Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL)

(1)

ABSTRAK

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO._Penyelesaian _{Magic Square}_Sebagai

Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana_danTeduh W. M.

Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai ke dalam kotak-kotak sebanyak n × n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 20 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun 1300. Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 × 1 sampai dengan 5 × 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum.

(2)

ABSTRACT

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M.

Magic square is an arrangement of numbers from 1 to ݊ଶ into n × n _{squares such that the}

sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since 1300. The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 × 1 to 5 × 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0_{sofware in the}

computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions.

(3)

1

I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Magic square telah dipelajari sejak abad 20 sebelum masehi. Catatan pertama sekitar tahun 1000 sebelum masehi terdapat di China yaitu sebuah buku bernama Lo Shu. Pada abad ke-9 sebelum masehi, astrolog Arab menggunakannya dalam menghitung horoskop (Andrews, 1917). Sekitar waktu yang sama di India magic square tidak hanya digunakan dalam konteks matematika misalnya resep pembuatan parfum dan penghitungan kelahiran dalam bidang medis. Pada abad ke-2 sebelum masehi, magic square berukuran 4 × 4 muncul yang sering dihubungkan dengan praktek religius (Ballew, 2006).

Magic square mulai tersebar di dunia barat sekitar tahun 1300 setelah masehi. Magic square secara khusus telah menarik perhatian pada matematikawan amatir dan penggemar teka-teki karena konsepnya yang mudah dipahami.

Meskipun konsep magic square mudah

dipahami dan telah dipelajari dalam waktu yang lama, sampai saat ini magic square belum ditemukan solusi umumnya atau algoritma umum untuk menyelesaikannya.

1.2. Tujuan

Di dalam tulisan ilmiah ini akan dipelajari mengenai magic square sebagai sebuah permasalahan SPL. Kemudian akan dicari magic square baru menggunakan operasi matriks serta keterkaitan setiap ukuran magic square berdasarkan jumlah solusi, pola penyelesaian SPL, dan yang lainnya untuk mengetahui apakah memungkinkan menciptakan suatu algoritma umum penyelesaian magic square berukuran × .

1.3. Ruang Lingkup

Magic square dapat dikembangkan sampai berukuran berapapun. Dalam tulisan ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan dan pencarian pola untuk magic square berukuran sampai dengan 5 × 5.

II

LANDASAN TEORI

Definisi 1 Magic Square dan Bilangan Magic

Magic square adalah suatu susunan bilangan-bilangan 1, 2, 3, … , ke dalam kotak-kotak berjumlah × sedemikian sehingga jumlah bilangan-bilangan di setiap baris, di setiap kolom, dan di kedua diagonal utama berjumlah sama yang disebut bilangan magic.

[Weisstein, 1999]

Definisi 2 Persamaan Linear dan Sistem Persamaan Linear

Suatu persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk

� + � + + � =

dengan , , ... , , dan b adalah bilangan-bilangan real dan � , � , ... , � adalah peubah.

Maka suatu sistem persamaan linear

dari m persamaan dengan n peubah merupakan suatu sistem berbentuk

, � + , � + + , � = , � + , � + + , � =

, � + , � + + , � =

dengan _, dan adalah bilangan-bilangan real serta = 1,2, , dan = 1,2, ,

Sistem-sistem dengan bentuk seperti ini disebut sebagai sistem persamaan linear

× .

[Leon, 2001]

Definisi 3 Operasi Baris Dasar

Operasi baris dasar dari matriks A

berukuran × yang diperbesar merupakan operasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem-sistem persamaan linear, yaitu:

1. Kalikan sebuah baris ke-i dari matriks A dengan konstanta k yang tidak sama dengan nol. Operasi ini dinotasikan dengan ( )( ).

2. Pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j dari matriks A, dengan ≠ . Operasi ini dinotasikan dengan

, ( ).

3. Tambahkan perkalian dari baris ke-j dengan konstanta ≠0, pada baris ke-i dari matriks A. Operasi ini dinotasikan dengan , ( )( ).

dengan , = 1,2, , dan k adalah bilangan real.

(4)

I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

1.2. Tujuan

II

LANDASAN TEORI

[Weisstein, 1999]

� + � + + � =

, � + , � + + , � = , � + , � + + , � =

, � + , � + + , � =

× .

