PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS FINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR

TUGAS AKHIR

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Program Studi Teknik Elektro

Oleh:

Nama : Hugo Yulian Nathanael NIM : 025114039

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

FINAL PROJECT

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree

In Electrical Engineering Study Program

By:

Name : Hugo Yulian Nathanael Student Number : 025114039

ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING

FACULTY OF ENGINEERING

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007

Kupersembahkan karya tulis ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus terkasih,

Bapak dan Ibu Tercinta,

Kedua saudaraku Ade dan Ani tercinta,

Keluarga besarku tercinta,

Kekasihku Lina tersayang, dan

Almamaterku Teknik Elektro USD

tiada kehidupan tanpa kesalahan, kekalahan dan kegagalan.

satu-satunya dari seluruh rahasia adalah belajar menarik keuntungan dari kesalahan-kesalahan dan

kegagalan-kegagalan.

satu-satunya kegagalan dalam hidup ini adalah kegagalan untuk mencoba.

(Harold Sherman)

Lebih baik bertempur dan kalah dari pada tidak pernah bertempur sama sekali.

Kesempurnaan manusia yang sejati bukan pada apa yang dimilikinya melainkan bagaimana dirinya.

perancangan tapis FIR, dari penentuan spesifikasi, perhitungan koefisien tapis, relisasi struktur dan perhitungan wordlength effect.

Program akan menghitung koefisien tapis dari spesifikasi masukan dan merepresentasikan koefisien tapis tersebut menjadi jumlah bit tertentu (kuantisasi). Perhitungan koefisien tapis FIR menggunakan metode Jendela dan metode Optimal. Koefisien tapis yang terkuantisasi kemudian direalisasikan dalam bentuk struktur, struktur yang digunakan untuk merealisasikan tapis FIR adalah transversal structure dan linear phase structure. Dari tapis yang telah direalisasikan dalam bentuk struktur tersebut kemudian dihitung finite wordlength effect yaitu coefficient quantization errors dan roundoff erorrs.

Program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR telah diimplementasikan dan dilakukan pengujian untuk mengamati kinerja tapis hasil perancangan. Kinerja tapis hasil perancangan diamati dari kurva tanggapan frekuensi yang merupakan keluaran program simulasi. Hasil yang diperoleh adalah metode Optimal merupakan metode yang paling optimal untuk merancang tapis FIR, frekuensi sampling yang tinggi dapat meningkatkan kinerja tapis, jumlah bit kuantisasi yang terbatas dapat menurunkan kinerja tapis dan semakin sempit transition width semakin besar jumlah koefisien tapis yang dibutuhkan.

Kata kunci : tapis FIR, perhitungan koefisien tapis, realisasi struktur

how to design the FIR filter from determination specification, calculation of filter coefficient, structure realization and the calculation of wordlength effect.

Program will calculate the filter coefficient from input specification and represented by a fixed number of bit (quantization). Calculation of FIR filter coefficient uses Window method and Optimal method. Filter coefficient that have been quantized then realized in the form of structure, it is use to realize FIR filter which one is transversal structure and linear phase structure. From the filter which has been realized in the form of the structure then program calculated finite wordlength effect that consist of coefficient quantization errors and roundoff erorrs.

Simulation program for realization of structure FIR filter implementation was implemented and tested to observe filter performance. Filter performance observed from the curve of response frequency that representing output of simulation program. The result are the Optimal method which is the optimum method to design FIR filter, high sampling frequency increase performance of filter, limited number of quantization bit decrease performance of filter and the narrower the transition width required more filter coefficient.

Keyword: FIR filter, calculation of filter coefficient, structure realization

Anugerah-Nya penulis akhirnya dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik dan lancar.

Dalam proses penulisan tugas akhir ini penulis menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan perhatian dan bantuan dengan caranya masing-masing sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih antara lain kepada :

1. Tuhan Yesus atas penyertaan dan bimbingannya.

2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik. 3. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing atas bimbingan,

dukungan, saran dan kesabaran bagi penulis dari awal sampai tugas akhir ini bisa selesai.

4. Bapak Bayu Primawan, S.T., M.Eng., Martanto, S.T., M.T., dan Ir. Iswanjono, M.T., selaku penguji yang telah bersedia memberikan kritik dan saran.

5. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.

6. Papah dan Mamah tercinta atas semangat, doa serta dukungan secara moril maupun materiil.

7. Kedua saudaraku, Bafo dan Tiffany atas dukungan, cinta, bantuan yang sangat berguna.

8. Lina yang selalu ada dan menemani disaat kebosanan melanda. 9. Dhika atas koreksi abstract yang sangat membantu, thank’s...

Alex, Briatma, Erick Corro, Eko, Berlin, Antin, Vian dan Paulina serta teman-teman angkatan 2001, 2002 dan 2003 yang selalu berbagi ilmu dan pengalaman kuliah.

12. Teman-teman kost ku yang selalu memberikan saran-saran yang berguna.

13. Dan seluruh pihak yang telah ambil bagian dalam proses penulisan tugas akhir ini yang terlalu banyak jika disebutkan satu-persatu.

Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

HALAMAN PERSETUJUAN………..iii

HALAMAN PENGESAHAN……….…...iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………...v

HALAMAN PERSEMBAHAN………vi HALAMAN MOTTO………...vii INTISARI……….viii ABSTRACT………ix KATA PENGANTAR……….x DAFTAR ISI……….xii DAFTAR GAMBAR……….xv DAFTAR TABEL………....xix DAFTAR CONTOH……….xx BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah………1

1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian………..2

1.3. Batasan Masalah………2

1.4. Metodologi Penelitian………..………..3

1.5. Sistematika Penulisan………....3

BAB II. DASAR TEORI 2.1. Transformasi-Z………...5

2.2. Invers Transformasi-Z...8

2.3. Sifat-sifat Transformasi-Z...………...8

2.4. Karakteristik Tapis FIR...……….10

2.4.1. Tanggapan Impuls dan Tanggapan Frekuensi Tapis FIR....10

2.4.2. Lokasi Zero Tapis FIR...18

2.5. Langkah-langkah Perancangan Tapis FIR...………21

2.6. Spesifikasi Tapis FIR...………22

2.8. Perbandingan Antara Metode Jendela dan Metode Optimal...…..43

2.9. Realisasi Struktur Tapis FIR………....44

2.9.1. Transversal Structure...44

2.9.2. Linear Phase Structure...45

2.10. Finite Wordlength Effect Pada Tapis FIR.………...47

2.10.1. Coefficient Quantization Errors…...………...48

2.10.2. Roundoff Errors………...49

2.11. Program Aplikasi MATLAB®……….50

BAB III. PERANCANGAN PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI TAPIS FINITE IMPULSE RESPONSE 3.1. Algoritma Program...………53

