BAB II
TEMPAT KEDUDUKAN
Jarak Antara Dua Titik
1. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 4, B = 3, C = -2 a. Jarak antara titik AB
b. Jarak antara titik AC c. Jarak antara titik BC Jawab
Jarak antara titik pada garis = x
1− x
2a. AB = x
1− x
2= 4 − 3 = 1
a. AC = x
1− x
2= 4 − ( ) − 2 = 6
c. BC = x
1− x
2= 3 − ( ) − 2 = 5
2. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 2, B = 1, C = -2 a. Jarak antara titik AB
b. Jarak antara titik AC c. Jarak antara titik BC Jawab
Jarak antara titik pada garis = x
1− x
2a. AB = x
1− x
2= 2 − 1 = 1
a. AC = x
1− x
2= 2 − ( ) − 2 = 4
c. BC = x
1− x
2= 1 − ( ) − 2 = 3
Hubungan Koordinat Cartesius dan Kutub
1. Diketahui koordinat cartesius titik P = ( 5 , − 11 ) tentukan koordinat kutib titik P?
Jawab :
Koordinat cartesius titik P = ( 5 , − 11 ) maka x = 5 dan y = − 11 ( 11 ) 25 11 36 6
5
2 22
2
+ = + − = + = =
= x y r
66 , 5 0
11 = −
= −
= x tg α y
6 ,
− 33
α = karena titik P berada dikuadran IV maka :
4 , 326 6 , 33
360 − =
α =
Jadi koordinat kutub titik P adalah ( 6 , 326 , 4
ο)
2. Diketahui koordinat kutub titik A = ( 5 , 210
o) tentukan koordinat cartesius titik A ?
Jawab
Koordinat kutub titik A = ( 5 , 210
o) maka r = 5 dan α = 210
o2 3 2 1 210 cos 5
cos = = −
= r
ox α
2 2 1 210 sin 5
sin =
0= −
= r α y
Jadi koordinat cartesius titik A adalah
− −
2 2 1 , 2 3 2 1
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain
1. Misalkan diketahui titik A = ( ) 2 , 4 dan B = ( ) 8 , 8 dan titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = 3 : 2 . Tentukan koordinat tikik T Jawab :
5 28 5
4 24 2
3 2 . 2 8 .
1
3
2
= + =
+
= + +
= +
n m
nx x
Tmx
5 32 5
8 24 2
3 4 . 2 8 .
1
3
2
= + =
+
= + +
= +
n m
ny y
Tmy
Jadi koordinat titik
5
, 32
5
T 28
( ) ( )
( ) ( )
13 2
52 16 36
4 6
4 8 2 8
2 2
2 2
2 1 2 2 1 2
=
= +
= +
=
− +
−
=
− +
−
=
AB AB AB AB AB
y y x x AB
( ) ( )
( ) ( )
17 16 1
4 1
7 3 5 6
2 2
2 2
2 1 2 2 1 2
= +
= +
=
− +
−
=
− +
−
=
AB AB AB AB
y y x x AB
2. Misalkan diketahui titik A = ( ) 5 , 4 dan B = ( ) 2 , 4 dan titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = 4 : 2 . Tentukan koordinat tikik T Jawab :
6 3 18 6
10 8 2 4
5 . 2 2 .
1
4
2
= + = =
+
= + +
= +
n m
nx x
Tmx
6 4 24 6
8 16 2
4 4 . 2 4 .
1
4
2
= + = =
+
= + +
= +
n m
ny y
Tmy
Jadi koordinat titik T ( ) 3 , 4
Jarak Antara Dua Titik
1. Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab :
2 8
4 8
A
B
2. Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab :
Tempat Kedudukan Titik pada ruang
1. Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik P bila :
a. P(4,3,2)
b. P(-2,3,6) Jawab :
Titik asal O = ( 0 , 0 , 0 ) ( = x
1, y
1, z
1) dan P = ( x
2, y
2, z
2)
( ) ( ) ( )
222 2 2 2 2 2 2 2 2
2
0 y 0 z 0 x y z
x
O P = − + − + − = + +
a. P(4,3,2)
29 2
3 4
2 2 22 2 2 2 2
2
+ + = + + =
= x y z
OP b. P(-2,3,6)
( ) 2
23
26
249 7
2 2 2 2 2
2
+ + = − + + = =
= x y z
O P
2. Tentukan jarak titik A ke titik B bila : a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)
b. A(1,2,0) dan B(2,1,0) Jawab :
Titik asal A = ( x
1, y
1, z
1) dan B = ( x
2, y
2, z
2)
( ) ( ) (
2 1)
22 1 2 2 1
2
x y y z z
x
AB = − + − + −
a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)
( 2 − 4 )
2+ ( 1 − 2 )
2+ ( 1 − 2 )
2= 4 + 1 + 1 = 6
= AB
b. A(1,2,0) dan B(2,1,0)
( 2 − 1 )
2+ ( 1 − 2 ) (
2+ 0 − 0 )
2= 1 + 1 + 0 = 2
= AB
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain pada Ruang
1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,2,0) dan B(5,-8,-1) dan C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC. Tentukan koordinat titik D.
