BAHAN PROYEK KALKULUS DIFFERENSIAL MATERI TURUNAN

BAHAN PROYEK KALKULUS DIFFERENSIAL MATERI TURUNAN

Disusun oleh:

Alifia Qolbiyatus Syifa (K1321001)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN 2021

Kalkulus merupakan salah satu cabang di dalam matematika yang mempelajari dan menganalisis masalah - masalah perubahan yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak hingga sebagaimana geometri merupakan ilmu yang mempelajari mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan suatu persamaan serta aplikasinya. Istilah kalkulus berasal dari bahasa Latin calculus yang memiliki arti “batu kecil”.

Kalkulus memiliki aplikasi yang sangat luas dalam berbagai bidang. Dan dalam sejarah perkembangannya, kalkulus dikembangkan secara terpisah oleh dua orang ilmuwan saat itu, Sir Isaac Newton (1642-1727) seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Inggris dan Gottfried Wilhelm Lebniz (1646-1716) yang berkebangsaan Jerman. Newton banyak mengaplikasikan kalkulus ke dalam ilmu fisika sedangkan Leibniz berkontribusi di dalam pengembangan notasi-notasi kalkulus saat ini. Kalkulus memegang peranan yang sangat penting dalam bidang sains, ekonomi, dan teknik. Kalkulus memilki dua cabang utama, yaitu kalkulus differensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.

Kalkulus Differensial merupakan salah satu cabang yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam kalkulus differensial adalah turunan.

Pengertian turunan dalam kalkulus yaitu pengukuran terhadap bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan dari nilai input atau masukan. Secara umum, turunan menyatakan tentang bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan dari suatu variabel tertentu.

Dengan menggunakan konsep turunan, suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan naik atau turunnya grafik fungsi tersebut, kekontinuan, dan titik beloknya. Pada kehidupan sehari-hari, banyak kasus yang menggunakan konsep turunan saat ini.

A. Definisi

Turunan dari sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c dapat didefinisikan dengan

𝑓^′(𝑐) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = h. Asalkan limit ini ada dan bukan pada ∞ atau −∞. Jika limit ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c dan f `(x) disebut sebagai fungsi turunan dari f. Pencarian turunan dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Misalkan f(x) = 13x – 6. Carilah f `(4).

Penyelesaian:

f `(x) = lim

ℎ→0

𝑓(4+ℎ)−𝑓(4) ℎ = lim

ℎ→0

[13(4+ℎ)−6]−[13(4)−6]

ℎ

= lim

ℎ→0 13ℎ

ℎ = lim

ℎ→013 = 13 Bentuk-bentuk Setara Turunan

Penggunaan huruf h dalam mendefinisikan f `(c) bukanlah suatu hal yang keramat. Perhatikan bahwa

f `(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)

ℎ f `(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+𝑠)−𝑓(𝑐) ℎ

Dalam semua kasus, bilangan dimana f `dihitung tidak berubah selama operasi limit.

Perlu diperlihatkan bahwa lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). Dapat dituliskan dengan f(x) dalam suatu cara yang khas, yaitu

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 (𝑥) Sehingga, lim

ℎ→0𝑓(𝑥) = lim [𝑓(𝑐)

ℎ→0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)

𝑥−𝑐 (𝑥 − 𝑐)]

= lim

ℎ→0𝑓(𝑐) + lim

ℎ→0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐 . lim

ℎ→0(𝑥 − 𝑐)

= f(c) + f `(c). 0

= f (c)

TEOREMA A | Keterdiferensian Mengimplikasikan Kontinuitas Jika f `(c) ada maka f kontinu di c

Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku. Jika fungsi f kontinu di c, maka tidak berarti bahwa f memiliki turunan di c. Hal ini dapat dilihat dengan memperhatikan f(x) = |𝑥| pada titik asal pada grafik di samping.

Ada argumentasi yang menunjukkan bahwa di sebarang titik ketika grafik suatu fungsi kontinu memiliki pojok yang tajam, maka fungsi tersebut tidak terdiferensiasi.