3.2. Perancangan Program Simulasi Untuk Realisasi Struktur Tapis FIR...……..54

3.2.1. Proses Pemeriksaan Masukan...54

3.2.2. Proses Perhitungan Koefisien tapis...57

3.2.2.1. Fungsi-fungsi Metode Jendela...58

3.2.2.2. Fungsi Metode Optimal...61

3.2.3. Proses Realisasi Tapis FIR Dalam Bentuk Struktur...63

3.2.3.1. Kuantisasi Koefisien...65

3.2.3.2. Koefisien Linear Phase Structure...68

3.2.3.3. Struktur Linear Phase...69

3.2.3.4. Masukkan Data Ke Transversal Structure...71

3.2.3.5. Masukkan Data Ke Linear Phase Structure…….75

3.2.4. Proses Perhitungan Finite Wordlength Effect……….75

3.2.4.1. Perhitungan Coefficient Quantization Errors…...78

3.2.4.2. Perhitungan Roundoff Errors………78

3.3. Layout Program.………..79

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Halaman Utama...………...84

4.2.3. Tapis Bandpass...93 4.3. Hubungan Antara Sampling Frequency dengan Kinerja Tapis...97 4.4. Hubungan Antara Jumlah Bit Kuantisasi Koefisien Tapis dengan

Kinerja Tapis...102 4.5. Hubungan Antara Transition Width dengan Jumlah Koefisien Tapis

Hasil Perancangan...106 BAB V. PENUTUP Kesimpulan………...……….108 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiv

Halaman

Gambar 2.1 Runtun waktu diskrit...………...6

Gambar 2.2 Region of convergence ………...8

Gambar 2.3 Ilustrasi empat jenis tanggapan impuls ………..12

Gambar 2.4 Contoh lokasi zero pada tapis FIR ...………19

Gambar 2.5 Unit circle pada bidang komplek ………...…………21

Gambar 2.6 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan ripple yang seragam pada passband dan stopband ……..………...22

Gambar 2.7 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan ripple yang tidak seragam pada passband dan stopband ……..…...23

Gambar 2.8 Tanggapan frekuensi ideal dari tiga jenis tapis ………...…...25

Gambar 2.9 Tanggapan amplitude yang diharapkan ...………33

Gambar 2.10 Tanggapan frekuensi tapis optimal ...………...40

Gambar 2.11 Diagram alir sederhana dari metode optimal ………...……..43

Gambar 2.12 Transversal structure ...………....44

Gambar 2.13 Linear phase structure untuk tapis FIR dengan tanggapan impuls yang simetri ………...…….47

Gambar 2.14 Linear phase structure untuk tapis FIR dengan tanggapan impuls yang tidak simetri ...………...…...47

Gambar 2.15 Ilustrasi dari efek kuantisasi koefisien ………...…49

Gambar 3.1 Algoritma perancangan program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR …...53

hanning window, hamming window dan blackman window ……….59

Gambar 3.5 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis dengan menggunakan kaiser window ………...…….60

Gambar 3.6 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis dengan menggunakan metode optimal …...…………62

Gambar 3.7 Diagram alir proses realisasi struktur tapis ………65

Gambar 3.8 Diagram alir kuantisasi koefisien ……...67

Gambar 3.9 Diagram alir perhitungan koefisien linear phase structure ……...68

Gambar 3.10 Diagram alir pembuatan linear phase structure ………...71

Gambar 3.11 Diagram alir proses memasukkan masukan ke transversal structure ………...73

Gambar 3.12 Diagram alir proses memasukkan masukan ke linear phase structure bagian I ………...76

Gambar 3.13 Diagram alir proses memasukkan masukan ke linear phase structure bagian II ……….77

Gambar 3.14 Diagram alir perhitungan finite wordlength effect ……….77

Gambar 3.15 Diagram alir perhitungan errors ………79

Gambar 3.16 Layout program ………...………...80

Gambar 3.17 Tampilan window untuk menampilkan gambar struktur tapis….…...83

Gambar 4.1 Tampilan halaman pembuka program ...……….…84

Gambar 4.2 Tampilan program utama...85

jendela menggunakan hanning window.……...87

Gambar 4.6 Tampilan struktur tapis yang digunakan untuk merancang

tapis lowpass...88

Gambar 4.7 Tampilan hasil perancangan tapis lowpass dengan metode jendela

dan metode optimal...88

Gambar 4.8 Tampilan hasil perancangan tapis highpass dengan metode jendela

menggunakan hamming window……….………...91

Gambar 4.9 Tampilan hasil perancangan tapis highpass dengan metode jendela

dan metode optimal...91

Gambar 4.10 Tampilan hasil perancangan tapis bandpass dengan metode jendela

menggunakan kaiser window...94

Gambar 4.11 Tampilan struktur tapis yang digunakan untuk merancang

tapis bandpass...95

Gambar 4.12 Tampilan hasil perancangan tapis bandpass dengan metode jendela

dan metode optimal...………...95

Gambar 4.13 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengan

galat pada cut-off frequency………....98

Gambar 4.14 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengan

galat pada passband ripple...99

Gambar 4.15 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengan

galat pada stopband attenuation...100

dengan galat pada cut-off frequency...103

Gambar 4.18 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapis

dengan galat pada passband ripple...104

Gambar 4.19 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapis

dengan galat pada stopband attenuation...104

Gambar 4.20 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapis

dengan galat pada transition width...105

Gambar 4.21 Grafik hubungan antara transition width dengan jumlah koefisien

tapis hasil perancangan...107

Halaman

Tabel 2.1 Tanggapan impuls ideal beberapa jenis tapis…..………….……….25

Tabel 2.2 Karakteristik beberapa fungsi jendela………..……….30

Tabel 4.1 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis lowpass...87

Tabel 4.2 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis lowpass...89

Tabel 4.3 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis highpass...90

Tabel 4.4 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis highpass...92

Tabel 4.5 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis bandpass...93

Tabel 4.6 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis bandpass...96

Tabel 4.7 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperoleh hubungan antara masukkan sampling frequency dengan kinerja tapis....97

Tabel 4.8 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperoleh hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapis dengan kinerja tapis...102

Tabel 4.9 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperoleh hubungan antara masukan transition width dengan jumlah koefisien tapis...106

Contoh 2.1 Transformasi-Z...…..…………..………...6

Contoh 2.2 Tanggapan impuls simetri dengan N ganjil …...……….………….13

Contoh 2.3 Tanggapan impuls simetri dengan N genap....…...…….………….14

Contoh 2.4 Tanggapan impuls tidak simetri dengan N ganjil...……...……….….16

Contoh 2.5 Tanggapan impuls tidak simetri dengan N genap...…….….….17

Contoh 3.1 Kuantisasi Koefisien...….….….….66

Contoh 3.2 Struktur linear phase...……..….….69

Contoh 3.3 Masukkan data ke transversal structure...……..….….72

1.1 Latar Belakang Masalah

Perkembangan dibidang elektronika telah melahirkan penemuan-penemuan baru. Aplikasinya telah memenuhi berbagai sektor kehidupan, antara lain sektor audio, video, sistem kontrol dan sebagainya. Semua kegiatan tersebut tidak dapat dipisahkan dengan masalah pengolahan sinyal. Jika masalah sinyal dikaitkan dengan sistem yang ada, maka pengolahan sinyal bertugas untuk menerima masukan yang ada dan selanjutnya mengolah atau memproses kemudian mengeluarkan hasilnya.

