Integra. asi 2. Metode Integral Kuadr. ratur Gauss 2 Titik

Integra

1

g

• Metode Integral Kuadr

Metode Integral Kuadr

• Metode Integral Kuadr

C

t h K

P

• Contoh Kasus Permas

asi 2

1

ratur Gauss 2 Titik

ratur Gauss 2 Titik

ratur Gauss 3 Titik

l h

I t

i

Metode Inte

2

M t d i t i G k

• Metode integrasi Gauss merupaka pembagian area yang banyak, teta pembobot integrasi

pembobot integrasi.

• Metode ini secara komputasi mem mempunyai kecepatan yang tinggp y p y g gg pembaginya yang kecil dan denga kecil mempunyai kesalahan yang jumlah pembagi yang besar.

egrasi Gauss

g

2

t d tid k k

an metode yang tidak menggunakan api memanfaatkan titik berat dan

miliki banyak keuntungan karena i. Ini ditunjukkan dengan jumlah j g j an jumlah pembagi yang relatif

Langkah-Langkah Metode Integrasi

1. Merubah range x=[x_i-1,x_i]=[a,b] m

2. Merubah f(x) menjadi g(u) g

3. Merubah dx menjadi du 4. Merubah bentuk integral

dx b 1

∫

= b a i f x dx L ( )

∫

− = 1 1 ( g L_i 3 Gauss : menjadi u=[-1,1] ( ) _{( )} 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

(

( ) ( )

)

) ( 1₂ 2 1 _{b a u b a} f u = − + + 1

₍

₎

du a b dx = − 2 1 ) (u du 3

Metode Inte

4

Dapat diambil sejumlah titik pende Dapat diambil sejumlah titik pende acuan dalam integrasi kuadratur gau

∫

∑

1

)

(

)

(

n

A

d

∫

∑

− =

=

1 1

)

(

)

(

i i i

g

A

du

u

g

µ

untuk menentukan nilai

µ

_i dapat dig Legendre: ) ( 1 ) ( 1 0 u u P u P = =

(

)

[

2 1 ( ) 1 ) ( m uP ₁ u m u P_m = − _m− t k t k il i Ai di

untuk menentukan nilai Ai diguna

[

]

2 2 i A =

[

_'

]

2 2 ) ( ) 1 ( _{i n i} i P

µ

µ

−

egrasi Gauss

g

4

katan yang digunakan sebagai titik katan yang digunakan sebagai titik uss sebagai berikut :

gunakan persamaan polinom

]

) ( ) 1 ( ) − m − P_m−2 u k b b t b i b ik t kan pembobot sebagai berikut:

Integrasi Kuadratur Gauss

Integrasi Kuadratur Gauss

5

Formulasi Integrasi Kuadratur Gau

) ( ) ( ) ( _{0 0 1 1} 1 1 µ µ A g g A du u g = +

∫

−

Untuk menghasilkan metode ini dia Legendre, sehingga diperoleh:

(

2 u

P

Akar-akar dari persamaan polinom dan 3 1 0 = − µ 1 1 =

µ

3 0 3 1

µ

Nilai A0 dan A1 dapat dicari denga

Sehingga model dari integrasi kuad 2 titik dapat dituliskan dengan: 1

2 titik dapat dituliskan dengan:

∫

− 1

1

g

dengan Pendekatan 2 Titik

dengan Pendekatan 2 Titik

5

uss Pendekatan 2 titik :

ambil n=2 pada persamaan polinom

(

)

[

]

2 1 2 3 1 . 1 . 1 4 2 1 ) 2 − = − − = u u u u 2 2 2

mial di atas adalah :

an: dan1 3 . 1 1 2 0 = ⎞ ⎜ ⎛ − = A 1 3 1 1 2 1 _⎞ = ⎜ ⎛ − = A 3 . 3 1 ⎠ ⎜ ⎝ ⎜⎝1 3⎠.3

dratur gauss dengan pendekatan

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ = 3 1 3 1 ) (u du g g

Contoh Integrasi Kuadratur Ga

6 Hitung integral :

=

∫

1 2

dx

x

L

= = x x g g

∫

0

Menghitung x menjadi fungsi u :

=

x x

Sehingga diperoleh fungsi g(u) :

( ( g g ( ( g g

Model integrasi kuadratur gauss pe

8 1 1 3 1 8 1 3 1 3 1 2 ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛_{− +} = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ = g g L 33333 . 0 022329 . 0 311004 . 0 8 3 8 3 3 = + = ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝

auss dengan Pendekatan 2 Titik

6 1 1

₍

₎

(

1 0

)

1

(

1 0

)

1 ) ( 2 1 2 1 + + − = + + − = u a b u a b

(

)

(

)

(

1

)

2 1 0 1 2 0 1 2 + = + + u u 2 1 1 _{( )}⎡ ⎤ 2 ) 1 ( 1 1 ) ( ) 1 ( 2 1 0 1 2 1 ) ( ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ₊ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = u u u u ( )2 1 8 1 ) ( ) 1 ( 2 2 ) ( + = ⎥⎦ ⎢⎣ + = u u u u

endekatan 2 titik diperoleh :

