BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1Relasi Dispersi
Pada bagian ini akan dibahas relasi dispersi untuk gelombang internal pada fluida dua-lapisan.Tinjau lapisan fluida dengan 𝜌𝑎 dan 𝜌𝑏 berturut-turut merupakan kerapatan fluida pada lapisan atas dan lapisan bawah.Misalkan gelombanginternal yang ditinjau berupa gelombang monokromatik berikut
𝜂𝑏 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥 −𝜔𝑡 ),
dengan𝜔 merupakan frekuensi gelombang dank menyatakan bilangan gelombang serta A suatu konstanta.Panjang gelombang dapat ditentukan berdasarkan persamaan
𝜆 =2𝜋 𝑘.
Penyelesaian persamaan (2.20) dengan syarat batas sesuai persamaan (2.25) dinyatakan dalam bentuk
𝜙𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝐴𝑎cosh 𝑘 𝑦 − ℎ𝑎 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝜔𝑡 . (3.1a) Kemudian penyelesaian persamaan (2.21) dengan syarat batas sesuai persamaan (2.26) dinyatakan dalam bentuk
𝜙𝑏 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝐴𝑏cosh 𝑘 𝑦 + ℎ𝑏 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝜔𝑡 . (3.1b) Penurunan persamaan (3.1a) dan (3.1b) dapat dilihat pada lampiran II.
Jika persamaan (3.1a) disubstitusikan ke dalam kondisi batas kinematik pada persamaan (2.23), maka di y = 0 diperoleh
𝐴𝑎𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎 𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 = −𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 + 𝑈
𝑎𝑖𝑘𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 . (3.2a) Selanjutnya, jika persamaan (3.1b) disubstitusikan ke dalam kondisi batas kinematik pada persamaan (2.23), maka di y = 0 diperoleh
𝐴𝑏𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏 𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 = −𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 + 𝑈𝑎𝑖𝑘𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 . (3.2b) Berdasarkan persamaan (3.2a) dan (3.2b) diperoleh
𝐴𝑎 =𝑖𝐴 𝑘𝑈𝑎 − 𝜔 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎
𝐴𝑏 =𝑖𝐴 𝑘𝑈𝑏 − 𝜔
𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏 . (3.3b) Jika𝜙𝑎 dan 𝜙𝑏pada persamaan (3.1a) dan (3.1b) disubstitusikanke dalam kondisi batas dinamik pada persamaan (2.24), maka diperoleh
𝜌𝑏 𝑈𝑏 𝑖𝑘𝐴𝑏cosh(𝑘ℎ𝑏)𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 − 𝑖𝜔𝐴𝑏cosh 𝑘ℎ𝑏 𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 + 𝑔𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 = 𝜌𝑎 𝑈𝑏 −𝑖𝑘𝐴𝑎cosh(𝑘ℎ𝑎)𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡
+ 𝑖𝜔𝐴𝑎 cosh 𝑘ℎ𝑎 𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 + 𝑔𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡
+ 𝛾(𝑖𝑘)2𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 . (3.4) Jika kedua ruas pada persamaan (3.4) dibagi dengan 𝑒𝑖 𝑘𝑥 −𝜔𝑡 , maka diperoleh
𝜌𝑏 𝑈𝑏 𝑖𝑘𝐴𝑏cosh(𝑘ℎ𝑏) − 𝑖𝜔𝐴𝑏cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔𝐴
= 𝜌𝑎 𝑈𝑎 −𝑖𝑘𝐴𝑎cosh(𝑘ℎ𝑎) + 𝑖𝜔𝐴𝑎cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔𝐴 + 𝛾𝐴(𝑖𝑘)2,
atau
Jika bentuk Aadan Ab pada persamaan (3.3a) dan (3.3b) disubstitusikan ke dalam
