BAB III. PENEMUAN GEOMETRI NON-EUCLIDEAN
“Dari ketiadaan saya telah menciptakan alam semesta baru yang aneh” (JOHANN BOLYAI)
28. Pengantar
Awal abad kesembilan belas menemukan teka-teki keras dari Postulat Kelima masih belum terpecahkan. Tapi seseorang seharusnya tidak mendapat kesan bahwa usaha untuk membuktikan Postulat, yang dilakukan selama lebih dari dua puluh abad, sama sekali tidak membuahkan hasil. Perlahan tapi pasti mereka telah memikirkan spekulasi geometri sampai pada titik di mana penemuan Geometri Npn-EucJidean tidak bisa lama tertunda. Kalau dipikir-pikir lagi, pada mulanya kita bertanya-tanya, bahwa persiapan ini seharusnya sudah berlangsung lama, namun pada pemikiran kedua keajaiban bahwa penemuan penting semacam itu terjadi sejak awal.
Pada saat ide-ide baru itu mengkristal, filsafat Kant (1714-1804) mendominasi situasi ini, dan filsafat ini memperlakukan ruang angkasa bukan sebagai empiris, tapi juga intuitif. Dari sudut pandang ini, ruang dianggap sebagai sesuatu yang sudah ada dalam pikiran dan bukan sebagai konsep yang dihasilkan dari pengalaman eksternal. Pada hari itu diperlukan tidak hanya ketajaman, tapi keberanian, untuk mengenali bahwa geometri menjadi ilmu eksperimental, setelah diterapkan pada ruang fisik, dan bahwa dalil dan konsekuensinya hanya perlu diterima jika sesuai dan jika mereka cukup setuju dengan data eksperimen.
Tapi perubahan sudut pandang berangsur-angsur datang. Penemuan Geometri Non-Euclidean akhirnya menyebabkan kehancuran total konsepsi ruang Kantian dan akhirnya tidak hanya mengungkapkan perbedaan sejati antara konsep dan pengalaman tapi, yang lebih penting lagi, keterkaitannya.
Kami tidak terkejut bahwa, ketika saatnya tiba, penemuan Geometri Non-Euclidean tidak dibuat oleh satu orang, namun secara independen oleh beberapa orang di berbagai belahan dunia. Hal ini telah terjadi lebih dari satu kali dalam sejarah matematika dan pasti akan terjadi lagi. Ayah dari Johann Bolyai, salah satu pendiri Geometri Non Euclidean, meramalkan hal ini ketika, dalam sepucuk surat kepada putranya yang mendesak agar dia mengumumkan penemuannya tanpa penundaan, dia menulis, "Sepertinya saya dianjurkan, jika Anda benar-benar berhasil mendapatkan pemecahan masalah, bahwa, untuk dua kali lipat, terbitannya segera tergesa-gesa: pertama, karena gagasan dengan mudah berpindah dari satu ke yang lain yang, dalam hal ini, dapat menerbitkannya; kedua, karena tampaknya benar bahwa banyak hal memiliki, seperti sebuah zaman di mana mereka ditemukan di beberapa tempat secara bersamaan, sama seperti bunga violet muncul di semua sisi pada musim semi. "
Dan terjadilah bahwa secara independen dan pada saat bersamaan menemukan geometri logis yang konsisten, di mana Postulat kelima ditolak, dibuat oleh Gauss di Jerman, Bolyai di Hungaria dan Lobachewsky di Rusia.
Pada pergantian abad, selama tahun-tahun kritis dalam evolusi geometri, tokoh dominan di dunia matematika adalah Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Tentu saja dia tidak mengambil bagian kecil dalam pengembangan gagasan yang menyebabkan ditemukannya sistem geometri baru. Beberapa hasil dari meditasi dan penelitian selama bertahun-tahun tentang masalah yang terkait dengan Postulat Kelima diterbitkan atau dipublikasikan selama masa hidupnya. Beberapa surat yang ditulis kepada orang lain yang tertarik dengan masalah tersebut, dua terbitan terbitan yang diterbitkan mengenai paragraf tertentu dan beberapa catatan yang ditemukan di antara makalahnya memberi sedikit bukti bahwa dia mungkin yang pertama memahami dengan jelas kemungkinan geometri logis yang berbeda dari yang ada di Euclid's . Dialah yang pertama kali menyebut geometri baru Non Euclidean. Korespondensi dan ulasan2 mengacu pada garis besar yang agak jelas kemajuan yang dia buat dalam studi paralel, dan menunjukkan bahwa pengakuan terhadap geometri baru tidak datang secara tiba-tiba namun baru setelah bertahun-tahun berpikir.
