1) Alat Ukur Sudut a) Busur b) Jangka

(1)

1 Sudut

Kaki Sudut Trigonometri

A. Sudut

Definisi

Sudut adalah pertemuan dua sinar garis pada satu titik. Sudut dinotasikan dengan 𝑎0 (𝑎 derajat).

1) Alat Ukur Sudut a) Busur

b) Jangka

4) Macam-macam Sudut a) Sudut Lancip

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya < 90°.

b) Sudut Siku-siku

Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya = 90°.

c) Sudut Tumpul

(2)

2

𝑥 𝑦

d) Sudut Lurus

Sudut lurus adalah sudut yang besarnya = 180°.

e) Sudut Penuh

Sudut penuh adalah sudut yang besarnya = 360°.

2) Ukuran Sudut (Derajad dan Radian)  ₁ putaran = 360°

 ₁ putaran = 2𝜋  _{2𝜋 = 1} putaran  _{𝜋 =} 1

2 putaran

 _{360° = 2𝜋}

 _{180° = 𝜋}

 _{1° =} 1

180°𝜋

 _{⋯ ° =} ⋯°

180°𝜋

Contoh: 45° = 45°

180°𝜋

= 1

4𝜋

Jadi, 45°1

4𝜋

B. Koordinat Kartesius

Definisi

Koordinat Kartesius terbentuk oleh sebuah sumbu mendatar (horizontal) dan sebuah sumbu tegak (vertikal). Arah sumbu horizontal disebut absis₍Sumbu 𝑋_{). Arah}

sumbu vertikal disebut ordinat₍Sumbu 𝑌_).

𝑋 𝑌

(3)

3

Contoh: Tentukan 𝐴 −4,5 , 𝐵 −6, −3 , 𝐶 4,2 , 𝐷 5, −3 !

Sumbu 𝑋 dan Sumbu 𝑌, membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:  Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif

 Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif  Kuadran III, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif  Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif

Kuadran I Kuadran II

(4)

4 C. Perbandingan Trigonometri

1) Sudut 𝜶 Kuadran I

sin 𝛼 =𝑦_𝑟 cos 𝛼 =𝑥_𝑟 tan 𝛼 =𝑦_𝑥

Contoh: Jika 𝑥 = 3, 𝑦 = 4, dan 𝑟 = 5, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 ? Jawab:

𝑦 𝑟

𝛼 𝑥

4 5

(5)

5

sin 𝛼 =𝑦_{𝑟 =}4_{5 = 0,8}

cos 𝛼 =𝑥_{𝑟 =}3_{5 = 0,6}

tan 𝛼 =𝑦_{𝑥 =}4_{3 = 1,33}

Sudut Khusus a) Sudut 𝟎°

𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑟 = 1 sin 00 ₌𝑦

𝑟 = 0

1 = 0 jika dan hanya jika sin 00 = 0 atau sin 0 = 0

cos 00 ₌ 𝑥 𝑟 =

1

1 = 1 jika dan hanya jika cos 00 = 1 atau cos 0 = 1

tan 00 ₌ 𝑦 𝑥=

0

1 = 0 jika dan hanya jika tan 00 = 1 atau tan 0 = 1

b) Sudut 𝟑𝟎°

0°

1 2

30°

(6)

6

𝑥 = 3, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2

sin 300 ₌𝑦 𝑟 =

1

2 jika dan hanya jika sin 300 = 1

2 atau sin 1 6𝜋 =

1 2

cos 300 ₌ 𝑥 𝑟 =

3 2 =

1

2 3 jika dan hanya jika cos 300 = 1

2 3 atau cos 1 6𝜋 =

1 2 3

tan 300₌𝑦 𝑥= 1 3= 1 3⋅ 3 3= 3 3 = 1

3 3 jika dan hanya jika tan 300= 1

3 3 atau tan 1 6𝜋 =

1 3 3

c) Sudut 𝟒𝟓°

𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2 sin 450₌𝑦

𝑟= 1 2= 1 2⋅ 2 2= 2 2 = 1

2 2 jika dan hanya jika sin 45 = 1

2 2 atau sin 1 4𝜋 =

1 2 2 cos 450₌𝑥

𝑟= 1 2= 1 2⋅ 2 2= 2 2 = 1

2 2 jika dan hanya jika cos 45 = 1

2 2 atau cos 1 4𝜋 =

1 2 2 tan 450₌𝑦

𝑥= 1

1= 1 jika dan hanya jika tan 450= 1 atau tan 1 4𝜋 = 1

d) Sudut 𝟔𝟎°

(7)