Jawab :
A(1,2,0)
C(1,3,1)
B(5,-8,-1) D
2117
( 1 − 1 )
2+ ( 3 − 2 )
2+ ( 1 − 0 )
2= 0 + 1 + 1 = 2
= AC
( 5 − 1 )
2+ ( − 8 − 2 )
2+ ( − 1 − 0 )
2= 16 + 100 + 1 = 117
= AB
Berdasarkan dalil garis bagi maka :
2 : 117 :
: CD = AB AC = BD
( ) ( ) 1 , 4625
2 117
5 . 2 1 . 117 2
117 2
117 =
+
= + +
=
C+
BD
x x x
( ) ( ) 1 , 728
2 117
) 8 .(
2 3 . 117 2
117 2
117 =
+
−
= + +
=
C+
BD
y y y
( ) ( ) 0 , 768
2 117
) 1 .(
2 1 . 117 2
117 2
117 =
+
−
= + +
=
C+
BD
z y z
Jadi koordinat titik D(1,4625;1,728;0,768)
2. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(3,6,9) dan B(4,8,12) dan C(1,3,1).
Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC.
Tentukan koordinat titik D.
( 1 − 3 ) (
2+ 3 − 6 ) (
2+ 1 − 9 )
2= 4 + 9 + 64 = 77
= AC
( 4 − 3 ) (
2+ 8 − 6 ) (
2+ 12 − 9 )
2= 1 + 4 + 9 = 14
= AB
Berdasarkan dalil garis bagi maka :
77 : 14 :
: CD = AB AC = BD
( ) ( ) 3 , 1
77 14
4 . 77 1 . 14 77
14 77
14 =
+
= + +
=
C+
BD
x x x
( ) ( ) 6 , 5
77 14
) 8 .(
77 3 . 14 77
14 77
14 =
+
= + +
=
C+
BD
y
y y
( ) ( ) 5 , 9
77 14
) 8 .(
77 1 . 14 77
14 77
14 =
+
= + +
=
C+
BD
z y z
Jadi koordinat titik D(3,1;6,5;5,9)
3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(3,4,1), B(7,-8,-2) dan C(2,4,1). Tentukan titik berat segitiga ABC ?
Jawab :
=
+ + + − + +
=
+ + + + + +
=
3 , 4 3 , 8 3 12
3 1 2 , 1 3
4 8 , 4 3
2 7 3
, 3 , 3
3
M M
z z z y y y x x
M x
A B c A B c A B c4. Tunjukan bahwa ketiga titik berikut segaris A(2,5,-4) B(1,4,-3) dan C(4,7,-6) Jawab :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 4 1 ) ( 7 4 ) ( 6 3 ) 9 9 9 3 3
3 2 4 4 4 4
6 5
7 2 4
3 1 1 1 4
3 5
4 2 1
2 2
2
2 2
2
2 2
2
= + +
= +
− +
− +
−
=
= + +
= +
− +
− +
−
=
= + +
= +
− +
− +
−
= BC AC AB
Karena BC = AB + AC maka titik-titik tersebut segaris
BAB III
B C
A
D
E
M
GARIS PADA BIDANG
1. Misalkan diketahui persamaan garis :
0 2 3
0 2 2 2
2 1
= +
−
−
=
= +
−
=
y x g
y x g
Tentukan persamaan garis yang melalui titik pangkal O(0,0) dan titik potong garis g
1, g
2.
Jawab :
Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik potong kedua garis g
1dan g
2gunakan persamaan berkas garis g
1+ λ g
2= 0
( ) ( )
( 2 3 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 ) 0 0 .... ( 1 )
2
0 2 3
2 2 2
0 2 3
2 2 2
= + + +
−
−
= + +
−
−
−
= +
−
− +
−
= +
−
− + +
−
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ λ
y x
y y x x
y x y
x
y x y
x
Merupakan persamaan garis yang melalui titik potong garis g
1dan g
2, karena garis yang diminta melalui titik pangkal O(0,0) maka ( 2 + 2 λ ) = 0 . Maka
1 2 2
0 2 2
−
=
−
=
= +
λ λ λ
Substitusi λ ke persamaan (1) maka : ( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( ) ( )