[Leon, 2001]

Operasi baris dasar dari matriks A

, ( ).

(5)

2

III

PEMBAHASAN

3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL

Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah , maka magic square

-nya secara umum adalah

, , ,

⋱

, , ,

Gambar 1. Bentuk umum magic square

dengan: , ∈{1, 2, 3, … , } untuk , ∈

{1,2,3, … , } ...(1) dan , = , = ⋀ = untuk

semua , , , ∈{1,2,3, … , } ...(2) Persamaan (2) ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan terpakai.

Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah

=∑₌ _, =∑₌ _, = = ∑= , =∑= , =∑= , = =

∑= , =∑= , =∑= − +, ...(3)

Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka

∑ ∑= = , =∑ =2 ...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka

× = ( + 1)

= ( + 1) ...(5) Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk

∑= , =

∑= − + , =

adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan 2 + 2 persamaan dan

peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi

∑= , = ; = 1,2, … ,

∑₌ _, = ∑= _{− +} , =

Matriks dari SPL ini adalah

� =

dengan

�=matriks koefisien berukuran (2 + 2) ×

= ( _, _, _, _, _,

, , , , )�

=vektor kolom berukuran × 1 dengan seluruh elemennya adalah nilai m.

3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square

Beberapa operasi matriks diantaranya adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square.

Jika dan adalah magic square, Jn adalah matriks × yang semua elemennya adalah 1, dan adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut

i.

ii. + Jn iii. + iv.

3.2.1.

Misalkan adalah magic square berukuran × dengan bilangan magic . Misalkan = , maka , = , dan

akibatnya ∑= , =

∑= , = ∑= , = ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =

∑= , = ∑= , = ;

untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑= , = ∑= , =

∑= _{− +} , =∑= − + , =

∑= _{− +} , =

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa juga merupakan magic square dengan bilangan magic

(6)

3.2.2. + Jn

Misalkan adalah magic square berukuran × dengan bilangan magic . Misalkan = + Jn, maka , = , +

dan akibatnya

∑= , =∑= ( , + ) =

∑= , + = + ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =∑= ( , + ) =

∑= , + = + ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =∑=( , + )=

∑= , + = +

∑= _{− +} , =∑= ( − + , + )=

∑= − + , + = +

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa + Jn juga merupakan magic square dengan bilangan magic +

3.2.3. +

Misalkan dan adalah magic square berukuran × dengan bilangan magic masing-masing dan . Misalkan

= + , maka _, = _, + _, dan akibatnya

∑= , =∑=1( , + ,) = ∑=1 , +∑=1 , = + ; untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑= ( , + , )=∑= , +

∑= , = + ;

untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑=( , + ,)=∑= , +

∑= , = +

∑= _{− +} , =∑= ( − + , +

− + , ) =∑= − + , +

∑= _{− +} , = +

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa + juga merupakan magic square dengan bilangan magic

+

3.2.4.

= maka , =∑ = , , dan

akibatnya

∑= , =∑ = ∑ = , , =

∑ �= , ∑= , �=

∑ = , = ∑ = , =

; untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑ ∑= = , , =

∑ �= , ∑= , �=∑ = , =

∑ = , = ;

untuk = 1,2, … ,

Contoh sanggahan berikut menunjukkan bahwa jumlah diagonal pada tidak sama dengan (contoh lengkap untuk ukuran 3×3, 4×4, 5×5 terdapat pada Lampiran 1).

Misalkan

=�

4 9 2 3 5 7 8 1 6

� dan =�

2 7 6 9 5 1 4 3 8 �

dan adalah magic square dengan bilangan magic = 15 dan = 15, maka

∑= , =∑ ∑= = , ,

= 261

∑= _{− +} , =∑= ∑ = − + , ,

= 165

tidak sama dengan = 225 Hal ini mengakibatkan bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square adalah

3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk

=1, 2, 3, 4, 5

Mencari penyelesaian magic square adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing.

3.3.1. Penyelesaian untuk = 1

Untuk = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah

1

Gambar 2. Magic square 1 × 1

dan = 1.

Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk = 1.