persamaan (3.5) dan dieliminasikanA, maka diperoleh 𝜌𝑏 𝑈𝑏𝑘 − 𝜔 𝑖 𝑖 𝑘𝑈𝑏− 𝜔 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏 cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔 = 𝜌𝑎 − 𝑈𝑎𝑘 − 𝜔 𝑖 𝑖 𝑘𝑈𝑎 − 𝜔 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎 cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔 + 𝛾 𝑖𝑘 2, atau
Jika persamaan (3.6) dikalikan dengan k, maka diperoleh +𝛾𝐴(𝑖𝑘)2. (3.5) 𝜌𝑏 𝑈𝑏𝑘 − 𝜔 𝑖 𝐴𝑏cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔𝐴 = 𝜌𝑎 − 𝑈𝑎𝑘 − 𝜔 𝑖𝐴𝑎cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔𝐴 𝜌𝑏 𝑈𝑏𝑘 − 𝜔 2 −1 𝑘 tanh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔 = 𝜌𝑎 𝑈𝑎𝑘 − 𝜔 2 1 𝑘 tanh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔 +𝛾 𝑖𝑘 2. (3.6) −𝑆𝑏 𝑈𝑏𝑘 − 𝜔 2𝜌𝑏 + 𝑔𝑘𝜌𝑏−𝑆𝑎 𝑈𝑎𝑘 − 𝜔 2𝜌𝑎 − 𝑔𝑘𝜌𝑎 + 𝛾𝑘3 = 0,
(3.7) atau atau (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏)𝜔2− 2𝑘 𝑆𝑎𝑈𝑎+ 𝑆𝑏𝑈𝑏 𝜔 + 𝑘2 𝑆𝑎𝑈𝑎2+ 𝑆𝑏𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 + 𝛾𝑘3= 0, dengan 𝑆𝑎 = 𝜌𝑎 tanh 𝑘ℎ𝑎 , 𝑆𝑏 = 𝜌𝑏 tanh 𝑘ℎ𝑏 .
Persamaan (3.7) merupakan persamaan kuadrat dalam 𝜔dengan penyelesaian dalam bentuk:
𝜔𝑏 ,𝑎 𝑘 =𝑘 𝑆𝑎𝑈𝑎 + 𝑆𝑏𝑈𝑏 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ± 𝐷 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏, (3.8) dengan 𝐷 = 𝑘2 𝑆 𝑎𝑈𝑎 + 𝑆𝑏𝑈𝑏 2− (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏) 𝑘2 𝑆𝑎𝑈𝑎2+ 𝑆𝑏𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 +(𝑆𝑎 + 𝑆𝑏) 𝛾𝑘3.
Persamaan (3.8) merupakan relasi dispersi dari persamaan dasar fluida ideal yang tak berotasi.Relasi dispersi ini merupakan relasi dispersi Kelvin-Helmholtz (Visser, 2004). Relasi ini yang akan dikaji dalam penelitian ini.
3.2. Ketakstabilan Gelombang Internal
Perubahan amplitudo gelombang sangat berpengaruh pada terjadinya ketakstabilan gelombang internal.Perubahan amplitudo dapat diakibatkan oleh perubahan bilangan gelombang, frekuensi gelombang, dan kecepatan arus.Amplitudo yang meningkat secara terus menerus menyebabkan gelombang internal tidak stabil.
3.2.1. Ketakstabilan Temporal
Ketaksabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada relasi dispersi Kelvin-Helmholtz pada persamaan (3.8). Bagian imajiner dari persamaan (3.8) diperoleh bilamana (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏)2 < 0, sehingga diperoleh
𝑘2 𝑆
𝑎𝑈𝑎 + 𝑆𝑏𝑈𝑏 2− (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏) 𝑘2 𝑆𝑎𝑈𝑎2+ 𝑆𝑏𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 +(𝑆𝑎 + 𝑆𝑏)𝛾𝑘3 = 0. (3.9) 𝑆𝑏 𝑈𝑏𝑘 − 𝜔 2𝜌𝑏 − 𝑔𝑘𝜌𝑏+𝑆𝑎 𝑈𝑎𝑘 − 𝜔 2𝜌𝑎 + 𝑔𝑘𝜌𝑎 + 𝛾𝑘3 = 0,
Misalkan kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil (Ub= 0) dan tegangan
permukaan 𝛾=0, maka persamaan (3.9) menjadi: −𝑆𝑏𝑆𝑎𝑈𝑎2𝑘2+ 𝑔𝑘 𝜌
𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏) = 0. (3.10) Kestabilan temporal dihasilkan dari
−𝑆𝑏𝑆𝑎𝑈𝑎2𝑘2+ 𝑔𝑘 𝜌 𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏) < 0, atau 𝑈𝑎2 > 𝑔 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 (𝑆𝑎+ 𝑆𝑏) 𝑘𝑆𝑎𝑆𝑏 . Nilai kritis dari kestabilan temporal adalah
𝑈𝑎𝑐𝑟𝑖𝑡= 𝑔 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 (𝑆𝑎+ 𝑆𝑏)
𝑘𝑆𝑎𝑆𝑏 . (3.12) Dengan demikian kestabilan temporal terjadi bilamana |Ua| <Uacrit.
