KAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN PSEUDO VERTEX-MAGIC. m m n 2. Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf G dengan n-titik dan

30

BAB IV

KAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN

PSEUDO VERTEX-MAGIC

IV.1

Batas Bawah Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo

Edge-Magic

Teorema 4.1.11 Nilai magic number terkecil dalam pelabelan pseudo vertex-magic

sebuah graf G dengan n-titik dan m-sisi adalah :

(

1

)

1

(

1

)

2

m

m

m

n

n

+

+

+

+

Bukti :

Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf G dengan n-titik dan m-sisi, dengan nilai magic number κ, maka untuk setiap titik v V∈ berlaku

( )

( )

( ) vx E v v vx κ λ λ ∈ = +

∑

, sehingga

( )

( )

( ) . v V vx E v n v vx κ λ λ ∈ ∈ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

. Karena setiap

sisi terkait dengan dua buah titik, maka

( )

( ) 2 ( )

( )

v V vx E v vw E v vx vw λ λ ∈ ∈ ∈ =

∑ ∑

∑

sehingga :

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

. 2 v V vx E v vw E v v V n v vx vw v κ λ λ λ λ ∈ ∈ ∈ ∈ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ + ⎟_⎟= + ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

1 _{Wood 2006 [9]}

31 Persamaan tersebut akan minimal bila setiap sisi diberikan label yang kecil dan setiap titik diberikan label yang besar. Karena semua label adalah bilangan bulat positif, maka :

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 . 2 1 2 1 . 1 2 2 m n i j n i m m m m n n n κ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥ + + = _⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

Dengan membagi kedua ruas dengan n, maka didapat :

(

1

)

1

(

1

)

2 m m m n n κ ≥⎛_⎜ + ⎞ ⎛_{⎟ ⎜}+ + + ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Akibat 4.1.12 Nilai magic number minimal untuk pelabelan pseudo vertex-magic

untuk sebuah graf ∆-reguler dengan n-titik dan m-sisi adalah :

(

)

1

1

1

1

2

m

2

n

⎛

_{∆ +}

⎞

₊

_{+ + ∆}

⎜

⎟

⎝

⎠

Bukti :

Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf ∆-reguler dengan n-titik dan m-sisi serta memiliki nilai magic number κ. Menurut Teorema 4.1.1, maka :

(

1

)

1

(

1

)

2 m m m n n κ ≥⎛_⎜ + ⎞ ⎛_{⎟ ⎜}+ + + ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Karena graf adalah merupakan ∆-regular, maka 1. . 2 m = n∆ sehingga : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 _{1 1 1 1} 2 2 2 n m m n m m n n κ ⎛ _∆ ⎞ ⎜ ⎟ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ≥ _⎜ + _⎟ + _⎜ + + _⎟ = ∆ + + _⎜ + + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(

)

1 1 1 1 2 m 2 n ⎛ ⎞ =_⎜ ∆ + _⎟ + + + ∆ ⎝ ⎠ 2 _{Wood 2006 [9]}

IV.3

Algoritma Pelabelan Total Pseudo Edge-Magic

Algoritma yang digunakan untuk melakukan pelabelan pseudo vertex-magic ini terbagi menjadi empat tahap. Tahap pertama adalah mencari Spanning Tree dari graf G=(V,E) yang diberikan. Tahap kedua adalah melakukan pelabelan sisi dengan menggunakan Pseudo Vertex-Antimagic Tree Edge-Labeling. Kemudian setelah semua sisi dalam Tree selesai dilabeli, pelabelan dilanjutkan dengan melabeli sisi-sisi yang belum dilabeli dari graf G=(V,E) dengan menggunakan algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling. Tahap terakhir setelah semua sisi dalam graf dilabeli adalah melabeli titikdengan menggunakan algoritma Extend Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling.