3.3.2. Penyelesaian untuk = 2

Untuk = 2 , magic square-nya adalah

, ,

(7)

4

dan nilai = 2 (22 + 1) = 5 SPL dari magic square ini adalah

, + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5

Dalam bentuk matriks: 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

� , , , , �= 5 5 5 5 5 5 Bentuk ringkasnya adalah

1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 � � 5 5 5 5 5 5

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 � �

5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 0 0

Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah

, = 5 2⁄ , = 5 2⁄

SPL ini kontradiksi dengan persamaan (2) bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk = 2, magic square tidak memiliki solusi.

3.3.3. Penyelesaian untuk = 3

Untuk = 3, magic square-nya adalah

, , ,

dan nilai = 3 (32 + 1) = 15

SPL dari magic square ini adalah

, + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15

Dalam bentuk matriks: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

, , , , , , , , , = 15 15 15 15 15 15 15 15 Bentuk ringkasnya adalah

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 � � � 15 15 15 15 15 15 15 15 Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � 10 10 −5 −10 5 20 15 0 Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah

1,1 3,3 1,2 3,2

1,3 3,2 3,3

2,1 3,2 3,3

2,2

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3 10 10 5 2 10 5 2 20 15 a a a a

a a a

a

a a a

 + =  + =  ₋ ₋ _{= −}  ₋ ₋ _{= −}   =  ₊ ₊ ₌  ₊ ₊ ₌ 

Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk ,

(8)

Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut

1,1 3,3

1,2 3,2

1,3 3,2 3,3 2,1 3,2 3,3

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3

10 10 5 10 2 20 2 15 a a a a

a a a

= −   = −  _{= − +} ₊   _{= − +} ₊  ₌ ₋ ₋  = − −

 _…(7)

Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu , , , , , , , , , , , dan

dua parameter yaitu _, dan _, .

Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan _, ganjil dan _, genap.

Perhatikan juga bahwa 1 _, 9 dan

, + , + , = 15 mengakibatkan

6 , + , 14. Dengan demikian

pasangan-pasangan � , , , � yang

memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 × 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,2), (7,4), (7,6), (9,2), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan

(1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,2), (7,6), (9,2), dan (9,4).

Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah:

� , , , � , , , , , ,

(1,6) 4 9 2 3 7 8 (1,8) 2 9 4 7 3 6 (3,4) 6 7 2 1 9 8 (3,8) 2 7 6 9 1 4 (7,2) 8 3 4 1 9 6 (7,6) 4 3 8 9 1 2 (9,2) 8 1 6 3 7 4 (9,4) 6 1 8 7 3 2

Kedelapan magic square tersebut adalah

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3

Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 × 3 memiliki 1 solusi unik.

3.3.4. Penyelesaian untuk = 4

, , , ,

dan nilai = 4 (42 + 1) = 34

, + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34

6 1 8

7 5 3

2 9 4 8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 3 8

9 5 1

2 7 6 8 3 4

1 5 9

6 7 2

2 7 6

9 5 1

4 3 8 6 7 2

1 5 9

8 3 4

2 9 4

7 5 3

6 1 8 4 9 2

3 5 7

(9)

6

Dalam bentuk matriks

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

, , , , , , , , , , , , , , , , = 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

Bentuk ringkasnya adalah

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 � � � 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 1 1 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � −34 −34 68 34 0 68 −34 34 34 0

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4 1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4

2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 2,

34 2 34 2 2 68

34 0 2 68

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a

a − − − − − = − − + − − − − = − + − + + + + + = + + + = + − − = + + + + + + =

3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 34 34 34

a a a a a a

a a a a

(10)

SPL ini ekivalen dengan

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4

1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4 2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

2,

34 2 34

2 2 68 34

2 68

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a

a = + + + + − = − + + + + − = − + − − − − − + = − − − + = − + + = − − − − − − +

3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 34 34

34

a a a a a a

a a a a

        ₌ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋  _{= −} ₋ ₋ ₊  _{= −} ₋ ₋ ₊ 

Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain ( , , , , , , , , , , , , , , , , dan

, ) dan terdapat 7 parameter ( , , , , , , , , , , , , dan , ).

Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan softwareMathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan (2) yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi 7040.