7

𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 𝑟 = 2

sin 600 ₌𝑦 𝑟 =

3 2 =

1

2 3 jika dan hanya jika sin 600 = 1

2 3 atau sin 1 3𝜋 =

1 2 3

cos 600 ₌ 𝑥 𝑟 =

1

2 jika dan hanya jika cos 600 = 1

2 atau cos 1 3𝜋 =

1 2

tan 600 ₌ 𝑦 𝑥=

3

1 = 3 jika dan hanya jika tan 600 = 3 atau tan 1

3𝜋 = 3

e) Sudut 𝟗𝟎°

𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑟 = 1 sin 900 ₌𝑦

𝑟 = 1

1 = 1 jika dan hanya jika sin 900 = 1 atau tan 1 2𝜋 = 1

cos 900 ₌ 𝑥 𝑟 =

0

1 = 0 jika dan hanya jika cos 900 = 0 atau cos 1 2𝜋 = 0

tan 900 ₌ 𝑦 𝑥=

1

0 = ∞ jika dan hanya jika tan 900 = ∞ atau tan 1

2𝜋 = ∞

2) Sudut 𝜶 Kuadran II

90°

𝑦 𝑟

𝛽

−𝑥

(8)

8

𝛼 + 𝛽 = 180°

𝛼 = 180° − 𝛽 atau 𝛽 = 180° − 𝛼

sin 𝛼 = sin 180° − 𝛽 sin 𝛼 =𝑦_𝑟

sin 𝛼 = sin 𝛽

sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼 atau sin 𝛼 = sin 𝜋 − 𝛼

cos 𝛼 = cos 180° − 𝛽

cos 𝛼 =−𝑥_𝑟 = −𝑥_𝑟

cos 𝛼 = − cos 𝛽

cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼 atau cos 𝛼 = − cos 𝜋 − 𝛼

tan 𝛼 = tan 180° − 𝛽

tan 𝛼 =_{−𝑥 = −}𝑦 𝑦_𝑥 tan 𝛼 = − tan 𝛽

tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 𝜋 − 𝛼

Contoh: Jika 𝛼 = 120°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ? Jawab:

sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼 sin 120° = sin 180° − 120° sin 120° = sin 60°

sin 120° =1

2 3

sin (120°_180°⋅ 𝜋) =1₂ 3 sin2

3𝜋 = 1 2 3

cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼 cos 120° = − cos 180° − 120° cos 120° = − cos 60°

cos 120° = −1

2

cos (120°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ cos2

3𝜋 = − 1 2

tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼 tan 120° = − tan 180° − 120° tan 120° = − tan 60°

tan 120° = − 3

tan (120°_180°⋅ 𝜋) = − 3 tan2

3𝜋 = − 3

(9)

9 sin 135° = sin 45°

sin 135° =1

2 2

sin (135°_180°⋅ 𝜋) =1₂ 2 sin3

4𝜋 = 1 2 2

cos 135° = −1

2 2

cos (135°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 2 cos3

4𝜋 = − 1 2 2

tan 135° = −1

tan (135°_180°⋅ 𝜋) = −1 tan3

4𝜋 = −1

sin 150° =1

2

sin (150°_180°⋅ 𝜋) =1₂ sin5

6𝜋 = 1 2

cos 150° = −1

2 3

cos (150°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 3 cos5

6𝜋 = − 1 2 3

tan 150° = −1

3 3

tan (150°_180°⋅ 𝜋) = −1₃ 3 tan5

(10)

10

sin 180° = 0

sin (180°_180°⋅ 𝜋) = 0 sin 𝜋 = 0

cos 180° = −1

cos (180°_180°⋅ 𝜋) = −1 cos 𝜋 = −1

tan 180° = 0

tan (180°_180°⋅ 𝜋) = 0 tan 𝜋 = 0

3) Sudut 𝜶 Kuadran III

180° + 𝛽 = 𝛼

𝛼 = 180° + 𝛽 atau 𝛽 = 𝛼 − 180°

sin 𝛼 = sin 180° + 𝛽 sin 𝛼 =−𝑦_𝑟 = −𝑦_𝑟

−𝑦

𝑟

𝛼

(11)