B. Aturan Pencarian Turunan

Dalam proses pencarian turunan dari suatu fungsi langsung dari definisi dapat memakan waktu untuk menghitung limitnya. Dengan notasi Leibniz, terdapat tiga notasi untuk turunan.

a) Turunan y = f (x) sering ditulis dengan y`= f `(x).

b) Notasi dari y`= f `(x) dapat ditulis juga dengan ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ^{𝑑 𝑓(𝑥)}

𝑑𝑥 . c) Notasi dari y`= f `(x) bermakna sama Dx f(x)

Bukti : f `(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = lim

ℎ→00 = 0

Teorema ini juga mengingatkan bagaimana memangkatkan suatu binomial Bukti :

f `(x) = lim

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑥+ℎ−𝑥

ℎ = lim

ℎ→0 ℎ ℎ= 1 TEOREMA A | Aturan Fungsi Konstanta

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f `(x) = 0; yaitu Dx (k) = 0

TEOREMA B | Aturan Fungsi Satuan Jika f(x) = c, maka f `(x) = 1; yakni

Dx (x) = 1

TEOREMA C | Aturan Pangkat

Jika f(x) = xⁿ, dengan n bilangan bulat positif, maka f `(x) = nx^n-1 yakni,

Dx (xⁿ) = nx^n-1

Bukti:

Misalkan F(x) = k. f(x) maka, F`(x) = lim

ℎ→0

𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑘.𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘.𝑓(𝑥) ℎ

F`(x) = lim

ℎ→0𝑘 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = 𝑘. lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= k. f `(x)

Bukti:

Misalkan F(x) = f(x) +g(x) F`(x) = lim

ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)]

ℎ −[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]

ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ +𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ + lim

ℎ→

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= f `(x) +g`(x)

Sebarang operator L dengan sifat-sifat yang dinyatakan dalam teorema D dan E disebut linear, yakni L adalah operator linear apabila:

1. L(kf) = kL(f) untuk setiap konstanta k, TEOREMA D | Aturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)`(x) = k.f `(x) yakni,

Dx [k. f(x)] = k. Dx f(x)

Pengali konstanta k apat dikeluarkan dari operator Dx

TEOREMA E | Aturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-funsi yang terdiferensiasikan, maka (f+g)`(x) = f `(x) + g `(x) yakni,

Dx [f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x) Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah turunan-turunan

2. L(f+g) = L(f) + L(g)

Operator linear selalu memenuhi aturan selisih L(f - g) = L(f) -L(g) yang dinyatakan untuk Dx.

Bukti:

F`(x) = lim

ℎ→0

𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥) ℎ

F`(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ

F`(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ

F`(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ) . 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ +𝑔(𝑥) .𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

F`(x) = lim

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) . lim

ℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ + 𝑔(𝑥) . lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ

F`(x) = f(x)g `(x) + g(x)f `(x)

Pada bukti di atas, didapatkan bahwa lim

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥), hal ini membuktikan bahwa bahwa keterdiferensiasian pada suatu titik mengimplikasikan kontinuitas pada titik tersebut.

TEOREMA F | Aturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f – g)`(x) yakni, Dx[f(x) – g(x)] = Dx f(x) -Dxg(x)

TEOREMA G |Teorema Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f – g)`(x) = f(x)g `(x) + g(x)f `(x)

Yakni: Dx [f(x)g(x)] = f(x)Dx g(x) + g(x)Dx f(x)

Sehingga, Turunan dari suatu hasil bagi sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan dari pembilang kemudian dikurangi dengan pembilang dikalikan dengan turunann penyebut.