3.3.5. Penyelesaian untuk = 5

, , , , ,

dan nilai = 5 (52 + 1) = 65

, + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

(11)

8

1 0 0 0 0 0 0 −1

2 0 −1 0 − 1 2

1 2 −

1

2 −1 0 0 − 1

2 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1₂ 0 −1 0 1

2 − 1 2 −

1

2 −1 0 1 − 1

2 −1 −1 0 0 −1 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 −1 0 1 1 0 1 1 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

2 0 1 0 − 1 2 −

3 2 −

1

2 0 0 −1 − 1

2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

2 0 1 0 1 2

1 2

1

2 1 0 0 1

2 1 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1 0 −1 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � � �− 195 2 −195 2 65 130 65 −65 2 325 2 −65 65 65 65 0

195

1 1 1 1 1

1,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 2 195

1 1 1 1 1

1,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 4,2 2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

1,4 2

2

65

a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a

a a

− − − + − − − − − − − − = −

− − + − − − + − − − − − − = −

+ + + + =

+ _,5 _3,3 _3,4 _3,5 _4,2 _4,4 _4,5 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

3 65

1 1 1 1

2,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 4,2 2 4,3 4,4 2

1 1 1 1 1

2,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,4

2 2 130 65

a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

− + + − + + + + + + =

+ + + + =

+ + − − − − − − = −

+ + + + + + + + + 325

5,2 5,3 5,4 5,5 2

2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

2

2 65 65 65 65

a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a

         ₊ ₊ ₊ ₌  ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _{= −}   + + + + =  ₊ ₊ ₊ ₊ ₌  + + + + = 

SPL di atas ekivalen dengan

195

1 1 1 1 1

1,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 2 195

1 1 1 1 1

1,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 4,2 2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

1,4 2

2 65

a a a a a

a a

= + + − + + + + + + + + −

= + − + + + − + + + + + + −

= − − − − +

= − _,5 _3,3 _3,4 _3,5 _4,2 _4,4 _4,5 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

3 65

1 1 1 1

2,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 4,2 2 4,3 4,4 2

1 1 1 1 1

2,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,4

2 2 130 65

a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

+ − − + − − − − − − +

= − − − − +

= − − + + + + + + −

= − − − − − − − − 325

5,2 5,3 5,4 5,5 2

2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

2 2 65

65 65 65

a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a

         ₋ ₋ ₋ ₋ ₊  ₌ ₋ ₊ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋   = − − − − +  _{= −} ₋ ₋ ₋ ₊  = − − − − + 

SPL ini memperlihatkan bahwa terdapat 11 peubah yang bergantung pada peubah lain ( _, , _, , _, , _, , _, , _, ,

, , , , , , , , dan , ) dan terdapat 14

parameter ( , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , dan , ).

Parameter sebanyak 14 ini tidak memungkinkan dilakukan pengujian untuk semua permutasi dari nilai-nilainya.

(12)

Teorema 1:

1,5 1,1 1,2 1,3 1,4

2,5 2,1 2,2 2,3 2,4

3,5 3,1 3,2 3,3 3,4

4,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 4,1

4,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3

65 65 65

2 65

325 4 2 2 2 2 2 2

a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a

= − − − −

= + + + + − + − + −

= − − − − − − − − − − − _3,4 _4,1 _4,4

4,5 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,4

5,1 1,1 2,1 3,1 4,1

5,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 4,1

5,3 1,1 1,2

2 2

2 2 195

65

130 2 2 4 2

a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

− −

= + + + + + + + + + + + + −

= − − − −

= − − − − − − + − − − −

= + + _1,3 _1,4 _2,1 _2,2 _3,1 _3,2 _3,4 _4,1 _4,4

5,4 1,4 2,4 3,4 4,4

5,5 1,1 2,2 3,3 4,4

2 2 2 2 2 2 260

65 65

a a a a a a a a a

a a a a a

           + + + + + + + + −   ₌ ₋ ₋ ₋ ₋  = − − − − 

Dalam proses pencarian solusi ini, Meyer (2010) juga mendapatkan beberapa batasan tambahan yang digunakan untuk mengurangi panjangnya proses komputasi, yaitu:

Teorema 2:

55 3� _, + _, �+ 2� _, + _, � 205

karena , , , 1 dan , , , ∈

{1,2, ,25} dan , ≠ , maka 3 , +

,

dan dari Teorema 2

58 55 + _, + _,

3� , + , + , + , �

58

3 , + , + , + , Karena _, , _, , _, , _, ∈ ℤ+ maka

20 _, + _, + _, + _, Dan dengan mengganti masing-masing ,

dengan 26− , maka

20 �26− , �+�26− , �

+�26− _, � +�26− _, � −84 − _, − _, − _, − _, Akibat 1:

20 _, + _, + _, + _, 84

Teorema 3:

218 3� _, + _, + _, �

+ 2� , + , + ,

+ _, + _, + _, ) 328

Teorema 4: (Jumlah pojok)

26 _, + _, + _, + _, 78

Akibat 2: (jumlah “X”)

52 _, + _, + 2 _, + _, + _, 104

Karena

, ∈{1, 2, 3, … , } ∀ , ∈{1,2,3, … , }

dan

, = , = ⋀ =

untuk semua , , , ∈{1,2,3, … , } maka

, + , + + ,

= 1 + 2 + + 25 Dengan menyubtitusikan , , , , , , , ,

, , , , , , , dan , pada

Teorema 1 ke persamaan di atas, didapatkan

Teorema 5:

, =

1

12�1495−19 , −9 , −7 , −10 , −9 , −11 , −3 , −2 , −9 , −5 , −5 , −6 , −8 , ±√ �

(13)

10

=−215 , −111 , −71 , −68 , −87 , −71 , −39 , −68 ,

−87 , −47 , −95 , −36 , −80 ,

+ , �−258 , −190 , −172 , −210 , −134 , −30 ,

+ 124 , −210 , −98 , + 70 , −12 , −200 , )

+ , �−138 , −132 , −126 , −90 , −18 , + 84 , −126 ,

−78 _, + 66 _, −12 _, −120 _, )

+ , �−100 , −90 , −62 , −30 , + 52 , −50 , + 22 ,

−12 , −90 , −80 , )

+ , �−84 , −44 , −12 , + 40 , −84 , −44 , + 52 ,

−24 _, −80 _, )

+ , �−90 , −42 , + 36 . −126 , −54 , + 42 , −12 ,

−120 _, )

+ , �−54 , −4 , −66 , −58 , −34 , −12 , −40 , �

+ _, �−36 _, −18 _, −18 _, −42 _, −12 _, � + _, �60 _, + 20 _, −76 _, −24 _, + 80 _, � + , �−78 , + 18 , −36 , −120 , �

+ _, �−22 _, −36 _, −40 _, �+ _, �−36 _, + 80 _, �+ 22750 _, + 15210 _, + 11830 _, + 10660 _, + 13650 _, + 10790 _, + 5070 _, −2860 , + 13650 , + 8450 , + 650 , + 3900 , + 10400 ,

−791375

Dua magic square berikut ini menunjukkan bahwa _, , _, , _, , _, , _, , _, , _, , _, ,

, , , , , , , ,dan , tidak secara

lengkap menentukan magic square, namun oleh Teorema 5 terdapat maksimal 2 magic square yang memiliki kesamaan ini karena hanya ada 2 nilai , yang mungkin.

20 1 13 23 8

4 21 14 2 24

6 22 12 16 9

10 18 15 5 17

25 3 11 19 7

(a)

20 1 13 23 8

4 21 14 2 24

6 22 12 16 9

10 18 11 7 19

25 3 15 17 5

(b)

Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5

(14)

IV

SIMPULAN DAN SARAN

4.1. Simpulan

Magic squre dapat diselesaikan menggunakan metode SPL. Operasi-operasi matriks sperti penjumlahan, perkalian dengan skalar dapat digunakan untuk mencari magic square baru dari yang sudah ada, tetapi perkalian matriks hanya menghasilkan semi magic square.

Banyaknya solusi dari magic square berukuran × bertambah dengan sangat cepat seiring dengan bertambahnya n. Banyaknya solusi untuk magic square berukuran 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 berturut-turut adalah 1, 0, 8, 7.040, dan 2.202.441.792. Barisan ini tidak memperlihatkan adanya pola.

Bentuk-bentuk matriks yang dihasilkan melalui operasi-operasi baris dasar pada setiap ukuran magic square juga tidak memperlihatkan adanya pola yang dapat digunakan untuk mencari solusi magic square berukuran lebih besar.

4.2. Saran

Dalam tulisan ilmiah ini belum dibahas mengenai metode-metode yang saat ini popular digunakan untuk mencari contoh solusi untuk magic square berukuran besar. Jika ada penulis selanjutnya yang ingin membahas mengenai magic square dapat mempelajari dan mengembangkan metode-metode tersebut.

