ ω κ

−

=

=

∂

∂

=

=

∂

∂

− − − −

(

E e

)

i E e E z E _{2 0} =

κ

₀ = −

κ

∂ = ∇

t

∂

-κ2

E

+ µεω2

E

– µσiω

E

= 0 κ2

_E

_{- µεω}2

_E

_{+ µσiω}

_E

_{= 0} κ2_{= µεω}2 _{– iµσω}

Misal : κ = a + ib

κ2 _{= (a + ib)}2 _{= a}2 _{– b}2 _{+ 2abi} Dari pers κ2_{= µεω}2 _{– iµσω, maka :}

a2 _{– b}2 _{= µεω}2 _{dan 2ab = - µσω} 2 2 2 2 2 2

)

(

)

2

(

µεω

µσω

µεω

µσω

=

−

=

−

−

a

a

a

b

2

a

µσω

−

=

kalikan dengan 4a2 2 2 2

)

2

(

µσω

=

µεω

−

a

a

_{kalikan dengan 4a}2 4(a2₎2 _{– 4µεω}2_a2 _{– (µσω)}2 _{= 0}

Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh : 4(a2₎2 _{– 4µεω}2_a2 _{– (µσω)}2 _{= 0} 2 2 2 2 2 2 , 1 2 2 2 2 2 2 , 1 2 2 2 2 2 2 , 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 ) ( 8 ) )( 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) ( σ ω ε µω µεω µσω µεω µεω µσω µεω µεω + ± = + ± = + − ± = a a a 2 2 2 2 2 , 1 2 , 1 ) ( 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 εω σ ε µω µεω ± + = a

2 2 2 2 2 , 1 1 ( ) 2 1 ) ( 2 1 ) ( εω σ ε µω µεω ± + = a               + ± = 2 2 2 2 , 1 ( ) 1 1 2 1 ) (

εω

σ

µεω

a         + + = 2 2 2 1 1 ) ( 1

σ

µεω

a

Karena a bilangan riil, maka a2 _{harus positif}

sehingga dipilih:             + + = 2 2 1 1 ) ( 2 1

εω

σ

µεω

a

−         + + = 2 2 2 2 1 1 1

_µεω

εω

σ

µεω

b a2 _{– b}2 _{= µεω}2 b2 _{= a}2 _{- µεω}2               + + = 2 2 2 1 1 ) ( 2 1

εω

σ

µεω

a         + + − =         −       + + = −           + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

σ

µεω

εω

σ

µεω

µεω

εω

µεω

b b b               + + − =             + + − = 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1

εω

σ

µεω

εω

σ

µεω

b b

2 2 2 2 ) )( ( * κ κκ κ + = − + = = b a ib a ib a

Besarnya bilangan gelombang

2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 1 2 1 ) ( 1 1 2 1 εω σ µεω κ εω σ µεω εω σ µεω κ + =       + + − +       + + =

κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan

κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi. Medium tersebut seperti medium dispersif.

Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >> maka 1 1 2 1 ₂ 2 2

εω

σ

µεω

              + + = a 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2

εω

σ

µεω

εω

σ

µεω

εω

      =               + =       a a 2 2

µσω

εω

=   a

Sehingga : 2

µσω

µσω

µσω

− = − = b a b 2 2 2

µσω

µσω

− = b Jika

δ

= 2 maka

a

=

−

b

=

1

Jika maka

µσω

δ

= 2

a

=

−

b

=

_δ

1

Jadi

δ

κ

=

a

+

ib

=

( i

1

−

)

merupakan bilangan gelombang untuk medium

dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah maka solusinya : [ ] ) 1 ( 0 ) ( 0

)

,

(

)

,

(

t z i i t z ib a i

e

E

t

z

E

e

E

t

z

E

ω δ ω       − − − − + −

=

=

) ( 0 0

)

,

(

)

,

(

t z i z

e

e

E

t

z

E

e

E

t

z

E

ω δ δ − − −

=

=

Untuk medium yang konduktivitasnya rendah

(konduktor buruk), σσσσ jauh lebih kecil dari ωε. Maka Skin depthnya :





+

+

=

2 2 2

)

(

1

1

σ

µεω

a













+

+

=

2 2

)

(

1

1

2

εω

σ

µεω

a

Diuraikan dengan deret Maclaurin

+

−

−

+

−

+

+

=

+

n

x

2

x

3

L

+

−

−

+

−

+

+

=

+

!

