Integrasi 2. Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik Contoh Kasus Permasalahan Integrasi.

17 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

Integrasi 1

Integrasi 2

• Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik

• Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik

• Contoh Kasus Permasalahan Integrasi

(2)

Integrasi 2

Metode Integrasi Gauss

• Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan

pembobot integrasi.

• Metode ini secara komputasi memiliki banyak keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi. Ini ditunjukkan dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang relatif

kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan jumlah pembagi yang besar.

(3)

Integrasi 3

Langkah-Langkah Metode Integrasi Gauss :

1. Merubah range x=[xi-1,xi]=[a,b] menjadi u=[-1,1]

2. Merubah f(x) menjadi g(u) 3. Merubah dx menjadi du 4. Merubah bentuk integral

( ) ( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

(

( ) ( )

)

) ( 12 2 1 b a u b a f u g = − + +

(

b a

)

du dx = − 2 1

= a i f x dx L ( )

− = 1 ) (u du g Li b 1

(4)

Integrasi 4

Metode Integrasi Gauss

Dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut :

− =

=

1 1 1

)

(

)

(

n i i i

g

A

du

u

g

μ

untuk menentukan nilai

μ

i dapat digunakan persamaan polinom Legendre:

(

)

[

2 1 ( ) ( 1) ( )

]

1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 1 0 u P m u uP m m u P u u P u P m m m = − − − − − = =

untuk menentukan nilai Ai digunakan pembobot sebagai berikut:

[

'

]

2 2 ) ( ) 1 ( 2 i n i i P A

μ

μ

− =

(5)

Integrasi 5

Integrasi Kuadratur Gauss dengan

Pendekatan 2 Titik

Formulasi Integrasi Kuadratur Gauss Pendekatan 2 titik :

) ( ) ( ) ( 0 0 1 1 1 1 μ μ A g g A du u g = +

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=2 pada persamaan polinom Legendre, sehingga diperoleh:

(

)

[

]

2 1 2 3 1 . 1 . 1 4 2 1 ) ( 2 2 = − − = − u u u u P

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah : dan 3 1 0 = − μ 3 1 1 =

μ

Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan: dan1 3 . 3 1 1 2 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = A 1 3 . 3 1 1 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = A

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 2 titik dapat dituliskan dengan:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

− 3 1 3 1 ) ( 1 1 g g du u g

Integrasi Kuadratur Gauss dengan

Pendekatan 2 Titik

Formulasi Integrasi Kuadratur Gauss Pendekatan 2 titik :

) ( ) ( ) ( 0 0 1 1 1 1 μ μ A g g A du u g = +

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=2 pada persamaan polinom Legendre, sehingga diperoleh:

(

)

[

]

2 1 2 3 1 . 1 . 1 4 2 1 ) ( 2 2 = − − = − u u u u P

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah : dan 3 1 0 = − μ 3 1 1 =

μ

Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan: dan1 3 . 3 1 1 2 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = A 1 3 . 3 1 1 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = A

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 2 titik dapat dituliskan dengan:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

− 3 1 3 1 ) ( 1 1 g g du u g

(6)

Integrasi 6

Contoh Integrasi Kuadratur Gauss

dengan Pendekatan 2 Titik

Hitung integral :

=

1 0 2

dx

x

L

Menghitung x menjadi fungsi u :

(

)

(

)

(

)

(

1

)

2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 + = + + − = + + − = u x u x a b u a b x

Sehingga diperoleh fungsi g(u) : ( )

( )2 2 2 1 8 1 ) ( ) 1 ( 2 1 2 1 ) ( ) 1 ( 2 1 0 1 2 1 ) ( + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = u u g u u g u u g

Model integrasi kuadratur gauss pendekatan 2 titik diperoleh :

33333 . 0 022329 . 0 311004 . 0 1 3 1 8 1 1 3 1 8 1 3 1 3 1 2 2 = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = g g L

(7)

Integrasi 7

Algoritma Integrasi Kuadratur

Gauss dengan Pendekatan 2 Titik

1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) 3. Hitung nilai konversi variabel :

4. Tentukan fungsi g(u) dengan:

5. Hitung:

(

)

( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

(

( ) ( )

)

) ( 2 1 ) (u b a f 21 b a u 21 b a g = − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 1 3 1 g g L

(8)

Integrasi 8

Integrasi Kuadratur Gauss dengan

Pendekatan 3 Titik

Formulasi Integrasi Kuadratur Gauss Pendekatan 3 titik :

( )

2 2 1 1 0 0 1 1 ) ( ) ( ) (u du A g μ A g μ A g μ g = + +

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=3 pada persamaan polinom Legendre, sehingga diperoleh:

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah :

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 3 titik dapat dituliskan dengan:

Nilai A0, A1 dan A2 dapat dicari dengan:

[ ]

(

5 3

)

2 1 2 9 2 15 3 1 2 ) 1 3 ( 2 5 3 1 2 ) 1 3 ( 2 1 . 5 3 1 ) ( 2 ) ( . . 5 3 1 ) ( 2 3 2 2 1 2 3 − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − = u u u u u u u u u u u P u P u u P 0 0 = μ 5 3 1 = −