3.2.2. Ketakstabilan Spasial
Misalkan 𝛾 = 0 dan Ub = 0, maka persamaan (3.7)menjadi
(𝑆𝑎 + 𝑆𝑏)𝜔2− 2𝑘 𝑆
𝑎𝑈𝑎 𝜔 + 𝑘2 𝑆𝑎𝑈𝑎2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 = 0 (3.13) Persamaan (3.13) merupakan persamaan taklinear terhadap k yang penyelesaiannya secara analitik sulit dilakukan, untuk itu diperlukan beberapa asumsi. Misalkan diasumsikan domain fluida dua lapisan masing-masing memiliki ketebalan yang cukup besar (kha>>0 dan khb>>0), sehingga Sa = 𝜌𝑎dan Sb= 𝜌𝑏. Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (3.13) menjadi
(𝜌𝑎 + 𝜌𝑏)𝜔2− 2𝑘 𝜌
𝑎𝑈𝑎 𝜔 + 𝑘2 𝜌𝑎𝑈𝑎2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 = 0, atau
𝑘2 𝜌
𝑎𝑈𝑎2 − 𝑘 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 + 𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 𝜔2 = 0. (3.14) Persamaan (3.14) berupa persamaan kuadrat dalam k dengan penyelesaian dalam bentuk: 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 ± 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 − 4𝜌𝑎𝑈𝑎2 𝜌𝑎+ 𝜌𝑏 𝜔2 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 , (3.11)
atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 ± 4𝜌𝑎 2𝑈 𝑎2𝜔2+ 4𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 + 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2− 4𝜌𝑎𝑈𝑎2 𝜌𝑎+ 𝜌𝑏 𝜔2 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 , atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 ± (4𝜌𝑎 2𝑈 𝑎2−4𝜌𝑎𝑈𝑎2 𝜌𝑎+ 𝜌𝑏 )𝜔2+ 4𝜌𝑎𝜔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎+ 𝑔2 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 2 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 , atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = 2𝜌𝑎𝑈𝑎𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 ± (−4𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎 2)𝜔2+ 4𝜌 𝑎𝜔 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎+ 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 2𝜌𝑎𝑈𝑎2 . (3.15)
Ketakstabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada persamaan (3.15).Bagian imajiner dari persamaan (3.15) diperoleh bilamana (2𝜌𝑎𝑈𝑎2)2< 0,sehingga nilai kritis dari kestabilan spasial berbentuk
(4𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2)𝜔2 − 4𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎𝜔 − 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 = 0 (3.16) Persamaan (3.16) merupakan persamaan kuadrat dalam 𝜔 dengan penyelesaian dalam bentuk:
𝜔𝑏 ,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 =𝜌𝑎 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 𝑔 2𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎 ± (4𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎)2+ 4(4𝜌 𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2)𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 2𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2 , atau 𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 =𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 2𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎 ± 16𝜌𝑎2 𝜌 𝑏 − 𝜌𝑎 2𝑔2𝑈𝑎2+ 16𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2)𝑔2 𝜌𝑏− 𝜌𝑎 2 8𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2 , atau 𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 =𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 2𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎 ±4𝑈𝑎𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝜌𝑎𝜌𝑏 + 𝜌𝑎 2 8𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎2 ,
atau
𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 = 𝜌𝑎 ± 𝜌𝑎𝜌𝑏 + 𝜌𝑎 2 𝜌
𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔
2𝜌𝑎𝜌𝑏𝑈𝑎 . (3.17) Dengan demikian kestabilan spasial terjadi bilamana 𝜔 < 𝜔𝑏𝐶𝑟𝑖𝑡 (untuk 𝜔 > 0) dan 𝜔 > 𝜔𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 (untuk 𝜔 < 0).
3.3. PembangkitanGelombang Internal di Selat Makassar
Pada bagian ini akan diuraikan skenario pembangkitan gelombang internal di Selat Makassar. Skenario tersebut menggunakan relasi dispersi pada persamaan (3.8). Terdapat dua skenario yang akan digunakan, yaitu simulasikecepatan arus dan panjang gelombang internal yang ditinjau pada Selat Makassar.
