PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC GOAL PROGRAMMING: STUDI KASUS PADA PEMAKAIAN BAHAN BAKAR DI PLTGU PT PJB UP GRESIK

PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC GOAL

PROGRAMMING: STUDI KASUS PADA PEMAKAIAN

BAHAN BAKAR DI PLTGU PT PJB UP GRESIK

Rina Puspitaningrum (1207100052)

Dosen Pembimbing:

Salah satu penghasil listrik di Pulau Jawa dan Bali

adalah PT PJB UP Gresik, dengan PLTGU sebagai salah satu unitnya.

Kendala utama yang sering dihadapi perusahaan tersebut adalah masalah ketersediaan bahan bakar gas.

PLTGU menggunakan dua jenis bahan bakar: - Gas (BB utama)

BB Gas:

- Ketakteraturan pasokan

- Harga relatif murah

BB Minyak HSD:

- Bahan bakar cadangan pengganti gas

- Harga relatif mahal Bagaimana komposisi kedua BB tersebut?

Biaya produksi minimum

Pemenuhan beban maksimum

Dalam Tugas Akhir ini, yang digunakan untuk

memodelkan masalah tersebut adalah Stochastic

Goal Programming.

Masalah yang dibahas berkaitan dengan

ketidakpastian (variabel random), sehingga tidak bisa diselesaikan dengan Goal Programming biasa atau

Penelitian sebelumnya untuk masalah ketidakpastian

- Chance contrained programming (CCP)

Kurang pas diterapkan pada masalah ketidakpastian dengan kasus-kasus yang rumit. (Bravo dan Gonzales,

2009)

- Fuzzy goal programming (FGP)

Sulit mengestimasi membership function & terlalu banyak cara untuk menginterpretasi aturan-aturan

SGP sangat cocok untuk memodelkan

tujuan-tujuan yang saling bertentangan (Munoz & Ruiz, 2009; Ben Abdelaziz et al., 2007).

Proses perhitungannya tidak memerlukan

kalkulasi yang rumit karena masalah stokastik yang ada telah direduksi ke dalam bentuk

kuadratik dengan kendala-kendala linear (Ballestero, 2001).

Bagaimana memodelkan masalah bahan bakar di PLTGU sehingga bisa mengoptimumkan komposisi penggunaan minyak HSD dan gas dengan biaya

produksi yang minimum, permintaan beban konsumen yang terpenuhi secara maksimum, dan keuntungan

yang maksimum.

Bagaimana menyelesaikan model yang telah didapatkan dengan menggunakan metode stochastic goal

Data yang digunakan meliputi laporan pemakaian harian bahan bakar minyak HSD dan gas pada unit

PLTGU, produksi beban, permintaan beban konsumen, harga bahan bakar, biaya produksi, serta harga jual

beban dari bulan Januari-Juni 2010.

Pembobotan yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah pembobotan dengan koefisien Absolute Risk

Memodelkan masalah bahan bakar di PLTGU sehingga bisa mengoptimumkan komposisi penggunaan minyak HSD dan gas dengan biaya produksi yang minimum, permintaan beban konsumen yang terpenuhi secara maksimum, dan keuntungan yang maksimum.

Menyelesaikan model yang telah didapatkan dengan menggunakan metode stochastic goal programming.

Dapat memberikan kontribusi pada matematika khususnya studi tentang pemodelan multi-tujuan dengan ketidakpastian data.

Mampu dipakai sebagai acuan bagi perusahaan guna menentukan komposisi bahan bakar paling efektif

pada proses produksi listrik di PLTGU.

TINJAUAN

PUSTAKA

Ballestero (2001) memformulasikan tujuan SGP sebagai berikut: 𝑔_𝑗 = 𝜉_𝑖𝑗 𝑥_𝑖 , 𝑗 = 1,2, … 𝑛, 𝑚 𝑖=1 (2.1)

dengan g_j adalah fungsi tujuan ke-j, x_i adalah variabel keputusan ke-i, dan



_ij adalah variabel

random dari fungsi tujuan ke-j dan variabel keputusan ke-i

Data yang digunakan tidak pasti  pembuatan modelnya membutuhkan ekspektasi  stokastik

Dihubungkan dengan fungsi tujuan pada (2.1), menjadi: (2.2) 𝐸𝑢 𝜉_𝑗𝑖 𝑥_𝑖 𝑚 𝑖=1 , 𝑗 = 1,2, … 𝑛

