ALTERNATIF ALJABAR UNTUK BILANGAN FUZZY SEGITIGA DALAM BENTUK INTERVAL

ALTERNATIF ALJABAR UNTUK BILANGAN FUZZY SEGITIGA DALAM BENTUK INTERVAL

KARYA ILMIAH

OLEH

JONATHAN CRISTO SITANGGANG NIM. 1603116028

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2022

ALTERNATIF ALJABAR UNTUK BILANGAN FUZZY SEGITIGA DALAM BENTUK INTERVAL

Jonathan Cristo Sitanggang Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

jonathancristostg@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the solution of arithmetic of triangular fuzzy numbers. The arithmetic is used in solving arithmetic on triangular fuzzy numbers. Triangular fuzzy numbers are transformed into interval form then they are used to solving arithmetic on triangular fuzzy numbers. For arithmetic multiplication and arithmetic division are obtained from arithmetic modification. Arithmetic modification is used to get the inverse of triangular fuzzy matrix.

Keywords: Triangular fuzzy numbers, triangular fuzzy matrices, elementary row operation fuzzy

ABSTRAK

Artikel ini membahas penyelesaian aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga.

Aritmatika yang digunakan dalam penyelesaian masalah adalah aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga. Sebarang bilangan fuzzy segitiga yang diubah ke dalam bentuk interval digunakan untuk menyelesaikan arimatika pada bilangan fuzzy segitiga. Untuk aritmatika perkalian dan pembagian diperoleh dengan menggunakan modifikasi aritmatika perkalian dan pembagian. Modifikasi aritmatika perkalian dan pembagian digunakan untuk menentukan invers matriks fuzzy segitiga.

Kata kunci: Bilangan fuzzy segitiga, matriks fuzzy segitiga, operasi baris elementer fuzzy

1. PENDAHULUAN

Bilangan fuzzy segitiga ditulis dalam berbagai bentuk, misalnya beberapa penulis [1, 2, 4, 7, 8, 10] menulis dalam bentuk ea = (a1, a₂, a₃), a₁ ≤ a2 ≤ a3 dengan a₂ merupakan titik tengah, a₁ merupakan titik kiri, dan a₃ merupakan titik kanan.

Penulis lain [5, 6, 11, 12, 13] menulis dalam bentuk yang berbeda, yaituea = (a, α, β)

dengan a merupakan titik tengah, α merupakan lebar kiri, β merupakan lebar kanan.

Selanjutnya bilangan fuzzy segitiga tersebut diubah ke dalam bentuk interval, yaitu ea(r) = [a(r), a(r)] dengan a(r) = a − (1 − r)α dan a(r) = a + (1 − r)β, 0 ≤ r ≤ 1.

Selanjutnya bentuk interval tersebut digunakan dalam berbagai operasi aritmatika bilangan fuzzy segitiga.

Aritmatika bilangan fuzzy segitiga mempunyai berbagai bentuk operasi, seperti aritmatika penjumlahan, pengurangan dan perkalian skalar pada umumnya dibuat oleh berbagai penulis dalam bentuk yang sama. Sedangkan untuk aritmatika perkalian dan pembagian berbagai penulis telah membuat dalam berbagai bentuk.

Berdasarkan hal tersebut penulis merasa perlu untuk mengontruksi sebuah aritmatika perkalian dan aritmatika pembagian untuk dapat menentukan invers dari sebuah bilangan fuzzy segitiga ea(r) sehingga ea(r) ⊗ ea⁻¹(r) =eι(r). Berdasarkan hal tersebut, penulis dapat menentukan invers dari sebuah matriks fuzzy segitiga A(r) sehingga menghasilkan ee A(r)⊗ eA⁻¹(r) = eA(r).

Artikel ini menjelaskan tentang penyelesaian aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga dengan menggunakan modifikasi aritmatika perkalian dan pembagian.

Selanjutnya modifikasi aritmatika digunakan untuk menentukan invers matriks fuzzy segitiga menggunakan metode adjoint dan OBE. Bagian 2 membahas mengenai bilangan fuzzy segitiga beserta dengan aritmatikanya. Bagian 3 membahas aritmatika yang dikonstruksi. Bagian 4 membahas mengenai metode dan langkah-langkah penyelesaian invers matriks fuzzy segitiga. Bagian terakhir adalah kesimpulan dari pembahasan yang telah dilakukan.