3

)

2

)(

1

(

!

2

)

1

(

1

)

1

(

x

n

nx

n

x

n

n

n

x

jika

₍

₎

2

εω

σ

=

x

maka :

...

)

1

2

1

(

2

1

.

!

2

1

2

1

1

)

1

(

2 2 1

+

−

+

+

=

+

x

x

x

2

2

!

2

2

...

)

(

1

1

)

(

1

...

)

)(

2

1

(

4

1

)

(

2

1

1

)

(

1

2 2 1 2 4 2 2 1 2

−

+

=









+

+

−

+

+

=













+

σ

σ

εω

σ

εω

σ

εω

σ

...

)

(

2

1

)

(

1

2

_

=

+

2

−











+

εω

εω

Jadi, µσ εω σ µεω εω σ µεω ... ) ( 2 1 2 2 ... ) ( 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +       + = +       + + = a a a ε µ σ ε µσ ε µσ 2 4 4 2 2 = = = a a a

ε

µ

σ

2 = − = b a _dengan

µ

ε

σ

δ

= 2

yang disebut skin depth

δ

1

=

−

=

b

a

Dari solusi persamaan gelombang pada medium konduktif yaitu : ) ( 0

)

,

(

t z i z

e

e

E

t

z

E

=

−δ − δ −ω

yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang menjadi _{dari amplitudo semula.}

e 1 Jika z = δ maka ) 1 ( 1 0

)

,

(

i t

E

e

e

E

t

z

E

=

− − −ω Jika z = δ maka ) 1 ( 0

)

,

(

e

i t

e

E

t

z

E

=

− −ω

E B ω κ = Medan Magnet : [ a ib z t] i o

e

E

ib

a

t

z

B

ω

ω

− + −

+

=

( )

)

,

(

θ i

re

ib

a

+

=

−

Karena dengan

r

=

a

2

+

b

2

,

dan

θ

=

tan

−1





b





[ a ib z t] i

e

E

t

z

E

(

,

)

=

₀ − ( + ) −ω θ i

re

ib

a

+

=

− Karena dengan













=

+

=

−

a

b

b

a

r

2 2

,

dan

θ

tan

1 maka [ ω θ]

ω

− + − +

+

=

i a ib z t o

e

E

b

a

t

z

B

( ) 2 2

)

,

(

Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B) tidak lagi mempunyai fase yang sama

2 2 2 ) ( 1 1 2 _     + + = εω σ µεω a Kecepatan fase: 2 1 2 2 2 2 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 2 2       + + =       + + =   εω σ εω σ εω k a k a  

dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase pada medium konduktif < v di udara/non konduktif

Besarnya vektor poynting untuk medium konduktif, yaitu :

)

(

1

B

E

S

r

r

×

=

µ

dengan

B

=

_ω

κ

E









=

1

E

(

E

)

S

ω

κ

µ

2

1

E

S

κ

µω

=

) ( 2 2 0

)

(

1

_{i z t}

e

E

ib

a

S

κ ω

µω

+

− −

=

      + − + −

















₊

=

2 2 ( ) 2 0 2 2 _ω θ

µω

t z ib a i

e

E

b

a

S

[ a ib z t] i

e

E

ib

a

S

ω

µω

− + −

+

=

2 2 ( ) 0

)

(













µω

0

Untuk medium konduktif

δ

1

=

−

=

b

a

      + − − −

















₊

=

2 2 2 2 0 2 2 _ω θ δ δ

µω

t z i z

e

e

E

b

a

S

maka Faktor

merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.





