Invers Matriks dengan pendekatan PMRI

(1)

TUGAS MATA KULIAH PENDIDIKAN REALISTIK MATEMATIKA

INVERS MATRIKS DENGAN PENDEKATAN REALISTIK

MATEMATIKA

Disusun Oleh:

IKA ZUBAIDA (3136139230)

PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

(2)

INVERS MATRIKS

A. Pendahuluan

Materi tentang invers matriks merupakan materi kelas XII. Pada laporan implementasi matematika realistik materi invers matriks ini, diujicobakan di kelas XII IPS SMA Islam Al-Izhar Pondok Labu dengan durasi pertemuan sebanyak 2 kali tatap muka. Model of untuk materi ini adalah perkalian dua buah matriks ordo 2 x 2, sedangkan model for-nya adalah invers matriks ordo 2 x 2.

Srategi atau pendekatan yang digunakan dalam model RME ini yaitu menggunkaan tekhnik scaffolding dan Lembar Kerja Siswa. Tehnik ini digunakan untuk mendorong siswa dapat berfikir kreatif dan kritis. Tekhnik ini cukup membantu, karena dalam materi ini tidak menggunkan alat peraga yang dapat digunakan untuk menemukan rumus invers matriks ordo 2 x 2.

B. Rangkuman Materi

(i) Definisi Invers Matriks:

Misalkan A dan B adalah matriks yang berordo 2 x 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I, maka matriks A adalah matriks dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

(ii) Jika diketahui matriks A ordo 2 x 2, A =

   

d c

b a

, maka invers matriks A

adalah A– 1 =

  

 

 a c

b d

A|. |

1

. C. Hipotesis Lintas Belajar

I. Pertemuan Pertama

a. Tujuan Pembelajaran Matematika

1. Siswa memahami aturan jika AB = BA = I , maka B adalah invers dari matriks A dan sebaliknya.

2. Mengetahui hubungan |A| dan |B|, jika AB = BA = I

(3)

c. Deskripsi Rencana Aktivitas Pembelajaran

1. Aktivitas menyebutkan sifat-sifat perkalian dua buah matriks

 Sebelum melakukan aktivitas mengoperasikan perkalian dua buah matriks ordo 2 x 2, guru memberikan pertanyaan sifat dua buah matriks yang dapat dikali. Misalkan: matriks dengan ordo 2 x 3 dapat dikalikan dengan matriks yang memiliki ordo berapa saja?

 Secara acak, guru bertanya apa saja sifat dua buah matriks yang dapat dilakukan operasi perkalian.

 Mulai diskusi dan setiap siswa dapat mengoperasikan perkalian dua buah matriks.

2. Aktivitas melakukan operasi perkalian dua buah matriks dengan ordo 2 x 2

 Siswa mengisi lembar kerja siswa (LKS) perkalian dua buah matriks odo 2 x 2; beberapa pasangan matriks menghasilkan hasil kali matriks identitas.

 Secara sukarela, siswa mengerjakan operasi perkalian di papan tulis. 3. Aktivitas menyebutkan ciri-ciri pasangan matriks yang hasil kalinya

adalah matriks Identitas

 Guru membimbing siswa dengan cara scaffolding, hingga siswa menemukan keterhubungan antara kedua matriks jika hasil kali kedua matriks merupakan matriks Identitas

 Siswa mengerjakan LKS untuk memahami konsep invers.

 Siswa mengerjakan LKS untuk mengetahui cara menuliskan notasi invers matriks.

d. Hipotesis Proses Belajar

 Pada aktivitas menyebutkan sifat-sifat perkalian dua buah matriks, guru melakukan scaffolding untuk membangun kekrittisan siswa melalui pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:

1. Matriks yang ber ordo 1 x 2 dapat dikaliakan dengan matriks dengan ordo berapa saja? Mengapa?

(4)

matriks B jika banyaknya kolom di matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B].

2. Guru memberikan kasus “mana yang benar?”: (1)

 

8 3 2 . 2

1 

   

atau (2)

 

8 3 2 . 2

1 

   

.

[kedua persamaan diatas, mungkin bagi siswa dianggap sama saja. Oleh karena itu, guru mengingatkan lagi tentang notasi matris, menggaris bawahi apa perbedaan 8 dan (8)].