1 3 1 _⎟2 ⎠ ⎞ + 3 ⎠

Algoritma Integrasi Ku

Pendekata

Pendekata

7 1 D fi i ik f i f( ) 1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah (a) da 3 Hit il i k i i b l 3. Hitung nilai konversi variabel

(

)

( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

4. Tentukan fungsi g(u) dengan

2 2 5 Hit

(

( ) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a g = − − 5. Hitung: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 1 3 1 g g L ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 3

uadratur Gauss dengan

an 2 Titik

an 2 Titik

7

an batas atas integrasi (b) : ) :

)

) ( )u + ₂1 b + a

Integrasi Kuadratur Gauss

Integrasi Kuadratur Gauss

8

Formulasi Integrasi Kuadratur Gau

1

(

2 1 1 0 0 1 1 ) ( ) ( ) (u du A g µ A g µ A g µ g = + +

∫

−

Untuk menghasilkan metode ini di Untuk menghasilkan metode ini di Legendre, sehingga diperoleh:

Akar-akar dari persamaan

(

3 u

P

p

polinomial di atas adalah :

0 0 = µ 5 3 1 = −

µ

₅3 2 =

µ

Nilai A0, A1 dan A2 dapat dicari de

[ ]

2 2 2 2 8

0 = = =

A

12 =

A

Sehingga model dari integrasi kuad

[ ]

9 2 3 ) 0 ( ). 1 ( ₃' 2 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− P 1 12 ⎜ ⎝ ⎛ − A

Sehingga model dari integrasi kuad 3 titik dapat dituliskan dengan:

∫

− ( 1 1 u g

dengan Pendekatan 3 Titik

dengan Pendekatan 3 Titik

8

uss Pendekatan 3 titik :

)

2

µ

iambil n=3 pada persamaan polinom iambil n=3 pada persamaan polinom

[ ] 2 ) 1 3 ( 5 1 2 ) 1 3 ( 1 5 1 ) ( 2 ) ( . . 5 3 1 ) 2 2 1 2 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = − = u u u u u u u P u P u u

(

5 3

)

2 1 2 9 2 15 3 1 2 ) 1 3 ( 2 3 2 ) 1 3 ( 2 . 5 3 2 3 = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = ⎥⎦ ⎢⎣ − − = ⎥⎦ ⎢⎣ − − = u u u u u u u u u u engan: 2 3 2 15 ) ( 2 ' 3 u = u − P 5 10 2 2 _{= = =}

dratur gauss dengan pendekatan

( )

[

]

( )

18 9 3 5 2 5 3 2 2 5 3 ' 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ P

dratur gauss dengan pendekatan

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 5 3 9 5 5 3 9 5 0 9 8 )du g g g u

Contoh Integrasi Kuadratur

3 Ti

3 Ti

9 Hitung integral : =

∫

1 dx e L x = = x x g g

Menghitung x menjadi fungsi u :

∫

0 dx e L = x x

Sehingga diperoleh fungsi g(u) : _g

g

Model integrasi kuadratur gauss pe

( ) ( )

8 5 8 5 ) 0 ( 9 8 5 3 5 3 + − + = g g g L 718281 . 1 6746 . 0 310916 . 0 732765 . 0 8 8 9 = + + =

r Gauss dengan Pendekatan

itik

itik

9 1 1

₍

₎

(

1 0

)

1

(

1 0

)

1 ) ( 2 1 2 1 + + − = + + − = u a b u a b

(

)

(

)

(

1

)

2 1 0 1 2 0 1 2 + = + + u u ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞

(

)

( ) ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊₁ 2 1 0 1 2 1 ) ( u e u ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊₁ 2 1 2 1 ) ( u e u

Algoritma Integrasi Ku

Pendekata

Pendekata

1

1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah (a) da 3. Hitung nilai konversi variabel

(

)

1

1

4. Tentukan fungsi g(u) dengan

(

)

( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + + 5. Hitung:

(

( ) ) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a g = − −

( )

5

⎜

⎛

3

⎞

8

5 u g

( )

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

5

3

9

5

0

9

8

g

g

L

Meskipun dalam beberapa hal integ hasil yang lebih baik dari pada met penerapannya metode integrasi Sim penerapannya metode integrasi Sim dengan dasar pertimbangan kemud

uadratur Gauss dengan

an 3 Titik

an 3 Titik

0

an batas atas integrasi (b) : : )

)

) ( )u + ₂1 b + a

⎞

⎜

⎛

⎞

₅

₃

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎠

⎞

5

3

9

5

g

grasi kuadratur Gauss menunjukkan tode integrasi Simpson, tetapi dalam

mpson lebih banyak digunakan mpson lebih banyak digunakan

Contoh Kasus Penerap

p

1

Integral banyak digunakan untuk m Integral banyak digunakan untuk m dibatasi oleh fungsi-fungsi tertentu, menghitung volume dari benda puta menghitung volume dari benda puta Pada pengolahan sinyal digital, inte konvolusi yang banyak digunakan dy g y g sinyal dan filter.