x y
x y y x y x y x
y x
5 5 0 5
0 0 5
0 2 2 1 2 3 2
0 1 2 2 1 2 1 3 2
=
−
=
−
=
−
= +
−
=
− +
−
− +
=
− + +
− +
−
−
−
Jadi persamaan garis adalah y = 5 x
2. Misalkan diketahui titik A(4,1) dan garis g = 9 x + 12 y + 8 = 0 . Tentukan jarak dari titik A ke garis g.
Jawab :
( ) ( ) 4
15 60 225 60 12
9
8 1 12 4 9
2 2 2
2 1
1
= = =
+ +
= + +
+
= +
B A
C By d Ax
3. Misalkan diketahui titik A(4,2) tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan bersudut 45
0dengan garis y = 2 x
Jawab :
Misalkan persamaan garis yang dimaksud berbentuk y = ax + b Garis membentuk sudut 45
0berarti
3 2 2
1
2 1
2 1
1 22 1
−
=
−
=
+ +
= − +
= −
a a a
a tg a
a a
a tg a
α α
Garis melalui titik A(4,2) berarti koordinat titik A memenuhi persamaan garis :
( )
14 12 2
4 3 2
= +
−
=
+
−
= +
=
b
b b b ax y
Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah y = − 3 x + 14
B. GARIS PADA RUANG
1. Diketahui dua buah titik A(3,4,1) dan B(1,7,2) tentukan persamaan garis melalui titik A dan B.
Jawab :
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ , , , , ] [ 3 3 , , 4 4 , , 1 1 ] [ 1 2 3 , 3 , , 7 1 ] 4 , 2 1
, ,
, , ,
,
1 1 1 2 1 2 1 2 1−
− +
=
−
−
− +
=
−
−
− +
=
λ λ
λ z
y x
z y x
z z y y x x x
y x z y x
1 1
3 4 4 3
3 4
2 3 3 2
2 3
+
−
=
→
−
=
= −
−
=
→ +
=
+
= − +
−
=
→
−
=
z z
y y x
x x x
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
1 1 3
4 2
3 = − = − + +
− x y z
[ ]
=
=
+
= +
14 , 1 14 , 3 14 2 14
1 , 3 , 2
1 3 2
1 , 3 , cos 2
, cos ,
cos α β γ
2 2 2γ β
α cos cos cos
1 1
1
y y z z
x
x − = − = −
Maka persamaan garis AB melalui titik A adalah
14 1
1
14 3
4
14 2
3 = − = − + +
− x y z
Vector cosinus arah garis adalah
[ ] =
= 14
, 1 14 , 3 14 cos 2
, cos ,
cos α β γ
AB
BIDANG
1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier melalui titik A(3,2,1) dan B(-1,-2,6) dan C(1,7,2)
Jawab :
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ 3 3 , , 2 2 , , 1 1 ] [ 1 4 , 3 4 , , 5 ] 2 2 [ , 6 2 , 1 5 , 1 ] 1 3 , 7 2 , 2 1
, ,
, ,
, ,
, , ,
,
−
− +
−
− +
=
−
−
− +
−
−
−
−
− +
=
−
−
− +
−
−
− +
=
µ λ
µ λ
µ λ
z y x
z z y y x x z
z y y x x z
y x z y
x
a a a b a b a b a c a c a c aPersamaan parameter
µ λ
µ λ
µ λ
− +
=
+
−
=
−
−
= 5 1
5 4 2
2 4 3 z y x
[ ]
[ 21 , 14 , 28 ] 2 5
4 , 4
2 1
4 , 5
1 5
5 , 4
,
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
= − C B A
Persamaan linier :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
7 : 0
17 4 2 3
0 4 4 4 2 9 3
0 2 8 28 28 14 6 3 2 1
0 28
14 21
0
1 1
1
1 1
1
−
=
− + +
=
− +
− +
−
= +
− +
− +
−
=
−
−
−
−
−
−
=
− +
− +
−
z y x
z y
x
z y
x
z z y
y x
x
z z C y y B x x A
2. Tentukan persamaan bidang melalui ketiga titik (3,4,1) (-1,-2,5) dan (1,7,2) Jawab :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 : 0
31 12 2 9
0 12 12 8 2 27 9
0 24 24
16 4 54 18
0 1 24 4 4 3 18
3 0 2
6 1 4
1 2
4 4 4
1 3
4 3 6
0 1 3
2
4 6
4
1 4
3
0 1 2 4 7 3 1
1 5 4 2 3 1
1 4
3
0
1 2 1 2 1 3
1 2 1 2 1 2
1 1
1
−
=
−
−
−
=
−
− +
−
−
= +
−
− + +
−
=
−
−
− +
−
−
− =
−
− −
− +
− −
− +
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
z y x
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
z z y y x x
z z y y x x
z z y y x x
3. Tentukan sudut antara bidang 2x + 3y + 6z + 9 =0 dan bidang 3x + 2y + 2z – 8
= 0 Jawab :
74 , 33
17 7
24
2 2 3 . 6 3 2
2 . 6 2 . 3 3 . 2
. .
cos .
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
