C. 1
C. 1
.
.
Mem
Mem
aha
aha
mi L
mi L
uas
uas
Seb
Seb
aga
agai Lim
i Limit Su
it Su
atu
atu
Jum
Jumlah
lah
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.
aktivitas berikut.
C.
C.
Inte
Inte
gral
gral
T
T
erte
erte
ntu
ntu
1.
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnyaGambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f f ((xx)) 99 xx22 pada intervalpada interval > > 0,0, 33 .@@.
2.
2. Bagi Bagi selang selang menjadimenjadinnselang bagian yang lebarnya selang bagian yang lebarnya masing-masingmasing-masing''xx 33
n
n , memakai titik-, memakai
titik-titik
titik xx0000 xx11 xx22 …… xxnn11 xxnn 3.3. 3.
3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnyaBuat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya ''xx dan tingginyadan tingginya f f ((xxii). Tentukan pula). Tentukan pula
luas setiap persegi panjang tersebut!
luas setiap persegi panjang tersebut! 4.
4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut! Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut! 5.
5. Dengan memilihDengan memilih ''xx sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah darisekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari
hasil pada
hasil pada langkah 4langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi
kurva
kurva f f ((xx)) 99 xx22, sumbu-, sumbu-xx, garis, garis xx 0, dan0, dan xx 3.3.
6.
6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!
Dari
Dari AktivitasAktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukanini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan
luasnya.
luasnya.
Setelah membagi interval
Setelah membagi interval > > 0,0, 33@@ menjadimenjadi nn selang bagian yang lebarnyaselang bagian yang lebarnya
masing-masing
masing-masing ''xx 33
n
n, kalian memperoleh:, kalian memperoleh:
x x00 00 x x11 ''xx 33 n n x x22 22''xx 66 n n x x33 33''xx 99 n n # # # # ## x xii ii''xx 33ii n n ktivitas
ktivitas di di elaselas
A
A
K
K
Gambar 1.2
Gambar 1.2
Daerah yang dibagi
Daerah yang dibagi
menjadi
menjadi nn selang bagianselang bagian
y y ' 'xx x x00 xx11 xx 3 333 f f ((xx))99xx22 O O xx 9 9
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
22 22 33 33 33 33 33 2277 2277 (( ) ii) 99 i i ii f f xx xx ff ii n n nn nn nn nn nn
§§
··
§§ ··
§§ ··
§§
··
''
¨¨ ¸¸
uu
¨¨
¨¨
¨¨ ¸¸
¸¸
¸¸
uu
¨¨
¸¸
©© ¹¹
©©
©© ¹¹
¹¹
©©
¹¹
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L L
f f ((xx11))'
'
xx
f f ((xx22))'
'
xx
. . . . ..
f f ((xxnn))'
'
xx ……(*)……(*)
22 22 22 33 33 33 2277 22771 1 2277 227722 2277 2277 nn n n n n n n n n nn nn§§
·· §§
··
§§
··
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
¨¨
¸¸
©©
¹¹ ©©
¹¹
""©©
¹¹
Dengan memilih
Dengan memilih
'
'
x
x
oo0 maka
0 maka
n
n
oof
f
, sehingga akan diperoleh luas daerah
, sehingga akan diperoleh luas daerah
yang dibatasi kurva
yang dibatasi kurva
f
f
(
(
x
x
)
)
9
9
x
x
22, sumbu-
, sumbu-
x
x
, garis
, garis
x
x
0, dan
0, dan
x
x
3 sebagai
3 sebagai
berikut.
berikut.
L
L
(
(
R
R
)
)
limlim n nooff 22 99 33 11 1188 1188 22 n n nn§§
§§
··
··
¨¨
¸¸
¨¨
©©
¹¹
¸¸
©©
¹¹
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
L
L
(
(
R
R
nn)
)
f
f
(
(
x
x
11)
)
'
'
x
x
f
f
(
(
x
x
22)
)
'
'
x
x
…
…
f
f
(
(
x
x
nn)
)
'
'
x
x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
tersebut sebagai berikut.
tersebut sebagai berikut.
11 (( ) ) (( )) n n n n ii ii L L R R f f x x xx
¦
¦
''
Jika
Jika
'
'
x
x
oo0, maka akan diperoleh
0, maka akan diperoleh
00 11 (( ) ) lliimm (( )) n n n n xx ii ii L L R R f f x x xx '' oo
¦
¦
''
Dengan mengambil batas daerah
Dengan mengambil batas daerah
x
x
11
a
a
dan
dan
x
x
22
b
b
, maka bentuk di atas
, maka bentuk di atas
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
L
L
³
³
(( )) bb aa f x d x f x d xSehingga diperoleh
Sehingga diperoleh
³
³
ºº
»»¼¼
33 33 22 33 00 00 11 ((99 )) 99 2277 99 1188 33 x x ddx x x x xx.
