Tentukan integral - integral berikut ini :

e. Tes formatif 3 :

Tentukan integral - integral berikut ini :

1).  X² sin 7X dX 4).  4 X ² ln 3 X dX 2).  4X³ e^2X dX

2X – 1 8 – X 3).  dX 5).  dX

X² – 8X + 15 (X – 2)² (X+1)

f. Kunci Jawab Tes Formatif 3 :

1). – 1/7 X² cos 7X + 2/49 X sin 7X + 2/343 cos 7X + C 2). e^2X (2X³ – 3X² + 3 X + 1 ½ ) + C

3). 4½ ln ( X – 5 ) – 2½ ln ( X – 3 ) + C

4). 1⅓ X³ ( ln 3 X – ⅓ ) + C 2

5). – ln ( X – 2 ) – + ln ( X + 1 ) + C X – 2

4. Kegiatan Belajar 4 : Integral Tertentu dan Aplikasinya

a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan integral tertentu sebuah fungsi jika diketahui batas-batasnya.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung luas daerah antar dua kurva.

4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung volume benda putar.

b. Uraian Materi 4 : Integrasi Tertentu dan Aplikasinya

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)

 f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar sebagai berikut :

Jika diketahui anti turunan dari f (X) adalah F (X) maka :

b b

 f (X) d(X) = F(X) ]

= F ( b ) – F ( a )

a a

Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan konstan.

Contoh Soal : Hitunglah :

2 ^1/4

1).



( 4X – 9X² ) dX 2).



sin³ (2X) . cos (2X) dX 1 0

Jawab :

2 2 1).



( 4X – 9X² ) dX = 2X² – 3X³



1 1

= 2 ( 2² – 1² ) – 3( 2³ –1³ ) = 2.3 – 3.7

=  15

¼ 

2).



sin³ (2X) . cos (2X) dX 0

Misal U = sin 2X  dU = 2 cos 2X dX  ½ dU = cos 2X dX Sehingga soal tersebut dapat diganti :

¼ 

sin⁴ 2X ¼ 



½ (sin³ 2X) ( 2 cos 2X ) dX = ½

]

0 4 0

¼ 

= 1/8 sin⁴ 2X ]

=

1/8 ( sin⁴ ½ – sin⁴ 0 ) 0

= 1/8 (1 – 0 ) = 1/8

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Y Luas daerah di bawah suatu kurva Y= f(X) Y = f ( X ) di atas sumbu X dari

X = a sampai X = b sebagaimana tampak pada gambar di samping, yaitu daerah yang diarsir dapat A dihitung dengan rumus :

0 a b X

satuan luas

Contoh Soal :

1). Y Y=X² +1 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di

sebelah ini !

-2 -1 0 1 2

b b A =  Y dX atau A =  f (X) dX

a a

Jawab : Luas daerah yang diarsir ( A ) : 2

A =  ( X² +1 ) dX –2

2

=

⅓

X ³ + X  =

⅓

( 2³ – (–2 )³ ) + ( 2 – (–2) ) –2

=

⅓

. 16 + 4 = 9

⅓

satuan luas

2). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 + X dan sumbu X dari X = 1 sampai X = 4

4

Jawab : A =  ( 2 + X ) dX 1

1½ 4 = 2X + ⅔ X  = 2 (4 – 1) + ⅔ ( 4^1½ –1^1½ )

1

= 2 . 3 + ⅔ . 7

= 10 ⅔ satuan luas

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Jika diketahui kurva-kurva Y = f (X)

dan Y = g (X) dengan f (X)  g (X) Y dan keduanya kontinyu pada selang

Y=f (X) a  X  b. Maka luas daerah antara kedua kurva tersebut dari X = a Y=g (X) sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus:

0 a b b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan a luas

Harga batas a dan b dalam hal ini tidak selalu telah diketahui secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung masalahnya).

Contoh Soal :

1). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 – X² dan kurva Y = X seperti yang ditunjukkan dalam gambar dibawah ini !

Y Jawab :

Y = X Pertama-tama cari dahulu batas integrasinya, yaitu titik potong kedua kurva.