DAFTAR

PUSTAKA

Andrews, W. S. 1917. Magic Square and Cubes 2nd edition. Open Court Publishing Company.

Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Terjemahan Pantur Silaban & I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.

Ballew, P. 2006. Magic Square Report http://www.pballew.net/MagSqRep.doc [30 Agustus 2010]

Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi Kelima. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga, Jakarta

Meyer, H. B. “Some Theory Concerning 5×5 magic squares”,

http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/m ag5the.htm [04 November 2010]

(15)

PENYELESAIAN

MAGIC SQUARE

SEBAGAI

PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(16)

IV

SIMPULAN DAN SARAN

4.1. Simpulan

Magic squre dapat diselesaikan menggunakan metode SPL. Operasi-operasi matriks sperti penjumlahan, perkalian dengan skalar dapat digunakan untuk mencari magic square baru dari yang sudah ada, tetapi perkalian matriks hanya menghasilkan semi magic square.

Banyaknya solusi dari magic square berukuran × bertambah dengan sangat cepat seiring dengan bertambahnya n. Banyaknya solusi untuk magic square berukuran 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 berturut-turut adalah 1, 0, 8, 7.040, dan 2.202.441.792. Barisan ini tidak memperlihatkan adanya pola.

Bentuk-bentuk matriks yang dihasilkan melalui operasi-operasi baris dasar pada setiap ukuran magic square juga tidak memperlihatkan adanya pola yang dapat digunakan untuk mencari solusi magic square berukuran lebih besar.

4.2. Saran

Dalam tulisan ilmiah ini belum dibahas mengenai metode-metode yang saat ini popular digunakan untuk mencari contoh solusi untuk magic square berukuran besar. Jika ada penulis selanjutnya yang ingin membahas mengenai magic square dapat mempelajari dan mengembangkan metode-metode tersebut.

DAFTAR

PUSTAKA

Andrews, W. S. 1917. Magic Square and Cubes 2nd edition. Open Court Publishing Company.

Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Terjemahan Pantur Silaban & I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.

Ballew, P. 2006. Magic Square Report http://www.pballew.net/MagSqRep.doc [30 Agustus 2010]

Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi Kelima. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga, Jakarta

Meyer, H. B. “Some Theory Concerning 5×5 magic squares”,

http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/m ag5the.htm [04 November 2010]

(17)

PENYELESAIAN

MAGIC SQUARE

SEBAGAI

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(18)

ABSTRAK

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO. Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana dan Teduh W. M.

Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai ke dalam kotak-kotak sebanyak n × n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 20 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun 1300. Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 × 1 sampai dengan 5 × 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum.

(19)

ABSTRACT

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M.

Magic square is an arrangement of numbers from 1 to ݊ଶ into n × n _{squares such that the}

sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since 1300. The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 × 1 to 5 × 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0_{sofware in the}

computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions.

(20)

PENYELESAIAN

MAGIC SQUARE

SEBAGAI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(21)

Judul Skripsi : Penyelesaian

Magic Square

Sebagai Permasalahan Sistem

Persamaan Linear (SPL)

Nama

: Rismanto Fernandus Siringo-ringo

NIM

: G54103005

Menyetujui,

Pembimbing I,

Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc

NIP. 19640823 198903 1 001

Pembimbing II,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si

NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(22)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 28 Januari 1985 dari bapak Jasman Siringo-ringo dan Ibu Rumiris Tobing. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bandar Lampung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(23)

vii

DAFTAR ISI

(24)

DAFTAR GAMBAR

(25)

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks = ... 13 Lampiran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0 ... 14 Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square

(26)

I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

1.2. Tujuan

II

LANDASAN TEORI

[Weisstein, 1999]

� + � + + � =

, � + , � + + , � = , � + , � + + , � =

, � + , � + + , � =

× .

[Leon, 2001]

Operasi baris dasar dari matriks A

, ( ).

(27)

2

III

PEMBAHASAN

3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL

Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah , maka magic square

-nya secara umum adalah

, , ,

⋱

, , ,

Gambar 1. Bentuk umum magic square

dengan: , ∈{1, 2, 3, … , } untuk , ∈

{1,2,3, … , } ...(1) dan , = , = ⋀ = untuk

semua , , , ∈{1,2,3, … , } ...(2) Persamaan (2) ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan terpakai.

Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah

=∑₌ _, =∑₌ _, = = ∑= , =∑= , =∑= , = =

∑= , =∑= , =∑= − +, ...(3)

Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka

∑ ∑= = , =∑ =2 ...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka

× = ( + 1)

= ( + 1) ...(5) Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk

∑= , =

∑= − + , =

adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan 2 + 2 persamaan dan

peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi

∑= , = ; = 1,2, … ,

∑₌ _, = ∑= _{− +} , =

Matriks dari SPL ini adalah

� =

dengan

�=matriks koefisien berukuran (2 + 2) ×

= ( _, _, _, _, _,

, , , , )�

=vektor kolom berukuran × 1 dengan seluruh elemennya adalah nilai m.

3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square

Beberapa operasi matriks diantaranya adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square.

Jika dan adalah magic square, Jn adalah matriks × yang semua elemennya adalah 1, dan adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut

i.

ii. + Jn iii. + iv.

3.2.1.

Misalkan adalah magic square berukuran × dengan bilangan magic . Misalkan = , maka , = , dan

akibatnya ∑= , =

∑= , = ∑= , = ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =

∑= , = ∑= , = ;

untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑= , = ∑= , =

∑= _{− +} , =∑= − + , =

∑= _{− +} , =

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa juga merupakan magic square dengan bilangan magic

(28)

3.2.2. + Jn

Misalkan adalah magic square berukuran × dengan bilangan magic . Misalkan = + Jn, maka , = , +

dan akibatnya

∑= , =∑= ( , + ) =

∑= , + = + ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =∑= ( , + ) =

∑= , + = + ;

untuk = 1,2, … , ∑= , =∑=( , + )=

∑= , + = +

∑= _{− +} , =∑= ( − + , + )=

∑= − + , + = +

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa + Jn juga merupakan magic square dengan bilangan magic +

3.2.3. +

= + , maka _, = _, + _, dan akibatnya

∑= , =∑=1( , + ,) = ∑=1 , +∑=1 , = + ; untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑= ( , + , )=∑= , +

∑= , = + ;

untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑=( , + ,)=∑= , +

∑= , = +

∑= _{− +} , =∑= ( − + , +

− + , ) =∑= − + , +

∑= _{− +} , = +

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa + juga merupakan magic square dengan bilangan magic

+

3.2.4.

= maka , =∑ = , , dan

akibatnya

∑= , =∑ = ∑ = , , =

∑ �= , ∑= , �=

∑ = , = ∑ = , =

; untuk = 1,2, … ,

∑= , =∑ ∑= = , , =

∑ �= , ∑= , �=∑ = , =

∑ = , = ;

untuk = 1,2, … ,

Contoh sanggahan berikut menunjukkan bahwa jumlah diagonal pada tidak sama dengan (contoh lengkap untuk ukuran 3×3, 4×4, 5×5 terdapat pada Lampiran 1).

Misalkan

=�

4 9 2 3 5 7 8 1 6

� dan =�

2 7 6 9 5 1 4 3 8 �

dan adalah magic square dengan bilangan magic = 15 dan = 15, maka

∑= , =∑ ∑= = , ,

= 261

∑= _{− +} , =∑= ∑ = − + , ,

= 165

tidak sama dengan = 225 Hal ini mengakibatkan bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square adalah

3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk

=1, 2, 3, 4, 5

Mencari penyelesaian magic square adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing.

3.3.1. Penyelesaian untuk = 1

Untuk = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah

1

dan = 1.

Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk = 1.

3.3.2. Penyelesaian untuk = 2

Untuk = 2 , magic square-nya adalah

, ,

(29)

4

dan nilai = 2 (22 + 1) = 5 SPL dari magic square ini adalah

, + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5 , + , = 5

Dalam bentuk matriks: 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

� , , , , �= 5 5 5 5 5 5 Bentuk ringkasnya adalah

1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 � � 5 5 5 5 5 5

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 � �

5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 0 0

, = 5 2⁄ , = 5 2⁄

SPL ini kontradiksi dengan persamaan (2) bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk = 2, magic square tidak memiliki solusi.