Tapis digital merupakan salah satu piranti untuk mengolah sinyal digital. Tapis digunakan untuk proses pengolahan sinyal yaitu penapisan (filtering), penghalusan (smoothing) dan prediksi (prediction). Berdasarkan tanggapan impulsnya tapis digital dibedakan menjadi tapis digital tanggapan impuls berhingga (finite impulse respons, FIR) dan tapis digital tanggapan impuls tak berhingga (infinite impulse response, IIR).

Perancangan struktur tapis FIR merupakan salah satu pokok bahasan pada mata kuliah pengolahan sinyal digital. Karena belum banyak program simulasi mengenai perancangan struktur tapis FIR, maka untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan tersebut, tugas akhir ini akan memfokuskan diri pada perancangan program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.

1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah membuat program bantu yang berfungsi untuk merealisasikan struktur tapis finite impulse response.

Beberapa manfaat yang diharapkan dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membantu para dosen pengampu mata kuliah pengolahan sinyal digital dalam menjelaskan realisasi struktur tapis FIR dengan lebih menarik.

2. Membantu mahasiswa untuk memahami dan merancang struktur tapis finite impulse response.

3. Sebagai referensi yang dapat mendukung penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan perancangan struktur tapis finite impulse response.

1.3 Batasan Masalah

Pada penelitian ini dilakukan pembatasan masalah terhadap program simulasi yang akan dibuat. Batasan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Program simulasi dibuat menggunakan MATLAB.

2. Input program adalah cut-off frequency, transition width, passband ripple, stopband attenuation dan sampling frequency.

3. Perhitungan nilai koefisien fungsi alih tapis menggunakan metode jendela (window method) dan metode optimal (optimal method).

4. Metode jendela yang digunakan terdiri dari hanning window, hamming window, Blackman window dan kaiser window.

5. Struktur tapis yang digunakan terdiri dari transversal structure dan linear phase structure.

6. Finite wordlength effects yang dihitung adalah coefficient quantization errors dan roundoff errors.

1.4 Metodologi Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Studi pustaka yang berhubungan dengan realisasi struktur tapis FIR.

2. Membuat perangkat lunak, yaitu program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.

3. Menguji program simulasi yang telah dibuat.

4. Membahas dan menganalisis hasil rancangan yang diperoleh dari program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.

5. Membuat kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan pada penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut : BAB I : Berisi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan

dan manfaat penelitian, metodologi penelitian dan sistematika penulisan tugas akhir.

BAB II : Berisi teori-teori yang mendasari penulisan tugas akhir ini.

program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.

BAB IV : Berisi hasil simulasi dan pembahasan dari program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.

BAB V : Berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran yang mungkin berguna untuk pengembangan program lebih lanjut.

Tapis finite impulse response, FIR, memiliki berbagai kelebihan yang membuatnya sangat berguna untuk bermacam-macam aplikasi dalam pemrosesan sinyal digital. Beberapa kelebihan tapis FIR adalah sebagai berikut [1]

1. Tanggapan fase linear, hal ini disebabkan tanggapan impuls tapis FIR yang simetri.

2. Selalu lebih stabil, karena semua pole berada pada origin. 3. Dapat direalisasikan dalam bentuk piranti keras secara efisien.

Struktur tapis FIR juga sederhana dan mudah untuk diimplementasikan. Kekurangan pada tapis FIR adalah kebutuhan perkalian yang banyak untuk tanggapan frekuensi yang diberikan, sehingga memberikan tunda proses yang lama bagi masukan untuk mencapai keluaran.

2.1 Transformasi-Z

Transformasi-Z dari suatu runtun, x

( )

n , untuk semua , didefinisikan dengan n

( )

∑

∞

( )

(2.1) ∞ − − = n z n x z X

dengan z adalah variabel komplek [2].

Pada sistem kausal, x

( )

n tidak bernilai nol hanya pada interval 0< n<∞, sehingga persamaan (2.1) bisa disederhanakan menjadi

( )

∑

∞

( )

(2.2) = − = 0 n n z n x z X

Persamaan (2.2) disebut transformasi-Z satu sisi.

Transformasi-Z merupakan suatu runtun dengan panjang yang tidak berhingga, dan tidak konvergen untuk semua nilai . Daerah dimana transformasi-Z konvergen (memiliki nilai tertentu) disebut sebagai region of convergence (ROC), dan pada bagian ini nilai berhingga. ROC ditentukan oleh sifat dari . Pencarian ROC ditunjukkan pada Contoh 2.1.

z

( )

z X x

( )

n Penyelesaian

Runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1 dapat didefinisikan secara matematis

( )

0 0 0 1 < = ∞ ≤ ≤ = n n n x

Gambar 2.1 Runtun waktu diskrit [2].

Tentukan transformasi-Z dan region of convergence untuk runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1.

jelaslah bahwa ini merupakan runtun kausal tak berhingga. Dari persamaan (2.1), transformasi-Z dari runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1 adalah

( )

( )

... 1 2 1 0 + + + = = = − − ∞ = − ∞ −∞ = −

∑

∑

z z z z n x z X n n n n

Sistem akan konvergen jika −1 _<1

z atau z >1. dapat

diekspresikan dalam bentuk tertutup

( )

z X

( )

1 1 1 ... 1 1 2 1 − = − = + + + = − − − z z z z z z X

Jika (di luar unit circle), maka dengan menggunakan persamaan (2.3) 2 = z

( )

( ) ( )

2 1 2 2 ... 2 1 2 1 2 1 1 2 3 = − = + + + + = z X

Jika z = 1₂ (di dalam unit circle), maka dengan menggunakan persamaan (2.3)

X

( )

z =1+10.5+

(

10.5

) (

2 + 10.5

)

3 +...=1+2+4+8+....

Dari contoh di atas terlihat bahwa X

( )

z akan konvergen jika z berada

di luar unit circle, dan akan divergen jika z berada di dalam unit circle. Gambar 2.2 menunjukkan ROC dari runtun pada Gambar 2.1.

Gambar 2.2 Region of convergence [2].

2.2 Invers Transformasi-Z

Invers tansformasi-Z (IZT) berguna untuk mengembalikan runtun waktu diskrit . IZT umumnya digunakan pada pemrosesan sinyal digital, sebagai contoh pada penggunaan untuk mencari tanggapan impuls dari tapis digital. Invers transformasi-Z didefinisikan dengan

( )

n x

x

( )

n =Z−1

[

X

( )

z

]

(2.4)

dengan X

( )

z adalah transformasi-Z darix

( )

n dan Z−1 adalah simbol dari invers transformasi-Z.

