Metode Numerik Integrasi Numerik

PENS-ITS 1

Integrasi Numerik

2

Topik

• Integral Reimann

• Trapezoida

• Simpson 1/3

• Simpson 3/8

PENS-ITS 3

INTEGRASI NUMERIK

• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari

4

INTEGRASI NUMERIK

• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

• Fungsi yang rumit misal :

dx

sin 5

cos( 2 sin(

1 )

cos(

) cos(

1 )

sin(

PENS-ITS 5

INTEGRASI NUMERIK

• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak

keperluan.

• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

6

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

 _{Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi}

) ( ...

) ( )

(

) ( )

(

1 1

0 0

0

n n

i n

i

i b

a

x f c x

f c x

f c

x f c dx

x f

 

 









x₀ x₁ x_n-1 x_n x

PENS-ITS 7

0 2 4 6 8 10 12

3 5 7 9 11 13 15

• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Numerik

8

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b

a n b

a









(

)

(

)



_{Nilai hampiran}

_f

₍

_x

₎

_{dengan polinomial}

n n

1 n 1

n 1

0

n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



Dasar Pengintegralan

Dasar Pengintegralan

Numerik

PENS-ITS 9



f

_n

(

x

)

bisa fungsi linear

10



f

_n

(

x

)

bisa juga fungsi kubik

PENS-ITS 11

12

INTEGRASI NUMERIK

• Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :

• L =

_

b

_{ }

a

PENS-ITS 13

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

14

Metode Integral Reimann

• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x

= [a,b]

PENS-ITS 15

Metode Integral Reimann

• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

• Dimana • Didapat

16

Contoh

• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x

untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1

0

2_dx

x

PENS-ITS 17

Contoh

• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

• Secara kalkulus :

18

Algoritma Metode Integral

Reimann

• Definisikan fungsi f(x)

• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

• Tentukan jumlah pembagi area N

• Hitung h=(b-a)/N

• Hitung







N

i i

x

f

h

L

0

)

(

PENS-ITS 19

Metode Integrasi Trapezoida

•

_{Aproksimasi garis lurus (linier)}



( ) ( )



) (

) (

) (

) (

1 0

1 1

0 0

i 1

0 i

i b

a

x f x

f 2 h

x f c x

f c x

f c dx

x f

 

 









x₀ x₁ x

f(x)

20

Trapesium

Trapesium

PENS-ITS 21

Metode Integrasi

Trapezoida

   

atau

22

Algoritma Metode

Integrasi Trapezoida

• Definisikan y=f(x)

• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

• Tentukan jumlah pembagi n

• Hitung h=(b-a)/n

• Hitung

























n n

i i

f

f

f

h

L

1

1 0

2

PENS-ITS 23

•

_{Aproksimasi dengan fungsi parabola}

24

Aturan Komposisi

Aturan Komposisi

Simpson

Simpson

x₀ x₂ x

f(x)

x₄

h h h x_n-2 x_n

n a b

h  

…...

h

x₃

PENS-ITS 25

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2

0 0

0 2

2 0

0 2

! 2

) (

) ( !

2

) (

) ( )

( f

h h x x f

h x f

x f h

h x x x

f h

x x

f x

26

PENS-ITS 27

Polinom Interpolasi

Newton Gregory

28

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm

285)

• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

0

PENS-ITS 29

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm

286)

• Mengingat

• Maka selanjutnya

30

Kaidah Simpson 1/3 (total)

Ltotal =

PENS-ITS 31

Metode Integrasi

Simpson 1/3

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

• Disyaratkan jml pias (n) genap

f f f  h f f f  h f f f  hf_n f_n f_n

h

L ₀ ₁ ₂  ₂ ₃ ₄  ₄ ₅  ₆   _24 _1

3 ... 4

3 4

3 4

3

    

  

 



 _{  n}

genap i i ganjil

i i

f f

f f

h

L ₀ 4 2

3

N = 0 – n

32

Contoh

• Hitung integral

_

1

0

3

2

x

dx

L_total

L_total = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10))