11

sin 𝛼 = − sin 𝛽

sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180° atau sin 𝛼 = sin 𝛼 − 𝜋

cos 𝛼 = cos 180° + 𝛽

cos 𝛼 =−𝑥_𝑟 = −𝑥_𝑟

cos 𝛼 = − cos 𝛽

cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180° atau cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 𝜋

tan 𝛼 =_{−𝑥 =}𝑦 −𝑦_{−𝑥 =}𝑦_𝑥 tan 𝛼 = tan 𝛽

tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180° atau tan 𝛼 = tan 𝛼 − 𝜋

sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180° sin 210° = − sin 210° − 180° sin 210° = − sin 30°

sin 210° = −1

2

sin (210°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ sin7

6𝜋 = − 1 2

cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180° cos 210° = − cos 210° − 180° cos 210° = − cos 30°

cos 210° = −1

2 3

cos (210°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 3 cos7

6𝜋 = − 1 2 3

tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180° tan 210° = tan 210° − 180° tan 210° = tan 30°

tan 210° =1

3 3

tan (210°_180°⋅ 𝜋) =1₃ 3 tan7

6𝜋 = 1 3 3

sin 225° = −1

2 2

sin (225°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 2 sin5

(12)

12 cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180° cos 225° = − cos 210° − 125° cos 225° = − cos 45°

cos 225° = −1

2 2

cos (225°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 2 cos5

4𝜋 = − 1 2 2

tan 225° = 1

tan (225°_180°⋅ 𝜋) = 1 tan5

4𝜋 = 1

sin 240° = −1

2 3

sin (240°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 3 sin8

3𝜋 = − 1 2 3

cos 240° = −1

2

cos (240°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ cos8

3𝜋 = − 1 2

tan 240° = 3

tan (240°_180°⋅ 𝜋) = 3 tan8

3𝜋 = 3

(13)

13

sin (270°_180°⋅ 𝜋) = −1 sin3

2𝜋 = −1

cos 270° = 0

cos (270°_180°⋅ 𝜋) = 0 cos3

2𝜋 = 0

tan 270° = ∞

tan (270°_180°⋅ 𝜋) = ∞ tan3

2𝜋 = ∞

4) Sudut 𝜶 Kuadran IV

𝛼 + 𝛽 = 360°

𝛼 = 360° − 𝛽 atau 𝛽 = 360° − 𝛼

sin 𝛼 = sin 360° − 𝛽 sin 𝛼 =−𝑦_𝑟 = −𝑦_𝑟

sin 𝛼 = − sin 𝛽

sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼 atau sin 𝛼 = − sin 2𝜋 − 𝛼

cos 𝛼 = cos 360° − 𝛽

cos 𝛼 =𝑥_𝑟

cos 𝛼 = cos 𝛽

−𝑦 𝑟

𝛽 𝑥

(14)

14

cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼 atau cos 𝛼 = cos 2𝜋 − 𝛼

tan 𝛼 =−𝑦_{𝑥 = −}𝑦_𝑥 tan 𝛼 = − tan 𝛽

tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 2𝜋 − 𝛼

sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼 sin 300° = − sin 360° − 300° sin 300° = − sin 60°

sin 300° = −1

2 3

sin (300°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 3 sin5

3𝜋 = − 1 2 3

cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼 cos 300° = cos 360° − 300° cos 300° = cos 60°

cos 300° =1

2

cos (300°_180°⋅ 𝜋) = 1₂ cos5

3𝜋 = 1 2

tan 300° = − 3

tan (300°_180°⋅ 𝜋) = − 3 tan5

3𝜋 = − 3

sin 315° = −1

2 2

sin (315°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ 2 sin7

4𝜋 = − 1 2 2

cos 315° =1

(15)

15

cos (315°_180°⋅ 𝜋) = 1₂ 2 cos7

4𝜋 = 1 2 2

tan 315° = −1

tan (315°_180°⋅ 𝜋) = −1 tan7

4𝜋 = −1

sin 330° = −1

2

sin (330°_180°⋅ 𝜋) = −1₂ sin11

6 𝜋 = −

1 2

cos 330° =1

2 3

cos (330°_180°⋅ 𝜋) = 1₂ 3 cos11

6 𝜋 = 1 2 3

tan 330° = −1

3 3

tan (330°_180°⋅ 𝜋) = −1₃ 3 tan11

6 𝜋 = −

1 3 3

sin 360° = 0

sin (360°_180°⋅ 𝜋) = 0 sin 2𝜋 = 0

(16)