Berikut ini akan dikaji relasi dispersi pada persamaan (3.8) dengan menggunakan beberapa asumsi yang berdasarkan data oseanografi pada Selat Makassar. Asumsi-asumsi tersebut adalah sebagai berikut:
Asumsi 1.Kedalaman pada lapisan atas adalah 300 meter, sehingga ha = 300m.
Ketebalan ha = 300mdipilih berdasarkan kondisi oseanografi Selat Makassar
dimana pada ketebalan 300 meter terjadi perubahan kerapatan yang sangat cepat. Ketebalan lapisan bawah yang ditinjau adalah hb = 1500m.
Asumsi 2.Kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil sehingga diasumsikan
Ub = 0, sedangkan kecepatan arus pada lapisan atas berubah terhadap kedalaman.
Asumsi 3.Tegangan permukaan diasumsikansama dengan nol, yaitu𝛾 = 0.
Asumsi 4.𝜌𝑏 = 1035kg
m3dan𝜌𝑎 = 1024
kg
m3. Hasil ini berdasarkan profil kerapatan
yang diberikan pada Gambar 2.3.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, maka penyelesaian dari relasi dispersi Kelvin Helmholtz pada persamaan (3.8), yaitu 𝜔𝑏(𝑘) dan 𝜔𝑎(𝑘) untuk nilai Uayang berbeda-bedadiberikan dalam Gambar 3.1.
Gambar 3.1.Grafik frekuensi gelombang 𝜔(𝑘).
Fungsi𝜔(𝑘)seperti yang diperlihatkan Gambar3.1 menggunakan nilai Uayang berbeda, yaitu: Ua = 0.65, Ua = 0.75 dan Ua = 0.85. Garis putus-putus
memperlihatkan penyelesaian𝜔𝑎(𝑘)pada persamaan (3.8) yang merupakan frekuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan atas.Garis kontinu memperlihatkan penyelesaian𝜔𝑏(𝑘) pada persamaan (3.8) yang merupakan frekuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan bawah.
Berdasarkan Gambar 3.1, jika k kecil, maka frekuensi gelombang negatif.Ini berarti gelombang yang terjadi bergerak menjauhi gelombang yang lebih besar.Selain itu, jika kecepatan arus pada lapisan atas mengecil, maka k membesar pada lapisan bawah. Ini berarti panjang gelombang internal yang terjadi semakin mengecil, atau dengan kata lain amplitudo semakin besar. Dengan demikian kecepatan fase juga semakin besar, hal ini konsisten dengan kecepatan fase pada Gambar 3.2.
Karena kecepatan fase didefinisikansebagai 𝑐 𝑘 =𝜔 (𝑘)
𝑘 , maka kecepatan fasepada lapisan atas adalah 𝑐𝑎 𝑘 =𝜔𝑎(𝑘)
𝑘 dan kecepatan fase pada lapisan bawah adalah 𝑐𝑏 𝑘 =𝜔𝑏(𝑘)
𝑘 . Kecepatan fasegelombang dapatdilihat pada Gambar 3.2, dengan Ua = 0.65, Ua = 0.75 dan Ua = 0.85. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.05 0.10 0.15 k 𝝎 Ua=0.85 Ua=0.75 Ua=0.65
Gambar 3.2.Kecepatan FaseGelombang pada lapisan atas (garis putus-putus dan
pada lapisan bawah (garis kontinu) untuk Uaberbeda-beda.
3.4. Ketakstabilan Gelombang Internal di Selat Makassar
Pada bagian ini akan dibahas ketakstabilan dari gelombang internal di Selat Makassar berdasarkan kriteria ketakstabilan temporal dan spasial.
3.4.1. Ketakstabilan Temporal
Berdasarkan persamaan (3.12), diperoleh Gambar 3.3 yang memperlihatkan suatu daerah dimana pada saat nilai Ua tertentu, gelombang menjadi tak stabil.
Gambar 3.3.Daerah ketakstabilan gelombang internal berdasarkan
persamaan (3.12).
Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa gelombang yang memiliki bilangan gelombang 0.125 (panjang gelombang 50 m) tidak stabil pada daerah dengan
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1 2 UaCrit k c Ua=0.85 Ua=0.75 Ua=0.65
Area tak stabil
k
1.26
0.125
kecepatan arus lebih besar dari 1.26 m/s. Jika kecepatan arusnya kurang dari 1.26 m/s, maka gelombang tersebut akan stabil.