 Kemudian dilanjutkan dengan aktivitas siswa mengerjakan soal-soal yang terdapat di LKS-1. Diduga dalam aktivitas ini, seluruh siswa dapat melakukan operasi kali dua matriks tanpa kendala yang cukup berarti.  Aktivitas selanjutnya adalah menganalisa pasangan-pasangan matriks

yang hasil kalinya adalah matriks identitas dan yang bukan identitas. Dalam kegiatan ini, guru melakukan tekhnik scaffolding dengan pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:

1. Apakah perkalian matriks berlaku sifat komutatif?.

Diduga sebagian besar siswa akan menjawab tidak berlaku (siswa masih memegang konsep pertemuan sebelumnya tentang sifat AB  BA), namun beberapa dari mereka akan berfikir dan menjadi ragu-ragu dengan adanya temuan mereka bahwa ketika AB = I dan BA = I artinya AB = BA.

2. Jika tidak berlaku sifat komutatif, adakah diantara kalian ada yang melihat pasangan istimewa disini? Adakah yang dapat menjelaskan jika AB = I dan BA = I, maka artinya apa?

Pertanyaan ini diajukan jika tidak ada siswa yang kritis terhadap hubungan jika AB = I dan BA = I, maka AB = BA. Diduga siswa akan menganggap hal tersebut merupakan hal yang biasa saja. Siswa tidak dapat menarik keterbuhungan anatara AB = I dan BA = I sehingga AB = BA.

(5)

lihat nilai determinan dari tiap-tiap matriks!. Bagaimana menurut Anda?

Diduga sebagian siswa akan menyadari pola bahwa jika AB = I, maka |A| =

| |

1

B . Agar lebih mudah dalam menggiring siswa menyadari keterhubungan tersebut, guru menuliskannya kedalam tabel (sudah tercantum di dalam LKS), namun guru menuliskannya ulang di papan tulis.

Komutatif Tidak Komutatif

|...| = |...| = |...| = |...| =

 Aktivitas selanjutnya adalah siswa dapat menuliskan notasi invers dan memahami konsep invers atau kebalikan dari matriks. Kegiatan ini dilakukan setelah seluruh siswa menyelesaikan LKS hingga tabel diatas dan mendapatkan kesimpulan jika AB = I, maka |A| =

| |

1 B .

 Dalam menyelesaikan aktivitas pertemuan ini, siswa memahami dan mengetahui:

1. Menuliskan notasi invers matriks

2. Jika AB = BA = I , maka B adalah invers dari matriks A dan sebaliknya

3. Invers merupakan kebalikan, namun di dalam matriks invers matriks A tidak dituliskan

A 1

.

4. Jika AB = I, maka |A| = | |

(6)

II. Pertemuan Kedua

a. Tujuan Pembelajaran Matematika

1. Siswa dapat menemukan rumus/aturan menentukan invers matriks ordo 2 x 2

2. Siswa dapat menentukan invers matriks ordo 2 x 2

3. Siswa dapat mendeskripsikan ciri-ciri matriks yang memiliki invers b. Alat-alat yang digunakan

Lembar Kerja Siswa

c. Deskripsi Rencana Aktivitas Pembelajaran

1. Aktivitas siswa mengerjakan Lembar Kerja Siswa untuk menentukan invers matriks tanpa menggunakan rumus. Dalam menyelesaikan LKS ini siswa terlebih dulu memiliki pemahaman tentang: (1) jika AB = I, maka B merupakan invers dari matriks A, sehingga dapat dituliskan bahwa B = A– 1 , maka AB = I dapat pula ditulis menjadi A.A– 1 = I, (2) perkalian matriks, dan (3) menyelesaikan SPLDV (sistem persamaan linear dua variabel).

2. Setelah menemukan matriks A–1, siswa diminta melihat kembalimatriks A. Kemudian guru membimbing untuk menemukan keterhubungan antara matriks A dan A– 1.

3. Guru memperhatikan setiap alasan siswa dalam menemukan keterhubungan antara kedua matriks. Kemudian melakukan diskusi kelas untuk merangkumkan jika A =

 d. Hipotesis Proses Belajar

 Dalam aktivitas ini, siswa memahami mengapa strategi yang digunakan

(7)

 Dalam aktivitas mencari ketrehubungan antara A dan A-1, siswa akan mengalami kesulitan. Maka diperlukan peran guru dalam memberikan arahan yang mendekati rumus invers A.

D. Pembahasan

Pendekatan pembelajaran matematika secara realistik untuk materi invers matriks ordo 2 x 2 yang telah diterapkan di kelas XII SMA IPL berjalan dengan beberapa kendala antara lain:

(1) Lembar kerja siswa yang masih bersifat ambigu sehingga membingungkan siswa untuk memhami maksud dari LK tersebut. Dalam hal ini instruksi guru masih sangat dominan.