2.3 Sifat-sifat Transformasi-Z

Beberapa sifat dari transformasi-Z adalah sebagai berikut

1. Linearity. Jika runtunx₁

( )

n dan x₂

( )

n mempunyai transformasi-Z dan , maka transformasi-Z dari kombinasi linearnya adalah

( )

z X₁

( )

z X₂

ax₁

( )

n +bx₁

( )

n →aX₁

( )

z +bX₂

( )

z (2.6)

2. Delay atau shift. Jika tansformasi-Z dari x

( )

n adalah , maka transformasi-Z dari

( )

z X

( )

n

x yang tertunda sebesar m adalah z−mX

( )

z atau

( )

( )

(

n m

)

z X

(

z x z X n x m − → − →

)

3. Convolution. Sistem LTI (linear time-Invariant) diskret dengan input x

( )

n dan tanggapan impuls h

( )

k menghasilkan output

( )

∑

∞

( ) (

)

(2.7) −∞ = − = k k n x k h n y

Dalam bentuk transformasi-Z, input dan output memiliki hubungan

Y

( )

z =H

( ) ( )

z X z (2.8) dengan X

( )

z , H

( )

z dan Y

( )

z adalah bentuk transformasi-Z darix

( )

n , h

( )

k dan y

( )

n .

4. Differentiation. Jika X

( )

z adalah transformasi-Z dari , maka transformasi-Z dari

( )

n x

( )

n

nx diperoleh dengan diferensiasi X

( )

z :

( )

( )

( )

( )

z z X z n nx z X n x d d − → → (2.9)

Sifat ini digunakan untuk memperoleh invers tansformasi-Z jika X

( )

z memiliki orde pole yang banyak.

2.4 Karakteristik Tapis FIR

Pada bagian ini akan dibahas bentuk tanggapan impuls dan tanggapan frekuensi tapis FIR, serta lokasi zero tapis FIR.

2.4.1 Tanggapan Impuls dan Tanggapan Frekuensi Tapis FIR

Jika adalah tanggapan impuls tapis dengan panjang N, maka fungsi sistem dapat dinyatakan dengan

( )

n h

( )

1

( )

,0 1 (2.10) 0 − ≤ ≤ =

∑

− = − N n z n h z H N n n

yang memiliki pole sebanyak N−1 pada titik asal z = 0, dan zero sebanyak N−1 pada sembarang tempat di bidang Z (Z-plane) [3]. Fungsi tanggapan frekuensi

( )

jω e

H , dapat dinyatakan sebagai

( )

ω =

∑

−

( )

ω −π ≤ω≤π (2.11) = − _, 1 0 N n n j j e n h e H

Tunda fase sistem yang diberikan adalah negatif dari sudut fase dibagi frekuensi, yaitu

( )

ω ω θ − = p T (2.12)

Suatu tapis dikatakan memiliki tanggapan fase yang linear jika tanggapan fasenya memenuhi satu dari hubungan berikut

θ

( )

ω =−αω (2.13) atau

θ

( )

ω =β −αω (2.14)

dengan α = N

(

−1

)

₂ dan β =±π₂.

Agar θ

( )

ω =−αω terpenuhi, maka tanggapan impuls tapis harus memiliki simetri positif, yaitu

( ) (

)

(

)

₍

₎

( )

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − − = genap N N n ganjil N N n n N h n h 2 ..., , 1 , 0 2 1 ..., , 1 , 0 1 (2.15)

Jika N ganjil, α merupakan suatu bilangan bulat dan ini disebut sebagai tapis FIR tipe 1. Sebaliknya, jika N genap, α bukan merupakan bilangan bulat dan ini disebut tapis FIR tipe 2.

Untuk tanggapan fase yang memenuhi hubungan θ

( )

ω =β −αω, α bukanlah merupakan tetapan tunda fase, tetapi

( )

α ω ω θ ₌₋ d d (2.16)

adalah tetapan yang merupakan tunda grup. Untuk jenis ini, tanggapan impuls memiliki simetri negatif, yaitu

( )

(

)

(

)

2 2 1 1 π β α ± = − = − − − = N n N h n h (2.17)

Gambar 2.3 Ilustrasi empat jenis tanggapan impuls [4].

Sehingga ada dua tipe lagi yang mungkin, yaitu untuk N ganjil dan untuk N genap, yang disebut tapis FIR tipe 3 dan tipe 4.

Ketika kasus simetri dan asimetri digabungkan bersama N ganjil dan N genap, akan didapat empat jenis tapis FIR. Keempatnya ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Tipe 1 : Tanggapan impuls simetri dengan N ganjil

Pada kasus ini panjang tapis (N) berjumlah ganjil [4]. Pencarian tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 1 ditunjukkan pada Contoh 2.2.

Contoh 2.2

N = 9. Dengan menggunakan persamaan (2.10) didapatkan fungsi alih tapis yaitu sebagai berikut

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

5

( )

6

( )

1

( )

8 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 ) 2 ( 1 0 − − − − − − − − + + + + + + + + = z h z h z h z h z h z h z h z h h z H

Dengan menggunakan persamaan (2.15) untuk N = 9,

( ) ( )

0 h8, h = h

( ) ( )

1 =h 7, h

( ) ( )

2 =h6, h

( ) (

3 =h5

)

. Maka persamaan (2.18) menjadi

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

3

(

)

( )

4] 2 1 0 [ 4 3 2 1 0 4 3 2 1 1 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 5 3 6 2 7 1 8 h z z h z z h z z h z z h z z h z z z h z z z h z z z h z z z h z h z z h z z h z z h z h z H + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Tanggapan frekuensi yang sesuai untuk persamaan (2.19) adalah

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( ) ( ) ( )

3 cos 4] 2 2 cos 2 2 3 cos 1 2 4 cos 0 2 [ 4 h h h h h e e H j j + + + + = − ω ω ω ω ω ω

)

(2.20) (2.18) (2.19)

(2.22)

Jika dimisalkan a

( ) ( )

0 =h 4 dan a

( )

n =2h

(

4−n

)

, untuk

, maka 4 , 3 , 2 , 1 =

n H

( )

ejω dapat dituliskan dalam bentuk

( )

ω 4

( ) ( )

_ω 4ω 0 cos j n j e n n a e H − =

∑

= (2.21)

Dari persamaan (2.21) didapat persamaan umum tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 1, yaitu

H

( )

e e ( ) ( )a

( )

n

( )

n N n N j jω ω _cosω 2 1 0 2 1

∑

− = − − = dengan

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 0 h N a

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ₋ = h N n n a 2 1 2

Tipe 2 : Tanggapan impuls simetri dengan N genap

Pada kasus ini panjang tapis (N) berjumlah genap. Pencarian tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 2 ditunjukkan pada Contoh 2.3.

Contoh 2.3

N = 8. Dengan menggunakan koefisien tanggapan impuls yang simetri dari persamaan (2.10), maka fungsi alih dari tapis FIR dapat dituliskan sebagai berikut

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

3

(

)

] 2 1 0 [ 3 2 1 1 0 2 1 2 1 2 3 2 3 2 5 2 5 2 7 2 7 2 7 4 3 5 2 6 1 7 − − − − − − − − − − − − + + + + + + + = + + + + + + + = z z h z z h z z h z z h z z z h z z h z z h z h z H (2.23)

Fungsi tanggapan frekuensi dari persamaan (2.23) adalah

( )

( )

( )

( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 3 2 5 2 7 cos 3 2 cos 2 2 cos 1 2 cos 0 2 2 7 ω ω ω ω ω ω h h h h e e H j j

Jika dimisalkan b

( )

n =2h

(

4−n

)

, untuk n=1 ,2 ,3 ,4, maka

( )

jω e

H dapat dituliskan dalam bentuk

( )

4

( )

_cos

[

(

1₂

)

]

1 2 7 ₋ =

∑

= − n n b e e H n j jω ω ω (2.25) (2.24)

Dari persamaan (2.25) didapat persamaan umum tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 2, yaitu

( )

( )

( )

[

(

)

]

2 1 cos 2 1 2 1 ₋ =

∑

= − − n n b e e H N n N j jω ω ω _(2.26) dengan

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = h N n n b 2 2 .

