BAB VI - BAB VI regresi

BAB VI

ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA

6.0. Tujuan Pembelajaran: Mahasiswa Mampu:

1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel 2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier

3. Menentukan korelasi dan mengujinya

4. Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana 5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi

6. Menentukan Model Regresi yang Layak

7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien Regresi

8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi

6.1. Scatter Plot

Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:

Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)

Scatter Plot

BAB11-Hubungan Linier Positif

Hubungan Linier Negatif

Tidak Ada Hub.linier

Tidak ada Hubungan

© 2010 Hermita Dyah Puspita

Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:

Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan

Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier

Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak memilki hubungan.

6.2. Analisis Korelasi

Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut Koefisien Korelasi Pearson Product Momernt.

6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)

Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik. Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin pengujian terhadapnya sah. Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua variabel

menurut Walpole :

Tabel 1.

Interval Koefisien Tingkat Hubungan

0.00 – 0.199 0.20 – 0.399 0.40 – 0.599 0.60 – 0.799

0.80 – 1.000 Sangat Kuat

Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan sebagai berikut:

Tabel 2.

Interval Hubungan Tingkat Hubungan

0 Tidak ada korelasi antara dua

variabel

>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah

>0,25 – 0,5 Korelasi cukup

>0,5 – 0,75 Korelasi kuat

>0,75 – 0,99 Korelasi sangat kuat

1 Korelasi sempurna

Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai dengan +1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan penurunan suatu variabel yang lain, sedangkan penurunan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang lain.

Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang tetap. Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data

Tipe / Tingkat Data Teknik Korelasi yang Digunakan

Nominal Koefisien Kontingensi

Ordinal Spearman Rank

Kendal Tau

Interval dan rasio

Pearson / Produk Momen Korelasi Ganda

Korelasi Parsial.

Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:

Atau:

Atau: r=b

√

S_Sxx

yy=

Sxy

√SxxSyy

dimana:

r

=

∑

(

x

−¯

x

)(

y

−¯

y

)

√

[

∑

(

x

−¯

x

)

2

][

∑

(

y

−¯

y

)

2

]

r

=

n

∑

xy

−

∑

x

∑

y

r = Koefisien Korelasi Sampel n = Ukuran Sampel

x = Nilai dari Variabel Independen y = Nilai Variabel dependen

Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap unit x.

Dalam kasus dimanai r1 = 0,3 dan r2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat korelasi positif dimana r2 lebih kuat daripada r1. Adalah salah jika menyimpulkan bahwa r2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik dibandingkan dengan r1.

6.2.2.Koefisien Determinansi

Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi disimbolkan dalam R2 _{yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam nilai} variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :0≤ R2_≤1

R2 _{juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika R}2

suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik, tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang terbaik.

Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan penafsirannya jika 0.994 sehingga R2 _{= 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh} variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X. Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koefisien regresi.

Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel yang lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas kerja.

Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara

serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas, X X1, 2,...,Xk

dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

ry, x1,… , xn=

a₁

∑

x₁y+a₂

∑

x₂y+…+a_k

∑

x_ky

∑

y2

dengan

∑

x1y=

∑

X1Y−

∑

X₁

∑

Y n

∑

xky=

∑

XkY−

∑

X_k

∑

Y n

∑

y2

=

∑

Y2−

(

∑

Y

)

2

n

6.2.4. Korelasi Parsial

Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.

ry, x1, x2=ry x1−

(r¿¿y x2×rx1x2)

√

(

1−rx1x2

2

)

(1−ry x2

2

)¿

Dimana :

ry, x1, x2= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y ry x1= korelasi product moment antara x1 dengan y

ry x2 = korelasi product moment antara x2 dengan y

rx1x2 = korelasi product moment antara x1 dengan x2

6.3. Uji Hipotesis Korelasi

Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara dua variabel tertentu.

 Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut: H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel

Atau H0 : ρ = 0 H1 : ρ ≠ 0

 Statistik uji:

Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

t_hitung=r√n−2

√

1−r2 atau

ttabel=t₍α

2;df)dimana df=n−2

 Kriteria uji

Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel

 Kesimpulan

t

_hitung

=

S

b

S

xx

Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan koefisien korelasi taksiran (ρ0¿, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:

 H0:ρ=ρ0 dimana ρ0≠0

H1:ρ≠ ρ0

 Statistik uji: zhitung=√n−₂ 3ln

[

(1+r) (1−r)

(1−ρ0)

(1+ρ0)

]

ztabel=zα (uji satu sisi) atau ztabel=zα₂ (uji dua sisi)

 Kriteria uji:

Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel

 Kesimpulan

6.4.Analisis Regresi

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.

Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu : Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan sebab-akibat)

Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi

Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain, anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua peramalan.

6.4.2. Definisi Regresi

Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel atau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.

Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara aplikatif lebih bersifat eksploratif.

6.4.3. Asumsi

Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:

 Error (ε) independen secara statistik

 Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan

 Ada hubungan linier antara kedua variabel Catatan (*):

 Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.

 Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.

 Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value) dengan pengamatan sebenarnya.

 Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.

6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana dari populasi adalah:

Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai berikut:

Keterangan :

^y_{i = nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat (dependen}

variable)

a = konstanta yang merupan nilai estimasi ^y jika nilai x=0 (intercept) b = koefisien regresi/gradient garis regresi (slope)

x = variabel bebas (independent variable)

6.4.5.1. Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)

Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:

y

=

α

+

βx

+

ε

^

SSE=L=

∑

i=1

n

ei2=

∑

i=1

❑

¿ ¿ ¿ ¿

Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model regresi dari nilai yang sebenaranya.

Gambar VI.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε

Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:

∂ L

∂ a=−2

∑

_i=1

n

∂L

∂b

=−

2

∑

i

=

1

n

(

Y

i

−

a

−

b

(

x

i

−´

x

¿

))(

x

i

−´

x

)=

0

¿

Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan: atau b=S_Sxy

xx atau

atau

b=

∑

(x−¯x)(y−¯y)

∑

(x−¯x)2

b= n

∑

xy−

∑

x

∑

y

Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan nilai

a: a =

∑

_i=1

n

yi

n −b

∑

i=1

n

xi

n

atau:

a = ´y – b´x Dimana:

´y = rata – rata yi

´x = rata – rata xi

6.4.5.2. Partisi dari Varians Total

Estimasi parameter σ2 _{menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan model}

dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi varians dapat dijabarkan sebagai berikut:

SST = SSR + SSE Keterangan:

SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =Syy

SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = bSxy

Dimana : S_xx=

∑

x_i2−n´x2 S_yy=

∑

y_i2−n´y2 S_xy=

∑

x_iy_i−n´x´y

6.4.5.3. Estimasi dari σ2

Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan penyimpangan dari nilai–nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE (Se) atau yang biasa

disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari σ2 _{dan diestimasi dengan}

persamaan berikut:

Se = S =

√

∑

(y−^y)

2

n−2 =

√

SSE

n−2 =

√

Syyn−−b S2 xy

Standar Error Koefisien Regresi

Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing–masing sampel tersebut memiliki gradien/slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi tersebut dengan persamaan berikut:

s

_b

=

s

√

S

xx

=

s

_ε

√

∑

(

x

−¯

x

)

2

=

s

ε

√

∑

x

2

−

(

∑

x

)

2

6.4.5.3. Standar Error untuk ´y bila nilai x diketahui

Jika nilai x dimasukkan berulang–ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata–rata yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai ´y bervariasi. Sehingga nilai standar error ´y dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):

S´y = S

e

(

√

(

1_n+

(x0−´x) 2

S_xx

)

)

6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi

Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial. Tahapan uji yang dilakukan:

 Hipotesis: H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0

 Statistik Uji: t=_sb−β0

/ √Sxx=

b−β0

Sb

 Pengambilan Keputusan:

Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α

 Kesimpulan

6.4.7. Uji Intersep Model Regresi Tahapan uji yang dilakukan:

H1 : α ≠ 0

 Statistik Uji: t= a−α

s

√

∑

xi

n Sxx

 Pengambilan Keputusan

Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α

 Kesimpulan

6.4.8. Selang Kepercayaan Selang Kepercayaan untuk α:

Selang Kepercayaan untuk β:

6.4.9.Prediksi

Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat xp

Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat xp

a

±

t

_α/2

S

√

∑

x

2

i

√

nS

xx

b

±

t

α

/2

s

b

^

y

±

t

_α/2

s

_ε

√

1

n

+

(

x

p

−¯

x

)

2

∑

(

x

−¯

x

)

2

^

y

±

t

_α/2

s

_ε

√

1

+

1

n

+

(

x

p

−¯

x

)

2

6.5. Pemilihan Model Regresi

Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya. Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias dalam estimasinya.

Tahapan uji yang dilakukan:

 Hipotesis H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0

 Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05

Tabel VI.1 Analysis of Variance

Sumber

Variansi SS df MS Fhitung

Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2

Error SSE n – 2 S2 _{= SSE/n-2}

Total SST n – 1

 Pengambilan Keputusan

Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of significance) α

 Kesimpulan

6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)

6.6. Analisis Residual

Analisis residual dapat dilakukan dengan:

a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik, yaitudengan melakukan plot e^_{i dengan} ^y, apabila terdapat pola-pola tertentu berarti varians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.

b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan:

 Stem and leaf

 Histogram

 Dot diagram

 Plot normal (Normal Probability Plot)

c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak berdistribusi normal.

d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot e^_{i dengan time} order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.

6.7. Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang

Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan Lack Of Fit.

6.7.1. Pengujian Lack Of Fit

Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang muncul antar nilai y untuk setiap nilai x (pure experimental error) dan komponen yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.

Prosedur Pengujian:

 Hipotesis

H0 : Tidak ada LoF

H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai

 Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05

 Hitung Pure Error sum of square (SSpe)

SSpe=

∑

i=1

k

∑

i=1

n

¿ ¿ ¿ ¿ dengan df = n – k

Tabel VI.2 Analysis of Variance

Sumber

Variansi SS df MS Fhitung

Regres i

SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2

Error: SSE n –

2

S2 _{= SSE(/n-2)}

Pure error SSE−SSpe S2(k−2) SSpe _{n - k S}2_{= SSpe /(n-k)}

Total SST n

 Pengambilan Keputusan

Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α

 Kesimpulan

Contoh 1

nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir semester (y) sebagai berikut :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67

yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68

a. Tentukan persamaan garis regresi linear.

b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian tengah semester.

Jawab :

persamaan regresi linear

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ

xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707

yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658

xiyi 631 4

330 0

5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258

xi2 ₅₉₂ 9

250 0

5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557

Sehingga b = (9) (53.258)−(707)(658)

(9) (57.557)−(707)2 = 0,777142

a = 658−(0,777142₉ )(707) = 12,06232 jadi, persamaan regresi linear adalah

^y = 12,06232 + 0,777142x

x = 85

^y = 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936 Contoh 2

Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :

x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7

y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17

Jawab :

Σx = 31,9 Σy = 230 Σ xiyi = 675,5 Σ xi2 = _{94,49 Σ yi}2 _{= 4866}

´

x = 2,9 ´y = 20,9091 b = 0,777142

a = 12,06232

Sxx = Σ xi2 _{– n(´x)}2 _{= 1,98} Sxy = Σ xiyi – n(´x´y)= 8,4997 Syy = Σ yi2 _{– n(´y)}2 _{= 56,9049} SSR = b2 _{Sxx = 36,4894} SSE = Syy – SSR = 20,4155

 Hipotesis H0 : β = 0

H1 : β ≠ 0 α = 0.05

 Tabel Anaysis of Variance KomponenRe

gresi

SS df MS Fhitung

9 2 7 6

Error 20,4

2

9 2,27

Total 56,9

0 4 9

10

 Pengambilan Keputusan F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12

Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak

 Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai

Contoh 3

Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan ABC.