IV.2.1 Algoritma Mencari Spanning Tree

Langkah pertama dalam melakukan pelabelan pseudo vertex-magic adalah dengan mencari sebuah spanning tree dari graf G yang diberikan. Kita dapat mencari sebuah spanning tree dengan menggunakan algoritma berikut :

Masukan : Graf G=(V,E) dengan n-titik dan m-sisi Keluaran : Spanning Tree T=(V,E’) dengan E'⊆ E Langkah-langkah :

33 2. Untuk i=1,2,...,n-1

¾ Semua titik yang berjarak 1 dari titik berjarak i dari titik awal dan belum termuat dalam Spanning Tree beserta sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut dimasukkan ke dalam Spanning Tree

Di akhir iterasi ini kita akan mendapatkan sebuah spanning tree dari graf G yang diberikan untuk selanjutnya kita gunakan dalam pelabelan.

IV.2.2 Algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Tree Edge-Labeling

Langkah kedua dalam melakukan pelabelan pseudo vertex-magic ini adalah pelakukan pelabelan sisi pseudo vertex-antimagic pada spanning tree yang kita dapatkan dari algoritma di atas dengan menggunakan algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling di bawah ini :

Masukan : Spanning Tree T=(V,E’) dengan

Keluaran : Pelabelan titik vertex-antimagic pada spanning tree Langkah-langkah :

1. Ambil sebuah titik r V∈ berderajat lebih dari 1 sebagai root 2. Untuk i = 1,2,...,n-1

¾ Untuk setiap sisi vw∈E'dengan v sebagai titik awal (parent) dan jarak w ke r adalah i :

9 Ambil label λ

( )

vw sebagai suabu bilangan bulat positif L sehingga : — Untuk semua sisi xy∈ yang telah terlabeli, E L ≠λ

( )

xy — Untuk semua titik x V∈ \

{

v w,

}

, L ≠ S_x −S_vdan L ≠ S_x

Dengan _v

( )

vx V

S λ vx

∈ =

∑

Setelah algoritma ini berakhir, akan didapatkan pelabelan sisi pseudo vertex-magic pada spanning tree yang akan kita gunakan dalam algoritma selanjutnya untuk melabeli sisi-sisi yang belum terlabeli dari algoritma ini.

IV.2.3 Algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling

Setelah mendapatkan pelabelan sisi pada spanning tree, maka kita lakukan pelabelan pada sisi-sisi yang tersisa, yaitu pada sisi vw∈E E\ ' dengan menggunakan algoritma seperti di bawah ini :

Masukan : Pseudo Vertex-Antimagic Tree Edge-Labeling pada Graf G Keluaran : Pelabelan sisi vertex-antimagic pada graf G=(V,E)

35 1. Untuk setiap sisi vw∈E E\ ', labeli λ

( )

vw sebagai bilangan bulat positif

terkecil L sedemikian sehingga :

¾ Untuk semua sisi xy∈E L, ≠λ

( )

xy

¾ Untuk setiap titik x V∈ \

{

v w L,

}

, ≠ S_x −S_vdan L ≠ S_x −S_w

Pada akhir algoritma ini akan didapatkan pelabelan sisi pada graf yang diberikan, yang kita butuhkan untuk mendapatkan pelabelan total pseudo vertex-magic.

IV.2.4 Algoritma Extend Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling

Langkah terakhir dalam proses pelabelan total pseudo vertex-magic adalah pelabelan titik pada graf G=(V,E) dengan menggunakan pelabelan sisi yang telah kita dapatkan. Algoritma yang digunakan untuk melakukan pelabelan titik ini adalah seperti di bawah ini :

Masukan : Greedy Vertex-Antimagic Edge-Labeling dari graf G=(V,E) Keluaran : Pelabelan total pseudo vertex-antimagic pada graf G=(V,E) Langkah-langkah :