(2) Tekhnik scaffolding guru terkadang membuat guru berhenti, walaupun siswa belum dapat menemukan sendiri pemahamannya. Akibatnya, guru secara serta merta memberitahukan jawaban yang dimaksud secara langsung. Hal ini dikarenakan ketidaksabaran guru dan kurangnya ketrampilan guru dalam merangkai pertanyaan yang dapat menggiring pemahaman siswa.

(3) Siswa lebih bersemangat dalam belajar, karena menggunakan cara yang berbeda seperti biasanya, yaitu guru datang menerangkan kemudian mengerjakan soal.

Gambar 1. Siswa berdiskusi tentang pola keterhubungan antara elemen-elemen yang terdapat di matrik A dan di matriks A– 1, sehingga mereka akan menemukan rumus

(8)

(4) Siswa lebih tertanam tentang konsep-konsep dasar yang berkaitan dengan invers matriks, dalam hal ini siswa tidak hanya sekedar menghafalkan rumus bagaimana mencari invers suatu matriks.

Sebagai contoh:

Berikut variasi cara siswa menyelesaikan soal diatas:

a) Mencari hasil kali AB kemudian (AB)– 1 baru dihitung nilai determinanya b) Mencari hasil kali AB, kemudian menggunakan sifat |A– 1 | =

| |

1 A .

Variasi cara menyelesaikan soal diatas menunjukkan ada siswa yang telah dapat menerapkan sifat-sifat yang berkaitan dengan invers matriks.

(5) Kesalahan prosedural yang ditemukan selama aktivitas di kelas, pada tatap muka kedua adalah sebagai berikut:

a) Ada siswa yang memisalkan matriks A-1 =

   

a a

b) Ada siswa melakukan kesalahan dalam operasi perkalian.

[photograph untaken]

E. Kesimpulan

1. Dalam merancang LKS perlu diperhatikan prediksi tentang bagaimana cara/proses berfikir siswa, sehingga LKS dapat digunakan siswa secara mandiri dalam mebangun pemahaman suatu konsep.

2. Guru perlu lebih banyak latihan dalam melakukan tekhnik-tekhnik scaffolding. 3. Pendekatan realistik matematika dapat menstimulus ketrampilan dan kreatifitas

siswa dalam berproses untuk memahami suatu konsep invers matriks serta ciri-ciri dua buah matriks yang saling berkebalikan.

@ur3k4.2014

Soal:

Jika A =

  

 

 

  



4 3

3 2

2 5

1 3

(9)

(10)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA AL IZHAR PONDOK LABU Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XII IPS / 1(satu)

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar : 3.2.Menentukan determinan dan invers matriks 2  2.

Indikator : 1. Menentukan invers matriks ordo 2  2 dengan perkalian 2. Menemukan rumus invers matriks ordo 2 x 2.

3. Memahami sifat dua buah matriks yang saling berkebalikan 4. Mendeskripsikan matriks-matriks yang tidak memiliki invers. Alokasi waktu : 2 x 45 menit

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat : a. Siswa memahami aturan A.A– 1 = A– 1 .A = I

b. Mengetahui hubungan |A| dan |B|, jika AB = BA = I Karakter siswa yang diharapkan :

• Rasa ingin tahu • Respek

• Mandiri • Kreatif • Disiplin

B. Materi Pembelajaran. Invers Matriks ordo 2 x 2

C. Pendekatan dan Metode Pembelajaran

Pendekatan pembelajaran : Pendidikan Matematika Realistik Indonesia Metode pembelajaran : Diskusi dan tanya jawab

Strategi Pembelajaran

Cooperative Terstruktur Mandiri

 Diskusi tentang matriks-matriks yang hasil kalinya berlaku sifat komutatif.

 Menghitung hasil kali matriks 2  2.

 Siswa dapat menemukan aturan atau pola

hubungan antara

(11)

D. Langkah-langkah Kegiatan Tahap

Kegiatan Uraian Catatan

Awal

Pendahuluan (5 menit):

a. Membaca doa sebelum belajar (basmalah) b. Mengecek kehadiran siswa

c. Penguatan komitmen kelas d. Informasi agenda belajar >>

Guru menyampaikan ulang tujuan dari kegiatan belajar dan target yang harus dicapai oleh siswa.

