HIMPUNAN RELASI FUNGSI DAN GRAFIK Copy (2)

HIMPUNAN,

RELASI, FUNGSI

DAN GRAFIK

Bima Dicky ad 21060113060030 Nina Ayuningtyas 21060115060034

Apa itu himpunan?

•

segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan

Subbab

A. Notasi Himpunan

B. Himpunan Kosong

C. Relasi Antarhimpunan

D. Kelas

E. Kardinalitas

F. Fungsi Karakteristik

G. Representasi Biner

A. NOTASI HIMPUNAN

•

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf

besar, misalnya S, A, atauB, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z)

Nama Notasi Contoh

Himpunan Huruf besar S

Anggota himpunan Huruf kecil (jika _{merupakan huruf)} a

Simbol Arti

 {} atau Ø Himpunan kosong

 Operasi gabungan dua himpunan

 Operasi irisan dua himpunan

,,, Subhimpunan, Subhimpunan sejati, _{Superhimpunan, Superhimpunan sejati}

Komplemen

Himpunan dapat didefinisikan

menjadi 2 yaitu

1.

ENUMERASI

1. ENUMERASI

•

Yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika

terlampaui bayak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan ellipsis (…)

•

Contoh:

B = {apel,jeruk,manga,pisang} A = {a,b,c,…,y,z}

2. PEMBANGUN HIMPUNAN

•

Notasi ini tidak dengan cara mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut

•

Notas pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradox, contohnya seperti himpunan A={x|xA} yang

B. HIMPUNAN KOSONG

•

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota apapun

C. RELASI ANTARHIMPUNAN

a)

HIMPUNAN BAGIAN

b)

SUPERHIMPUNAN

c)

KESAMAAN 2 HIMPUNAN

a) HIMPUNAN BAGIAN

• Dalam suatu himpunan, missal A = {apel,jeruk,manga,pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya diambil dari himpunan itu sendiri

• Beberapa himpunan seperti {apel,jeruk} ; {jeruk,pisang} ;

{apel,mangga,pisang} merupakan himpunan bagian dari A, karena memiliki sifat umum yaitu setiap anggota himpunan diatas merupakan anggota himpunan A.

• Dari hal itu kemudian dapat dirumuskan “B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A”

•

Untuk sembarang himpunan A = Ø  A (mencakup

kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri)

•

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada

b) SUPERHIMPUNAN

c) KESAMAAN 2 HIMPUNAN

•

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap

anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

d) HIMPUNAN KUASA

•

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh

himpunan bagian dari A. Notasinya adalah

D. KELAS

•

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan.

•

Himpunan A = {{a,b}, {c,d,e,f}, {a,c}, {,}} adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya

adalah sebuah keluarga himpunan

E. KARDINALITAS

•

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti

sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut

•

Contoh : Banyaknya anggota himpunan {apel, jeruk,

manga, pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} anggota nya sejumlah 4. Jadi kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang tinggi

•

Kardinalitas terbagi menjadi 4 yaitu himpunan

HIMPUNAN DENUMERABEL

•

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut 

denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas

•

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan

HIMPUNAN BERHINGGA

•

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah

HIMPUNAN TERCACAH &

HIMPUNAN NON DENUMERABEL

• Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

• HIMPUNAN NON DENUMERABEL Himpunan yang tidak

tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

lanjutan

•

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh

F. FUNGSI KARAKTERISTIK

•

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak

•

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik

dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang

G. REPRESENTASI BINER

• Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S,

maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner

• Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada

• Maka akan menjadi :

• Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), 

interseksi (irisan), dan komplemen(pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.

H. OPERASI DASAR HIMPUNAN

GABUNGAN

• Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap| 1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

• Beberapa sifat dasar gabungan:

• A ∪ B = B ∪ A.

himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama

antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = , ∅

maka A dan B dapat

dikatakan disjoint (terpisah).

• Beberapa sifat dasar irisan:

3.

KOMPLEMEN

Prinsip Dualitas pada Himpunan

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti

  ,   ,   U, U  ,

KOMPLEMEN

• Operasi pelengkap A^C setara

dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

• Beberapa sifat dasar komplemen: • A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

• Ekstensi dari komplemen adalah diferensi

simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk

himpunan A dan B atau A - Bmenghasilkan

HASIL KALI KARTESIAN

• Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu

himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan

antara A dan B didefinisikan

dengan A × B. Anggota himpunan | 

A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

• Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

• A × = .∅ ∅

• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).