Contoh Kasus Permasalahan Integ 1. Menghitung Luas Daerah Berda 2. Menghitung Luas dan Volume B

pan Integrasi Numerik

p

g

1

menghitung luas suatu daerah yang menghitung luas suatu daerah yang

menghitung luas kulit, dan ar

ar.

egral ini ditemui untuk menghitung dalam konsep-konsep pengolahan p p p g

ral yang dibahas : asarkan Gambar Benda Putar

1 Menghitung Luas Daer

1. Menghitung Luas Daer

Perhatikan gambar peta berikut : Perhatikan gambar peta berikut :

Untuk menghitung luas integral di pe adalah menandai atau membuat gar yang dinyatakan dalam satu kotak yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, deng panjangnya adalah 100.000 mm ata Pada gambar di atas, mulai sisi kiri d grid ke n (dalam hal ini n=16).

rah Berdasarkan Gambar

rah Berdasarkan Gambar

9 6 3 9 Skala 1:100000 0 5 10 3 15

eta di atas, yang perlu dilakukan ris grid pada setiap step satuan h gan skala yang tertera berarti

u 100 m.

dengan grid ke 0 dan sisi kanan

Tinggi pada setiap grid adalah se n 0 1 2 3 4 5 6 7 13 gg p p g n 0 1 2 3 4 5 6 7 y(n) 0 1 2.5 4.5 6 7 6.5 6

(1) Dengan menggunakan metode integra

= = h

∑

16 y

L 73 5

(2) Dengan menggunakan metode integra

15 ⎞ ⎛ h = =

∑

=0 i i y h L 73.5 5 . 73 2 2 15 1 16 0 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =

∑

= i i y y y h L

(3) Dengan menggunakan metode integr

( ) g gg g ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + =

∑

∑

= = i genap i ganjil i i y y y y h L 4 2 3 0 16 ebagai berikut: 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 g 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.5 6.5 6 5.5 3.5 3 3 0 asi Reimann asi trapezoida rasi Simpsonp ⎠ ⎞ =74

2. Menghitung Luas dan

g

g

Untuk menghitung luas dan volumeg g fungsi y=f(x) dapat digunakan rumu

p

L

Luas Benda Putar :

V

Volume Benda Putar :

_V

_p Volume Benda Putar :

n Volume Benda Putar

e benda putar yang dibentuk oleh p y g us berikut: b

∫

=

b a

dx

x

f

(

)

2

π

[

]

∫

b

[

f

(

)

]

2

d

∫

=

a

dx

x

f

(

)

π

14

Contoh : Hitung luas dan volume g R ang benda 5 Ruang benda seperti gamba bentuk silinde membagi bag 7 cm cm I II III IV membagi-bag dan IV perlu d 4 cm 6 cm 12 cm 7 cm Bagian I: L_I = 2π(4)(7) =56π Bagian I π π(4)(7)2 =196 = I V

Sedangkan untuk menghitung bagian II d misalkan dengan mengambil h=1 diperol

benda putar gambar di bawah p g

a p tar dapat dibedakan menjadi 4 bagian a putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

ar , dimana bagian I dan III merupakan er yang tidak perlu dihitung dengan

gi kembali ruangnya sedangkan bagian II gi kembali ruangnya, sedangkan bagian II

diperhitungkan kembali. II: L_III = 2π

( )

12 (12) = 288π

( )( )

12 12 3456 2 2 V_III = 2π

( )( )

12 12 = 3456π V

dan IV diperlukan pembagian area , eh:

n 0 1

y(n) 7 10

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dap

π 2 2 _{⎢ 0} ⎣ ⎡ + = = _IV II y h L L 2 ⎢⎣ 0 IV II y π 2 2 0 ⎢ ⎣ ⎡ ₊ = = _IV II y y h V V

Luas permukaan dari botol adalah:

560 56 = + = π I L L 1758 560 = = π Luas =

Volume botol adalah:

π π 6024 5 . 1187 196 + + = + + + =V_I V_II V_III V π 6024 = Vo 2 3 4 5 11 11.5 12 12 pat diperoleh: π 108 2 4 5 ⎥ = ⎦ ⎤ + + y

∑

y_i 1 5 ⎥ ⎦

∑

= i i y y π 5 . 1187 2 4 1 2 2 5 ⎥ = ⎦ ⎤ + ∑ = i i y y 108 288 108 + + + + + + π π π IV III II L L L 4 . 8 π 1758.4 cm2 π π 1187.5 3456 + + +V_IV 3 16 olume = 18924.78 cm3

Latihan Soal

1. Hitung integral : Integral Reimann, Trapezoida

∫

π 0 ) sin( dx x x

Integral Reimann, Trapezoida Bandingkan hasilnya dengan j Ambil N=10, 50, 100.

2. Hitung Luas permukaan dan v yang mempunyai jari-jari dalam 3. Ambil peta wilayah Surabaya.

yang digunakan, hitung luas w t b t tersebut. 1 dengan menggunakan dan Simpson. dan Simpson.

jumlah pembagi yang sama.

volume benda putar sebuah ban m 20 cm dan jari-jari luar 35 cm.

Dengan tetap memperhatikan skala wilayah Surabaya berdasarkan peta