1. Ambil nilai Λ sebagai nilai label sisi _E λ

( )

vw yang terbesar dari semua vw E∈

2. Ambil nilai Λ sebagai jumlah label _{V V}

( )

vx E

S λ vx

∈

=

∑

yang terbesar 3. Ambil κsebagai nilai I minimum yang memenuhi :

( )

_x, ,

I ≠λ vw S ∀ ∈x V vw E∈ dan 1Λ + ≤ ≤ Λ + Λ + _V I _{V E} 1

4. Untuk setiap sisi v V∈ nilai dari label

( )

_V

( )

vx E

v S vx

λ κ κ λ

∈

= − = −

∑

Setelah iterasi berakhir, kita akan mendapatkan sebuah pelabelan total pseudo vertex-magic untuk graf G.

IV.2.5 Contoh Algoritma Pelabelan Total Pseudo Vertex-Magic

Gambar 4.1 Mencari Spanning Tree Gambar 4.2 Pelabelan Spanning Tree

Gambar 4.3 Pelabelan Sisi Gambar 4.4 Pelabelan Total dengan κ = 8

5 4 6 1 2 3 x y r 1 2 3 x y r 1 2 v1 v2 v3

37

IV.3 Batas Atas Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo

Vertex-Magic

Lemma 4.3.13 Jika λ adalah sebuah pelabelan pseudo vertex-magic, ambil ΛE adalah

label terbesar dari λ(vw) untuk setiap vw∈E dan ΛV adalah jumlah label terbesar

dari

( )

vx V

vx

λ

∈

∑

untuk setiap v V∈ , maka nilai maksimum magic number dari pelabelan λ adalah

(

∆ + Λ1

)

_E

Bukti :

Seperti pada pembuktian Lemma 3.3.1 pastilah 1Λ + adalah label terkecil yang _E belum digunakan dan karena Λ adalah jumlah label sisi terbesar yang terkait suatu _V titik, maka pastilah Λ + Λ + adalah suatu magic number yang cukup besar _{V E} 1 sehingga ada κ ≤ Λ + Λ + . Ambil sebuah titik _{E V} 1 v V∈ yang memenuhi

( )

V vx V vx λ ∈ = Λ

∑

.

Jika derajat titik v adalah 1, maka Λ = Λ_{E V} dan

(

)

1 2 1 3 1

E V E E E

κ ≤ Λ + Λ + = Λ + ≤ Λ ≤ ∆ + Λ , karena untuk mendapatkan

pelabelan pseudo vertex-magic jumlah titik dalam graf haruslah lebih dari 2 sehingga derajat tertinggi dalam graf G tersebut pastilah lebih dari 2 (∆ ≥ ). 2

Jika derajat titik v lebih dari 1, maka jumlah n buah sisi yang terkait dengan titik v pastilah lebih kecil dari jumlah n buah label terbesar sehingga

(

)

( ) deg 1 1 1 v V v E E i S i =

Λ = ≤

∑

Λ − + ≤ ∆Λ − . Selanjutnya kita substitusikan dan kita dapatkan κ ≤ Λ + Λ + ≤ ∆Λ − + Λ + = ∆ + Λ_{E V} 1

(

_E 1

)

_E 1

(

1

)

_E

Lemma 4.3.24 Algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Tree Edge-Labeling memberikan

sebuah pseudo vertex-antimagic edge-labeling dari sebuah Tree T dengan label kurang dari 3n-5

Bukti :

Sebuah Tree yang memiliki lebih dari satu sisi (berorde lebih dari 1) memiliki sebuah titik r dengan derajat lebih dari satu.misalkan sisi rx dan ry adalah sisi-sisi yang pertama dilabeli berdasarkan algoritma tersebut. Maka λ

( )

rx =1,λ

( )

ry =2 , dan

2 1 3, 1, 2

r x y

S = + = S = S = sedang semua titik v V∈ sisanya memiliki S_v = 0

Akan dibuktikan bahwa untuk semua titik v w V, ∈ yang berbeda, jika S_v =S_w maka pastilah 0S_v = =S_w