Tipe 3 : Tanggapan impuls tidak simetri dengan N ganjil

Pada kasus ini panjang tapis (N) berjumlah ganjil. Pencarian tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 2 ditunjukkan pada Contoh 2.4.

Contoh 2.4

N = 9. Dengan menggunakan persamaan (2.11) didapatkan fungsi tanggapan frekuensi tapis yaitu sebagai berikut

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

8 ] 7 6 5 4 3 2 1 0 [ 8 7 6 5 4 3 2 1 0 4 3 2 2 3 4 4 8 7 6 5 4 3 2 8 0 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j j j j j j j j j j j j j j n n j j e h e h e h e h h e h e h e h e h e e h e h e h e h e h e h e h e h h e n h e H − − − − − − − − − − − − − = − + + + + + + + + = + + + + + + + + = =

∑

Dengan menggunakan persamaan (2.17) untuk N = 9,

( )

0 h

( )

8, h =− h

( )

1 =−h

( )

7, h

( )

2 =−h

( )

6, h

( )

3 =−h

(

5 (2.27)

)

, maka persamaan (2.27) menjadi

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

2

(

)

( )

3

(

)

( )

4] 1 0 [ 2 2 3 3 4 4 4 h e e h e e h e e h e e h e e H j j j j j j j j j j + − + − + − + − = − − − − − ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω (2.28)

Pada Gambar 2.3(c) terlihat bahwa nilai . Dengan menggunakan

( )

4 =0 h

(

ω ω

)

π

( )

ω m e e

ejm − −jm =2 j 2sin , maka tanggapan frekuensi tapis adalah sebagai berikut

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 sin 2 2

( ) ( )

3 sin ] 2 3 sin 1 2 4 sin 0 2 [ 2 4 ω ω ω ω π ω ω h h h h e e e H j j j + + + = − (2.29)

Dari persamaan (2.29) didapat persamaan umum tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 3, yaitu

( )

( )

( )

( )

( )

n n a e e H N n N j j ω π ω ω 1 2 _sin 1 2 2 1

∑

− = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ₋ − = _(2.30) dengan

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ₋ = h N n n a 2 1 2

Tipe 4 : Tanggapan impuls tidak simetri dengan N genap

Pada kasus ini panjang tapis (N) berjumlah genap. Pencarian tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 2 ditunjukkan pada Contoh 2.5.

Contoh 2.5

N = 8. Dengan menggunakan persamaan (2.11) didapatkan fungsi tanggapan frekuensi tapis yaitu sebagai berikut

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

ω

( )

ω

( )

ω ω ω ω ω ω ω 7 6 5 4 3 2 7 0 7 6 5 4 3 2 1 0 j j j j j j j n n j j e h e h e h e h e h e h e h h e n h e H − − − − − − − = − + + + + + + + = =

∑

(2.31)

Dengan menggunakan persamaan (2.17) untuk N = 8,

( )

0 h

( )

7, h =− h

( )

1 =−h

( )

6, h

( )

2 =−h

( )

5, h

( )

3 =−h

(

4

)

, maka persamaan (2.31) menjadi

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

2

(

)

( )

3

(

)

] 1 0 [ 2 / 2 / 2 / 3 2 / 3 2 / 5 2 / 5 2 / 7 2 / 7 2 / 7 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j j j j j j j e e h e e h e e h e e h e e H − − − − − − + − + − + − = (2.32)

(2.33)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 sin

( )

3 ₂ 2

( )

3 sin

( )

₂] 2 2 5 sin 1 2 2 7 sin 0 2 [ 2 2 / 7 ω ω ω ω π ω ω h h h h e e e H j j j + + + = −

dengan

(

ejmω −e−jmω

)

=2ejπ2sin

( )

mω , maka tanggapan frekuensi tapis menjadi

Dari persamaan (2.33) didapat persamaan umum tanggapan frekuensi untuk tapis FIR tipe 4, yaitu

( )

( )

( )

_sin

(

(

1₂

)

)

2 1 2 2 1 − =

∑

= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ₋ − n n b e e H N n N j j ω π ω ω (2.34) dengan

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = h N n n b 2 2 .

2.4.2 Lokasi Zero Tapis FIR

Tiap tipe tapis FIR memiliki batasan dalam merancang tiap jenis tapis, batasan itu dapat diketahui dengan melihat lokasi zero pada bidang-z. Untuk tapis FIR, terdapat (N−1) pole pada titik asal dan (N−1) zero yang terletak sembarang pada bidang Z.

Untuk tapis FIR fase linear, zero tersebut memiliki simetri tertentu karena batasan simetri pada h

( )

n . Jika zero j i, maka zero terletak pada [5]

i i re

z = ω

1. Jika 0r_i ≠1, ω_i ≠ , maka zero berada pada z=rejω, ejω r z =1 , dan ω j e r z= − e jω r z= 1 − .

2. Jika 0ri =1, ωi ≠ , maka zero berada pada dan . ω j e r z= z = re−jω

3. Jika 0r_i ≠1, ω_i = , atau π , maka zero adalah real dan berada pada

dan ω j e r z= ejω r z =1 .

4. Jika ,r_i =1, ω_i =0 atau π , maka zero terletak pada +1 atau -1 pada unit circle.

Gambar 2.4 Contoh lokasi zero pada tapis FIR [4].

Gambar 2.4 menunjukan contoh lokasi zero dari empat tipe tapis FIR. Perbedaan dari empat tipe tapis FIR adalah dari jumlah zero pada dan

[4]. Jumlah zero pada

1 = z 1 − =

z z =1 dan z=−1 dari tiap tipe tapis FIR adalah sebagai berikut

1. Tapis FIR tipe 1 memiliki jumlah zero genap atau tidak memiliki zero pada dan z =1 z =−1.

2. Tapis FIR tipe 2 memiliki jumlah zero genap atau tidak memiliki zero pada , dan memiliki jumlah zero ganjil pada z =1 z =−1.

3. Tapis FIR tipe 3 memiliki jumlah zero ganjil pada z =1 dan z =−1. 4. Tapis FIR tipe 4 memiliki jumlah zero ganjil pada , dan juga

memiliki jumlah zero genap pada

1 = z 1 − = z .