3.3.3. Penyelesaian untuk = 3

, , ,

dan nilai = 3 (32 + 1) = 15

, + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15 , + , + , = 15

Dalam bentuk matriks: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

, , , , , , , , , = 15 15 15 15 15 15 15 15 Bentuk ringkasnya adalah

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 � � � 15 15 15 15 15 15 15 15 Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � 10 10 −5 −10 5 20 15 0 Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah

1,1 3,3 1,2 3,2

1,3 3,2 3,3

2,1 3,2 3,3

2,2

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3 10 10 5 2 10 5 2 20 15 a a a a

a a a

a

a a a

 + =  + =  ₋ ₋ _{= −}  ₋ ₋ _{= −}   =  ₊ ₊ ₌  ₊ ₊ ₌ 

Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk ,

(30)

Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut

1,1 3,3

1,2 3,2

1,3 3,2 3,3 2,1 3,2 3,3

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3

10 10 5 10 2 20 2 15 a a a a

a a a

= −   = −  _{= − +} ₊   _{= − +} ₊  ₌ ₋ ₋  = − −

 _…(7)

Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu , , , , , , , , , , , dan

dua parameter yaitu _, dan _, .

Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan _, ganjil dan _, genap.

Perhatikan juga bahwa 1 _, 9 dan

, + , + , = 15 mengakibatkan

6 , + , 14. Dengan demikian

pasangan-pasangan � , , , � yang

memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 × 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,2), (7,4), (7,6), (9,2), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan

(1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,2), (7,6), (9,2), dan (9,4).

[image:30.595.333.492.80.248.2]

Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah:

� , , , � , , , , , ,

(1,6) 4 9 2 3 7 8 (1,8) 2 9 4 7 3 6 (3,4) 6 7 2 1 9 8 (3,8) 2 7 6 9 1 4 (7,2) 8 3 4 1 9 6 (7,6) 4 3 8 9 1 2 (9,2) 8 1 6 3 7 4 (9,4) 6 1 8 7 3 2

Kedelapan magic square tersebut adalah

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3

Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 × 3 memiliki 1 solusi unik.

3.3.4. Penyelesaian untuk = 4

, , , ,

dan nilai = 4 (42 + 1) = 34

, + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34 , + , + , + , = 34

6 1 8

7 5 3

2 9 4 8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 3 8

9 5 1

2 7 6 8 3 4

1 5 9

6 7 2

2 7 6

9 5 1

4 3 8 6 7 2

1 5 9

8 3 4

2 9 4

7 5 3

6 1 8 4 9 2

3 5 7

[image:30.595.96.301.281.746.2]

(31)

6

Dalam bentuk matriks

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

, , , , , , , , , , , , , , , , = 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 � � � 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 1 1 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � −34 −34 68 34 0 68 −34 34 34 0

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4 1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4

2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 2,

34 2 34 2 2 68

34 0 2 68

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a

a − − − − − = − − + − − − − = − + − + + + + + = + + + = + − − = + + + + + + =

3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 34 34 34

a a a a a a

a a a a

(32)

SPL ini ekivalen dengan

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4

1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4 2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

2,

34 2 34

2 2 68 34

2 68

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a

a = + + + + − = − + + + + − = − + − − − − − + = − − − + = − + + = − − − − − − +

3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 34 34

34

a a a a a a

a a a a

        ₌ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋  _{= −} ₋ ₋ ₊  _{= −} ₋ ₋ ₊ 

Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain ( , , , , , , , , , , , , , , , , dan

, ) dan terdapat 7 parameter ( , , , , , , , , , , , , dan , ).

Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan softwareMathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan (2) yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi 7040.

3.3.5. Penyelesaian untuk = 5

, , , , ,

dan nilai = 5 (52 + 1) = 65

, + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65 , + , + , + , + , = 65

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

(33)

8

1 0 0 0 0 0 0 −1

2 0 −1 0 − 1 2

1 2 −

1

2 −1 0 0 − 1

2 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1₂ 0 −1 0 1

2 − 1 2 −

1

2 −1 0 1 − 1

2 −1 −1 0 0 −1 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 −1 0 1 1 0 1 1 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

2 0 1 0 − 1 2 −

3 2 −

1

2 0 0 −1 − 1

2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

2 0 1 0 1 2

1 2

1

2 1 0 0 1

2 1 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1 0 −1 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

� � � � �− 195 2 −195 2 65 130 65 −65 2 325 2 −65 65 65 65 0

195

1 1 1 1 1

1,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 2 195

1 1 1 1 1

1,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 4,2 2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

1,4 2

2

65