Tampak jelas bahwa, bahkan sampai akhir dekade pertama abad baru, Gauss, yang melakukan perjalanan dengan jejak Saccheri dan Lambert, dengan buku-buku yang mungkin sudah dikenalnya, masih berusaha membuktikan Postulat Kelima oleh reductto ad absurdum. metode, tapi ia sepenuhnya mengenali karakter mendalam dari hambatan yang dihadapi. Pada dasawarsa kedua ia memulai perumusan gagasan tentang geometri baru, untuk mengembangkan teorema dasar dan untuk menghilangkan keraguannya. Tidak ada kata-kata yang bisa menggambarkan sifat penemuannya, signifikansi yang melekat padanya, sikapnya terhadap konsep ruang saat ini dan ketakutannya untuk disalahpahami, setengah begitu baik seperti kata-katanya sendiri dalam sebuah surat yang ditulis di Gottingen pada 8 November 1814 ke FA Taurinus Berikut ini adalah terjemahan dari dokumen penting ini. "Saya belum membaca tanpa sepengetahuan surat lamamu bulan Oktober} dengan abstrak terlampir, terlebih lagi karena sampai sekarang saya sudah terbiasa menemukan sedikit jejak wawasan geometris yang sebenarnya di antara mayoritas orang yang baru mulai menyelidiki- disebut Teori Paralel.
mengandung apa-apa. Misalnya, tiga sudut segitiga menjadi kecil seperti yang diinginkan, jika hanya sisi yang diambil cukup besar; Namun luas segitiga tidak akan pernah melebihi batas yang pasti, terlepas dari seberapa besar sisi yang diambil, dan juga tidak pernah bisa mencapai batas itu. Semua usaha saya untuk menemukan kontradiksi, inkonsistensi, dalam Geometri Non-Euclidean ini tidak ada hasilnya, dan satu hal di dalamnya yang bertentangan dengan konsepsi kita adalah bahwa, jika memang benar, harus ada ruang angkasa yang memiliki skala linier. , ditentukan untuk dirinya sendiri (tapi tidak kita ketahui). Tapi menurut saya, kita tahu, terlepas dari kata-kata bijak-kebijaksanaan para metafisik, terlalu sedikit, atau hampir tidak ada sama sekali, tentang sifat sebenarnya dari ruang, untuk dianggap sama sekali tidak mungkin yang tampaknya tidak wajar bagi kita. Jika Geometri Non-Euclidean ini benar, dan adalah mungkin untuk membandingkan konstanta itu dengan besaran seperti yang kita temukan dalam pengukuran kita di bumi dan di langit, maka dapat ditentukan sebuah posteriori. Konsekuensinya, dalam bercanda saya kadang-kadang menyatakan keinginan bahwa Geometri Euclidean tidak benar, karena sejak itu kita memiliki standar ukuran standar yang apriori.
'Saya tidak takut bahwa setiap orang yang telah menunjukkan bahwa dia memiliki pemikiran matematika yang bijaksana akan salah memahami apa yang telah dikatakan di atas, namun bagaimanapun juga, menganggapnya sebagai komunikasi pribadi yang tidak digunakan atau digunakan publik dengan cara apapun untuk publisitas adalah dengan dibuat. Mungkin saya sendiri, jika saya memiliki waktu senggang lebih jauh daripada keadaan saya saat ini, jadikan penyelidikan umum untuk saya. *
Kegagalan Gauss untuk mengumumkan hasilnya membuatnya tak terelakkan bahwa dunia menahan sebagian dari kehormatan yang mungkin sepenuhnya miliknya. Seperti yang akan kita lihat, orang lain yang sampai pada kesimpulan yang sama, walaupun mungkin sebentar kemudian, segera menyampaikan gagasan tersebut dan dengan berani menerbitkannya. Sesuai dengan kemuliaan ini dalam bentuknya yang paling penuh adalah adil. Tapi seseorang tidak bisa gagal sama sekali untuk bersimpati dengan Gauss dalam keengganannya untuk membocorkan penemuannya. Pada zamannya banyak matematikawan terkemuka, yang didominasi oleh filsafat Kant, sampai pada kesimpulan bahwa misteri Postulat Kelima tidak akan pernah bisa dipecahkan. Masih ada orang-orang yang melanjutkan penyelidikan mereka, tapi kemungkinan besar dianggap sebagai engkol. Mungkin itu ejekan geometri sombong dan dangkal yang ditakuti Gauss. Kita juga tidak bisa mengatakan bahwa ia kurang berani daripada orang-orang yang mengumumkan hasil mereka. Dibanding dia, mereka tidak jelas, tanpa reputasi yang harus dijunjung tinggi dan tidak banyak yang kalah. Gauss, di sisi lain, telah naik tinggi. Jika dia terjatuh, dia akan jauh tertinggal.
Dalam sebuah surat 4 kepada Schumacher, tertanggal 17 Mei 1831, dan mengacu pada masalah kesejajaran, Gauss menulis: "Saya telah mulai menulis beberapa minggu terakhir beberapa meditasi saya sendiri, yang sebagian tidak pernah saya pakai sebelumnya. secara tertulis, jadi saya sudah harus memikirkan semuanya baru tiga atau empat kali Tapi saya berharap ini tidak binasa dengan saya. "
seperti Bolyai dan Lobachewsky, memilih untuk mengasumsikan bahwa melalui suatu titik lebih dari satu paralel (dalam pengertian Euclid) dapat ditarik ke garis tertentu.
Tidak perlu membuat sketsa melalui rincian sedikit yang ditulisnya; Hal ini pada dasarnya sama dengan teori dasar yang disajikan dalam beberapa halaman pertama bab berikutnya. Dia tidak pergi jauh untuk merekam renungannya; Catatannya terhenti tiba-tiba. Untuk pada tanggal 14 Februari 1831 ia menerima salinan Appendix byjohann Bolyai yang terkenal.