Contoh:

Cari turunan dari ^𝑑

𝑑𝑥

(3𝑥−5) (𝑥²+7) . Penyelesain : ^𝑑

𝑑𝑥 [^3𝑥−5

𝑥²+7] = ^(𝑥

2+7)_𝑑𝑥^𝑑(3𝑥−5)−(3𝑥−5)_𝑑𝑥^𝑑(𝑥²+7) (𝑥²+7)²

=^(𝑥2+7)(3)−3𝑥−5)(𝑥) (𝑥²+7)²

=^{−3𝑥2+10𝑥+21}

(−3𝑥²+7)²

Aturan Pangkat berlaku untuk pangkat negatif

Bukti : Dx (𝑥^−𝑛) = (¹

𝑥^𝑛) = ^{𝑥𝑛.0−1.𝑛𝑥𝑛−1}

𝑥^2𝑛 =^{−𝑛𝑥𝑛−1}

𝑥^2𝑛 = −𝑛𝑥^−𝑛−1 Dapat dilihat pada contoh diatas bahwa Dx (³

𝑥) = ⁻³

𝑥²

C. Aturan Rantai

F(x) = (2𝑥²− 4𝑥 + 1)⁶⁰. Kita dapat mencari turunan dari fungsi tersebut dengan mengalikan 60 faktor kuadrat 2𝑥²− 4𝑥 + 1 kemudian mendiferensiasikan polynomial yang dihasilkan.

Rumit bukan?

TEOREMA H | Aturan Hasil Kali

Misalkan f dan g merupakan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dengan g(x) = 0 maka,

(^𝑓

𝑔) `(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔`(𝑥) 𝑔(𝑥) .𝑔(𝑥)

Yaitu Dx (^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) .𝑔(𝑥)

Dx (𝑥)^−𝑛 = −𝑛𝑥^−𝑛−1

Itulah mengapa aturan rantai pada turunan sangat penting, sehingga kita jarang lai mendiferensiasikan fungsi tanpa aturan rantai.

Diferensiasi Fungsi Komposit

Contoh:

1) Jika 𝑦 = (2𝑥²− 4𝑥 + 1)⁶⁰. Maka carilah untuk Dxy.

Penyelesaian:

Y sebagai pangkat ke 60 sebagai suatu fungsi, maka : 𝑦 = 𝑢⁶⁰ dan 2𝑥²− 4𝑥 + 1

𝑓(𝑢) = 𝑢⁶⁰ merupakan fungsi yang berada di luar, dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥²− 4𝑥 + 1 merupakan fungsi yang berada di dalam. Sehingga,

Dxy = Dxf(g(x)) = f(u)g(x)

= (60𝑢⁵⁹)(4𝑥 − 4)

= 60(2𝑥²− 4𝑥 + 1)⁵⁹(4𝑥 − 4)

Turunan Tingkat Tinggi

Ketika sebuah fungsi f dideferensiasikan akan menghasilkan fungsi baru yaitu f `. kemudian apabila kita mendiferensiasikan fungsi f ` tersebut maka akan menghasilkan f ``(dibaca f dua aksen) atau disebut juga turunan kedua. Apabila f`` dideferensiasikan akan menghasilkan f``` atau disebut dengan tuunan ketiga dari f. Turunan keempat dinyatakan dengan f ⁽⁴⁾ dan seterusnya.

Terdapat tiga cara dalam penulisan turunan, yaitu:

𝑓`(𝑥) = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= Dx

TEOREMA A | Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x).

Jika g terdiferensiasi di x dan f terdiferensiasi di di u = g(x) maka fungsi komposit f o g yang didefinisikan oleh (f o g) `(x) = f(g(x)) terdiferensiasi di x dan

(f o g) `(x) = f `(g(x)) g`(x) Yaitu,

Dx (f(g(x))) = f `(g(x))g`(x) atau ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 x ^𝑑𝑢

𝑑𝑥

Atau biasa disebut dengan Notasi aksen, Notasi Leibniz, dan Notasi D.

D. Diferensiasi Implisit

Diferensiasi Implisit adalah mencari ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara jelas persamaan yang diberikan untuk y dalam x.