2. BILANGAN FUZZY SEGITIGA

Pada bagian ini diberikan definisi bilangan fuzzy segitiga dan aritmatika bilangan fuzzy segitiga.

Bilangan Fuzzy

Secara bahasa fuzzy dapat diartikan sebagai kabur atau samar yang pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh seorang ilmuwan Amerika Serikat [14]. Dapat didefinisikan bilangan fuzzy adalah besaran yang nilainya kabur atau samar tidak eksak seperti bilangan real. Selanjutnya diberikan definisi dari himpunan bilangan fuzzy segitiga yang dikemukakan dalam [1, 4, 7, 10].

Definisi 1 Misalkan R sebarang himpunan tak kosong, sehingga suatu himpunan fuzzy ea dalam x ditandai oleh fungsi keanggotaan

ea = {(x, µea (x))|x ∈ R, 0 ≤ µex (x)≤ 1}.

Definisi bilangan fuzzy segitiga pada definisi 2 telah dijelaskan dalam [5, 6, 11, 12, 13] sebagai berikut:

Definisi 2 Bilangan fuzzy ea merupakan bilangan fuzzy segitiga jika eu = (a, α, β) dengan a adalah titik pusat, α merupakan lebar kiri, dan β merupakan lebar kanan.

Fungsi keanggotaan bilangan fuzzy segitiga pada Definisi 3 telah dijelaskan dalam [5, 11, 12, 13] sebagai berikut:

Definisi 3 Sebuah bilangan fuzzy segitiga ea = (a, α, β) mempunyai fungsi keanggotaan dalam bentuk

µ_ea(x)=











1− a− x

α , a− α ≤ x ≤ a, 1− x− a

β , a≤ x ≤ a + β,

0 , lainnya.

Definisi 4 Sebuah bilangan fuzzy segitiga dikatakan positif (ea ≥ 0) jika dan hanya jika a− α ≥ 0 dan dikatakan negatif (ea < 0) jika dan hanya jika a + β < 0.

Bentuk parametrik bilangan fuzzy segitiga pada Definisi 5 telah dijelaskan dalam [5, 11] sebagai berikut:

Definisi 5 Berdasarkan fungsi keanggotaan bilangan fuzzy segitiga pada Definisi 3, sebarang bilangan fuzzy segitiga ea = (a, α, β) memiliki bentuk parametrik ea(r) = [a(r), a(r)], 0≤ r ≤ 1 dapat direpresentasikan sebagai:

a(r) = a− (1 − r)α, a(r) = a + (1 − r)β.

Definisi 6 Sebuah bilangan fuzzy segitiga sebarang dalam bentuk parameterea(r) = [a(r), a(r)], 0≤ r ≤ 1 merupakan sebuah fungsi yang memenuhi syarat berikut:

1. a(r) monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0, 1].

2. a(r) monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0, 1].

3. a(r) ≤ a(r) dengan 0 ≤ r ≤ 1.

Aritmatika bilangan fuzzy telah dijelaskan oleh beberapa penulis dengan cara yang berbeda. Berikut ini beberapa aritmatika bilangan fuzzy yang telah digunakan, yang dijelaskan dalam [2, 5, 6, 8, 9, 11].

Definisi 7 Diberikan dua buah bilangan fuzzy segitiga sebarang ea(r) = [a(r), a(r)]

dan eb(r) = [b(r), b(r)], 0 ≤ r ≤ 1 dan skalar k ∈ R, sehingga berlaku operasi aritmatika sebagai berikut:

(i) Penjumlahan

ea(r) ⊕ eb(r) = [a(r), a(r)] ⊕ [b(r), b(r)]

= [a(r) + b(r), a(r) + b(r)]. (1)

(ii) Pengurangan

ea(r) ⊖ eb(r) = [a(r), a(r)] ⊖ [b(r), b(r)]

= [a(r)− b(r), a(r) − b(r)]. (2) (iii) Perkalian skalar

kea(r) = {

[ka(r), ka(r)], k≥ 0,

[ka(r), ka(r)], k < 0. (3) Aritmatika perkalian bilangan fuzzy telah dijelaskan oleh beberapa penulis dengan cara yang berbeda, yaitu seperti pada Definisi 2.8 yang dijelaskan dalam [5, 11] dan Definisi 2.9 yang dijelaskan dalam [1, 2, 3, 4, 7, 8, 9].