30. Bolyai
Saat belajar di Gottingen, Gauss bernomor di antara teman-temannya seorang Hungaria, Wolfgang Bolyai 6 (Bolyai Farkas, 1775-1856), seorang pelajar di sana dari tahun 1796 sampai 1799. Sudah pasti beberapa masalah yang sering dibahas berkaitan dengan teori paralel. Setelah mereka meninggalkan Universitas, mereka melanjutkan korespondensi mereka. Sebuah surat 6 yang ditulis oleh Gauss ke Bolyai pada tahun 1799 menunjukkan bahwa keduanya pada saat itu masih berusaha membuktikan Postulat Kelima. Pada tahun 1804, Bolyai, yakin bahwa dia telah berhasil melakukan ini, mempresentasikan gagasannya dalam sebuah buku kecil berjudul Theoria Parallelarum? yang dikirimnya ke Gauss, dilampiri surat. Tapi buktinya salah, dan Gauss, yang menjawab, menunjukkan kesalahannya. Tanpa gentar, Bolyai terus beralasan di sepanjang garis yang sama dan, empat tahun kemudian, dikirim ke Gauss sebuah kertas pelengkap. 8 Dia tampaknya berkecil hati saat Gauss tidak menjawab, dan mengalihkan perhatiannya pada hal-hal lain. Namun, selama dua dekade berikutnya, meski memiliki beragam minat sebagai profesor, penyair, pemerhati drama, pemusik, penemu dan pemersatu, dia berhasil mengumpulkan gagasannya tentang matematika dasar dan akhirnya menerbitkannya pada tahun 1831-33 dalam dua karya volume yang akan kami sebut. sebentar Tentamen * Wolfgang Bolyai adalah seorang pria berbakat dan cakap, namun klaimnya untuk terkenal pasti didasarkan pada kenyataan bahwa dia adalah ayah Johann.
Pada tanggal 15 Desember 1801 lahirlah Johann Bolyai (Bolyai Janos, i8o2.-i86o). "Dia, Surga dipuji," tulis Wolfgang kepada Gauss pada tahun 1803, anak yang sehat dan sangat cantik, dengan disposisi yang baik, rambut hitam dan alis, dan mata biru yang terbakar, yang kadang berkilau seperti dua permata. "Dan selama tahun-tahun menjelang penerbitan Tentamen, Johann telah berkembang menjadi kedewasaan.
Dalam usahanya untuk membuktikan Postulat Kelima dengan menolaknya, Bolyai memilih untuk menganggap asumsi tersebut dalam bentuk yang telah kita tetapkan sebagai Axiom Playfair, dan yang menegaskan bahwa satu dan hanya satu garis paralel dapat ditarik melalui suatu titik tertentu ke suatu garis. Penyangkalan Postulat kemudian menyiratkan bahwa tidak ada garis sejajar yang dapat ditarik melalui titik atau bahwa lebih dari satu paralel semacam itu dapat ditarik. Namun, sebagai konsekuensi dari Euclid 1, 2.7 dan 18, asalkan garis lurus dianggap sebagai tak terbatas, bekas dari dua implikasi harus dibuang. Selanjutnya, jika setidaknya ada dua kesejajaran garis melalui titik, maka harus ada jumlah paralel yang tak terbatas dalam pengertian Euclid. Jika, misalnya, dua jalur CD dan EF (Gambar 10) sampai P tidak memotong AB, maka hal yang sama akan berlaku untuk semua jalur melalui P yang terletak di dalam sudut vertikal EPC dan DPF. Dalam substansi Bolyai, seperti yang dilakukan Gauss
dan Lobachewsky, kemudian berpendapat bahwa jika seseorang memulai dengan PQ tegak lurus terhadap AB dan memungkinkan PQ untuk memutar tentang P ke arah mana pun, ia akan terus memotong AB sementara dan berhenti memotongnya. Dengan demikian ia menyebabkan postulat adanya dua garis melalui P yang memisahkan garis-garis yang memotong AB dari yang tidak. Karena untuk rotasi PQ di kedua arah tidak ada garis potong terakhir, garis-garis yang didalilkan ini harus menjadi yang pertama dari garis non-cutting. Ini akan mengembangkan bahwa dua garis sejajar dengan AB memiliki sifat yang sangat berbeda dari garis lain melalui P yang tidak memotong AB.
untuk semua geometri terlepas dari asumsi apa yang dibuat tentang kesejajaran. Ini dia anggap sebagai menyatakan fakta absolut tentang ruang dan membentuk dasar geometri mutlak.
Ide-ide ini tentu saja mulai terbentuk, bagaimanapun, pada tahun 1813 ketika Bolyai baru berusia dua puluh satu tahun. Ekstrak berikut dari surat 10, yang ditulis untuk ayahnya pada 3 November 1813, menunjukkan seberapa jauh ia telah pergi dengan penemuannya dan seberapa dalam ia dipengaruhi oleh mereka.
