PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN
MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
Diketahui system Persamaan Liniear
a11 x1+ a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1+ a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1+ a32 x2 + a33 x3 = b3
dalam bentuk matriks
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 3 2 1 x x x 3 2 1 b b b
Penyelesaian Dengan Aturan Cramer adalah sbb:
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
3 32 33 23 22 2 13 12 1 1a
a
b
a
a
b
a
a
b
Dx
33 3 31 23 2 21 13 1 11 2a
b
a
a
b
a
a
b
a
Dx
3 32 31 3 22 21 1 12 11 3b
a
a
b
a
a
b
a
a
Dx
Makax
1=
D
Dx
1x
2=
D
Dx
2x
3=
D
Dx
3Contoh-contoh soal Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Aturan Cramer
1. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :
x
1+ x
2+ 2x
3= 6
2x
1+ x
2- x
3= 3
-x
1+2x
2 +2x
3= -1,
Selesaikan dengan Aturan Cramer
Jawab :
D =
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
=
[
1.1.2 + 1(-1)(-1) + 2.2.2.
]
-
[
2.(1)(-1) + 1(-1)(2)+ 1.2.2
]
= (
2+1+8
)
-
(
-2+4-2
) = 11 – 0 = 11
D x1 =
2
1
1
1
3
6
2
2
1
1
1
3
2
1
6
= (12+1+12)-(-12+6-2)=25-(-8)=25+8=33
D x2=
1
3
6
1
2
1
2
1
1
1
3
2
2
6
1
= (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11
D x3=
2
1
1
2
1
1
1
2
1
3
1
2
6
1
1
= (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22
x1
=Dx1
/ D = 33/11 = 3
x2
=D x2
/ D = -11/11 = -1
x3
=D x3
/ D = 22/11 = 2
2. Tentukan Selesaikan Aturan Metode Cramer
x - 2y + z = 3
2x - 3y + 4z = 13
-3x + 5y + 2z = 5
Jawab :
D =
2
5
3
4
3
2
1
2
1
= (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7
Dx =
2
5
5
4
3
13
1
2
3
=(-18-40+65) – (60-52-15) = 7- (-7) = 14
Dy =
2
5
3
4
13
2
1
3
1
=(26-36+10) – (20+12-39) = (0)- (-7) = 0+7=7
Dz =
5
5
3
13
3
2
3
2
1
=(-15+78+30) – (65-20+27) = 93 – (72) = 21
x = Dx/D = 14/7= 2
y = Dy/D = 7/7 = 1
z = Dz/D = 21/7 = 3
3. Dari sistem persamaan liniear (SPL)
x
1+ 2x
2- x
3= 4
-2x
1+ 3x
2+2x
3= -1
x
1-2x
2 +2x
3= 6,
Selesaikan dengan Aturan Cramer
Jawab :
D =
2
2
1
2
3
2
1
2
1
= (6+4-4)-(-4-8-3)=6-(-15)=6+15=21
D x1=
2
2
6
2
3
1
1
2
4
= (24+24-2 )-(-16-4-18 )=46-(-38)=46+38=84
D x2=
2
6
1
2
1
2
1
4
1
= (-2+8+12)-(12-16+1)=18-(-3) =18+3=21
D x
3=
6
2
1
1
3
2
4
2
1
= ( 18-2+16)-(2-24+12)=32-(-10)=32+10=42
x1
=D x1 /D = 84/21=4
x2
=D x2 /D = 21/21=1
x3
=D x3 /D = 42/21=2
4. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :
x
1+ x
2+ 2x
3= 6
2x
1+ x
2- x
3= 3
-x
1+2x
2 +2x
3= -1,
Selesaikan dengan metode Crammer
Jawab :
D =
2
2
1
1
1
2
2
1
1
= (2+1+8)-(-2+4-2)=11-0=11
Dx1 =
2
2
1
1
1
3
2
1
6
= (12+1+12)-(-12+6-2)=25-(-8)=25+8=33
D x2=
2
1
1
1
3
2
2
6
1
= (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11
D x3=
1
2
1
3
1
2
6
1
1
= (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22
x1
=Dx1
/ D = 33/11 = 3
x2
=D x2
/ D = -11/11 = -1
x3
=D x3
/ D = 22/11 = 2
5. Tentukan Selesaikan dengan Metode Cramer
x - 2y + z = 3
2x - 3y + 4z = 13
-3x + 5y + 2z = 5
Jawab :
D =
2
5
3
4
3
2
1
2
1
= (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7
Dx =
2
5
5
4
3
13
1
2
3
=(-18-40+65) – (60-52-15) = 7- (-7) = 14
Dy =
2
5
3
4
13
2
1
3
1
=(26-36+10) – (20+12-39) = (0)- (-7) = 0+7=7
Dz =
5
5
3
13
3
2
3
2
1
=(-15+78+30) – (65-20+27) = 93 – (72) = 21
x = Dx/D = 14/7= 2
y = Dy/D = 7/7 = 1
z = Dz/D = 21/7 = 3
1
0
2
5
1
1
3
4
2
A
Tentukan Minor, kofaktor , adjoint , determinan dan invers matriks A
jawab:
a) Minor
M11 =
1
0
5
3
3-0 =3 M12 =
1
4
5
2
2-20 =-18M13 =
0
4
3
2
0-12 =-12 M21 =
1
0
3
2
2-0 =2 M22 =
1
4
3
1
1-12 =-11 M23 =
0
4
2
1
0-8 =-8 M31 =
5
3
3
2
10-9 =1 M32 =
5
2
3
1
5-6 =-1 M33 =
3
2
2
1
3-4=-1a)
Kofaktor
C
11=M11 =3C
12= -M12 =18C
13=M13 =-12C
21=-M21 =-2C
22= M22 =-11C
23=- M13 =8C
31= M31 =1C
32= -M32 =1C
33=M33 =-1 Matriks Kofaktor: 1 1 1 8 11 2 12 18 3 Cijc. Adjoint A = [ Cij]
T 1 8 12 1 11 18 1 2 3 ) ( A Adj d) Determinan A = |A| = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13 =1(3) – 2(-18) + 3 (-12) = 3+36-36=3Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = tentukan determinan A untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = tentukan determinan A Pertama buat minor dari a11
M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau -
maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = = det M = a11a23 - a13a21
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a12 + a13
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama Jawab:
det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama Jawab:
det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A =
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil
kali diagonal matriks tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = b =
A1 = A2 = A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka,
Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix element yang berhubungan
dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg) Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A =
kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
Ax = λx ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi (λI - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
= λ
yang kemudian dapat diubah
A = dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ λ
sehingga didapat bentuk
λ I - A =
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigen value dari A
det (λ I - A) = = 0 atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigen vector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