Definisi 8 Jika ea(r) = [a(r), a(r)] dan eb(r) = [b(r), b(r)] merupakan bilangan fuzzy segitiga dalam bentuk parameter, kemudian ez(r) = ea(r) ⊗ eb(r) = [z(r), z(r)], 0 ≤ r ≤ 1. Berikut diberikan beberapa kasus untuk operasi perkalian bilangan fuzzy segitiga.

(a) Jika ea(r) > 0 dan eb(r) > 0:

{

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1),

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1). (4)

(b) Jika ea(r) > 0 dan eb(r) < 0:

{

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1),

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1). (5)

(c) Jika ea(r) < 0 dan eb(r) > 0:

{

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1),

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1). (6)

(d) Jika ea(r) < 0 dan eb(r) < 0:

{

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1),

z(r) = a(r)b(1) + a(1)b(r)− a(1)b(1). (7) Definisi 9 Diberikan dua buah bilangan fuzzy segitiga sebarang ea(r) = [a(r), a(r)]

dan eb(r) = [b(r), b(r)], 0≤ r ≤ 1, sehingga berlaku operasi sebagai berikut:

ea(r) ⊗ eb(r) = [min {a(r)b(r), a(r)b(r), a(r)b(r), a(r)b(r)},

max{a(r)b(r), a(r)b(r), a(r)b(r), a(r)b(r)}]. (8) Aritmatika pembagian bilangan fuzzy telah dijelaskan oleh beberapa penulis seperti pada Definisi 2.10 yang dijelaskan dalam [2, 4, 7, 8, 9].

Definisi 10 Diberikan dua buah bilangan fuzzy segitiga sebarangea(r) = [a(r), a(r)]

dan eb(r) = [b(r), b(r)], 0≤ r ≤ 1, sehingga berlaku operasi sebagai berikut:

ea(r) eb(r) =

[ min

{a(r) b(r),a(r)

b(r),a(r) b(r),a(r)

b(r) }

, max

{a(r) b(r),a(r)

b(r),a(r) b(r),a(r)

b(r) }]

. (9)

3. ALTERNATIF ALJABAR UNTUK BILANGAN FUZZY SEGITIGA DALAM BENTUK INTERVAL

Diberikan dua buah bilangan fuzzy segitiga sebarang ea = (a, α, β) dan eb = (b, γ, δ).

Selanjutnya ubah ea dan eb ke dalam bentuk interval menjadi ea(r) = [a(r), a(r)] dan eb(r) = [b(r), b(r)], 0 ≤ r ≤ 1. Menggunakan dua buah bilangan fuzzy segitiga tersebut diperoleh operasi sebagai berikut:

(1) Aritmatika penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar menggunakan persamaan (1), (2), dan (3).

(2) Mengonstruksi m(ea) dan m(eb) yang masing-masing merupakan titik tengah dari ea(r) dan eb(r) dengan m(ea) = (a(r) + a(r))/2 dan m(eb) = (b(r) + b(r))/2.

(3) Selanjutnya menggunakan langkah 2 dapat dikonstruksi aritmatika bilangan fuzzy sebagai berikut: perkalian, invers dan pembagian.

Aritmatika perkalian

ea(r) ⊗ eb(r) = [am(eb) + bm(ea) − m(ea)m(eb),

am(eb) + b(mea) − m(ea)m(eb)]. (10) Selanjutnya, menggunakan Definisi 5 dan persamaan (10) penulis dapat mengonstruksi 1/ea(r) untuk sebarang bilangan fuzzy segitiga ea(r), sehingga

ea(r) ⊗ 1/ea(r) = eι(r) = [1, 1]. (11) Teorema 11 Untuk sebarang bilangan fuzzy segitiga ea(r) = [a(r), a(r)] dengan m(ea) ̸= 0, dapat dibentuk

es(r) = 1 ea(r) =

[2m(ea) − a(r)

(m(ea))² ,2m(ea) − a(r) (m(ea))²

] .

menggunakan operasi pada persamaan (10) berlaku ea(r) ⊗ es(r) = eι(r) = [1, 1].