Inti

Eksplorasi: [30 menit]

 Guru memberikan pertanyaan kritis:

1. Matrik dengan ordo 1 x 2 dapat dikalikan dengan matriks yang berordo berapa saja

2. Mana yang benar?: a)

 

8 informasi yang perlu diketahui siswa. [Waktu untuk menyelesaikan LKS, 20 menit]

Dalam waktu bersamaan, beberapa siswa mengerjakannya di depan kelas (satu siswa satu nomor, terdapat 10 nomor)

Elaborasi: (20 menit)

 Diskusi: menganalisa pasangan-pasangan matriks yang hasil kalinya adalah matriks identitas dan yang bukan identitas.

 Guru menunjuk beberapa siswa untuk menemukan pasangan-pasangan istimewa (hasil kali dua buah matriks identitas dan belaku sifat komutatif).

(12)

pertanyaan-Tahap

pertanyaan:

1. Apakah pada matriks terdapat operasi pembagian?

2. Jika ada bagaimana caranya? 3. Kebalikan dari 3 adalah ....

4. Cara lain untuk menuliskan 1/3 adalah ... [sebelumnya guru memberikan informasi sebagai pengingat bahwa invers dari operasi perkalian adalah pembagian, sehingga konsep invers dalam operasi perkalian adalah berkebalikan].

[Seluruh pertanyaan scaffolding tersebut terdapat di dalam LKS, guru membantu siswa dalam memahami LKS]

 Siswa mengerjakan LKS secara individu guna melihat tingkat daya serap siswa terhadap uraian materi yang telah didiskusikan di kelas.

Konfirmasi [10 menit]

Guru memberikan penguatan:

5. Menuliskan notasi invers matriks

6. Jika AB = BA = I , maka B adalah invers dari matriks A dan sebaliknya

7. Invers merupakan kebalikan, namun di dalam matriks invers matriks A tidak dituliskan

A 1

.

8. Jika AB = I, maka |A| = | |

1 B .

Tanya-jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa pada saat diskusi di kelas.

(13)

E. Alat dan Sumber Belajar

 Buku Paket Matematika XII IPS, BSE

 Modul, yaitu buku Matematika SMA Kelas XII Program IPS, karangan Asti Trisnarini, S. Pd

 http://www.mathworksheets4kids.com/matrices/

 http://edhelper.com/Matrices.htm

Alat :

- Flash Card - LKS

F. Penilaian

Teknik : penilaian diri

Bentuk Instrumen : angket

Self-Assessment

Arsirlah yang menggambarkan pengalamannmu dalam menemukan rumus/sifat/aturan invers matriks ordo 2 x 2.

1 Saya menjadi lebih mengerti tentang invers

2 Saya ingin tahu cara mencari invers matriks ordo 2x2

3 Saya tahu cara menghitung nilai determinan matriks ordo 2 x 2 4 Saya lebih terampil dalam operasi

perkalian matriks

5 Saya menyukai metode belajar dengan menggunakan LKS

Jakarta, 16 Juli 2012

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran

Matematika Kepala Sekolah

(Dra.Aykah) (Ika Zubaida)

1 2 3 4 5

(14)

Tujuan:

1. Memahami A.A– 1 = A– 1 .A = I

2. Mengetahui hubungan |A| dan |B|, jika AB = BA = I

Diberikan matriks-matriks berikut:

A =

Hitunglah hasil kali dari matriks-matriks dibawah ini:

(15)

Jawablah pertanyaan dibawah ini:

Isilah tabel di bawah ini sesuai dengan petunjuk guru

1. Sebutkan pasangan matriks yang berlaku sifat komutatif! 2. Hitunglah nilai determinan dari setiap matriks

Komutatif Tidak Komutatif

|...| = |...| = |...| = |...| =

3. Jika P.Q = I, apakah |P| =

| |

1 Q ?,

... >>> Apa kesimpulanmu? ...

...

APA ITU INVERS MATRIKS?

Jawablah pertanyaan berikut! 1. Kebalikan dari 8 adalah ....

2. Kebalikan dari

8 1

adalah ....

3. Apakah 8 dan

8 1

saling berkebalikan? ....

8

(16)

Isilah dibawah ini, berdasarkan penjelasan yang diberikan dari

guru!

Invers pada matriks memiliki pengertian yang hampir sama dengan konsep

kebalikan pada bilangan. Jika 8 1

ditulis kedalam bentuk pangkat negatif adalah

.

Sehingga kebalikan dari A adalah A 1

, namun pada matriks berlaku

operasi pembagian, sehingga kita menuliskan yang merupakan invers dari matriks A.

Jika A dikali dengan sama dengan matriks .