"Sekarang adalah rencana pasti saya untuk mempublikasikan karya tentang kesejajaran segera setelah saya dapat menyelesaikan dan mengatur materi dan kesempatan menyajikannya sendiri, pada saat ini saya masih belum jelas melihat jalan saya, tetapi jalan yang saya ikuti memberikan bukti positif bahwa tujuan akan tercapai, jika itu mungkin, saya belum cukup mencapai itu, tetapi saya telah menemukan hal-hal yang luar biasa sehingga saya kagum dan itu akan menjadi bagian takdir abadi yang kekal jika mereka hilang. Ketika Anda, Bapa tercinta, lihatlah mereka, Anda akan mengerti; saat ini saya tidak dapat mengatakan apa pun kecuali ini: bahwa dari ketiadaan saya telah menciptakan alam semesta baru yang aneh. Semua yang telah saya kirimkan sebelumnya seperti sebuah rumah kartu yang dibandingkan. dengan menara. Saya tidak kurang yakin bahwa penemuan-penemuan ini akan membawa saya kehormatan, daripada saya akan jika mereka selesai. "
Sebagai jawaban, Bolyai tua menyarankan bahwa karya yang diusulkan diterbitkan sebagai lampiran ke Tentamen-nya, dan mendesak agar ini dilakukan dengan penundaan sesedikit mungkin. 11 Tetapi formulasi resuit dan perluasan ide muncul secara perlahan. Pada bulan Februari 1815, bagaimanapun, Johann mengunjungi ayahnya dan membawa garis besar karyanya. Akhirnya pada tahun 1819 ia menyerahkan manuskripnya dan, terlepas dari kenyataan bahwa ayah dan putranya tidak setuju pada beberapa poin, ada yang diterbitkan pada tahun 1831 pada Apendiks.
Sebelumnya, pada tahun 1831, ingin tahu apa yang akan dikatakan Gauss tentang penemuan putranya, Wolfgang telah mengiriminya ringkasan Apendiks, tetapi gagal untuk menghubunginya. Pada bulan Februari, 1831, Gauss menerima salinan muka dari Apendiks. Jawabannya, 13 yang ditulis untuk Wolfgang pada 6 Maret 1831, memuat pernyataan berikut tentang karya Johann.
"Jika saya mulai dengan pernyataan bahwa saya tidak berani memuji pekerjaan seperti itu, Anda tentu saja akan terkejut sesaat: tetapi saya tidak dapat melakukan sebaliknya; untuk memuji itu akan berarti memuji diri sendiri; untuk seluruh isi karya, jalan yang telah diambil putra Anda, hasil yang dituntunnya, bertepatan hampir persis dengan meditasi saya sendiri yang telah menguasai pikiran saya selama tiga puluh hingga tiga puluh lima tahun. Pada kisah ini saya menemukan diri saya terkejut secara ekstrem.
pada titik ini mayoritas cukup bingung. Di sisi lain itu adalah berencana untuk meletakkan semua di atas kertas akhirnya, sehingga setidaknya itu akhirnya tidak akan berakhir dengan saya.
"Jadi, saya sangat terkejut untuk terhindar dari upaya ini, dan saya sangat senang bahwa itu adalah putra dari teman lama saya yang melampaui saya dengan cara yang luar biasa seperti itu."
Ketika Johann menerima salinan surat ini dari ayahnya, dia jauh dari gembira. Alih-alih eulogi yang telah diantisipasi, itu membawanya, menurutnya, hanya berita bahwa orang lain telah membuat penemuan yang sama secara independen dan mungkin lebih awal. Dia bahkan melangkah lebih jauh untuk menduga bahwa, sebelum Appendix selesai, ayahnya telah menceritakan beberapa gagasannya kepada Gauss, yang pada gilirannya telah menggunakan mereka untuk digunakan sendiri. Kecurigaan ini akhirnya hilang, tetapi Johann tidak pernah merasa bahwa Gauss telah memberinya kehormatan yang menjadi haknya.
Johann Bolyai tidak menerbitkan apa pun lagi, meskipun ia melanjutkan penyelidikannya. Catatan yang ditemukan di antara makalahnya menunjukkan bahwa ia tertarik pada perluasan lebih lanjut dari ide-idenya ke ruang angkasa tiga dimensi dan juga dalam perbandingan Geometri Non-Euclidean dengan Trigonometri Bola. Ini adalah perbandingan terakhir yang membawanya ke keyakinan bahwa Postulat Kelima tidak dapat dibuktikan. 14 Namun, ia tidak pernah yakin sepenuhnya bahwa penyelidikan terhadap ruang tiga dimensi mungkin tidak mengarah pada penemuan inkonsistensi dalam geometri baru.
Pada 1848 Bolyai belajar bahwa kehormatan untuk penemuan Geometri Non-Euclidean harus dibagi dengan yang lain. Pada tahun itu dia menerima informasi penemuan Lobachewsky dan memeriksa mereka secara kritis. Ada membangkitkan semangat persaingan, dan dalam upaya untuk mengalahkan Lobachewsky, dia mulai bersusah payah kembali pada apa yang akan menjadi karya besarnya, Raumlehre, yang telah direncanakannya ketika dia menerbitkan Appendix. Namun pekerjaan ini tidak pernah selesai.
31. Lobachewsky.
Meskipun tidak sampai 1848 Bolyai belajar dari karya Nikolai Ivanovich Lobachewsky (1793-1856), yang terakhir telah menemukan geometri baru dan telah benar-benar menerbitkan kesimpulannya sedini 1819, dua atau tiga tahun sebelum munculnya di cetak Apendiks. Tetapi ada banyak bukti bahwa ia membuat penemuannya lebih lambat dari yang dibuat Bolyai.
Bagaimanapun, bersama dengan yang lain, ia mencoba untuk membuktikan Postulat Kelima sedini atau hingga akhir 1815. Salinan catatan kuliah, diambil oleh salah satu muridnya selama tahun itu dan dua berikutnya, mengungkapkan hanya upaya untuk verifikasi teori Euclidean. Baru setelah tahun 1813 ia mulai mengubah sudut pandangnya, yang pada tanggal itu akan diingat kembali, Johann Bolyai telah mencapai ide-ide terorganisir dengan sangat baik tentang geometri barunya.