Gambar 2.5 menunjukkan hubungan antara posisi zero dan ω pada bidang-z. Kehadiran zero pada z =±1 menjadi batasan penggunaan tapis FIR untuk merancangan tapis. Sebagai contoh, ketika tapis FIR tipe 2 selalu memiliki zero pada z=−1, berarti tanggapan frekuensi pada ω =π selalu bernilai nol, sehingga jenis ini tidak dapat digunakan untuk merancang highpass filter (lihat Gambar 2.7). Demikian juga tapis FIR tipe 4 yang memiliki zero pada z =1 tidak dapat digunakan untuk merancang lowpass filter karena tanggapan frekuensi pada ω =0 selalu bernilai nol. Tapis FIR tipe 3 tidak dapat digunakan untuk merancang lowpass maupun highpass filter karena terdapat zero pada

dan . Sedangkan tipe 1 tapis FIR tidak memiliki batasan dan dapat digunakan untuk merancang semua jenis tapis.

1 =

Gambar 2.5 Unit circle pada bidang komplek [6]. z-plane

Zero pada z= re−jω

r

2.5 Langkah-langkah Perancangan Tapis FIR

Perancangan tapis FIR terdiri dari lima langkah, yaitu sebagai berikut [2] (1) Menentukan spesifikasi tapis, seperti frekuensi cutoff, passband ripple,

stopband attenuation, lebar bidang transisi dan frekuensi sampling.

(2) Menghitung koefisien tapis. Pada langkah ini, koefisien dari fungsi transfer, , yang memenuhi spesifikasi yang diberikan pada langkah (1) dihitung.

( )

z H

(3) Realisasi struktur tapis, yaitu mengubah fungsi transfer yang diperoleh pada langkah (2) ke bentuk struktur tapis yang sesuai.

(4) Analisa finite wordlenght effect. Pada bagian ini, efek dari mengkuantisasikan koefisien tapis dan data masukan seperti halnya efek yang terjadi jika jumlah bit untuk menyatakan koefisien terbatas dianalisa. (5) Implementasi tapis. Bagian ini meliputi pembuatan kode software dan atau

pembuatan hardware untuk mengimplementasikan tapis yang sesuai dengan spesifikasi yang diberikan pada langkah (1).

2.6 Spesifikasi Tapis FIR

Gambar 2.6 memperlihatkan spesifikasi tanggapan frekuensi tapis lowpass dengan ripple yang seragam pada passband dan stopband. Spesifikasi ini digunakan untuk merancang tapis dengan metode optimal. Mengacu pada Gambar 2.6, parameter yang diperlukan adalah

p

δ passband ripple

s

δ stopband attenuation

p

f passband edge frequency

s

f stopband edge frequency

s

F frekuensi sampling

Biasanya δp dan δs diekspresikan dalam bentuk desibel. Jarak diantara dan

disebut transition width tapis. Parameter penting yang lain adalah panjang tapis (filter length), N, yang menunjukkan jumlah koefisien tapis. Parameter diatas juga digunakan pada tapis highpass dan bandpass.

p

f f_s

Gambar 2.6 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan ripple yang seragam pada passband dan stopband [2].

Gambar 2.7 memperlihatkan spesifikasi tanggapan frekuensi tapis lowpass dengan ripple yang tidak seragam pada passband dan stopband. Spesifikasi ini digunakan untuk merancang tapis dengan metode jendela. Mengacu pada Gambar 2.7, parameter yang diperlukan adalah

p δ passband ripple s δ stopband attenuation c f cutoff frequency s

f stopband edge frequency

s

F frekuensi sampling

Cutoff frequency adalah frekuensi saat daya keluaran tapis berkurang sampai setengah kali daya pada passband yaitu pada -3 desibel. Hal ini ekuivalen dengan amplitude yang berkurang 70.7% dari amplitude pada passband [7]. Jarak diantara

dan disebut transition width tapis.

c

f fs

Gambar 2.7 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan ripple yang tidak seragam pada passband dan stopband [6].

Normalisasi frekuensi

Normalisasi frekuensi adalah proses membagi suatu nilai frekuensi dengan nilai frekuensi sampling. Pada tapis digital, normalisasi frekuensi dilakukan pada frekuensi cutoff dan transition width.

2.7 Metode Perancangan Tapis FIR

2.7.1 Metode Jendela (Window Method)

Ide dasar dalam perancangan jendela adalah memilih tapis frekuensi terpilih ideal yang tepat (tanggapan impuls durasi tak hingga) dan memotong tanggapan impuls untuk mendapatkan sebuah tapis FIR yang memiliki fase linear [3]. Oleh karena itu penekanan pada metode ini adalah pada pemilihan sebuah fungsi penjendelaan (windowing) yang tepat dan sebuah tapis ideal yang tepat.

Tapis frekuensi terpilih ideal yang dinyatakan dengan

( )

jω d e

H , memiliki suatu perolehan magnitude satuan dan karakteristik fase linear pada passband, dan tanggapan nol pada stopband [2]. Sebuah tapis pelewat rendah (lowpass filter) ideal dengan lebar bidang ω_c<π diberikan oleh

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < ≤ π ω ω ω ω ω c c j d e H , 0 , 1 (2.35)

Dengan ω_c adalah frekuensi cutoff . Tanggapan impuls tapis ini berdurasi tak hingga, yaitu

( )

( )

(

)

(

)

0 , 2 0 , sin 2 sin 2 1 2 1 = = = ≠ = = = =

_∫

_∫

− − n f n n n f n n d e d e H n h c c c c c c n j n j d d c c π ω ω ω π ω ω π ω ω π ω ω ω ω π π (2.36)

Tanggapan frekuensi ideal ditunjukan pada Gambar 2.8, sedangkan tanggapan impuls ideal untuk beberapa jenis tapis dapat dilihat pada tabel 2.1.

Gambar 2.8 Tanggapan frekuensi ideal dari tiga jenis tapis: (a) lowpass filter ideal, (b) highpass filter ideal, dan (c) bandpass filter ideal [5].

Tabel 2.1 Tanggapan impuls ideal beberapa jenis tapis [8].

Tanggapan impuls ideal, h_d

( )

n

Jenis Tapis

_{( )}

2 , _n N n h_d ≠ h_d

( )

N₂ Lowpass

(

(

(

)

)

)

2 2 sin N n N n c − − π ω c f 2 Highpass

(

(

(

)

)

)

2 2 sin N n N n c − − − π ω c f 2 1− Bandpass

(

(

(

)

)

)

(

(

(

)

)

)

2 2 sin 2 2 sin 1 2 N n N n N n N n _c c − − − − − π ω π ω

(

2 1

)

2 f − f

Secara umum, koefisien tanggapan impuls tapis, h

( )

n , dapat diperoleh

sebagai bentuk yang dihasilkan dari perkalian h_d

( )

n dan sebuah fungsi jendela, .

( )

n W

h

( )

n =hd

( )

n •W

( )

n (2.37)

Bergantung kepada bagaimana menentukan W

( )

n diatas, akan didapatkan

fungsi jendela yang berbeda. Sebagai contoh, runtun jendela yang paling sederhana adalah jendela persegi yang didefinisikan sebagai berikut

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _≤ = lainnya n n n W , 0 2 , 1 (2.38)

Pada kawasan frekuensi tanggapan tapis FIR

( )

jω

e

H diberikan oleh konvolusi atas

( )

jω

d e

H dan tanggapan jendela W

( )

ejω , yaitu[2]

( )

ω

( ) ( )

jω jω d j e W e H e H = ∗ (2.39)

Oleh karena itu, ide dasar metode jendela dapat dirangkum sebagai berikut

( )

jω

d e

H : tanggapan frekuensi ideal.

