BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +

Konsep Dasar

1

PDB Linier Order Satu

2.1 PDB Linier Order Satu Homogen

PDB order satu dapat dinyatakan dalam

dy

dx

=^f(^x
y) atau dalam bentuk derivatif

M(^x
y)^dx+^N(^x
y)^dy= 0 (2.1)

2.1.1 PDB Eksak

De
nisi 2.1.1

Misal^F suatu fungsi dari dua variabel real, dan^F kontinyu pada turunan pertama pada domain^Dmaka jumlah difrensial^dF didenisikan sebagai

dF(^x
y) = ^@F(^x
y)

@x

dx+^@F(^x
y)

@y dy

untuk semua (^x
y)^2D.

13

De
nisi 2.1.2

Persamaan 2.1 disebut difrensial eksak pada domain ^D jika ada fungsi ^F dari dua variabel ^x
y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan jumlah ^dF(^x
y) untuk ⁸(^x
y) ^{2 D}. Sesuaikan denisi 2.1.1 dengan persamaan 2.1 diperoleh

M(^x
y) = ^@F(^x
y)

@x

N(^x
y) = ^@F(^x
y)

@y

Teorema 2.1.1

Persamaan 2.1 dengan^M
N kontinyu pada turunan pertamanyan (^{M
N 2C1}(^D)) akan memenuhi dua kondisi berikut:

1. Bila 2.1 PDB eksak di ^D maka ^@M@y(xy) = ^@N(xy)@x untuk ⁸(^x
y)^2D

2. Sebaliknya bila ^@M@y(xy) = ^@N@x(xy) untuk ⁸(^x
y) ^{2 D} maka dikatakan 2.1 adalah PDB eksak.

Bukti

Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini. Jika 2.1 eksak di ^D maka

Mdx+^Ndy adalah eksak difrensial di ^D. Dengan denisi 2.1.1 dan 2.1.2, maka terdapat suatu fungsi^F sedemikian hingga

@F(^x
y)

@x

=^M(^x
y)
dan ^@F(^x
y)

@y

=^N(^x
y)

untuk ⁸(^x
y) ^{2 D}. Selanjutnya turunkan ^M terhadap ^y dan ^N terhadap x diperoleh

@ 2

F(^x
y)

@x@y

= ^@M(^x
y)

@y

dan ^@2F(^x
y)

@y@x

= ^@N(^x
y)

@x

Kita tahu bahwa

@F(^x
y) = ^@F(^x
y)

untuk ⁸(^x
y)^2D, sehingga dapat disimpulkan

@M(^x
y)

@y

= ^@N(^x
y)

@x

8(^x
y)^2D.

Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua.

2.1.2 Solusi PDB Eksak

Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini, yaitu menggunakan prosedur dalam teorema atau denganteknik pengelompokan.

Contoh 2.1.1

Tentukan solusi PDB eksak(3^x2+ 4^xy)^dx+ (2^x2+ 2^y)^dy = 0

Penyelesaian 2.1.1

Jelas persamaan ini adalah PDB eksak karena

@M(^x
y)

@y

= 4^x= ^@N(^x
y)

@x

8(^x
y)^2D. Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai

@F(^x
y)

@x

= 3^x2+ 4^y dan ^@F(^x
y)

@y

= 2^x2+ 2^y Integralkan bentuk pertama

F(^x
y) =

Z

M(^x
y)^@x+^(^y) =

Z

(3^x2+ 4^xy)^@x+^(^y) Kemudian turunkan terhadap ^y

@F(^x
y)

@y

= 2^x2+^d(^y)

dy

padahal kita punya

@F(^x
y) =^N(^x
y) = 2^x2+ 2^y

sehingga

2^x2+ 2^y= 2^x2+ ^d(^y)

dy

atau ^d(^y)

dy

= 2^y:

Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh ^(^y) = ^y2 +^c0, dengan demikian

F(^x
y) menjadi

F(^x
y) =^x3+ 2^x2y+^y2+^c0:

Bila^F(^x
y) merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah^F(^x
y) =^c1 sehingga

) x

3+ 2^x2y+^y2+^c0 =^c1 atau ^x3+ 2^x2y+^y2 =^c yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud.

Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan, lihat catatan dalam perkuliahan.

2.1.3 Faktor Integrasi

Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak.

Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak. Re- nungkan lagi persamaan 2.1, bila ^{@M(xy)@y 6}= ^@N(xy)@x maka dapat ditentukan^(^x
y) sedemikian hingga

(^x
y)^M(^x
y)^dx+^(^x
y)^N(^x
y)^dy= 0 (2.2)

merupakan PDB eksak. Sekarang bagaimana prosedur menentukan ^(^x
y), da- patlah digunakan teorema 2.1.1 diatas. Bila persamaan 2.2 eksak maka

@(^M)

@y

= ^@(^N)

@x

@

@y

M +^@M

@y

= ^@

@x

N +^@N

@x



@M

@y

;

@N

@x



= ^N@

@x

;M

@

@y

(^x
y) = ^{N@M@@x ;M@@y}

@y

;

@N

@x

(2.3) adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum.

Contoh 2.1.2

Tentukan solusi PDB berikut ini

1. (4^xy+3^y2;x)^dx+^x(^x+2^y)^dy= 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada ^x saja

2. (^x2y+2^xy2+2^x+3^y)^dx+(^x3+2^x2y+3^x)^dy= 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada ^xy

Penyelesaian 2.1.2

Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Jika ^ tergantung pada ^xy ini berarti ^ = ^(^x
y) misal

z =^xy maka

@

@x

= ^@(^z)

@z

y atau ^@

@y

= ^@(^z)

@z x

sedangkan

@M

@y

=^x2+ 4^xy+ 3
dan ^@N

@x

= 3^x2+ 4^xy+ 3^:

Sekarang gunakan faktor integrasi 2.3 dan substitusikan nilai-nilai diatas ini, maka didapat

 = (^x3+ 2^x2y+ 3^x)^{@(z)@z y;}(^x2y+ 2^xy2+ 2^x+ 3^y)^{@(z)@z x} (^x2+ 4^xy+ 3)^;(3^x2+ 4^xy+ 3)

 = ^@

@z

@z = 1



@

Z

@z =

Z 1



@

z = ln^

=^ez =^exy

Dengan demikian faktor integrasinya adalah ^(^x
y) =^exy. Sekarang soal nomor dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap suku- sukunya dimasing-masing ruas.

e

xy(^x2y+ 2^xy2+ 2^x+ 3^y)^dx+^exy(^x3+ 2^x2y+ 3^x)^dy = 0

Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara.

Coba anda kerjakan sebagai latihan

2.1.4 Teknik Variabel Terpisah

Bila persaman 2.1 kita transformasikan kedalam bentuk

f

1(^x)^g1(^y)^dx+^f2(^x)^g2(^y)^dy= 0 (2.4) selanjutnya kalikan persamaan ini dengan ^g1(^y)^f2(^x) maka akan diadapat

f

1(^x)

f

2(^x)^dx+^g2(^x)

g

1(^y)^dy = 0 (2.5)

Persamaan 2.4 tidak eksak namun persamaan 2.5 adalah eksak sehingga teknik penyelesaiannya menyesuaikan. Bisa juga dengan mengintegralkan langsung ben- tuk itu menjadi

Z

f

1(^x)

f

2(^x)^dx+

Z

g

2(^x)

g

1(^y)^dy= 0

Contoh 2.1.3

Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisa- han variabel.

1. (^x+^y)^2dx;xydy= 0

2. (2^xy+ 3^y2)^dx;(2^xy+^x2)^dy= 0

Penyelesaian 2.1.3

Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Ambil suatu permisalan^y=^vxdan tentunya^dy=^vdx+^xdv, lalu substitusikan kedalam persamaan nomor 2.

(2^x2v+ 3^x2v2)^dx;(2^x2v+^x2)(^vdx+^xdv) = 0 2^x2vdx+ 3^x2v2dx;2^x2v2dx;2^{x3vdv;x2vdx;x3dv} = 0

x

2(^v+^v2)^dx;x3(2^v;1)^dv = 0 1

x dx;

(2^v;1)

(^v+^v2)^dv = 0

Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara yang sama untuk menyelesaikannya. Atau bisa diintegralkan langsung menjadi

Z 1

x dx;

Z (2^v;1)

(^v+^v2)^dv = 0 ln^x+^c0+ ln^v;3^ln(1 +^v) +^c1 = 0

ln^x+^c0+ ln(^y=x)^;3^ln(1 + (^y=x)) +^c1 = 0

) ln^x+ ln(^y=x)^;3^ln(1 + (^y=x)) =^c

Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud.