Pada 1813 Lobachewsky telah menyelesaikan manuskrip untuk buku teks tentang geometri dasar, sebuah teks yang tidak pernah dipublikasikan. Naskah ini masih ada. Di dalamnya ia membuat pernyataan yang signifikan bahwa tidak ada bukti ketat dari Postulat Paralel yang pernah ditemukan dan bahwa bukti-bukti yang telah disarankan hanyalah penjelasan dan bukan merupakan bukti matematis dalam arti yang sebenarnya. Terbukti dia mulai menyadari bahwa kesulitan yang dihadapi dalam upaya membuktikan Postulat timbul karena sebab-sebab yang sangat berbeda dari yang sebelumnya selalu dianggap berasal dari mereka.
Tiga tahun berikutnya melihat evolusi teori paralelnya yang baru. Diketahui bahwa pada tahun 1816 ia membaca makalah sebelum bagian fisika dan matematika dari Universitas Kasan dan pada kesempatan itu menyarankan geometri baru di mana lebih dari satu garis lurus dapat ditarik melalui titik sejajar dengan garis tertentu dan penjumlahannya. dari sudut-sudut segitiga kurang dari dua sudut siku-siku. Sayangnya kuliah itu tidak pernah dicetak dan manuskripnya belum ditemukan.
Tetapi pada tahun 1819-1930 ia menerbitkan sebuah memoar tentang prinsip-prinsip geometri dalam Buletin Kasan, mengacu pada ceramah yang disebutkan di atas, dan menjelaskan secara lengkap doktrin kesejajarannya. Memoar ini, akun pertama Geometri Non Euclidean yang muncul di media cetak, menarik sedikit perhatian di negaranya sendiri, dan, karena dicetak dalam bahasa Rusia, hampir tidak ada sama sekali di luar.
Percaya diri akan prestasi penemuannya, Lobachewsky menulis sejumlah makalah, kurang lebih luas, tentang teori paralel baru, berharap dengan demikian untuk membawanya ke perhatian para matematikawan di seluruh dunia. Barangkali yang paling penting dari publikasi ini adalah sebuah buku kecil berjudul Geomctrische Untersuchungen %ur Theorie der Parallellinien,, yang ditulis dalam bahasa Jerman dengan gagasan bahwa mungkin karena alasan itu lebih banyak dibaca. Setahun sebelum kematiannya, meskipun ia menjadi buta, ia menulis laporan lengkap dari penelitiannya yang diterbitkan dalam bahasa Prancis dengan judul: Pangeometric ou precis de geometric fondee sur une theorie generate et rigoureuse des parallels. Tapi dia tidak hidup untuk melihat karyanya memberikan pengakuan yang luas.
Begitu lambatnya informasi penemuan-penemuan baru beredar di masa itu bahwa Gauss sendiri tidak belajar tentang kemajuan yang dibuat oleh Lobachewsky selama beberapa tahun, mungkin tidak sampai setelah penerbitan Untersuchungen. Bagaimanapun, tampaknya pada tahun 1841 dia tahu tentang Lobachewsky dan karyanya dan sangat terkesan. Pada tahun 1846 ia menulis kepada Schumacher sebagai berikut:
Ini berisi unsur-unsur geometri yang harus dipegang, dan dapat dengan konsistensi yang ketat terus, jika Euclidean tidak benar. Schweikardt 19 tertentu menyebut geometri seperti Astral Geometry, Lobatschefsky menyebutnya Geometri Imajiner. Anda tahu bahwa selama lima puluh empat tahun sekarang (sejak 1792.) saya telah memegang keyakinan yang sama (dengan ekstensi tertentu nanti, yang tidak akan saya sebutkan di sini). Saya telah menemukan dalam karya Lobatschefsky tidak ada sesuatu pun yang baru bagi saya, tetapi pengembangannya dibuat dengan cara yang berbeda dari yang saya ikuti, dan tentu saja oleh Lobatschefsky dengan cara yang terampil dan dalam semangat geometris sejati. Saya merasa bahwa saya harus menarik perhatian Anda pada buku, yang pasti akan memberi Anda kenikmatan yang paling tajam. "
Pada 1848 Wolfgang Bolyai telah mendengar dalam beberapa cara penyelidikan Lobachewsky. Pada bulan Januari tahun itu dia menulis kepada Gauss, menanyakan nama buku itu oleh ahli matematika Rusia. Gauss merekomendasikan "pekerjaan kecil yang mengagumkan," Geometrische Untersuchungen, karena mengandung eksposisi teori yang memadai dan mudah didapat. Jadi Wolfgang dan, melalui dia, Johann berkenalan dengan geometri Lobachewsky.
Bahwa Johann menerima informasi ini tentang karya geometer Rusia secara filosofis cukup dibuktikan oleh pernyataan yang ditemukan dalam catatan yang tidak dipublikasikan berjudul: Bemerkungen uber Nicolaus Lobatchefsktf's Geometrische Untersuchungen. Dia menulis sebagian:
"Bahkan jika dalam pekerjaan luar biasa ini metode yang berbeda diikuti pada waktu, namun, semangat dan hasilnya sangat mirip dengan Apendiks ke Tentamen matbeseos yang muncul pada tahun 1831 di Maros-Vasarhely, orang yang tidak dapat mengenalinya tanpa bertanya-tanya. Jika Gauss, seperti yang dikatakannya, terkejut dengan ekstrim, pertama oleh Lampiran dan kemudian oleh perjanjian mencolok dari matematikawan Hongaria dan Rusia: benar-benar, tidak ada yang kurang begitu saya.