Bukti: Pertama, ditentukan nilai m(es), yaitu

m(es) =

((2m(ea) − a(r) (m(ea))²

)

⊕

(2m(ea) − a(r) (m(ea))²

))

2

=

(4m(ea) − (a(r) + a(r)) (m(ea))²

)

2 m(es) = 1

m(ea). (12)

Karena nilai a(1) = a(1) = a maka diperoleh m(ea) = a, sehingga m(es) = 1/a.

Selanjutnya menggunakan operasi pada persamaan (12) dapat ditentukan nilai dari ea(r) ⊗ es(r)

ea(r) ⊗ es(r) =[a(r)m(es) + s(r)m(ea) − m(ea)m(es), a(r)m(es) + s(r)m(ea) − m(ea)m(es)]

= [

a(r)1

a + 2m(ea) − a(r)

(m(ea))² m(ea) − a (1

a )

, a(r)1

a +2m(ea) − a(r)

(m(ea))² m(ea) − a (1

a )]

= [

a(r)1

a + 2a− a(r)

a − 1, a(r)1

a + 2a− a(r) a − 1]

ea(r) ⊗ es(r) =[1, 1] = eι(r).

Terbukti bahwa ea(r) ⊗ es(r) = eι(r). 

Selanjutnya, menggunakan cara yang sama dengan Teorema 11 dapat didefinisikan bentuk umum dari modifikasi aritmatika pembagian. Ambil sebarang bilangan fuzzy segitiga ea(r) = [a(r), a(r)] dan eb(r) = [b(r), b(r)]. Menggunakan persamaan (10) dan Teorema 11 didefinisikan:

ea(r)

eb(r) =ea(r) ⊗ 1

eb(r) =[a(r), a(r)]⊗

[2m(eb)− b(r)

(m(eb))² ,2m(eb)− b(r) (m(eb))²

]

= [

a(r) 1

m(eb) + 2m(eb)− b(r)

(m(eb))² m(ea) − m(ea) m(eb), a(r) 1

m(eb) +2m(eb)− b(r)

(m(eb))² m(ea) − m(ea) m(eb) ]

=

[a(r)m(eb) + 2m(eb)m(ea) − b(r)m(ea) − m(ea)m(eb)

(m(eb))² ,

a(r)m(eb) + 2m(eb)m(ea) − b(r)m(ea) − m(ea)m(eb) (m(eb))²

]

=

[a(r)m(eb)− b(r)m(ea) + m(ea)m(eb)

(m(eb))² ,

a(r)m(eb)− b(r)m(ea) + m(ea)m(eb) (m(eb))²

]

. (13)

Teorema 12 Misalkanea(r), eb(r), dan ec(r) merupakan bilangan fuzzy segitiga dalam bentuk interval, sehingga berlaku sifat-sifat berikut:

a. ea(r) ⊗ e0(r) = e0(r).

b. ea(r) ⊗ eι(r) = ea(r).

c. ea(r) ⊗ eb(r) = eb(r) ⊗ ea(r).

d. (ea(r) ⊗ eb(r)) ⊗ ec(r) = ea(r) ⊗ (eb(r) ⊗ ec(r)).

e. (ea(r) ⊕ eb(r)) ⊗ ec(r) = ea(r) ⊗ ec(r) ⊕ eb(r) ⊗ ec(r).

f. Jika ea(r) ⊗ ex(r) = eb(r) dengan ea(r) ̸= e0(r), maka ex(r) = eb(r)/ea(r).

g. Jika ea(r) ⊗ eb(r) = e0(r), maka ea(r) = e0(r) atau eb(r) = e0(r).

h. Jika ea(r) ⊗ eb(r) = ea(r) ⊗ ec(r) dengan ea(r) ̸= e0(r), maka eb(r) = ec(r).

i. Jikaea(r) ̸= e0(r), maka 1/ea(r) ̸= e0(r) dan 1/(1/ea(r)) = ea(r).

j. Jika ea(r) ̸= e0(r) dan eb(r) ̸= e0(r), maka 1/ea(r) ⊗ eb(r) = 1/ea(r) ⊗ 1/eb(r).