Fungsi tujuan dengan permasalahan stokastik tersebut didefinisikan sebagai fungsi kegunaan:

Salah satu perhitungan risk aversion adalah koefisien

Absolute Risk Aversion (ARA), yaitu:

𝑅_𝐴𝑗 = − 𝑢_𝑗′′ 𝑔_𝑗 𝑢_𝑗′ 𝑔_𝑗 (2.3) Perumusan Exponential Utility dari ARA diberikan oleh:

dengan



adalah konstanta positif yang

merepresentasikan derajat ARA (Levy, 2006).

(Ballestero, 2001)

(2.5)

dengan X adalah vektor baris dari variabel keputusan dan XT _{adalah matriks transpos dari X.}

V adalah matriks variabilitas yang didapat dari

penjumlahan matriks kovarians V_j.

dengan



_j adalah bobot preferensi dari pembuat

keputusan dan R_Aj adalah koefisien ARA (Bravo & Gonzalez, 2009).

𝑉 = 𝑤

_𝑗

𝑉

_𝑗 𝑛 𝑗 =1

= 𝛼

_𝑗

𝑅

_𝐴𝑗

𝑉

_𝑗 𝑛 𝑗 =1 (2.7)

a dan b menunjukkan posisi bahan bakar pada

baris ke-a dan kolom ke-b dalam matriks. Sehingga didapatkan matriks kovarians V_j :

𝑉_𝑗 = 𝑐𝑜𝑣 𝜉𝑗1, 𝜉𝑗1 𝑐𝑜𝑣 𝜉𝑗1, 𝜉𝑗2 … 𝑐𝑜𝑣 𝜉𝑗1, 𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗2, 𝜉_𝑗1 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗2, 𝜉_𝑗2 … 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗2, 𝜉_𝑗𝑛 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗𝑛 , 𝜉_𝑗1 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗𝑛 , 𝜉_{𝑗1 …}⋱ ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝜉_𝑗𝑛 , 𝜉_𝑗𝑛 (2.8)

𝑐𝑜𝑣 𝜉

_𝑗𝑎

, 𝜉

_𝑗𝑏

= 𝐸 𝜉

_𝑗𝑎

. 𝜉

_𝑗𝑏

− 𝐸 𝜉

_𝑗𝑎

. 𝐸 𝜉

_𝑗𝑏

Matriks Hessian adalah matriks kuadrat dari

turunan kedua parsial dari suatu fungsi (Binmore & Davies, 2007). 𝐻 𝑓 = 𝜕2𝑓 𝜕𝑥₁2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥₁𝜕𝑥₂ … 𝜕2_𝑓 𝜕𝑥₁𝜕𝑥_𝑛 𝜕2𝑓 𝜕𝑥₂𝜕𝑥₁ 𝜕2𝑓 𝜕𝑥₂2 … 𝜕2_𝑓 𝜕𝑥₂𝜕𝑥_𝑛 ⋮ 𝜕2𝑓 𝜕𝑥_𝑛𝜕𝑥₁ ⋮ 𝜕2𝑓 𝜕𝑥_𝑛𝜕𝑥₂ ⋱ … ⋮ 𝜕2𝑓 𝜕𝑥_𝑛2 (2.9)

METODOLOGI

PENELITIAN

a. Identifikasi Permasalahan

b. Studi Literatur

Mengobservasi permasalahan mendasar yang sering dialami oleh PT PJB.

Mempelajari teori dasar, yaitu SGP dan

1. Data harga bahan bakar minyak HSD dan gas bulan Januari-Juni 2010

2. Data biaya produksi beban bulan Januari-Juni 2010

3. Data pemakaian bahan bakar minyak HSD dan gas bulan Januari-Juni 2010

4. Data produksi beban pada masing-masing unit dengan minyak HSD dan gas bulan Januari-Juni 2010

5. Data permintaan beban pada masing-masing unit bulan Januari-Juni 2010

6. Data harga jual beban masing-masing unit dengan minyak HSD dan gas bulan Januari-Juni 2010

a. Mendefinisikan Fungsi Tujuan

Masalah yang ada dianalisa, dan didefinisikan ke dalam bentuk matematis.