"Sifat kebenaran sejati tentu saja tidak bisa tetapi menjadi satu dan sama di Maros-Vasarhely seperti dalam Kamschatka dan di Bulan, atau, singkatnya, di mana saja di dunia; dan apa yang ditemukan oleh makhluk yang terbatas, yang masuk akal, juga tidak bisa mustahil ditemukan oleh yang lain. "
Tapi, terlepas dari refleksi ini, setidaknya untuk waktu, Bolyai menghibur kecurigaan bahwa entah bagaimana Lobachewsky telah belajar dari penemuannya sendiri, mungkin melalui Gauss, dan kemudian, setelah beberapa revisi, menerbitkannya. Namun, sikapnya belakangan menjadi agak lebih lunak. Faktanya, tampaknya tidak ada bukti bahwa Lobachewsky pernah mendengar tentang Bolyai. 32. Wachter, Schwcikart dan Taurinus.
Tidak ada catatan yang memuaskan, bagaimanapun singkatnya, penemuan Geometri Non-Euclidean akan gagal untuk memasukkan nama-nama Wachter, Schweikart dan Taurinus. Kami memasukkan di sini akun singkat dari kontribusi mereka, sebelum mengalihkan perhatian kami ke perkembangan lebih lanjut karena Riemann dan lain-lain.
publikasi pada tahun 1817 dari makalah 21 di mana ia berusaha untuk membuktikan bahwa melalui empat titik di angkasa, tidak terbentang dalam satu bidang, bola dapat dibangun. Rencana penyelidikan ini jelas disarankan oleh fakta bahwa Postulat dapat dibuktikan setelah ditetapkan bahwa suatu lingkaran dapat ditarik melalui tiga titik non-kolinear. Meskipun argumennya tidak sehat, beberapa deduksi intuitifnya dalam makalah ini, dan dalam sebuah surat yang ditulis untuk Gauss pada tahun 1816, patut dikenali. Di antara hal-hal lain, ia mengatakan bahwa, bahkan jika Postulat Euclid ditolak, geometri bulat akan menjadi Euclidean jika jari-jari bola dibiarkan menjadi tak terbatas, meskipun permukaan pembatas bukanlah bidang. Ini dikonfirmasi kemudian oleh Bolyai dan Lobachewsky.
Wachter hanya hidup dua puluh lima tahun. Investigasi singkatnya sangat menjanjikan dan menunjukkan wawasan yang tajam. Seandainya dia hidup beberapa tahun lagi, dia mungkin menjadi penemu Geometri Non-Euclidean. Karena itu, pengaruhnya mungkin cukup besar. Tepat pada saat dia dan Gauss sedang mendiskusikan apa yang mereka sebut Geometri Anti-Euclidean, yang terakhir mulai menunjukkan tanda-tanda perubahan sudut pandang. Pada tahun 1817, menulis kepada HWM Olbers, rekanannya, dan seorang astronom terkenal, Gauss dituntun untuk berkomentar, setelah menyebutkan Wachter, dan memuji karyanya terlepas dari ketidaksempurnaannya, 23 "Saya terus mendekati keyakinan bahwa kebenaran yang diperlukan * dari geometri kita. tidak dapat dibuktikan, setidaknya oleh kecerdasan manusia untuk intelek manusia. Mungkin dalam kehidupan lain kita akan sampai pada wawasan lain ke dalam sifat ruang yang saat ini kita tidak dapat mencapai. Sampai kemudian kita harus menempatkan geometri pada dasar yang sama, tidak dengan aritmatika, yang memiliki dasar apriori murni, tetapi dengan mekanika. "
Akan diingat kembali bahwa Gauss, dalam sepucuk surat untuk Schumacher, menyebutkan "Schweikardt tertentu." Yang dimaksud adalah Ferdinand Karl Schwcikart (1780-1859), yang dari 1796 hingga 1798 adalah mahasiswa hukum di Marburg. Karena dia sangat tertarik pada matematika, dia mengambil keuntungan dari kesempatan ketika di universitas untuk mendengarkan ceramah dari J. K. F. Hauff, yang agak dari otoritas pada teori kesejajaran. Kepentingan Schweikart dalam teori ini berkembang sedemikian rupa sehingga pada tahun 1807 di sana muncul karya-karyanya yang diterbitkan hanya dari alam matematika, Die Theorie der Parallellinien nebst dem Vorschlage ikrer Verbannung aus der Geometric. 1 ** Terlepas dari judulnya, buku ini tidak menawarkan sesuatu yang sangat baru dan ditulis dengan garis yang sangat konvensional. Di dalamnya ia menyebutkan baik Saccheri dan Lambert. Kenalannya dengan pekerjaan orang-orang ini tidak diragukan lagi mempengaruhi karakter penyelidikannya nanti. Dalam 1 8 ii Schweikart pergi ke Charkow; tahun 1816 menemukannya di Marburg lagi, di mana dia tinggal sampai 1810 ketika dia menjadi Profesor Fikih di Konigsberg.
dari Geometri Non-Euclidean, yang dianggap demikian. Ide-idenya datang ke Schweikart sebelum 1816, ketika dia masih di Charkow. Pada tanggal awal, baik Bolyai dan Lobachewsky masih melanjutkan penyelidikan mereka dari sudut pandang tradisional.