Perhatikan iterasi yang terjadi dalam pemilihan label L untuk sisi vw.karena pelabelan berjalan dari titik v sebagai parent dari titik w, maka semua sisi yang terkait dengan titik w juga belum dilabeli, dan S_w = dan 0 S_v > . Nilai 0 S akan berubah menjadi _v

'

v v

S =S + sedangkan nilai L S akan berubah menjadi _w S_w'=S_w+ dan L S tidak _x

39 berubah untuk titik yang lain. Karena S_v ≠ , maka '0 S_v =S_v+ ≠ =L L S_w' dan

'

w x

S = ≠L S demikian seterusnya iterasi berlangsung sampai semua sisi dalam Tree telah selesai terlabeli. Pada akhir iterasi ini, akan didapat nilai S_v≠S_wuntuk semua

,

v w V∈ yang berbeda.Untuk setiap edge vw, paling banyak terdapat (m-1)+2(n-2) = 3n-6 menurut Teorema 2.1, maka m = n-1, sehingga (m-1)+2(n-2) = (n-2)+2(n-2) = 3n-6 label yang tidak dapat digunakan. Karenanya, label terbesar adalah 3n-5.

Dari Lemma 4.3.1 dan Lemma 4.3.2 dapat ditarik kesimpulan :

Akibat 4.3.15 Algoritma Greedy Vertex-Antimagic Edge-Labeling dan Extend Pseudo

Vertex-Antimagic Edge-Labeling memberikan sebuah pelabelan pada graf Tree dengan n-titik yang memiliki derajat terbesar ∆ dengan nilai magic number kurang dari

(

∆ +1 3

)(

n−5

)

Teorema 4.3.16 Jika λ adalah pelabelan pseudo vertex-magic pada sebuah graf G

dengan n-titik dan m-sisi, maka nilai terbesar magic numbernya menurut algoritma Greedy Vertex-Antimagic Vertex-Labeling adalah m+2n-4.

Bukti :

5 _{Wood 2006 [14]} 6 _{Wood 2006 [15]}

Setelah mendapatkan partial edge-labeling dari algoritma Pseudo Vertex-Antimagic Tree Edge-Labeling, untuk semua titik v w V, ∈ yang berbeda, S_v ≠S_w. Misalkan pada saat pelabelan sisi yang belum terlabeli, kita melabeli suatu sisi vwdengan label L, maka nilai S_v'=S_v+ dan nilai L S_w'=S_w+ sedangkan nilai L S tidak berubah _x untuk titik x yang lain. Dengan memilih nilai L tertentu, sehingga untuk setiap titik

, ,

x V x v x w∈ ≠ ≠ , 'S_v =S_v+ ≠L S_x dan S_w'=S_w+ ≠L S_x , maka λ akan tetap

merupakan pelabelan anti-magic sampai akhir iterasi. Menurut Lemma 4.3.2, label maksimum hasil pelabelan Tree adalah 3n-5. Maka untuk setiap sisi vw E E∈ \ '

terdapat

(

m− +1

) (

2 n−2

)

= +m 2n−5 kemungkinan label yang tidak dapat dipakai. Karena G terhubung, maka nilai m+2n-5 akan selalu tidak kurang dari 3n-5, sehingga label maksimum untuk sebuah graf terhubung sembarang adalah m+2n-5.

Dari Lemma 4.3.1 dan Teorema 4.3.1 kita mendapat hasil :

Akibat 4.3.27 Algoritma Greedy Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling dan Extend

Pseudo Vertex-Antimagic Edge-Labeling memberikan sebuah pelabelan pada graf G dengan n-titik dan m-sisi yang memiliki derajat terbesar ∆ dengan nilai magic number kurang dari

(

)

(

)

3Λ =_V 3 n+ ∆ m− ∆

W

7 _{Wood 2006 [16]}