Bukti: Clearly

4. INVERS MATRIKS FUZZY SEGITIGA

Invers matriks fuzzy adalah sebuah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks asal yang entri-entrinya berupa bilangan fuzzy yang berada pada rentang [0, 1]. Terdapat beberapa cara dalam menentukan invers matriks fuzzy antara lain dengan menggunakan metode adjoint dan metode operasi baris elementer (OBE).

Adjoint

Misalkan eA = (eaij) adalah sebuah matriks fuzzy segitiga persegi dan eB = (ebij) adalah sebuah matriks fuzzy segitiga persegi yang elemennya merupakan kofaktor dari elemen yang berkoresponden di | eA| kemudian transpos dari eB disebut adjoint dari eA. Adjoint dari eA dinotasikan dengan adj( eA).

Langkah-langkah menentukan invers matriks menggunakan metode adjoint:

(i) Tentukan determinan matriks eA yang dinotasikan dengan | eA| dan nilai determinan matriks tersebut ̸= e0.

(ii) Tentukan adjoint matriks eA yang dinotasikan dengan adj( eA).

Jika eA adalah matriks yang invertibel, maka Ae⁻¹ = 1

| eA| ⊗ adj( eA).

Operasi baris elementer (OBE)

Misalkan eA = (eaij) adalah sebuah matriks fuzzy segitiga persegi, kemudian matriks tersebut direduksi menjadi matriks eI .

Matriks eA diubah ke dalam bentuk diperbesar menjadi [ eA|eI] sehingga setelah dilakukan prose OBE mempunyai bentuk akhir yaitu [eI| eA⁻¹].

Langkah-langkah dalam operasi baris elementer:

1. Pertukaran posisi dua bilangan fuzzy segitiga pada baris yang berbeda.

2. Mengalikan suatu baris dengan suatu bilangan fuzzy segitiga yang tak nol (e0).

3. Menambahkan/mengurangkan suatu baris dengan hasil kali bilangan fuzzy segitiga dengan baris lainnya.

Berikut contoh perhitungan untuk invers matriks fuzzy segitiga.

Contoh 1 (1) Metode adjoint

Diberikan sebuah matriks bilangan fuzzy segitiga eA(r) A(r) =e

[ [1 + 2r, 5− 2r] [r, 2− r]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r]

]

. (14)

Menggunakan metode adjoint dan persamaan (14) diperoleh:

Ae⁻¹(r) = 1

[−9 + 13r, 17 − 13r] ⊗

[ [1 + 2r, 5− 2r] [r, 2− r]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r]

]

. (15) Dari persamaan (15) diperoleh eA⁻¹(r) sebagai berikut:

Ae⁻¹(r) =







[13 8 − 9

8r,−5 8+ 9

8r

] [

−21 16 +17

16r, 13 16− 17

16r ] [

− 19 8 + 15

8 r,11 8 − 15

8 r

] [43 16 −31

16r,−19 16+ 31

16r ]





 .

Untuk membuktikan eA⁻¹(r) yang diperoleh benar, dapat dibuktikan dengan

menghitung eA(r)⊗ eA⁻¹(r) = eI (r).

[ [1 + 2r, 5− 2r] [r, 2− r]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r]

]

⊗







[13 8 −9

8r,−5 8 +9

8r

] [

− 21 16+ 17

16r,13 16− 17

16r ] [

− 19 8 + 15

8 r,11 8 −15

8 r

] [43 16− 31

16r,−19 16 +31

16r ]





 .