( )

( )

ω π ω π π ω d e e H n h_d

∫

_d j j n − = 2 1

( )

( ) ( )

( )

ω

( ) ( )

jω jω d j d n W n H e H e W e h n h = • ⇒ = ∗

Hamming Window

Fungsi dari Hamming window adalah sebagai berikut [9]

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = lainnya N n untuk N n n W 0 1 0 1 2 cos 46 . 0 54 . 0 π (2.40)

Hubungan yang sesuai antara transition width dan panjang tapis (filter length) untuk merancang tapis dengan Hamming window adalah

N f =3.3

Δ (2.41)

Dengan N adalah panjang tapis dan Δ transition width yang ternormalisasi. f Stopband attenuation maksimum yang mungkin untuk Hamming window adalah sekitar 53 dB, dan puncak passband ripple minimum adalah sekitar 0.0194 dB.

Hanning Window

Fungsi dari Hanning window adalah sebagai berikut

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _{≤ ≤ −} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = lainnya N n untuk N n n W 0 1 0 1 2 cos 5 . 0 5 . 0 π (2.42)

Hubungan yang sesuai antara transition width dan panjang tapis (filter length) untuk merancang tapis dengan Hanning window adalah

N f =3.1

Dengan N adalah panjang tapis dan Δ transition width yang ternormalisasi. f Stopband attenuation maksimum yang mungkin untuk Hamming window adalah sekitar 44 dB, dan puncak passband ripple minimum adalah sekitar 0.0546 dB.

Blackman Window

Fungsi dari Blackman window adalah sebagai berikut

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _{≤ ≤ −} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = lainnya N n untuk N n N n n W 0 1 0 1 4 0.08cos 1 2 cos 5 . 0 42 . 0 π π _(2.44)

Hubungan yang sesuai antara transition width dan panjang tapis (filter length) untuk merancang tapis dengan Blackman window adalah

N f =5.5

Δ (2.45)

Dengan N adalah panjang tapis dan Δ transition width yang ternormalisasi. f Stopband attenuation maksimum yang mungkin untuk Hamming window adalah sekitar 74 dB, dan puncak passband ripple minimum adalah sekitar 0.0017 dB.

Kaiser Window

Fungsi dari Kaiser window adalah sebagai berikut

( )

(

)

[

]

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − lainnya N n untuk n W _I N n I 0 1 0 0 2 1 2 1 0 β β (2.46)

( )

χ

0

I adalah fungsi Bessel jenis pertama yang dimodifikasi. I₀

( )

χ biasanya dihitung menggunakan power series expansion :

( )

( )

2 1 ! 2 1 0 ∑ _⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = L k k k I χ χ (2.47) Umumnya L<25.

Nilaiβ ditentukan berdasarkan stopband attenuation yang diperlukan dan dapat diperkirakan dari salah satu hubungan empiris dibawah ini

(

)

(

)

(

A

)

jika A dB dB A dB jika A A dB A jika 50 7 . 8 1102 . 0 50 21 21 07886 . 0 21 5842 . 0 21 0 4 . 0 ≥ − = < < − + − = ≤ = β β β (2.48a) (2.48b) (2.48c)

Dengan = -20logA 10(δ) adalah stopband attenuation, δ = min(δp, δs), ketika nilai

passband dan stopband ripple mendekati sama. δp adalah passband ripple yang

diharapkan dan δs adalah stopband ripple yang diharapkan. Passband ripple

aktual ( ) dan stopband attenuation minimum ( ) dalam desibel dihitung dengan [4] p A As (2.49) dan (2.50)

Jumlah koefisien tapis, N, dihitung menggunakan persamaan berikut [5] f A N Δ − ≥ 36 . 14 95 . 7 (2.51)

Dengan Δf adalah transition width yang ternormalisasi. Nilai β dan digunakan untuk menghitung koefisien Kaiser window,

N

( )

n

W .

Rangkuman beberapa hal penting yang berkaitan dengan berbagai fungsi jendela dapat dilihat pada tabel 2.2. Untuk semua jenis window, kecuali kaiser window, parameter yang dapat dipilih atau diubah hanya jumlah koefisien tapis (N), parameter lain seperti passband ripple dan stopband attenuation bersifat tetap. Hal ini disebabkan karena rectangular window, hanning window, hamming window dan Blackman window memiliki karakteristik yang tetap [2].

Tabel 2.2 Karakteristik beberapa fungsi jendela [2], [9].

Nama runtun jendela Transition width (Hz) (Ternormalisasi) Passband ripple (dB) Main lobe relative to side lobe (dB) Stopband attenuation (dB) (maximum) Window function W(n), 1 0≤n≤N − Persegi 0.9/N 0.7416 13 21 1 Hanning 3.1/N 0.0546 31 44 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 2 cos 5 . 0 5 . 0 N n π Hamming 3.3/N 0.0194 41 53 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 2 cos 46 . 0 54 . 0 N n π Blackman 5.5/N 0.0017 57 74 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − 1 4 cos 8 . 0 1 2 cos 5 . 0 42 . 0 N n N n π π 2.93/N (β=4.54) 0.0274 50 4.32/N (β=6.76) 0.00275 70 Kaiser 5.71/N (β=8.96) 0.000275 90

(

)

[

]

( )

β β 0 2 1 2 1 0 I N n I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −}

2.7.2 Metode Optimal

Dalam merancang tapis FIR dengan metode perancangan tapis optimal, terdapat suatu program yang sudah umum dikenal, yaitu program Parks-McClellan yang menghasilkan tapis optimal. Optimal dapat didefinisikan dalam berbagai cara. Program Parks-McClellan menggunakan algoritma pertukaran Remez (remez exchange algorithm) untuk mengoptimasi rancangan tapis dengan memilih tanggapan impuls dari panjang yang diberikan (N), yang meminimalkan riak puncak pada passband dan stopband [3]. Dengan meminimalkan puncak atau riak maksimum, sama artinya dengan membuat semua puncak lokal pada riak tersebut bernilai sama satu dengan yang lainnya. Pada umumnya tapis jenis ini disebut tapis riak-seragam (equiripple) karena puncak lokalnya memiliki deviasi yang sama terhadap tanggapan tapis yang diinginkan. Karena deviasi riak maksimum diminimalkan dalam prosedur optimisasi ini, maka tapis jenis ini disebut juga tapis minimax (meminimalkan riak maksimum).