Tahu

n Jumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)

2005 22 30

2006 36 38

2007 31 35

2008 32 37

2009 31 34

Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!

Jawab:

Tahun

Jumlah Biaya Promos i (x)

Jumlah Penjuala n (y)

Range x

Range

y di=R(x)−R(y) di

2

2005 22 30 1 1 0 0

2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25

2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25

2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25

2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25

2010 32 38 4.5 5.5 -1 1

∑ 2

rs=1−

6(2)

6(62−1)=1−

12

210=1−0,057=0,943

Uji Hipotesis:

H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan

H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan.

Statistika uji: thitung=r√n−2

1−r2 =

(0,943)√6−2

1−(0,943)2 =

1,886

0,11075=17,03

ttabel=t

(

0,201;4

)

=4,604

Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan

LATIHAN SOAL:

1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian prestasi pengetahuan umum (Y).

Xi Yi Xi Yi Yi Yi

114 110 113 137 116 132 90 121 107 120 125 92 29 41 48 73 55 80 40 75 43 64 53 31 130 142 137 140 125 134 106 121 111 126 95 105 71 68 69 66 39 78 49 59 66 67 46 47 96 89 105 125 107 97 134 106 99 98 117 100 45 32 50 57 59 48 55 45 47 59 47 49

a. Gambar diagram pencarnya.

b. Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan. c. Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.

d. Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?

e. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120. Jelaskan artinya!

g. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ berubah dengan satu unit.

h. Perlukah diambil model berbentuk lain?

i. Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan diatas?

2. Dari tabel berikut ini:

X (o_{C) Y (gram)}

0 8 6 8

15 12 10 14

30 25 21 24

45 31 33 28

60 44 39 42

75 48 51 44

Carilah persamaan garis regresi

Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar

Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50o_C.

3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.

4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang diperoleh (dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.

Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194

Keuntungan (y)

10 15 13 17 19 14 13 11 13 15

b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!

5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta apakah

ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi pearson!

n Kondisi temperatur (x)

KepuasanKerja (y)

1 8 20

2 12 20

3 10 17

4 7 18

5 8 19

6 7 20

7 12 18

8 10 19

9 12 16

10 9 17

11 10 16

12 12 17

13 12 18

14 12 12

6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel dua (X dan Y).

X Y X Y X Y

I.1.1 Regresi Linier Berganda

Analisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel bebas (x) yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi linier berganda:

^y= a + b1x1+b2x2+… …+bnxn

Keterangan:

^y = nilai dari variabel terikat

a = konstata nilai estimasi ^y jika nilai x=0 (intercept) bi = koefisien regresi gradient garis regresi (slope)

xn = variabel bebas

I.1.1.1 Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)

Untuk setiap pengamatan

{

(x1i, x2i; yi);i=1, 2,… , n¿

}

akan memenuhi persamaan:

^y= a + b1x1+b2x2+… …+bnxn+ei

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan: ei= ^y- a - b1x1−b2x2−… …−bnxn

Dengan syarat meminimasikan nilai a, b1, dan b2 penurunannya, maka diperoleh persamaan:

∑

y_i = an + b1

∑

i=1

n

xi1 + b1

∑

i=1

n

xi2

∑

i=1

n

x1iyi = a

∑

i=1

n

x1i+ b1

∑

i=1

n

xi21 + b2

∑

i=1

n

xi1xi2

∑

i=1

n

x2iyi = a

∑

i=1

n

x2i + b2

∑

i=1

n

xi22 + b1

∑

i=1

n

xi1x2i

Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:

c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi

d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna diantara variabel–variabel bebas.

Latihan soal

1. Dari tabel berikut ini:

X (o_{C) Y (gram)}

0 8 6 8

15 12 10 14

30 25 21 24

45 31 33 28

60 44 39 42

75 48 51 44

a. Carilah persamaan garis regresi

b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar

c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50o_C.