2.2 PDB Linier Order Satu Nonhomogen

Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan

dy

dx

+^P(^x)^y=^Q(^x) (2.6)

dy

dx

+^P(^x)^y=^Q(^x)^yn (2.7) Untuk persamaan 2.6 dapat kita tulis dalam

(^P(^x)^y;Q(^x))^dx+^dy= 0 sehingga

M(^x
y) =^P(^x)^y;Q(^x) dan ^N(^x
y) = 1^: Sekarang

@M(^x
y)

@y

=^P(^x) dan ^@N(^x
y)

@x

= 0

dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak, sehingga perlu ditentukan faktor integrasinya. Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada ^x, yaitu ^(^x). sedemikian

(^(^x)^P(^x)^y;(^x)^Q(^x))^dx+^(^x)^dy = 0 merupakan PDB eksak, yang berakibat bahwa

@



(^x)^P(^x)^y;(^x)^Q(^x)



@y

= ^@(^x)

@x

Selesaikan bentuk ini didapat

P(^x)^dx = 1

(^x)^@(^x) ln^jj =

Z

P(^x)^dx

)=^{eRP(x)dx >}0

Kalikan ^terhadap persamaan 2.6 didapat

e R

P(x)dx dy

dx

+^eRP(x)dxP(^x)^y=^Q(^x)^eRP(x)dx yang mana hal ini sama dengan

d

dx



e R

P(x)dx

y



=^Q(^x)^eRP(x)dx atau

e R

P(x)dx

y=

Z

e R

P(x)dx

Q(^x)^dx+^c atau

) y =^{e;RP(x)dxR eRP(x)dxQ}(^x)^dx+^c (2.8) Persamaan ini disebut

Persamaan Bernoulli

Selanjutnya untuk persamaan 2.7 dapat kita tulis dalam

y

;n dy

dx

+^P(^x)^y1;n =^Q(^x)^:

Misal^v =^y1;n maka ^dydx = ^{(1;n)1 yndvdx} sehingga persamaan diatas menjadi

dv

dx

+ (1^;n)^P(^x)^v =^Q(^x)(1^;n)

Misal ^Pp(^x) = (1 ^;n)^P(^x) dan ^Qq(^x) = (1 ^;n)^Q(^x) maka persamaan diatas dapat direduksi kedalam bentuk

) dv

dx

+^Pp(^x)^v =^Qq(^x)

adalah persaman sebagaimana 2.6, sehingga cara menyelesaikan sama.

Contoh 2.2.1

Tentukan solusi PDB berikut ini

1. (^x2+ 1)^dydx+ 4^xy=^x
y(2) = 1 2. ^dydx+^y=^xy3
y(0) = 2

Penyelesaian 2.2.1

Soal nomor 1 dapat diselesaikan langsung dengan persamaan 2.8, sehingga

dy

dx

+ 4(^x2+ 1)^{x y}= (^x2x+ 1)

maka^P(^x) = ^(x24x+1) dan ^Q(^x) = ^(x2x+1) sehingga dengan menggunakan

y=^e;RP(x)dx

Z

e R

P(x)dx

Q(^x)^dx+^c

y dapat ditentukan sebagai

y= 4(^x2x+ 1)^{4 2} + 2(^x2x+ 1)^{2 2} + (^x2+ 1)^{c 2}

untuk ^y(2) = 1 maka substitusikan ke persamaan ini didapat ^c = 19, akhirnya solusi khususnya adalah

) y= 4(^x2x+ 1)^{4 2} + 2(^x2x+ 1)^{2 2} + 19(^x2+ 1)²

Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor 2.

Anda kerjakan sebagai latihan

Latihan Tutorial 2

1. Mana diantara soal-soal berikut ini yang merupakan PDB order 1 eksak.

(a) (^ysec^2x+ sec^xtan^x)^dx+ (tan^x+ 2^y)^dy= 0 (b) (^2+ 1)cos^rdr+ 2^sin^rd = 0

(c)



2s;1

t



ds+



s;s 2

t 2



dt= 0

2. Selesaikanlah PD order 1 eksak berikut ini

(a) (2^ysin^xcos^x+^y2sin^x)^dx+ (sin^2x;2^ycos^x)^dy= 0 ^y(0) = 3 (b)



1+8xy 2=3

x 2=3

y 1=3

!

dx+



2x 4=3

y 2=3

;x 1=3

y 4=3

!

dy= 0 ^y(1) = 8

3. Tentukan faktor integrasi^untuk masing-masing soal berikut ini

(a) (^x2y+ 2^xy2+ 2^x+ 3^y)^dx+ (^x3+ 2^x2y+ 3^x)^dy= 0, bila ^tergantung pada ^xy

(b) (^y3;2^x2y)^dx+ (2^xy2;x3)^dy= 0, bila ^tergantung pada ^x+^y 4. Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan

berikut ini

(a) (^xtan ^yx+^y)^dx;xdy= 0

(b) (^px+^y+^px;y)^dx+ (^px;y;px+^y)^dy= 0

5. Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini (a) (^x2 +^x;2)^dxdy + 3(^x+ 1)^y =^x;1

(b) ^ddr +^rtan^ = cos^
r(^pi4) = 1