b. Menganalisa Konstanta

Nilai konstantanya, seperti kapasitas total, dead

stock, dan kapasitas efektif digunakan sebagai

nilai ruas kanan dari kendala tambahan.

c. Merumuskan Fungsi Kendala

Menjadikan variabel random sebagai nilai ruas kanan dari kendala tujuan dan konstanta

sebagai nilai ruas kanan dari kendala tambahan.

a. Menentukan Bobot

Pembobotannya menggunakan koefisien ARA dan preferensi dari pembuat keputusan.

e. Menghitung Matriks Kovarians

c. Memformulasikan Model Mean-Varians

Semua fungsi kendala yang telah dirumuskan dihubungkan dengan minimisasi XVXT

sehingga didapatkan formulasi lengkap dari SGP.

Setelah proses memodelkan selesai, akan

dilakukan perhitungan model dengan quadprog, yaitu salah satu fitur dari Matlab.

ANALISA DAN

PEMBAHASAN

Kelangkaan BBG sebagai Bahan Bakar Utama Produksi Listrik di PLTGU

Penggunaan BBM sebagai

Alternatif Bahan Bakar Cadangan Perpaduan Kedua Jenis Bahan

Bakar untuk Produksi Listrik yang Optimal

UNIT KAPASITAS TANGKI (liter) DEAD STOCK (liter) KAPASITAS EFEKTIF (liter) 1 2 3 4=2-3 PLTGU / HSD Receiving Tank 1 20,000,000 1,037,494 18,962,506 2 20,000,000 1,025,818 18,974,182 Storage Tank 1 20,000,000 2,725,274 17,274,726 2 20,000,000 2,708,964 17,291,036 TOTAL 80,000,000 7,497,550 72,502,450

Konsumsi per hari pada 100% load: 3,200,000 liter

dengan

x_i : variabel keputusan dari bahan bakar i

ξ_ij : nilai variabel random dari fungsi tujuan ke-j dan

jenis bahan bakar i

Berdasarkan persamaan (2.2), didapatkan:

𝐸𝑢 𝜉

_𝑗𝑖

𝑥

_𝑖

2

𝑖=1

Variabel Keterangan

𝑥₁ Jumlah pemakaian bahan bakar minyak HSD (dalam Kcal)

𝑥₂ Jumlah pemakaian bahan bakar gas (dalam Kcal)

Fungsi tujuan pertama:

meminimumkan biaya produksi 𝐸𝑢 𝜉1𝑖𝑥𝑖

2 𝑖=1

Fungsi tujuan kedua:

memaksimumkan pemenuhan permintaan beban konsumen

𝐸𝑢 𝜉_2𝑖𝑥_𝑖

2

𝑖=1

Fungsi tujuan ketiga:

memaksimumkan keuntungan 𝐸𝑢 𝜉3𝑖𝑥𝑖

2 𝑖=1

Fungsi Tujuan Variabel

Random Keterangan

Fungsi Tujuan Pertama

𝜉₁₁ variabel random dari harga bahan bakar minyak HSD

𝜉₁₂ variabel random dari harga bahan bakar gas

Fungsi Tujuan Kedua

𝜉₂₁ variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar minyak HSD

𝜉₂₂ variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar gas

Fungsi Tujuan Ketiga

𝜉₃₁

variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar minyak HSD

𝜉₃₂

variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar gas

Fungsi tujuan g_j berubah menjadi kendala tujuan:

Biaya produksi

𝜉

₁₁

𝑥

₁

+ 𝜉

₁₂

𝑥

₂

≤ 𝑡

₁

Pemenuhan

beban

𝜉

21

𝑥

1

+ 𝜉

22

𝑥

2

≥ 𝑡

2

Target Keterangan

𝑡₁ Nilai harapan dari biaya produksi 𝑡₂ Nilai harapan dari permintaan beban

konsumen

Biaya produksi memiliki prinsip

“the more

the worse”

sehingga berdasarkan

persamaan (2.6), kendala tujuan pertama

harus diubah menjadi:

dengan g₁0 _{: biaya produksi tertinggi yang}

didapatkan dari data

Kendala

Tujuan Data dan Nilai Mean

BBM

(𝒊 = 𝟏) (𝒊 = 𝟐) BBG Kendala

Tujuan Pertama

Harga Panas Bahan

Bakar (Rp/Kcal) 𝜉1𝑖 0.65557736 0.10440393 Biaya Produksi (1010 Rp) 𝑡₁ 0.83627167 𝑔₁0 2.14736133 Kendala Tujuan Kedua Produksi Beban/Pemakaian Bahan Bakar (KWh/Kcal) 𝜉_2𝑖 0.00047397 0.00061699 Permintaan Beban (1010 KWh) 𝑡₂ 0.00253416 𝑔₂0 - Kendala Tujuan Ketiga