.
Jika fungsi
Jika fungsi
f
f
terdefinisi pada interval [
terdefinisi pada interval [
a
a
,
,
b
b
], maka
], maka
³
³
(( ))bb
aa
f x
f x ddxx
adalah integral
adalah integral
tertentu terhadap fungsi
tertentu terhadap fungsi
f
f
dari
dari
a
a
ke
ke
b
b
. Pengintegralannya dituliskan sebagai
. Pengintegralannya dituliskan sebagai
berikut.
berikut.
>
>
@@
³
³
(( )) bb bb aa aa f f x x ddx x f f x x F F b b F F aadengan:
dengan:
f
f
(
(
x
x
)
)
fungsi integran
fungsi integran
a
a
batas bawah
batas bawah
b
b
batas atas
batas atas
Sehingga kalian harus dapat
Sehingga kalian harus dapat
membedakan bahwa integral tertentu
membedakan bahwa integral tertentu
³
³
(( ))bb
aa
f x f x ddxx
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah fungsi.
C.
C. 2.2. TeTeororemema Daa Dasasar Kar Kalklkululusus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu
teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Jika
Jika f f kontinu pada intervalkontinu pada interval > > a a bb,, @@ dan andaikandan andaikan F F sembarangsembarang
antiturunan dari
antiturunan dari f f pada interval tersebut, makapada interval tersebut, maka
³
³
(( ))bb aa
f x
f x ddxx F F ((bb)) F F ((aa).).
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
menggunakan teorema-teorema berikut.
menggunakan teorema-teorema berikut.
Teorema penambahan interval
Teorema penambahan interval Jika
Jika f f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titikterintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titikaa,,bb, dan, dan c,c,
maka maka (( )) cc aa f x dx f x dx
³
³
(( )) (( )) b b cc a a bb f f x dx dx x f f x x ddxx³ ³
³ ³
Teorema 3 Teorema 3 Kelinearan Kelinearan JikaJika f f dandan g g terintegralkan pada interval [terintegralkan pada interval [aa,, bb] dan] dan kk suatu konstanta,suatu konstanta,
maka maka a a.. (( )) bb aa k f x d x k f x d x
³
³
kk (( )) bb aa f x dx f x dx³
³
b. b. ( ( )( ( ) ( )( ))) bb aa f f x x g g x x ddxx³
³
bb (( )) aa f x dx f x dx³
³
bb (( )) aa g x dx g x dx³
³
c. c. ( ( )( ( ) ( )( ))) bb aa f f x x g g x x ddxx³
³
(( )) bb aa f x dx f x dx³
³
(( )) bb aa g g x x dxdx³
³
Perubahan batas Perubahan batas JikaJika f f terintegralkan pada interval [terintegralkan pada interval [a, a, bb] maka:] maka: a a.. (( )) aa aa f x dx f x dx
³
³
00 b.b. (( )) aa bb f x dx f x dx³
³
³
³
bb (( )) aa f x dx f x dx Teorema 1 Teorema 1 Teorema 2 Teorema 2 Kesimetrian Kesimetrian Teorema 4 Teorema 41a
1a..
Jika
Jika
F
F
(
(
x
x
) sembarang antiturunan dari
) sembarang antiturunan dari
f
f
(
(
x
x
), maka
), maka
³
³
(( )) bb aa kkf x f x ddxx
>
>
kF
kF xx
(( ))
@@
bbaa
kF
kF
(
(
b
b
)
)
kF
kF
(
(
a
a
)
)
k
k
(
(
F
F
(
(
b
b
)
)
F
F
(
(
a
a
))
))
k
k
(( )) bb aa f x f x ddxx³
³
Jadi,
Jadi,
(( )) (( )) b b bb a a aa kkf f x dx dx x k k f f x dx dxx³ ³
³ ³
Akan dibuktikan teorema 1
Akan dibuktikan teorema 1
a
a
dan 1
dan 1
c
c
, teorema 2
, teorema 2
b
b
, dan teorema 3.
, dan teorema 3.
1b
1b..