δ

z

C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR

C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR

C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR

C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR

DAN PLASMA

DAN PLASMA

DAN PLASMA

DAN PLASMA

Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan persamaan Maxwell 3, yaitu :

persamaan Maxwell 3, yaitu :

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

t

J

t

E

E

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∇

−

2

µ

₀

ε

₀ 2 ₂

µ

₀ -

t

t

∂

∂

-0

0 2 2 0 0 2

=

∂

∂

−

∂

∂

−

∇

t

J

t

E

E

µ

ε

µ

₍₁₎

Gerakan elektron :

E

q

dt

dv

m

=

_e dengan v = kecepatan elektron Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nq_e

E q N t N vq m ( e ) = ( _e)2 ∂ ∂

)

2

...(

)

(

q

2

E

N

t

J

m

=

_e

∂

∂

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) dan J = vq_eN, maka :

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

0

)

(

2 0 2 2 0 0 2

−

=

∂

∂

−

∇

E

m

Nq

t

E

E

µ

ε

µ

e

Sehingga :

0

)

(

2 0 2 2 0 0 2

−

=

∂

∂

−

∇

E

m

q

N

t

E

E

µ

ε

µ

e dan ( ) 0

)

,

(

z

t

E

e

i kz t

E

(

z

,

t

)

=

E

₀

e

− − ω

E

=

E

k

e

E

k

i

E

2 2 ₀ i(kz t) 2 2

=

=

−

∇

− −ω

E

i

e

E

i

t

E

_{i kz t}

ω

ω

ω

₌

=

∂

∂

₋ ( ₋ ) 0 maka,

E

e

E

i

t

E

_{i(kz t) 2} 0 2 2 2 2

ω

ω

ω

₌

₋

=

∂

∂

_{− −} maka,

0 ) ( ) ( 2 0 2 0 0 2 + − = − E m q N E E k µ ε ω µ e -m q N k e 2 ) ( 0 2 0 0 2 = µ ε ω − µ m 2 0 2 2 0 0 2 ) ( 1 ω ε ω ε µ m q N k _e − = 2 0 2 2 2 0 0 ) ( 1 1 ω ε ω ε µ m q N k _e − = _dengan 2 2 ) ( p e m q N ω ε = karena 0 0 2 1 ε µ = c _dan 2 2 2 1 v k = ω m ε         − = ₂ 2 2 2 1

ω

ω

_p v c maka

Berdasarkan definisi indeks bias :

v

c

n

=

    − = 2 2 1

ω

p n _     − = ₂ 2 1

ω

ω

p n 2 2

1

ω

ω

p

n

=

1

−

₂

Indeks Bias Plasma

ω

Bila ω_<ω_{p maka nilai indeks bias n}

berupa bilangan imajiner yang berarti

gelombang di dalam plasma tsb akan teredam.

teredam.

Bila ω ≥ ω_{p, maka nilai indeks bias n}

berupa bilangan nyata (real) sehingga

D.1 HUKUM SNELLIUS

D.1 HUKUM SNELLIUS

D.1 HUKUM SNELLIUS

D.1 HUKUM SNELLIUS

D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)

E₁ k₁ B₁ E₂ k₂ B₂ Med1 Med2 µ ε µ₁ε₁ 1 α α2 α x _x E₃ k₃ B₃ Med2 α3 µ2ε2 x

Dari gambar tersebut diperoleh persamaan untuk gelombang medan magnet

) ( 01 1 01 1 1

)

cos(

)

,

(

r

t

B

k

r

t

B

e

i k r t

B

=

•

−

ω

=

• −ω ) ( ₂

)

cos(

)

,

(

r

t

B

k

r

t

B

e

i k r t

B

₂

(

r

,

t

)

=

B

₀₂

cos(

k

₂

•

r

−

ω

t

)