Bentuk umum tanggapan frekuensi

( )

jω

e

H untuk tapis FIR adalah [4]

( )

ω ω/2 ˆ

( )

_ω , H e

e

H j = −jN (2.52)

dengan tanggapan amplitude Hˆ

( )

ω adalah fungsi real dari ω . Fungsi pembobot (weighted) pada kasus ini melibatkan tanggapan amplitude yang dirumuskan dengan

( )

ω

( ) ( )

ω

[

ˆ ω

( )

ω

]

,

dengan D

( )

ω adalah tanggapan amplitude yang diharapkan dan W

( )

ω adalah

fungsi pembobot positif. W

( )

ω dipergunakan untuk mengontrol ukuran relatif

dari puncak error pada suatu band frekuensi. Pada metode optimal, perancangan ditujukan untuk menghitung koefisien tapis, h

( )

n , yang mempunyai nilai error

pembobot maksimum,

ε

( )

ω , yang minimal pada passband dan stopband. Secara matematika dapat diekspresikan sebagai

( )

[

max

ε

ω

]

min (2.54)

pada passband dan stopband. Ketika max

ε

( )

ω minimal, tapis akan memiliki riak yang seragam pada passband dan stopband.

Jika nilai minimum dari nilai absolut puncak

ε

( )

ω pada band ωa ≤ω≤ωb

adalah ε₀, maka error absolut memenuhi

( )

( )

_{( )}

0 , . ˆ b a W D H ω ω ω ω ε ω ω − ≤ ≤ ≤ (2.55)

Pada aplikasi perancangan tapis, tanggapan amplitude yang diharapkan dirumuskan dengan

( )

⎩ ⎨ ⎧ = , pada , 0 , pada , 1 stopband passband Dω (2.56)

Gambar 2.9 menunjukkan tanggapan amplitude yang diharapkan pada tiap band frekuensi untuk tapis lowpass, highpass dan bandpass.

Gambar 2.9 Tanggapan amplitude yang diharapkan untuk: (a) tapis lowpass, (b) tapis highpass (c) tapis bandpass [5].

dan diperlukan tanggapan amplitudeHˆ

( )

ω untuk memenuhi tanggapan yang diharapkan dengan riak ±δ_p pada passband, dan riak δ_s pada stopband. Dari persamaan (2.53) fungsi pembobot dapat dituliskan sebagai berikut

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = , pada , , pada , 1 stopband passband W s p δ δ ω (2.57) atau

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = , pada , 1 , pada , stopband passband W s p δ δ ω (2.58)

Jumlah koefisien filter, N, dihitung menggunakan persamaan berikut

(

) (

)(

[

)

]

(

)

, 2 2 , , 2 π ω ω π ω ω δ δ δ δ p s p s s p s p F D N − − − ≅ ∞ (2.59) dengan

(

)

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

[

log log

]

, log log log , 6 10 5 2 10 4 10 3 10 2 2 10 1 a a a a a a D p p s p p s p + + − + + = ∞ δ δ δ δ δ δ δ (2.60)

(

_p, _s

)

b₁ b₂

[

log_{10 p} log_{10 s}

]

, Fδ δ = + δ − δ (2.61) dan . 51244 . 0 , 01217 . 11 , 4278 . 0 , 5941 . 0 , 00266 . 0 , 4761 . 0 , 07114 . 0 , 005309 . 0 2 1 6 5 4 3 2 1 = = = = = − = = = b b a a a a a a (2.62)

Dengan beberapa manipulasi, tanggapan amplitude untuk tiap tipe tapis FIR dapat diekspresikan dalam bentuk yang sama. Sehingga dengan menggunakan algoritma yang sama dapat dirancang semua tipe tapis FIR. Untuk menemukan bentuk umum tanggapan amplitude, akan diuraikan tiap-tiap tipe tapis FIR.

Untuk tapis FIR tipe 1, dengan menggunakan notasi tanggapan amplitude dari persamaan (2.22) dapat dituliskan dalam bentuk

M N =2

( )

[ ]

cos

( )

, ˆ 0 k k a H M k ω ω

∑

= = (2.63)

dengan

[ ] [ ]

0 hM , a

[ ]

k 2h

[

M k

]

, 1 k M,

a = = − ≤ ≤ (2.64)

Untuk tapis FIR tipe 2, tanggapan amplitude dari persamaan (2.26) dapat dituliskan dalam bentuk

( )

( )

[ ]

cos

(

(

1₂

)

)

, ˆ 2 1 2 1 − =

∑

+ = k k b H M k ω ω (2.65) dengan

[ ]

2 1 2 2 1 2 1 , 2 _⎢⎣⎡ + − _⎥⎦⎤ ≤ ≤ + = h M k k M k b (2.66)

Persamaan (2.65) dapat diekspresikan dalam bentuk

( )

cos

( )

₂( ) ~

[ ]

cos

( )

, ˆ 2 1 2 0 k k b H M k ω ω ω

∑

− = = (2.67) dengan

[ ]

(

~

[ ]

1 2~

[ ]

0 2 1 1 b b b = +

)

(2.68a)

[ ]

(

[ ] [

]

)

2 1 2 2 , 1 ~ ~ 2 1 _{+ − ≤ ≤} − = b k b k k M k b (2.68b) , 2 1 2 ~ 2 1 2 1 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + M b M b (2.68c)

Tanggapan amplitude untuk tapis FIR tipe 3 yang diberikan oleh persamaan (2.30) dapat dituliskan dalam bentuk

( )

_∑

[ ]

( )

= = M k k k c H 1 , sin ˆ _{ω ω (2.69)} dengan

[ ]

k 2h

[

M k

]

, 1 k M. c = − ≤ ≤ (2.70)

Persamaan (2.69) dapat diekspresikan dalam bentuk

( )

_∑

−

[ ]

( )

= = 1 0 , cos ~ sin ˆ M k k k c H ω ω ω (2.71) dengan

[ ] [ ]

~

[ ]

1, 2 1 0 ~ 1 c c c = − (2.72a)

[ ]

(

~

[

1

] [ ]

~

)

, 2 1, 2 1 _{− − ≤ ≤ −} = c k c k k M k c (2.72b)

[ ]

~

[

1. 2 1 ₋ = c M M c

]

(2.72c)

Tanggapan amplitude untuk tapis FIR tipe 4 yang diberikan oleh persamaan (2.34) dapat dituliskan dalam bentuk

( )

( )

[ ]

, 2 1 sin ˆ 2 1 2 1

∑

+ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = M k k k d H ω ω (2.73)

dengan

[ ]

, 2 1 2 1 , 2 1 2 2 _⎢⎣⎡ + − _⎥⎦⎤ ≤ ≤ + = h M k k M k d (2.74)

Persamaan (2.73) dapat diekspresikan dalam bentuk

( )

sin

( )

₂( ) ~

[ ]

cos

( )

, ˆ 2 1 2 0

∑

− = = M k k k d H ω ω ω (2.75) dengan

[ ] [ ]

~

[ ]

1, 2 1 0 ~ 1 d d d = − (2.76a)

[ ]

(

[

] [ ]

)

, 2 1 2 2 , ~ 1 ~ 2 1 _{− − ≤ ≤} − = d k d k k M k d (2.76b) . 2 1 2 ~ 2 1 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + M d M d (2.76c)

Dengan mengamati persamaan (2.63), (2.67), (2.71) dan (2.75), terlihat bahwa tanggapan amplitude untuk semua tipe tapis FIR dapat dituliskan dalam bentuk

( )

( ) ( )

, ˆ _{ω Qω Aω}

H = (2.77)

dengan faktor pertama, Q

( )

ω , adalah