Dalam balasannya untuk Gerling, Gauss memuji Schweikart dengan sangat baik. "Nota Profesor Schweikardt telah membawakan saya kesenangan terbesar / 'tulisnya," dan dalam hal itu tolong sampaikan kepadanya pujian tulus saya. Itu mungkin hampir telah ditulis oleh saya sendiri. "
Tapi dia memang mendorong putra saudara perempuannya, Franz Adolph Taurinus (1794-1874), untuk mengambil studi tentang kesejajaran, menyarankan bahwa dia memberikan beberapa pemikiran ke Astral Geometri yang Gauss telah sangat dipuji. Taurinus, setelah mempelajari yurisprudensi untuk waktu yang singkat, telah menetap di Koln untuk menghabiskan hidup yang panjang dengan waktu luang, dengan waktu yang cukup untuk mencurahkan berbagai kepentingan intelektual. Pada tahun 1814, ketika ia pertama kali memulai penyelidikan sistematis terhadap masalah kesejajaran, ia mendapati dirinya tidak sesuai dengan gagasan pamannya. Bahwa dia berharap, pada titik awal dalam penelitiannya, untuk dapat membuktikan Postulat Kelima tidak ada yang luar biasa. Fakta yang luar biasa adalah bahwa, meskipun sebagai konsekuensi dari penyelidikan independennya ia adalah salah satu orang pertama yang mendapatkan pandangan Geometri Non-Euclidean, namun sepanjang hidupnya ia terus percaya bahwa Hipotesis Euclidean adalah satu-satunya dari tiga yang akan mengarah ke geometri yang valid.
Pada tahun 1815, segera setelah dia menerima surat Gauss gratis dan mendorong yang telah diterjemahkan secara penuh di Bagian 2.9, muncul buku pertamanya, Theoru der Parallellimen.'2 * Di sini dia menyerang masalah dari sudut pandang Non-Euclidean, menolak Hipotesis Sudut Rupa dan, dengan menggunakan Hipotesis Sudut Akut, dijumpai Konstan Schweikart. Penyelidikan ini mengarahkannya pada ide-ide yang tidak sesuai dengan konsep ruangnya dan ia terdorong untuk menolak hipotesis yang terakhir juga, meskipun ia tampak mengakui konsekuensinya secara logis.
Angle Obtuse digunakan. Selain itu, ia mencatat bahwa Geometri Logarithmic-Spherical-nya menjadi Euclidean ketika radius bola dibuat tak terbatas.
Meskipun keengganannya untuk mengenali geometri ini sebagai valid pada pesawat tetap ada, Taurinus tampaknya sepenuhnya sadar akan pentingnya penemuannya, dari sudut pandang teoritis, dalam studi paralel. Geometriac Prima Elemcnta-nya menerima sedikit pengakuan. Dalam kekecewaannya, ia membakar salinan yang tersisa.
33. Riemann.
Baik Bolyai maupun Lobachewsky tidak tinggal untuk melihat karyanya memberikan pengakuan yang pantas untuknya. Penundaan ini dapat dikaitkan dengan beberapa faktor: lambatnya perjalanan ide dari satu bagian dunia ke bagian lain, hambatan bahasa, filsafat ruang Kantian, dominasi Euclid dua ribu tahun, dan ketidakjelasan relatif para penemu. Geometri Non-Euclidean. Geometri baru menarik sedikit perhatian selama lebih dari tiga puluh lima tahun sampai, pada tahun 1867, Richard Baltzer, dalam edisi kedua Elcmcntc der Matbematik-nya, memasukkan referensi ke dalamnya dan para penemunya, dan juga membujuk Houel untuk menerjemahkan tulisan-tulisan mereka ke dalam bahasa Prancis.
Namun sementara itu sosok baru muncul. Dilahirkan pada saat penemuan Geometri Non-Euclidean, George Friedrich Bernhard Riemann (1816 1866) tumbuh menjadi dewasa muda dengan tujuan mempelajari teologi. Tetapi ketika dia memasuki Gottingen untuk tujuan itu, dia menemukan bahwa matematika adalah keahliannya dan melepaskan teologi. Dia belajar di bawah Gauss dan menjadi murid yang luar biasa dalam karir mengajar yang panjang dari matematikawan hebat itu. Kemudian dia pergi ke Berlin untuk belajar dengan Dirichlet, Jacobi, Stcincr dan lain-lain, tetapi kembali ke Gottingen pada tahun 1850 untuk belajar fisika dan mengambil gelarnya di sana pada tahun berikutnya.
Kami telah mengutip dari kuliah percobaan yang luar biasa, Uber die Hypothesen welche der Geometric% u Grunde liegen, yang ia sampaikan pada 1854 sebelum Fakultas Filsafat di Gottingen, dan di mana ia menunjukkan bahwa ruang tidak perlu terbatas, meskipun dianggap sebagai tidak terbatas. . Jadi dia menyarankan secara tidak langsung geometri di mana tidak ada dua garis yang sejajar dan jumlah sudut segitiga lebih besar dari dua sudut siku-siku. Ini akan diingat bahwa, dalam penolakan dari Hipotesis dari "Sudut Obtuse oleh peneliti sebelumnya, ketidakterbatasan garis telah diasumsikan.