=

B

₀₂

e

i(k2•r−ωt) Persamaan 1

B

=

•

−

ω

=

• −ω ) ( 03 3 03 3 3

)

cos(

)

,

(

r

t

B

k

r

t

B

e

i k r t

B

=

•

−

ω

=

• −ω dengan k₁ = k₁ [ i sin (α₁) – j cos (α₁)] k = k [ i sin (α ) + j cos (α )] Persamaan 1 Persamaan 2 k₂ = k₂ [ i sin (α₂) + j cos (α₂)] k₃ = k₃ [ i sin (α₃) – j cos (α₃)] Persamaan 2

] ) cos ( ) sin ( [ 01 1 1 1 1

)

,

(

r

t

B

e

i k x y t

B

=

α − α −ω ] ) cos ( ) sin ( [ 02 2 2 2 2 ) , ( r t B e i k x y t B = α + α −ω Persamaan 3

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

] ) cos ( ) sin ( [ 03 3 3 3 3

)

,

(

r

t

B

e

i k x y t

B

=

α − α −ω

Syarat batas di y = 0 ; maka B_1x – B_2x = B_3x

B₁ cos α₁ – B₂ cos α₂ = B₃ cos α₃ B₁ cos α₁ – B₂ cos α₂ = B₃ cos α₃ Dan persamaan 3 menjadi :

) sin ( 3 03 ) sin ( 2 02 ) sin ( 1 01 3 3 2 2 1 1

cos

.

cos

.

.

cos

α

e

i k x α

B

α

e

i k x α

B

α

e

i k x α

B

−

=

Persamaan

dapat dipandang sebagai Aeax _{+ Be}bx _{= Ce}cx

dengan menggunakan deret eksponensial:

) sin ( 3 03 ) sin ( 2 02 ) sin ( 1 01 3 3 2 2 1 1 cos . cos . . cosα ei k x α B α ei k x α B α ei k x α B − =       + + + +       + + + +       + + + ... ! 2 1 ... ! 2 1 ... ! 2 1 2 2 2 2 2 2 x c cx C x b bx B x a ax A

dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh : A + B =C

Aax + Bbx = Ccx Aax + Bbx = Ccx

[

]

[

]

      =       cx cx B A bx ax B A diperoleh a = b = c maka _{k sin α = k sin α}

Dalam bentuk matriks :

maka _{k1 sin α1 = k2 sin α2}

Karena gelombang datang dan gelombang pantul berada dalam medium yang sama yaitu medium 1 maka : _k

1 = k2

sehingga α₁ = α₂

k₁ sin α₁ = k₃ sin α₃ Dari a = c maka

n c v v c n v k =

ω

⇒ = ⇒ = n k c n n c k =

ω

=

ω

⇒ ≈ n

maka k₁ dan k₃ sebanding dengan n₁ dan n₃ sehingga n₁ sin α₁ = n₂ sin α₃

Persamaan Snellius Persamaan Snellius

D.2. PERSAMAAN FRESNELL

D.2. PERSAMAAN FRESNELL

D.2. PERSAMAAN FRESNELL

D.2. PERSAMAAN FRESNELL

Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya akan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombang

pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang datang yang disebut dengan persamaan Fresnell

datang yang disebut dengan persamaan Fresnell Kasus Transverse Magnetik (TM)

B₁ k₁ E_{1 k} 2 B₂ 1 _µ 1ε1 x E₂ α α • B₃* k₃ E₃ 2 µ2ε2 µ₁ε₁ θ ⋅ •

Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar) Untuk medan listrik :

E_1x + E_2x = E_3x

(

E₁ + E₂

) ( )

cos

α

= E₃ cos

( )

θ

Untuk medan magnet :

……… 1

Untuk medan magnet :

B₁ – B₂ = B₃

(

)

3 2 2 1 1 1 1 E v E E v − =

Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium

sehingga _{dan n=c/v maka 1/v ~ n} maka n₁ (E₁-E₂) = n₂ E₃

(

)