Berdasarkan persamaan (3.8), dapat ditunjukkan hubungan antara frekuensi gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan k≈ 0.125 seperti diperlihatkan pada Gambar 3.4.
Gambar 3.4.Hubunganfrekuensi gelombang dan kecepatan arus.
Pada Gambar 3.4 memperlihatkan bahwa gelombang dengan k≈ 0.125 memiliki frekuensi yang meningkat mendekati kurva linear dengan bertambahnya nilai Ua> 1.26. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar
3.4, bilamana 𝑈𝑎 mengecil dengan 𝑈𝑎 < 1.26,frekuensi gelombang berada pada nilai 0.08-0.11. Dengan kata lain gelombang ini akan stabil.Dengan demikian untuk membangkitkan gelombang dengan panjang 50 m dan stabil, maka diperlukan adanya arus dengan kecepatan kurang dari 1.26 m/s.
3.4.2. Ketakstabilan Spasial
Berdasarkan persamaan (3.17), diperoleh Gambar 3.5 yang memperlihatkan suatu daerah dimana pada saat nilai 𝜔 dan Ua tertentu,
gelombang menjadi tak stabil.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.10 0.05 0.05 0.10 0.15 Ua 𝝎 UaCrit - -
Gambar 3.5.Daerahketakstabilan gelombang internal berdasarkan persamaan (3.17)
Gambar 3.5 memperlihatkan bahwa gelombang yang memiliki frekuensi gelombang -0.01 tidak stabil pada daerah dengan kecepatan arus lebih besar dari 2.2 m/s. Jika kecepatan arusnya kurang dari 2.2 m/s, maka gelombang tersebut akan stabil.
Berdasarkan persamaan (3.15), dapat ditunjukkan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan 𝜔 = −0.01 seperti diperlihatkan pada Gambar 3.6.
Gambar 3.6.Hubunganbilangan gelombang dan kecepatan arus untuk 𝜔 = −0.01.
Pada Gambar 3.6 memperlihatkan bahwa gelombang dengan 𝜔 = −0.01 memiliki bilangan gelombang yang meningkat pada lapisan atas (ka(Ua)) dan
menurun pada lapisan bawah (kb(Ua)), kedua kurva bilangan gelombang seperti
2 4 6 8 10 0.005 0.010 Ua 𝝎 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒂𝒌 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒂𝒌 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 𝝎𝒃 𝝎𝒂 k Ua Tak stabil Stabil 2.2 -0.01 UaCrit 0.12 -0.02
yang ditunjukkan dengan garis merah pada Gambar 3.6 bergerak mendekati kurva berwarna biru dengan bertambahnya nilai Ua> 2.2. Dengan kata lain gelombang
ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar 3.6, bilamana 𝑈𝑎 mengecil dengan (𝑈𝑎 < 2.2), maka gelombang ini akan stabil.Dengan demikian untuk membangkitkan gelombang dengan frekuensi -0.01 Hz dan stabil, maka diperlukan adanya arus dengan kecepatan kurang dari 2.2 m/s.
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.15), dapat ditunjukkan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan Ua = 1
seperti diperlihatkan pada Gambar 3.7.
Gambar 3.7.Kurva k dari ketakstabilan spasial yang bergantung pada 𝜔. Pada Gambar 3.7 memperlihatkan bahwa gelombang dengan Ua =1
memiliki bilangan gelombang yang meningkat mendekati kurva linear dengan bertambahnya nilai 𝜔> 0.12. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar 3.7, bilamana 𝜔 mengecil dengan −0.02 < 𝜔 < 0.12, maka gelombang ini akan stabil. Selanjutnya, bilangan gelombang menurun mendekati kurva linear dengan berkurangnya nilai 𝜔 < −0.02. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Dengan demikian apabila kecepatan arus ditetapkan 1 m/s, maka gelombang akan stabil pada frekuensi antara -0.02 dan 0.12. Dalam hal ini bilangan gelombang menjadi dua kali lipat atau panjang gelombang yang tertentu menjadi setengahnya. 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 𝝎 k Tak stabil
Tak stabil Stabil
𝜔bCrit