mungkin ada beberapa sistem masalah fakta yang cukup untuk menentukan pengukuran ruang sistem yang paling penting untuk tujuan kita sekarang adalah bahwa e Euclid telah ditetapkan sebagai yayasan. Hal-hal yang sebenarnya seperti semua hal fakta tidak perlu ^ tetapi hanya kepastian empiris; mereka adalah hipotesis. Oleh karena itu, kami mungkin menyelidiki probabilitas mereka, yang dalam batas-batas pengamatan tentu saja sangat hebat, dan menanyakan tentang keadilan perpanjangan mereka di luar batas pengamatan, di sisi kedua yang sangat besar dan tak terhingga kecil. "
Menekankan pentingnya studi tentang sifat-sifat benda dari sudut pandang yang sangat kecil, lanjutnya, "Pertanyaan-pertanyaan tentang yang tak terhingga besar adalah untuk interpretasi dari pertanyaan-pertanyaan yang tidak berguna alam. Tapi ini tidak terjadi dengan pertanyaan-pertanyaan tentang kecil tak terhingga. adalah pada ketepatan yang kita ikuti fenomena menjadi sangat kecil yang pengetahuan kita tentang hubungan kausal mereka pada dasarnya tergantung.Pengembangan abad terakhir dalam pengetahuan mekanika hampir sepenuhnya tergantung pada ketepatan konstruksi yang telah menjadi mungkin melalui penemuan kalkulus yang sangat kecil, dan melalui prinsip-prinsip sederhana yang ditemukan oleh Archimedes, Galileo dan Newton, dan digunakan oleh fisika modern. Namun dalam ilmu alam yang masih membutuhkan prinsip-prinsip sederhana untuk konstruksi seperti itu, kita berusaha untuk menemukan hubungan kausal dengan mengikuti fenomena menjadi sangat kecil, sejauh memungkinkan mikroskop. Pertanyaan tentang ukuran relati Oleh karena itu, ruang di dalam yang sangat kecil itu bukan pertanyaan yang berlebihan. "
Maka dimulailah periode kedua dalam pengembangan Geometri Non-Euclidean, suatu periode yang dicirikan oleh penyelidikan dari sudut pandang geometri diferensial berlawanan dengan metode sintetis yang sebelumnya digunakan. Riemann's memoar hampir semuanya dengan generalisasi dan bersifat sugestif. Investigasi rinci sepanjang garis-garis ini dilakukan oleh orang lain, terutama Helmholtz, Lie dan Beltrami. Kontribusi dari fisikawan, Helmholtz, luar biasa sebagaimana adanya, diperlukan untuk ketelitian sentuhan akhir seorang matematikawan. Investigasi menyeluruh ini dilakukan oleh Lie, menggunakan gagasan kelompok transformasi. Untuk Beltrami pergi kredit menawarkan bukti pertama dari konsistensi Geometri Non-Euclidean. Meskipun Bolyai dan Lobachewsky tidak menemukan kontradiksi dalam geometri mereka sejauh penyelidikan mereka telah pergi, masih ada kemungkinan bahwa beberapa ketidakkonsistenan semacam itu mungkin muncul ketika penelitian berlanjut. Beltrami menunjukkan bagaimana geometri ini dapat direpresentasikan, dengan pembatasan, pada permukaan Euclidean kelengkungan konstan, dan dengan demikian bagaimana inkonsistensi ditemukan dalam geometri Bolyai dan Lobachewsky akan mengarah pada yang sesuai dalam Geometri Euclidean.
34. Perkembangan Lebih Lanjut.
Dalam Memoir Keenamnya yang terkenal, ufon Quantics * Cayley, pada tahun 1859, menunjukkan bagaimana gagasan tentang jarak dapat dibangun berdasarkan prinsip-prinsip deskriptif murni. Ide-ide ini dikembangkan dan ditafsirkan dari sudut pandang Geometri Non-Euclidean oleh Felix Klein dalam dua monograf yang muncul pada tahun 1871 dan 1873. dialah yang menyarankan pemanggilan geometri Bolyai dan Lobachewsky, Ricmann, dan Euclid, masing-masing, Hiperbolik, Elliptic dan Parabolik, terminologi yang diterima secara universal dan yang akan kita gunakan mulai dari titik ini. Nama-nama itu disarankan oleh fakta bahwa garis lurus mengandung dua titik jauh jauh di bawah Hipotesis Sudut Akut, tidak ada di bawah Hipotesis Sudut Rupa, dan hanya satu di bawah Hipotesis Sudut Kanan.
Baru-baru ini para peneliti telah membatasi perhatian mereka terutama pada pemeriksaan yang teliti terhadap dasar-dasar geometri dan pada formulasi set aksioma yang tepat. Mengikuti jejak Pasch, orang-orang seperti Hilbert, Peano, Pieri, Russell, Whitehead dan Veblen telah pergi jauh dalam menempatkan geometri, baik Euclidean dan Non-Euclidean, serta matematika secara umum, pada dasar logis yang kuat.
35. Kesimpulan.
Dalam halaman-halaman berikut ini, kita akan mengambil studi pertama tentang Geometri Hiperbolik Sintetis. Ini akan diikuti oleh penyelidikan trigonometri dari Pesawat Hiperbolik dan itu, pada gilirannya, oleh perlakuan singkat dari sudut pandang geometri analitik dan kalkulus.
Pemeriksaan kami terhadap Elliptic Geometry akan kurang luas. Perkembangannya, seperti kebanyakan pekerjaan di kemudian hari dalam Geometri Non-Euclidean, tergantung pada penggunaan konsep yang lebih maju daripada yang ingin kita gambarkan di sini.