Jika
Jika
F
F
(
(
x
x
) dan
) dan
G
G
(
(
x
x
) masing-masing sembarang antiturunan dari
) masing-masing sembarang antiturunan dari
f
f
(
(
x
x
) dan
) dan
g
g
(
(
x
x
), maka
), maka
r r
³
³
( ( )( ( ) ( )( ))) bb aa f f x x g g x x ddxx
>
>
F
F x
(( ))
x
r
r
G
G xx
(( ))
@@
bbaa
(
(
F
F
(
(
b
b
)
)
r
r
G
G
(
(
b
b
))
))
(
(
F
F
(
(
a
a
)
)
r
r
G
G
(
(
a
a
))
))
(
(
F
F
(
(
b
b
)
)
r
r
F
F
(
(
a
a
))
))
(
(
G
G
(
(
b
b
)
)
r
r
G
G
(
(
a
a
))
))
³ ³
(( )) rr³ ³
(( )) b b bb a a aa f f x dx dx x g g x dx dxxJadi,
Jadi,
(( (( )) (( )))) (( )) (( )) b b b b bb a a a a aa f f x x g g x x ddx x f x f x ddx x g g x x ddxx³³
³³
³
³
.
.
Pembuktian
Pembuktian Teorema 1b dan 1cTeorema 1b dan 1c
Pembuktian
Pembuktian Teorema 1aTeorema 1a
2b
2b..
Jika
Jika
F
F
(
(
x
x
) sembarang antiturunan dari
) sembarang antiturunan dari
f
f
(
(
x
x
), maka
), maka
ªª
¬¬
ºº
¼¼
³
³
(( ))
bb bb aa aaf
f x
x ddx
x
F
F xx
F
F
(
(
b
b
)
)
F
F
(
(
a
a
)
)
(
(
F
F
(
(
a
a
)
)
F
F
(
(
b
b
))
))
aa (( )) bb f x dx f x dx³
³
Jadi,
Jadi,
³ ³
(( )) ³ ³
(( )) b b aa a a bb f f x x ddx x f f x x ddxx.
.
PembuktianJika
Jika F F ((xx) sembarang antiturunan dari) sembarang antiturunan dari f f ((xx), maka), maka
( ( ) ) [ [ ( ( ))]] cc cc a a a a f x d f x dx x
F F xx³
³
F F ((cc))
F F ((aa))
((F F ((cc))
F F ((bb))))
((F F ((bb))
F F ((aa))))
(( )) (( )) c c bb b b aa f f x dx dx x f f x dx dxx³ ³
³ ³
Jadi, Jadi, (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) c c cc bb bb cc a a bb aa aa bb f f x x ddx x f x f x ddx x f f x x ddx x f f x x ddx x f x f x ddxx³³
³³
³³
³³
³
³
.. Pembuktian
Pembuktian Teorema 3Teorema 311
C
C
ontoh
ontoh
1 1.. HitunglahHitunglah S S
³
³
66 00((ssiinn 33x x ccooss ))x x ddxx..
Jawab:
Jawab:
66 66 66
00 00 00
ssiinn 33x x ccoossx x ddx x ssiinn 33x x ddx x ccoossx x ddxx
S S S S S S
³³
³³
³
³
66> >
@@
66 00 00 11ccooss 33 ssiinn 33 x x xx S S S S ªª ºº «« »» ¬¬ ¼¼
11 ccooss ccooss 00 ssiinn ssiinn 0033 22 66 S S S S
§§
·· §§
··
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
©©
¹¹ ©©
¹¹
11 11 11 33 22
55 66 Jadi, Jadi, 66 00 55 ((ssiinn 33 ccooss ))66 x x
x x ddxx
³
³
S S . . 2 2.. TentukanTentukan 11 22 11 x x dxdx ³
³
.. Jawab: Jawab:Oleh karena untuk
Oleh karena untuk f f ((xx))
xx22, berlaku, berlaku f f ((
xx))
f f ((xx), maka), maka f f ((xx))
xx22 merupakan fungsi genap.merupakan fungsi genap.
Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
11 11 22 22 11 00 22 x x ddx x x x ddxx
³ ³
³ ³
33 11 00 11 22 33xx ªª ºº «« »» ¬¬ ¼¼ (Teorema 1b) (Teorema 1b)
22 33(1
(1
3 3
0
0
33)
)
22 33Jadi,
Jadi,
11 22 11 22 33 x x dxdx ³
³
.
.
3 3..Tentukanlah
Tentukanlah
44 00 (( )) f x f x ddxx³
³
jika fungsi
jika fungsi
f
f
didefinisikan sebagai
didefinisikan sebagai
f
f
(
(
x
x
)
)
®®¯¯ x x 11 ,, jjiik22,, jjiikkaaka 0a 0xxttdd 22xx22Jawab: Jawab: 44 00 (( )) f x f x ddxx