Contoh: Carilah ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 jika 4𝑥²𝑦 = 𝑥³− 1 Penyelesaian:

Metode 1

𝑦(4𝑥² − 3) = 𝑥³ − 1 𝑦 = ^𝑥3−1

4𝑥²−3

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ^{(4𝑥2−3)(3𝑥2)−(𝑥3−1)(8𝑥)}

(4𝑥²−3)² = ^{4𝑥4−9𝑥2+8𝑥}

(4𝑥²−3)²

Metode 2 (Differensiasi Implisit)

𝑑

𝑑𝑥 (4𝑥²𝑦 − 3𝑦) = ^𝑑

𝑑𝑥 (𝑥³− 1) 4𝑥^{2 𝑑𝑦}

𝑑𝑥+ 8𝑥 − 3^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥²

𝑑𝑦

𝑑𝑥(4𝑥²− 3) = 3𝑥²− 8𝑥𝑦 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ^{3𝑥2−8𝑥𝑦}

4𝑥²−3

Contoh:

Jika 𝑦 = 2𝑥^5⁄3+ √𝑥²+ 1, maka carilah Dxy.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan Teorema A dan Aturan Rantai, maka kita memiliki Dxy = 2Dx𝑥^5⁄3 + Dx (𝑥²+ 1)^1⁄2

= 2. ⁵

3𝑥^5⁄3+¹

2(2𝑥)¹²⁻¹. (2x)

= ¹⁰

3 𝑥^2⁄3 + ^𝑥

√𝑥²+1

Laju yang Barkaitan

Jika suatu variabel y bergantung pada waktu t, maka turunannya ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 disebut laju perubahan sesaat.

Jika y mengukur jarak , maka laju sesaat ini disebut dengan kecepatan.

Sebagai ganti diketahuinya y secara eksplisit di dalam t, kita dapat mengetahui hubungan y dengan variabel x dan tentang ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 . Karena ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑛 ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 adalah laju-laju yang berkaitan, maka kebanyakan akan memerlukan diferensiasi implisit pada penyelesaiannya.

Contoh:

Sebuah balon kecil dilepaskan padajarak 150 m dari soni yang berdiri di atas tanah. Jika balon naik secara lurus keatas dengan dengan laju 8 m /s, TEOREMA A | Aturan Pangkat

Misalkan r sebarang bilangan rasional, maka untuk 𝑥 > 0 Dx (𝑥^𝑟) = 𝑟𝑥^𝑟−1

Jika r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai 𝑟 = ^𝑝

𝑞, dimana q ganjil, maka Dx (𝑥^𝑟) = 𝑟𝑥^𝑟−1 untuk semua x.

maka seberapa cepat jarak antara soni dan layang-layang bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 m?

Penyelesaian:

diketahui → ^𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 8 ditanya→ ^𝑑ℎ

𝑑𝑡 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑎𝑡 ℎ = 50

variabel-variabel s dan h apabila dikaitkan dengan teorema phytagoras maka menghasilkan 𝑠² = ℎ²+ (150)²

Dengan mendiferensisasikan secara implisit terhadap t dan menggunakan aturan rantai, kita dapat memperoleh

2𝑠^𝑑𝑠

𝑑𝑡= 2ℎ^𝑑ℎ

𝑑𝑡 atau 𝑠^𝑑𝑠

𝑑𝑡= ℎ^𝑑ℎ

𝑑𝑡

Hal ini berlaku untuk semua 𝑡 > 0 .

Kemudian, pada Teorema Phytagoras ketika ℎ = 50, 𝑠 = √(50)² + (150)² = 50√10

Kemudian dengan mensubstitusikan 𝑠^𝑑𝑠

𝑑𝑡 = ℎ^𝑑ℎ

𝑑𝑡 , kita dapat memperoleh

50√10^𝑑𝑠_𝑑𝑡= 50(8) atau ^𝑑𝑠

𝑑𝑡 = ⁸

√10= 2,53

Sehingga ketika ℎ = 50 , jarak antara layang-layang dan soni bertambah dengan kecepatan 2,53 m/s.

DIFERENSIAL

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensiasi dari variable bebas x.

•∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variable x.

•𝑑𝑥 adalah diferensial variable bebasxsamadengan∆𝑥.

•∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable y ketika x berubah dari x ke 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

•𝑑𝑦 adalah diferensial variable tak-bebas y, didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥. Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥, pembagian kedua ruas dengan 𝑑𝑥 menghasilkan 𝑓 ′(𝑥) = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