Rumus Invers matriks 2 x 2

"I'm a mathematical optimist: I deal only with positive integers... although I’m social community"

(17)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA AL IZHAR PONDOK LABU Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XII IPS / 1(satu)

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar : 3.2.Menentukan determinan dan invers matriks 2  2.

Indikator : 1. Menentukan invers matriks ordo 2  2 dengan perkalian 2. Menemukan rumus invers matriks ordo 2 x 2.

3. Memahami sifat dua buah matriks yang saling berkebalikan 4. Mendeskripsikan matriks-matriks yang tidak memiliki invers. Alokasi waktu : 2 x 45 menit

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat : a. Siswa memahami aturan A.A– 1 = A– 1 .A = I

b. Siswa dapat menemukan rumus invers matrik ordo 2 x 2 c. Siswa dapat menentukan invers matriks ordo 2 x 2

d. Siswa dapat menentukan matriks yang tidak memiliki invers. Karakter siswa yang diharapkan :

• Rasa ingin tahu • Respek

• Mandiri • Kreatif • Disiplin

B. Materi Pembelajaran. Invers Matriks ordo 2 x 2

C. Pendekatan dan Metode Pembelajaran

Pendekatan pembelajaran : Pendidikan Matematika Realistik Indonesia Metode pembelajaran : Diskusi dan tanya jawab

Strategi Pembelajaran

Cooperative Terstruktur Mandiri

 Diskusi untuk menemukan pola hubungan elemen-elemen yang terdapat di matrik A dan inversnya

 Menentukan invers dari matriks 2  2.

(18)

D. Langkah-langkah Kegiatan Tahap

Awal

Pendahuluan (5 menit):

a. Membaca doa sebelum belajar (basmalah) b. Mengecek kehadiran siswa

c. Penguatan komitmen kelas d. Informasi agenda belajar

Inti

Eksplorasi: [30 menit]

 Guru menyampaikan ulang tujuan dari kegiatan belajar dan target yang harus dicapai oleh siswa.

 Guru membagikan LKS dan memberikan informasi yang perlu diketahui siswa. [Waktu untuk menyelesaikan LKS, 20 menit]

Elaborasi: (30 menit)

 Dua siswa yang dipilih secara acak mempresentasikan hasil yang didapatnya [10 menit]

 Diskusi dari hasil yang telah diperoleh siswa:

Target dari diskusi:

a. Siswa mengetahui cara mencari invers matriks ordo 2 x 2

b. Siswa memahasi bahwa dua buah matriks yang saling invers maka hasil kalinya berupa matriks I.

c. Siswa memhami bahwa dua buah matriks yang saling invers, maka berlaku sifat komutatif.

d. Siswa tahu bahwa tidak setiap matriks memiliki invers.

 Games: “lempar masalah”. Aturan main:

Ditunjuk (sukarelawan) dari siswa untuk menuliskan sembarang matriks A dengan ordo 2 x 2. Kemudian siswa yang menjadi

volunteer tersebut “melempar masalah”

tersebut ke salah satu temannya. Begitu seterusnya dalam rentang waktu 20 menit (target: 5 siswa).

(19)

Tahap

menentukan invers dari matriks tersebut. [guru harus memastikan, bahwa setiap siswa

Tentukan invers dari matriks-matriks dibawah ini jika ada!

Penutup  Informasi pertemuan berikutnya  Doa penutup belajar (hamdalah) E. Alat dan Sumber Belajar

 Buku Paket Matematika XII IPS, BSE

 Modul, yaitu buku Matematika SMA Kelas XII Program IPS, karangan Asti Trisnarini, S. Pd

 http://www.mathworksheets4kids.com/matrices/

 http://edhelper.com/Matrices.htm

Alat : - LKS

F. Penilaian

Teknik : posttest.

(20)

(21)

Nama: ...; Kelas: ...

Menentukan invers matriks ordo 2 x 2 dengan menggunakan sifat :

MISALKAN : Matrik A =

INVERS MATRIK 2 X 2 XII-IPS.2014

 _ _

 Maka diperoleh persamaan:

... ... (gunakan metode eliminasi untuk

menyelesaikan persamaan diatas)

 Sehingga diperoleh :

a = ...; b = ...

 Maka diperoleh persamaan:

... ... (gunakan metode eliminasi untuk

menyelesaikan persamaan diatas)

 Sehingga diperoleh :

(22)

KESIMPULAN:

Jika A =

   

d c

b a

, maka invers matriks A adalah ... = ...

Pertanyaan KRITIS: APAKAH SETIAP MATRIKS MEMPUNYAI INVERS?