Berikut diberikan perhitungan eA(r)⊗ eA⁻¹(r):

(a) ιe_{f 11}(r)

(

[1 + 2r, 5− 2r] ⊗ [13

8 − 9 8r,−5

8+ 9 8r

])

⊕ (

[r, 2− r] ⊗ [

− 19 8 + 15

8 r,11 8 − 15

8 r ])

= [31

8 − 19 8 r,−7

8 +19 8r

]

⊕ [

−19 8 +15

8 r,11 8 − 15

8 r ]

= [3

2− 1 2r,1

2+ 1 2r

] .

(b) e0_{f 12}(r)

(

[1 + 2r, 5− 2r] ⊗ [

−21 16 +17

16r,13 16− 17

16r ])

⊕ (

[r, 2− r] ⊗ [43

16 −31

16r,−19 16+ 31

16r ])

= [9

8 − 5 8r,−1

8 +5 8r

]

⊕ [

− 17 8 +13

8 r,9 8− 13

8r ]

=[−1 + r, 1 − r].

(c) e0_{f 21}(r) (

[1 + r, 3− r] ⊗ [13

8 − 9 8r,−5

8+ 9 8r

])

⊕ (

[2r, 4− 2r] ⊗ [

− 19 8 + 15

8 r,11 8 − 15

8 r ])

= [

− 49 8 +37

8 r,25 8 −37

8 r ]

⊕ [37

8 − 25 8 r,−13

8 +25 8 r

]

= [

− 3 2 +3

2r,3 2− 3

2r ]

.

(d) ιe_{f 22}(r)

(

[1 + r, 3− r] ⊗ [

− 21 16+17

16r,13 16− 17

16r ])

⊕ (

[2r, 4− 2r] ⊗ [43

16− 31 16r,−19

16 +31 16r

])

= [

− 15 8 + 11

8 r,7 8 −11

8 r ]

⊕ [31

8 − 19 8 r,−7

8 +19 8 r

]

=[2− r, r].

A(r)e ⊗ eA⁻¹(r) =





 [3

2− 1 2r, 1

2+ 1 2r

] [

− 3 2 +3

2r,3 2− 3

2r ] [

− 1 + r, 1 − r

] [

2− r, r ]





 .

Hasil akhir yang diperoleh dari eA(r)⊗ eA⁻¹(r) adalah fI_f(r) (identitas fuzzy).

(2) Dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) Diberikan matriks bilangan fuzzy segitiga eA(r)

A(r) =e

[ [1 + 2r, 5− 2r] [r, 2− r]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r]

]

. (16)

Matriks pada persamaan (16) diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar seperti berikut:

A(r)e |eI(r) =

[ [1 + 2r, 5− 2r] [r, 2− r] [1, 1] [0, 0]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r] [0, 0] [1, 1]

]

. (17) Pertama, baris 1 dari matriks pada persamaan (17) dikalikan dengan 1/[1 + 2r, 5− 2r] sehingga diperoleh:



 [1, 1]

[2 9 +1

9r,4 9 −1

9r ] [5

9 −2 9r,1

9 +2 9r

] [0, 0]

[1 + r, 3− r] [2r, 4− 2r] [0, 0] [1, 1]



 .

Kemudian, baris 2 ditambah dengan perkalian [−1 − r, −3 + r] terhadap baris 1 sehingga diperoleh:





 [1, 1]

[2 9+ 1

9r,4 9 − 1

9r

] [

5 9 − 2

9r,1 9 +2

9r ]

[0, 0]

[0, 0]

[

− 1 9+ 13

9 r,25 9 − 13

9 r ] [

−7 9 +1

9r,−5 9 −1

9r ]

[1, 1]





 .

Selanjutnya, mengalikan baris 2 dengan 1/[−1/9 + 13r/9, 25/9 − 13r/9]

sehingga diperoleh:





 [1, 1]

[2 9 +1

9r,4 9− 1

9r

] [

5 9− 2

9r,1 9+ 2

9r ]

[0, 0]

[0, 0] [1, 1]

[

− 9 8+ 5

8r,1 8 − 5

8r

] [25 16 −13

16r,− 1 16+13

16r ]





 .

langkah terakhir, baris 1 ditambah dengan perkalian [−2/9 − r/9, −4/9 + r/9]

terhadap baris 2 sehingga diperoleh:







[1, 1] [0, 0]

[7 8 − 3

8r,1 8 +3

8r

] [

− 7 16+ 3

16r,− 1 16− 3

16r ]

[0, 0] [1, 1]

[

−9 8 +5

8r,1 8 −5

8r

] [

25 16− 13

16r,− 1 16 +13

16r ]





 .