Harga Jual Beban

(Rp/KWh) 𝜉3𝑖 2.80315810 0.31226562 Biaya Produksi

(1010 Rp)

𝑡₃ 0.83627167

Kapasitas tangki 80,000,000 liter

Dead stock _{7,491,550 liter}

Kapasitas efektif

kapasitas tangki - deadstock (72,502,450 liter)

(66.45871827 Kcal)

1. Kendala tujuan pertama

2.14736133 − 0.65557736 𝑥₁ + 0.10440393 𝑥₂ ≥ 0.83627167

0.65557736 𝑥₁ + 0.10440393 𝑥₂ ≤ 1.31108966

(dalam 1010 _rupiah)

2. Kendala tujuan kedua

0.00047397 𝑥₁ + 0.00061699 𝑥₂ ≥ 0.00253416

(dalam 1010 _KWh)

3. Kendala tujuan ketiga

2.80315810 𝑥₁ + 0.31226562 𝑥₂ ≥ 0.83627167

4. Kendala pemakaian bahan bakar minyak Pemakaian bahan bakar minyak tidak

diperbolehkan melebihi kapasitas efektif.

𝑥₁ ≤ 66.45871827

(dalam 1010 _Kcal)

5. Kendala pemakaian bahan bakar

Pemakaian bahan bakar diharapkan tidak akan

melebihi expected value dari pemakaian bahan bakar total.

(dalam 1010 _Kcal)

6. Kendala pemakaian bahan bakar minyak

Pemakaian bahan bakar minyak yang ideal adalah tidak akan melebihi konsumsi HSD maks.

𝑥₁ ≤ 2.93325120

(dalam 1010 _Kcal)

7. Kondisi taknegatif dari tiap-tiap variabel.

1. Fungsi tujuan pertama

Berdasarkan (2.3) dan (2.4), didapatkan koef. ARA dari:

𝑢 𝑥₂ = 1 − 𝑒− 0.65557736 𝑥₁+0.10440393 𝑥₂

𝑢 𝑥₂ = 0.10440393𝑒− 0.65557736 𝑥₁+0.10440393 𝑥₂

𝑢 𝑥₂ = −0.04107111𝑒− 0.655577 36 𝑥₁+0.10440393 𝑥₂

𝑅_𝐴1 = −𝑢′ ′ 𝑥2

𝑢′ 𝑥₂ = 0.10440393

Dengan cara yang sama diperoleh: 2. Fungsi tujuan kedua

3. Fungsi tujuan ketiga

𝑅_𝐴2 = − 𝑢′ ′ 𝑥2

𝑢′ 𝑥₂ = 0.00061699

𝑅_𝐴3 = − 𝑢′′ 𝑥2

Ketiga fungsi tujuan mendapatkan prioritas kepentingan yang sama, preferensi atau

pembobotannya seimbang, yaitu _j = 1/3 = 0.33333333.

Sehingga, perhitungan w_j adalah:

𝑤₁ = 𝛼₁ × 𝑅_𝐴1 = 0.33333333 × 0.10440393 = 0.03480131 𝑤₂ = 𝛼₂ × 𝑅_𝐴2 = 0.33333333 × 0.00061699 = 0.00020566 𝑤₃ = 𝛼₃ × 𝑅_𝐴3 = 0.33333333 × 0.31226562 = 0.10408854

1. Matriks kovarian V₁

Sesuai persamaan (2.8), didapatkan:

𝑐𝑜𝑣 𝜉₁₁, 𝜉₁₁ = 𝐸 𝜉₁₁2 − 𝐸(𝜉₁₁)2 = 0.43131349 − 0.65557736 2 = 0.00153182 𝑐𝑜𝑣 𝜉₁₂, 𝜉₁₂ = 𝐸 𝜉₁₂2 − 𝐸 𝜉₁₂ 2 = 0.08703000 − 0.10440393 2 = 0.07612982 𝑐𝑜𝑣 𝜉₁₁, 𝜉₁₂ = 𝐸 𝜉₁₁. 𝜉₁₂ − 𝐸 𝜉₁₁ . 𝐸 𝜉₁₂ = 0.06820033 − 0.65557736 × 0.10440393 = −0.00024452 𝑐𝑜𝑣 𝜉₁₂, 𝜉₁₁ = 𝑐𝑜𝑣 𝜉₁₁, 𝜉₁₂ = −0.00024452

𝑉₁ = 0.00153182 −0.00024452 −0.00024452 0.04595889

Dengan cara yang sama diperoleh: 2. Matriks kovarians V₂ 𝑉₂ = 0.00000089 0.00000002 0.00000002 0.00000069 𝑉₃ = 0.07433117 −0.00183805 −0.00183805 0.00106235 3. Matriks kovarians V₃

Sehingga berdasarkan persamaan (2.7) diperoleh:

𝑉 = 𝑤₁𝑉₁ + 𝑤₂𝑉₂ + 𝑤₃𝑉₃

= 0.00779033 −0.00019983

𝑋𝑉𝑋𝑇 = 𝑥1 𝑥2 0.00779033 −0.00019983

−0.00019983 0.00171001 𝑥1 𝑥2 𝑇

Sehingga formulasi SGP lengkap dari pemakaian bahan bakar di PLTGU: min 0.00779033 𝑥₁2 − 0.00039966 𝑥₁𝑥₂ + 0.00171001 𝑥₂2 dengan kendala 0.65557736 𝑥₁ + 0.10440393 𝑥₂ ≤ 1.31108966 (dalam 1010 Rupiah) 0.00047397 𝑥₁ + 0.00061699 𝑥₂ ≥ 0.00253416 (dalam 1010 KWh) 2.80315810 𝑥₁ + 0.31226562 𝑥₂ ≥ 0.83627167 (dalam 1010 Rupiah) 𝑥₁ + 𝑥₂ ≤ 5.38088742 (dalam 1010 Kcal) 𝑥₁ ≤ 2.93325120 (dalam 1010 Kcal) 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0

𝐻 = 0.00818999 −0.00039966 −0.00039966 0.00342002

dengan H adalah matriks Hessian dari XVXT

dan

𝑄 = 0 0

mewakili bentuk linear dari XVXT_.

Agar bisa dihitung dengan Matlab, persamaan kuadrat

pada min XVXT _{harus diubah ke dalam notasi matriks}

. Sehingga sesuai persamaan (2.9) didapatkan: f x x  XHXT  XQ

2 1 ) , ( _{1 2}

Dari Matlab diketahui bahwa hasil dari perhitungan adalah: 𝑥₁ = 1.1488. 1010 = 11,488,000,000 (dalam Kcal) 𝑥₂ = 3.2248.1010 = 32,248,000,000 (dalam Kcal)

Dimasukkan ke dalam masing-masing fungsi kendala didapat:

- Kendala pemakaian bahan bakar total

𝑥₁ = 1.1488 . 1010 dan 𝑥₂ = 3.2248 . 1010 dimasukkan

ke dalam persamaan 4.13, sehingga

Pemakaian BB total = 1.1488 . 1010 + 3.2248 . 1010

= 4.3736. 1010

= 43,736,000,000 (dalam Kcal)

- Kendala pemakaian bahan bakar minyak

Pemakaian BB minyak = 1.1488. 1010

- Kendala tujuan pertama:

𝑥₁ = 1.1488 . 1010 dan 𝑥₂ = 3.2248 . 1010 dimasukkan ke dalam persamaan 4.9, sehingga

Biaya produksi = 0.75312727. 1010 _{+ 0.33668179. 10}10

= 1.08980906 . 1010

= 10,898,090,600 (dalam Rupiah) - Kendala tujuan kedua:

𝑥₁ = 1.1488 . 1010 _{dan 𝑥}

2 = 3.2248 . 1010 dimasukkan ke

dalam persamaan 4.10, sehingga

Pemenuhan beban = 0.00054450. 1010 + 0.00198967. 1010 = 0.00253417. 1010

= 25,341,700 (dalam KWh) - Kendala tujuan ketiga:

𝑥₁ = 1.1488 . 1010 dan 𝑥₂ = 3.2248 . 1010 dimasukkan ke dalam persamaan 4.11, sehingga

Keuntungan = 3.21802550. 1010 + 1.00699417. 1010 = 4.2501967. 1010

Kendala Target/Batasan Hasil Pemakaian Bahan Bakar Total 53,808,874,200 43,736,000,000 Pemakaian Bahan Bakar Minyak 29,332,512,000 11,488,000,000 Kendala Tujuan Pertama 13,110,896,600 10,898,090,600 Kendala Tujuan Kedua 25,341,600 25,341,700 Kendala Tujuan Ketiga 8,362,716,700 42,501,967,000

KESIMPULAN DAN

SARAN

Didapatkan pemodelan SGP sebagai berikut: min 0.00779033 𝑥₁2 _{− −0.00039966 𝑥} 1𝑥2 + 0.00171001 𝑥22 dengan kendala 0.65557736 𝑥₁ + 0.10440393 𝑥₂ ≤ 1.31108966 (dalam 1010 Rupiah) 0.00047397 𝑥₁ + 0.00061699 𝑥₂ ≥ 0.00253416 (dalam 1010 KWh) 2.80315810 𝑥₁ + 0.31226562 𝑥₂ ≥ 0.83627167 (dalam 1010 Rupiah) 𝑥₁ + 𝑥₂ ≤ 5.38088742 (dalam 1010 Kcal) 𝑥₁ ≤ 2.93325120 (dalam 1010 Kcal) 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0

Dari hasil pemodelan tersebut, didapatkan perhitungan-perhitungan, antara lain:

1. Pada kendala pemakaian bahan bakar, selisih nilai sebesar 10,072,874,200 menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan

penghematan bahan bakar total sebesar 18.72%.

2. Pada kendala pemakaian minyak, selisih nilai sebesar 17,844,512,000 menunjukkan bahwa hasil dari

pemodelan SGP telah menghasilkan penghematan bahan bakar minyak sebesar 60.84%.

3. Kendala tujuan pertama

Selisih nilai sebesar 2,212,806,000 menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan penurunan biaya produksi sebesar 16.88%.

4. Kendala tujuan kedua

Selisih nilai yang hanya sebesar 100 menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah memenuhi permintaan beban konsumen secara optimum, yaitu sebesar

100.0004%.

5. Kendala tujuan ketiga

Selisih nilai sebesar 34,139,250,300 menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan

1. Pada pemodelan ini, hanya digunakan tiga fungsi tujuan dengan beberapa kendala tambahan. Dengan melakukan analisa lebih dalam, diharapkan praktikan selanjutnya akan mampu mememukan faktor-faktor lain yang mempengaruhi proses produksi tersebut, sehingga pemodelan berjalan

dengan lebih baik dan akurat.

2. Pada Tugas Akhir ini penulis hanya menggunakan dua jenis pembobotan yaitu pembobotan ARA dan preferensi dari

pembuat keputusan. Sangat diharapkan praktikan berikutnya mampu mengaplikasikan pembobotan lain yang lebih akurat namun sederhana.

Bagian Bahan Bakar PLTGU, 2010. Laporan Harian Pemakaian

Bahan Bakar PLTGU. Gresik: PT PJB UP Gresik.

Ballestero, E., 2001. Stochastic goal programming: A

mean-variance approach. European Journal of Operational Research, 131, 476-481.

Ben Abdelaziz, F., Aoni, B. & El Fayedh, R., 2007. Multi-objective stochastic programming for portfolio selection. European Journal

of Operational Research, 177, 1811–1823.

Binmore, K. & Davies, J., 2007. Calculus Concepts and Methods. Cambridge: Cambridge University Press.

Bravo, M. & Gonzales, I., 2009. Applying stochastic goal

programming: A case study on water use planning. European

Journal of Operational Research, 196, 1123-1129.

Levy, H., 2006. Stochastic Dominance: Investment Decision

Making under Uncertainty. New York: Springer.

Munoz, M. M. & Ruiz, F., 2009. ITSMO: An interval reference point-based method for stochastic multiobjective.

Russell, S. & Norvig, P., 2006. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic,

Chapter 14.7. Diakses dari www.cs.uiowa.org tanggal 29 Mei 2011.