= 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864

+2.744+2.048+5.832+2)

= 0.0333333 * 15

= 0.5

Nilai eksak = | = 0.5

Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0

4 2

PENS-ITS 33

Aturan Simpson 3/8

Aturan Simpson 3/8

 _{Aproksimasi dengan fungsi kubik}

34

Metode Integrasi

Simpson 3/ 8

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

 f f f f  h f f f f  h h f_n f_n f_n f_n

h

L  ₀  ₁  ₂  ₃  ₃  ₄  ₅  ₆    _3 3 _2 3 _1 

8 3 ... 8

3 3

3 8

3 3

3 8

3

N = 0 – n

PENS-ITS 35

Latihan Soal

• Hitung Integral dengan menggunakan

– Integral Reimann – Integrasi Trapezoida

– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8

dx ex



_

1

0 1

36

Metode Integrasi Gauss

• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)



berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan

batasan :

– h sama

– Luas dihitung dari a sampai b

PENS-ITS 37

Metode Integrasi Gauss

• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1  menjadi metode trapezoida

• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut

sehingga error integrasinya minimum

38

Metode Integrasi Gauss

• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah

yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.

• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier.

• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

PENS-ITS 39

Metode Integrasi Gauss

40

577350269 .

0 3

1

577350269 .

Sehingga :

apabila dipecahkan menghasilkan

Sekarang sudah

PENS-ITS 41

Metode Integrasi Gauss

• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan

mengevaluasi nilai fungsi g pada danx 1 3

) 3

1 ( )

3 1 ( )

(

1

1

 







g g

dx x f

3 1

 

42

Transformasi

• Range [a,b]



[-1,1]

• x



u

• f(x)



g(u)

• dx



du





b

a

i

f

x

dx

L

(

)

_





1

1

)

(

u

du

g

PENS-ITS 43

Transformasi

44

Transformasi

PENS-ITS 45

Analisa

• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. • Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi





1

1

46

Integrasi Kuadratur Gauss

dgn Pendekatan 2 titik

(1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:

48

Metode Gauss Legendre 3 Titik

• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran

bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi berikut :

• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan

)

774596669 .

0 5

3 0

PENS-ITS 49

Metode Gauss Legendre 3

Titik

 

_











































5

3

9

5

0

9

8

5

3

9

5

)

(

1

1

g

g

g

du

u

g

50

Algoritma Metode Integrasi Gauss

dengan Pendekatan 3 Titik

(1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) Tentukan fungsi f(u) :

(5) Hitung:

PENS-ITS 51

52

Beberapa Penerapan Integrasi

Numerik

•

_{Menghitung Luas Daerah Berdasarkan}

Gambar

PENS-ITS 53

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 5 10

6

3

54

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 ganjil

PENS-ITS 55

Benda Putar

• Luas benda putar:

• Volume benda putar:





b

a

p f x dx

L 2



( )









b

a

p f x dx

56

Contoh :

• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

• Bagian I:

• Bagian III:

4 c m

6 c m

7 c m 12

c m 7

c m 5 c m

I II III IV

satuan dalam cm

 (4)(7) 56 2  

I

L _(4)(7)2 _196

 

I

V

 



 12 (12) 288

2 



III

PENS-ITS 57

Contoh :

• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

• Pada bagian II dan IV: dan

• Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:



 2 108

2 2 )

( 4

1 5

0  

  

 

 

 



i i IV

II y y y

h L

L

   2 1187.5

2

4 1

2 2

5 2

0  

  

 

 



 



i i IV

II y y y

h V

V

IV II L

L 

58

Contoh :

• Luas permukaan dari botol adalah:

• Luas = 1758.4 cm2 • Volume botol adalah:

• Volume = 18924.78 cm3

4 . 1758

560

108 288

108 56

 

 

 

 

 



 

 

IV III

II

I L L L

L L



 

 

6024

5 . 1187 3456

5 . 1187 196



 

 

 



V_I V_II V_III V_IV