2 2 1 1 3 n E E n E = − ……… 2.1 ……… 2.2

Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalam persamaan 1,maka akan diperoleh :

(

) ( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

_      − =       + − = + α θ θ α θ α cos cos cos cos cos cos 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 n n E n n E E E n n E E     n2 n2

Maka diperoleh koefisien refleksi yaitu

perbandingan antara medan pantul terhadap medan datang (E₂/E₁). dikali n₂

( )

θ cos

( )

α cos 2 1 2 − = = n n n E r_TM dikali n₂ maka

( )

θ cos

( )

α cos 2 1 1 + = = n n E r_TM

( )

( )

( )

θ

( )

α α θ cos cos cos cos 2 1 2 1 1 2 n n n n E E r_TM + − = = _{……… 3}

Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaan n₁ (E₁-E₂) = n₂ E₃ 1 3 2 1 1 2 n E n E n E = − …… 4

Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :

  ₋

( )

( )

( )

α

( )

α

( )

θ θ α cos cos cos 2 cos cos 3 3 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 E E n n E E n E n E n E = − =       ₋ + dikali n₁ maka

( )

( )

( )

( )

α

(

( )

θ

( )

α

)

θ α α cos cos cos 2 cos cos cos 2 2 1 3 1 1 3 1 3 2 1 1 n n E E n E n E n E n + = = −

Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi, Yaitu perbandingan antara E₃/E₁

( )

( )

θ

( )

α α cos cos cos 2 2 1 1 1 3 n n n E E t_TM + = =

Kasus Transver Elektrik (TE) B₁ k1 E₁ k2 E 2 1 _µ 1ε1 x B₂ α α • B₃ k3 E₃ 2 θ µ2ε2 ⋅ •

Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :

Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :

Untuk meda magnet

B_1x-B_2x = B_3x

Untuk medan listrik E₁ + E₂ = E₃ Dari hubungan B E

ω

κ

= E B κ ω =

κ

ω

=

v

v c n = maka ; ; ; ; E₁ + E₂ = E₃ maka v₁ (B₁ + B₂) = v₂ B₃ v ~ 1/n ... 2.1

(

)

2 B B n B = + ... 2.2

(

)

3 2 2 1 1 1 1 B n B B n + = E₁ + E₂ = E₃

(

1 2

)

1 2 3 B B n n B = + ... 2.2

(

)

(

)

α θ θ α θ α cos cos cos cos cos cos 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 −     =     + − + = − n n B n n B B B n n B B

Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1 Sehingga diperoleh : θ α cos cos − n2 α θ θ

α cos cos cos

cos 1 1 1 2  −    =     + − n B n B θ α α θ cos cos cos cos 1 2 1 2 1 2 n n n n B B R_TE + − = − = maka θ α θ α cos cos cos cos 1 2 1 2 1 2 n n n n B B r_TE + − = =

θ

α

θ

α

cos cos cos cos 2 1 2 1 n n n n r_TE + − =

Dari persamaan 2.1 kita peroleh

(

)

3 2 2 1 1 1 B n B B n + = 1 3 1 2 B B n n B = ₃ − _{1 ... 3} 2 2 n

Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1

θ α α θ α cos cos cos 2 cos cos 3 3 1 1 3 1 3 2 1 1 B B n B B B B n n B = − =               − − θ α α cos cos cos 2 _{3 3} 2 1 1 B B n B − =

(

α θ

)

α cos cos cos cos 2n₂ B₁ = B₃ n₁ + n₂ θ α α cos cos cos 2 2 1 2 1 3 n n n B B t_TE + = =

Apabila sudut bias 0

90 maka,

Dari hukum Snellius diperoleh hubungan

2 1 1 3 2 1 1 90 sin sin sin sin n n n n n o = =

α

α

α

1 2 1 sin n n =

α

Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 0

90

sudut kritis

Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis, maka terjadi pemantulan total.