• (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

RELASI

•

Relasi adalah aturan yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya. Relasi himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota  A dengan anggota-anggota B.

•

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan

RELASI DAN FUNGSI

PROPOSISI

• Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau 

kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

• Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi

proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang,

Contoh

A = {2,3,4,5,6} B = {1,2,3,4,5,6}

Relasi : “adalah faktor dari“

b. Dengan Diagram Pasangan Berurutan

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}

Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada AxB, di mana a C A dan b C B salah satu dari kalimat berikut:

(1)

“a berelasi dengan b” ditulis a Rb atau R(a,b)

1.

Relasi Sebagai Himpunan Dari Pasangan-Pasangan Terurut

Misalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B dimana suatu relasi R

= (A,B, P (x, y)) dimana P (x, y) berbunyi : “Pasangan terurut (x, y) termasuk dalam R*”. Suatu Relasi R dari A ke B adalah subhimpunan

dari A x B.

2.Relasi Invers

Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu relasi invers R-1 dari B

Relasi A×A

• Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

1. Refleksif

2. Irefleksif

3. Simetrik

4. Anti-simetrik

5. Transitif

3.Relasi Refleksif

•

Misalkan    R= P(x,y) suatu relasi dalam sebuah himpunan A, yaitu misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A. Maka R disebut suatu relasi refleksif jika, untuk setiap a Î A, (a, a) Î R

•

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

4. Relasi Irefleksif

•

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

•

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi

sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur

rambutnya sendiri.

5.Relasi Simetris

•

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika

setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

6. Relasi Anti -Semetris

Suatu relasi R adalah dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah subhimpunan dari A x A, disebut suatu relasi antisimetris jika : (a, b) Î R dan (b, a) Î R maka berarti a = b, jika a ¹ b maka mungkin a berhubungan dengan b dan mungkin b, berhubungan dengan a, tetapi tidak pernah kedua-duanya.

Misalkan D menyatakan garis diagonal dari A x A, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (a, a) Î A x A. Maka suatu relasi R dalam A adalah anti simetris jika dan hanya jika

•

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai

kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya

7. Relasi Transitif

•

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

8. Relasi Ekuivalen

Suatu Relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika 1)      R adalah refleksif, yaitu untuk setiap a Î A, (a, a) Î R

2)      R adalah simetris, yaitu jika (a, b) Î R maka (b, a) Î R

9. Ranah Dan Jangkau Dari Suatu Fungsi

Misalkan R suatu relasi dari A ke B, yaitu misalkan R subhimpunan dari A x B. Ranah (dominan) D dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut yang termasuk R yaitu :

D = {(a½a Î A, (a, b) Î R}

Jangkau (range) E dari relasi R terdiri atas semua elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = {b | b Î B, (a, b) Î R}

Jadi ranah suatu relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A dan jangkaunya adalah subhimpunan dari B.

Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, dan R = {(2, a), (4, a), (4, c)}

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping) yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi:

Grafik contoh sebuah fungsi,

Contoh 1.

Gambar di atas adalah fugsi karena terdapat relasi (yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan dan pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal.

Contoh 2.

Gambar di atas bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B

Sifat Fungsi

1.Injektif (satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu, apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B.

2. Surjektif (onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B.

3. Bijektif (korespondensi satu-satu)

Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi Konstan

2. Fungsi Identitas

3. Fungsi Linear

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R -> R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c C R dan a tidak sama dengan 0 disebut fungsi kuadrat.

5. Fungsi Rasional

DOMAIN DAN KODOMAIN

•

Pada diagram di samping, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan

kodomain

•

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah

GRAFIK

•

Fungsi kuadrat (quadratic function) adalah fungsi

polinomial yang berderajat dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Fungsi kuadrat

•

fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x minimal di satu titik, misalkan di titik-titik (x₁, 0) dan (x₂, 0). Sehingga didapatkan f(x₁) = f(x₂) = 0. Apabila fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di dua titik tersebut melalui titik