Sehingga dengan melakukan OBE diperoleh

Ae⁻¹(r) =





 [7

8 − 3 8r,1

8 +3 8r

] [

− 7 16+ 3

16r,− 1 16− 3

16r ] [

−9 8 +5

8r,1 8 −5

8r

] [

25 16− 13

16r,− 1 16 +13

16r ]





 .

Dengan menggunakan cara perhitungan yang sama pada perhitungan eA(r)⊗ Ae⁻¹(r) pada metode adjoint diperoleh:

A(r)e ⊗ eA⁻¹(r) =





 [

1, 1 ] [

0, 0 ] [

0, 0 ] [

1, 1 ]





 .

Hasil akhir yang diperoleh dari eA(r)⊗ eA⁻¹(r) adalah eI (r) (identitas murni).

5. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa modifikasi aritmatika perkalian dan pembagian bilangan fuzzy segitiga dapat digunakan untuk menyelesaikan operasi aritmatika perkalian dan pembagian yang menghasilkan ea(r) ⊗ ea⁻¹(r) =eι(r) dan ea(r)/ea(r) = eι(r). Modifikasi aritmatika juga dapat digunakan untuk menentukan invers matriks menggunakan metode adjoint dan OBE sehingga menghasilkan eA(r) ⊗ eA⁻¹(r) = fIf(r) (identitas fuzzy) dan A(r)e ⊗ eA⁻¹(r) = eI (r) (identitas murni).

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr.

Mashadi, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] M. Y. Ali, A. Sultana, dan A. F. M. K. Khan Comparison of fuzzy multiplication operation on triangular fuzzy number, IOSR Journal of Mathematics, 12(1), 2016: 35-41.

[2] D. Behera dan S. Chakraverty, Solution of fuzzy system of linear equations with polynomial parametric form, Applications and Applied Mathematics, 7(2), 2012: 648-657.

[3] D. Behera dan S. Chakraverty, A new method for solving real and complex fuzzy system of linear equation, Computational Mathematics and Modeling, 23 (2012), 507-518.

[4] S. Das dan S. Chakraverty, Numerical solution of interval and fuzzy system of linear equations, Application and Applied Mathematics, 7 (2012), 334-356.

[5] Z. Desmita dan Mashadi, Alternative multiplying triangular fuzzy number and applied in fully fuzzy linear system, American Scientific Research Journal for Engineering, Technology, and Sciences, 56(1), 2019: 113-123.

[6] M. Friedman, M. Ming, dan A. Kandel, Fuzzy linear system, Fuzzy Sets and Systems, 96 (1998), 201-209.

[7] A. N. Gani, A new operation on triangular fuzzy number for solving fuzzy linear programing problem, Applied Mathematical Sciences, 6(11), 2012: 525-532.

[8] S. Gao dan Z. Zhang, Multiplication operation on fuzzy numbers, Journal of Software, 4(4), 2009: 331-338.

[9] M. A. Jahantigh, S. Khezerloo, dan M. Khezerloo, Complex fuzzy linear systems, International Journal of Industrial Mathematics, 2 (2010), 21-28.

[10] R. Kumar dan G. Dhiman, A comparative study of fuzzy optimization through fuzzy number, International Journal of Modern Research, 1(1), 2021: 1-14.

[11] D. R. A. Sari dan Mashadi, New arithmetic triangular fuzzy number for solving fully fuzzy linear system using inverse matrix, International Journal of Sciences:

Basic and Applied Research, 46(2), 2019: 169-180.

[12] S. K. Sen, Solution of system of linear equations with coefficients as triangular fuzzy number, Progress in Nonlinear Dynamics and Chaos, 8 (2020), 1-13.

[13] A. K. Shyamal dan M. Pal, Triangular fuzzy matrices, Iranian Journal of Fuzzy Systems, 4 (1) (2007), 75-87.

[14] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 8 (1965), 338-353.