μ

53 2 =

μ

2 3 2 15 ) ( 2 ' 3 u = uP

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + =

− 5 3 9 5 5 3 9 5 0 9 8 ) ( 1 1 g g g du u g

[ ]

9 8 2 3 2 ) 0 ( ). 1 ( 2 2 2 ' 3 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = = P A

( )

[

]

( )

9 5 18 10 3 5 2 2 5 3 1 2 2 2 5 3 ' 3 12 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = P A

(9)

Integrasi 9

Contoh Integrasi Kuadratur Gauss

dengan Pendekatan 3 Titik

Hitung integral :

Menghitung x menjadi fungsi u :

(

)

(

)

(

)

(

1

)

2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 + = + + − = + + − = u x u x a b u a b x

Sehingga diperoleh fungsi g(u) :

(

)

( )

( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 1 1 2 1 2 1 ) ( 0 1 2 1 ) ( u u e u g e u g

Model integrasi kuadratur gauss pendekatan 3 titik diperoleh :

= 1 0 dx e L x

( ) ( )

718281 . 1 6746 . 0 310916 . 0 732765 . 0 8 5 8 5 ) 0 ( 9 8 5 3 5 3 = + + = + − + = g g g L

(10)

Integrasi 10

Algoritma Integrasi Kuadratur

Gauss dengan Pendekatan 3 Titik

1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) 3. Hitung nilai konversi variabel :

4. Tentukan fungsi g(u) dengan:

5. Hitung:

(

)

( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

(

( ) ( )

)

) ( 2 1 ) (u b a f 21 b a u 21 b a g = − − + +

( )

+

+

=

5

9

5

9

0

9

g

g

g

L

8

5

3

5

3

Meskipun dalam beberapa hal integrasi kuadratur Gauss menunjukkan hasil yang lebih baik dari pada metode integrasi Simpson, tetapi dalam penerapannya metode integrasi Simpson lebih banyak digunakan

(11)

Integrasi 11

Contoh Kasus Penerapan

Integrasi Numerik

Integral banyak digunakan untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi-fungsi tertentu, menghitung luas kulit, dan

menghitung volume dari benda putar.

Pada pengolahan sinyal digital, integral ini ditemui untuk menghitung konvolusi yang banyak digunakan dalam konsep-konsep pengolahan sinyal dan filter.

Contoh Kasus Permasalahan Integral yang dibahas : 1. Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 2. Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

(12)

Integrasi 12

1. Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Perhatikan gambar peta berikut :

Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak.

Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16).

(13)

Integrasi 13

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

y(n) 0 1 2.5 4.5 6 7 6.5 6 6 6.5 6.5 6 5.5 3.5 3 3 0

(1) Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

(2) Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

5 . 73 2 2 15 1 16 0 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =

= i i y y y h L

(3) Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + =

= = i genap i ganjil i i y y y y h L 4 2 3 0 16 =74 = =

= 16 0 i i y h L 73.5

(14)

Integrasi 14

2. Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Untuk menghitung luas dan volume benda putar yang dibentuk oleh fungsi y=f(x) dapat digunakan rumus berikut:

=

b a p

f

x

dx

L

2

π

(

)

[

]

=

b a p

f

x

dx

V

π

(

)

2

Luas Benda Putar :

(15)

Integrasi 15

Contoh : Hitung luas dan volume benda putar gambar di bawah

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian seperti gambar , dimana bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan

membagi-bagi kembali ruangnya, sedangkan bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

4 cm 6 cm 12 cm 7 cm 7 cm 5 cm I II III IV Bagian I: LI = 2π(4)(7) =56π π π(4)(7)2 =196 = I V

Bagian III: LIII = 2π

( )

12 (12) = 288π

( )( )

π π 12 12 3456 2 2 = = III V

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

(16)

Integrasi 16

n 0 1 2 3 4 5

y(n) 7 10 11 11.5 12 12

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

π π 2 108 2 2 4 1 5 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = =

= i i IV II y y y h L L π π 2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = = ∑ = i i IV II y y y h V V

Luas permukaan dari botol adalah:

4 . 1758 560 108 288 108 56 = = + + + = + + + = π π π π π IV III II I L L L L L Luas = 1758.4 cm2

Volume botol adalah:

π π π π π 6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196 = + + + = + + + =VI VII VIII VIV V Volume = 18924.78 cm3

(17)

Integrasi 17

Latihan Soal

1. Hitung integral : dengan menggunakan Integral Reimann, Trapezoida dan Simpson.

Bandingkan hasilnya dengan jumlah pembagi yang sama. Ambil N=10, 50, 100.

2. Hitung Luas permukaan dan volume benda putar sebuah ban yang mempunyai jari-jari dalam 20 cm dan jari-jari luar 35 cm.

3. Ambil peta wilayah Surabaya. Dengan tetap memperhatikan skala yang digunakan, hitung luas wilayah Surabaya berdasarkan peta tersebut.

π 0 ) sin( dx x x

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...