0 X 2 – X² = X 2 – X² – X = 0 Y = 2 – X² X² + X – 2 = 0

( X + 2 ) ( X – 1) = 0

X + 2 = 0 atau X – 1 = 0 X = – 2 X = 1

Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang dimaksud adalah X = – 2 sampai X = 1, sehingga :

1 1

A =   ( 2–X² ) – X  dX =  (–X² – X + 2 ) dX –2 –2

–1 1 = ( ---- X³ – ---- X² + 2X )



¹

3 2 ^–2

–1 1

= ----  1³ – (–2)³  – ----  1² – (–2) ²  = 2  1– (–2) 

3 2

= 4 ½ satuan luas

2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol Y² = 4X dan garis yang persamaannya 4X – 3Y = 4

Jawab : Kedua kurva Y² = 4X dan 4X – 3Y = 4 dipotongkan sehingga diperoleh :

Y² – 3Y = 4 Y² – 3Y – 4 = 0 (Y– 4) (Y+1) = 0

Y – 4 = 0 Y = 4 Y + 1 = 0 Y = –1

Untuk Y = 4 diperoleh X = 4

Y = –1 diperoleh X = ¼

Jadi titik potong kedua kurva ( 4, 4 ) dan (¼ , –1 )

Daerah yang dicari luasnya tampak seperti gambar dibawah :

Dalam hal ini luasnya dihitung dengan rumus : b

A =  { f (Y) – g (Y) } dY a

Bila ditulis dalam fungsi Y di dapat :

0 X Y

Y² =4X 4X –3Y=4

4, 4

Y² = 4X X = ¼ Y² 4X – 3Y = 4 X = ¾ Y +1

Jadi luas daerah tersebut :

4 3 Y2

1 4

A = ∫ ( Y + 1 – ) dY = ∫ (3Y + 4 –Y² ) dY

–1 4 4 4 –1

1 3 1 4 = ( Y² + 4Y – Y³ ) ] 4 2 3 –1

1 3 1 3 1

= ( 4² + 4.4 – 4³) – { (–1 )² + 4 (–1) (–1)³ } 4 2 3 2 3

125

= - - = 5,21 satuan luas 24

Menghitung Volume Benda Putar :

Y Y Y = f ( X )

f (X )

0 a b X 0 V X

Jika suatu daerah di bawah kurva Y= f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume b b

V =   { f (X )}² dX atau V =   Y² dX a a

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran maka volume benda putarnya :

satuan volume

Contoh :

1). Daerah yang di batasi oleh kurva Y = X², sumbu X dan garis X = 3 di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360  Hitunglah

volume benda putar yang terbentuk ! Jawab :

Isi ( Volume ) benda putar yang terjadi : 3 3 3

V =   Y² dX =   (X² )² dX =   X⁴ dX 0 0 0

1 3 1

=  X⁵ ] =  ( 3⁵ – 0⁵ ) 5 0 5

= 48,6  satuan volume

2). Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X³, sumbu Y dan garis Y = 3 diputar satu putaran mengelilingi sumbu Y !

Jawab: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan perubah integral dalam Y, sehingga volume benda putar yang terbentuk dihitung dengan rumus :

b

V =   X² dY a

karena Y = X³ maka X = Y 1/ 3

sehingga didapat:

b V =   X ² dY a

3

V =   ( Y^1/3 )² dY

0

3 3

V =   Y^2/3 dY = . 3/5 . Y^5/3 ]

0 0

= 3/5 .  . (3 ) ^5/3 = 11,76 satuan isi

c. Rangkuman 4 :

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)

 f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar : ( Jika F (X) adalah anti turunan dari f (X) )

b b

 f (X) d(X) = F(X) ]

= F ( b ) – F ( a )

a a

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Luas daerah di bawah suatu kurva Y = f ( X ) di atas sumbu X dari X = a sampai X = b dapat dihitung dengan rumus : satuan luas

b b A =  Y dX atau A =  f (X) dX

a a

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Luas daerah antara dua kurva f (X) dan g (X) dari X = a sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus:

b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan luas a

Volume Benda Putar :

Jika suatu daerah di bawah kurva Y = f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran

maka volume benda putarnya :

satuan volume

d. Tugas 4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini ! 3 

a).



(3X² – 2X+ 4 ) dX c).



X² . sin X dX 2 0

–2 ½ 

b).



(X² + 1/X³ ) dX d).



cos2 X. sin X dX – 4 0

b b V =   {f (X )} ² dX atau V =   Y² dX a a

b V =   X ² dY a

2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y= ( X+2 ) ( X – 4 ) dan sumbu X.

3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva Y = 3 e^2X dan Y = 3e ^–X dan ordinat pada X = 1 dan X = 2

4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini a. b. Y

Y Y = X³

Y = 2X – X2

Y = 4

O X X

5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu X.

6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang dibatasi oleh kurva Y = X² + 5, sumbu X dan ordinat pada X = 1 dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi

sumbu Y.

e. Tes formatif 4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 ½  3 sin 2X a).



( t + 2 ) ^–2 dt b).



dX

– 1 0 1 + cos² X

2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 )² dengan kurva Y = 10 – X²

3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0 dan X = ¼  diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu X.

f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 :

1). a). 4/5 b). 2, 079

2). 21

⅓

satuan luas.

3). 18,172 satuan volume