Apabila o

90

=

+

θ

α

dari hukum Snellius diperoleh hubungan: dari hukum Snellius diperoleh hubungan:

α

α

α

α

θ

α

cos

sin

)

90

sin(

sin

sin

sin

1 2 2 1 2 1

n

n

n

n

n

n

o

=

−

=

=

( )

1 2

tan

n

n

=

α

Sudut datang yang menghasilkan

α

+

θ

=

90

o

Sudut Brewster

1

E. PANDU GELOMBANG

E. PANDU GELOMBANG

E. PANDU GELOMBANG

E. PANDU GELOMBANG

Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnya dibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity). Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasi

Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, Sehingga bahan material

tersebut berlaku E = 0 Dan B = 0

Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan Bentuk fungsi sebagai berikut :

(

)

( )

i(kx t) e z y E t z y x E

(

, , ,

)

=

( )

, ( −ω )

(

)

( )

i(kx t) o t kx i o e z y B t z y x B e z y E t z y x E ω ω − − = = , , , , , , , ,

Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3 dan 4 ,Maka akan diperoleh :

y z B i E E

ω

= ∂ − ∂ z y x _{ikE i B} E

ω

− = − ∂ ∂ ……… 1 ……… 2.3 ……… 2.1 x z B i z z − ∂ =

ω

∂ y z x B i ikE z E

ω

= − ∂ ∂ z y i B ikE y − = −

ω

∂ x y z

E

c

i

z

B

y

B

2

ω

−

=

∂

∂

−

∂

∂

……… 2.2 _{……… 2.4} ……… 2.3 ……… 2.1

y z x E c i ikB z B 2 ω − = − ∂ ∂ z y x E c i ikB y B 2

ω

= − ∂ ∂

Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan

……… 2.5 ……… 2.6

Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan Solusi Untuk E_y, E_z, B_y, dan B_z sebagai berikut

( )

      ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z B y E k k c i E_y x ω x ω 2 2 /

( )

      ∂ ∂ − ∂ ∂ − = y B z E k k c i E_z x ω x ω 2 2 / ……… 3.1 ……… 3.2

( )

 

( )

      ∂ ∂ − ∂ ∂ − = z E c y B k k c i B_{y 2 2} x ₂ x / ω ω

(

)

      ∂ ∂ + ∂ ∂ − = y E c z B k k c i B_{z 2 2} x ₂ x / ω ω ……… 3.3 ……… 3.4

Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen Longitudinal E_x dan B_x diketahui, maka komponen lainnya dapat diketahui.

Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaan Differensial dari komponen longitudinal sebagai Differensial dari komponen longitudinal sebagai Berikut : 0 2 2 2 2 2 2 =         −       + ∂ ∂ + ∂ ∂ x E k c z y

ω

0 2 2 2 2 =     −     + ∂ + ∂ B k

ω

……… 4.1 ……… 4.2 0 2 2 2 =       −       + ∂ ∂ + ∂ ∂ x B k c z y

ω

0 ˆ ⋅ B = n nˆ × B = 0 ……… 4.2 ……… 5

Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu :

Dengan

nˆ

adalah vektor satuan normal pada konduktor, maka akan kita peroleh

E_x = 0 Di permukaan 0 = ∂ ∂B_{x Di permukaan} ……… 6.1 ……… 6.2 0 = ∂n Di permukaan

Bila E_x = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrik

Bila B_x = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik), Dan E_x = 0 dan B_x = 0, disebut gelombang TEM (Transverse Electric Magnetik)

Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak

……… 6.2

Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Bila E_x = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z E y E_{y z} ……… 7

Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday Berlaku hubungan 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ z E y E_x y

Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik

……… 8

Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik V = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum Gauss Atau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstan Didalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari

Persamaan E t B × ∇ = ∂ ∂ − t ∂

Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak ada gelombang didalam rongga

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

PENAMPANG SEGI EMPAT

PENAMPANG SEGI EMPAT

PENAMPANG SEGI EMPAT

PENAMPANG SEGI EMPAT

Persamaan differensial dari komponen longitudinal

0 2 2 2 2 2 2 =         −       + ∂ ∂ + ∂ ∂ x B k c z y

ω

_{……… 1}

Dan syarat batas nˆ ⋅ B = 0 dan nˆ × B = 0

Maka dengan pemisalan : B_x (y,z) = Y (y) Z(z)

Substitusikan ke persamaan 1, maka :

0 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 =         −       + ∂ ∂ + ∂ ∂ z Z y Y k c z y ω  ∂y ∂z  c  0 2 2 2 2 2 2 =         −       + ∂ ∂ + ∂ ∂ YZ k c z Z Y y Y Z ω 0 1 1 2 ₂ 2 2 2 2 =         −       ∂ ∂ + ∂ ∂ k k z Z Z y Y Y ω dibagi YZ ……… 2 Sehingga 2 0 2 2 _ − =      + − − k c Z k Y k ω dengan z y k z Z Z k y Y Y 2 2 2 2 2 2 1 1 − = ∂ ∂ − = ∂ ∂

Solusi dari persamaan 3 :

( )

k y B

( )

k y A

Y = sin _y + cos _y

………3 ……… 4

Syarat batas = 0 dy dY di y = 0 dan di y = a 0 = ky A, maka A = 0

( )

k y k yB

( )

k y A k dy dY y y y y cos − sin =

( )

k a B k_y sin _y 0 = maka, k_ya = mπ dengan m = 0, 1, 2,…. atau a m k_y = π a k_y = Untuk solusi k z z Z Z 2 2 2 1 − = ∂ ∂

yaitu Z = Asin

( )

k_zZ + Bcos

( )

k_zZ Syarat batas = 0 dz dZ di z = 0, z = b

( )

k Z k B

( )

k Z A k dz dZ z z z z cos − sin = maka _untuk

( )

A k Z k A k dz dZ z z = = 0 cos A k_z = 0

( )

0 cos k_zZ ≠ Untuk k B

( )

k Z dz dZ z z sin = _{k B ≠ 0} z dan kzz = 0 Sin k_zz = 0 b n k n b k n z k z z z π π π = = = maka dengan n = 0, 1, 2, …. z=b

maka untuk ( ) ( )       =       + = + = a y m B y a m B Y k B Y k A Y _{y y} π π cos cos 0 cos sin ( ) ( )       =       + = + = b z n B b z n B Z k B Z k A Z _{z z} π π cos cos 0 cos sin

Sehingga B_x

( )

y,z = Bcos mπy ⋅ Bcos nπz 

Sehingga

( )

    ⋅     = b B a B z y B_x , cos cos

Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari persamaan yang sudah didapat

0 2 2 2 _ − =      + − − k c Z k Y k ω dengan a m k_y = π _b n k_z = π dan maka 2 2 2 2 0 = −       +       −       − k c b n a mπ π ω 2 2 2 2 2 2 2       −       −       =       −       −       =       b n a m c k b n a m c k c b a π π ω π π ω mm c k = 1 ω2 −ω 2 2 2       +       = b n a m c mm π ω

Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat diperoleh dari persamaan

dk d v_g = ω dk d v_g / 1 ω = Dari persamaan : mm c k = 1 ω2 −ω 2 c

(

)

(

mm

)

mm mm c d dk d d c d dk c d d d dk 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ⋅ − = − =       − = − 2 2 − = ω ω ω mm g c v

(

)

(

)

mm mm mm c d dk c d dk c d 2 2 2 1 2 2 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − = − = ⋅ − = − 2 2 2 2 2 1       − = − = ω ω ω ω ω ω mm g mm g v v

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

TRANSMISI KOAKSIAL

TRANSMISI KOAKSIAL

TRANSMISI KOAKSIAL

TRANSMISI KOAKSIAL

Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),

terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor

silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :

y z x _E c i ikB z B 2 ω − = − ∂ ∂

silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder

z y x E c i ikB y B 2

ω

= − ∂ ∂