16 cos 360° = cos 0°

cos 360° = 1

cos (360°_180°⋅ 𝜋) = 1 cos 2𝜋 = 1

tan 360° = 0

tan (360°_180°⋅ 𝜋) = 0 tan 2𝜋 = 0

Sudut −𝜶 Kuadran IV

−𝛼 = 360° − 𝛼

sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 ⋯ 1

sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼

− sin 360° − 𝛼 = sin 𝛼

sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼 ⋯ 2

Dari 1 dan 2

sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 dan sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼, maka

sin −𝛼 = − sin 𝛼

cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 ⋯ 3

cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼

cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼 ⋯ 4

Dari 3 dan 4

cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 dan cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼, maka

cos −𝛼 = cos 𝛼

tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 ⋯ 5

tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼

−𝑦 𝑟

(17)

17

− tan 360° − 𝛼 = tan 𝛼

tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼 ⋯ 6

Dari 5 dan 6

tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 dan tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼, maka

tan −𝛼 = − tan 𝛼

Contoh: Jika 𝛼 = 30°, maka tentukanlah sin −𝛼 , cos −𝛼 , tan −𝛼 ? Jawab:

sin 30° = − sin 30°

sin 30° = −1₂

cos 30° = cos 30°

cos 30° = 1₂ 3

tan 30° = − tan 30°

tan 30° = −1₃ 3

E. Fungsi Trigonometri 1) Fungsi Sinus

Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

(18)

18 2) Fungsi Cosinus

Definisi

𝑓 𝑥 = cos 𝑥 atau 𝑦 = cos 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 2𝜋

3) Fungsi Tangen

Definisi

(19)

19 F. Identitas Tigonometri

1) sin 𝛼 =𝑦

𝑟

1 sin 𝛼 =

1 𝑦 𝑟 1 sin 𝛼 =

𝑟 𝑦

1

sin 𝛼= csc 𝛼 jika dan hanya jika csc 𝛼 = 1 sin 𝛼

2) cos 𝛼 =𝑥

𝑟

1 cos 𝛼 =

1 𝑥 𝑟 1 cos 𝛼 =

𝑟 𝑥

1

cos 𝛼= sec 𝛼 jika dan hanya jika sec 𝛼 = 1 cos 𝛼

3) tan 𝛼 =𝑦

𝑥

1 tan 𝛼 =

1 𝑦 𝑥 1 tan 𝛼 =

𝑥 𝑦

1

tan 𝛼= cot 𝛼 jika dan hanya jika cot 𝛼 = 1 tan 𝛼

4) tan 𝛼 =𝑦

𝑥

tan 𝛼 =𝑦_𝑥⋅ 1

tan 𝛼 =𝑦_𝑥⋅𝑟_𝑟

𝑦 𝑟

(20)

20

tan 𝛼 =𝑦_𝑟⋅𝑟_𝑥

tan 𝛼 =𝑦_𝑟⋅ 1𝑥 𝑟

tan 𝛼 = sin 𝛼 ⋅_{cos 𝛼}1

tan 𝛼 =_{cos 𝛼}sin 𝛼

5) sin 𝛼 =𝑦

𝑟 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼

cos 𝛼 =𝑥_𝑟 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 Dari Teorema Pythagoras diketahui bahwa 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑟2

𝑟 cos 𝛼 2_{+ 𝑟 sin 𝛼}2 _{= 𝑟}2

𝑟2cos2𝛼 + 𝑟2sin2𝛼 = 𝑟2 𝑟2 cos2𝛼 + sin2𝛼 = 𝑟2

cos2𝛼 + sin2𝛼 =𝑟2

𝑟2 cos2𝛼 + sin2𝛼 = 1

6) cos2𝛼 + sin2𝛼 = 1

cos 𝛼 2_{+ sin 𝛼}2 _{= 1}2 cos 𝛼 2

cos 𝛼 2+ sin 𝛼 2

cos 𝛼 2 =

12

cos 𝛼 2

(cos 𝛼_{cos 𝛼})2 + (_{cos 𝛼}sin 𝛼)2 = (_{cos 𝛼}1 )2

1 2_{+ tan 𝛼}2 _{= sec 𝛼}2

1 + tan2_{𝛼 = sec}2_𝛼_{jika dan hanya jika}_tan2_{𝛼 = sec}2_{𝛼 − 1}

7) cos2𝛼 + sin2𝛼 = 1

cos 𝛼 2_{+ sin 𝛼}2 _{= 1}2 cos 𝛼 2

sin 𝛼 2+

sin 𝛼 2

sin 𝛼 2=

12

sin 𝛼 2

(cos 𝛼_{sin 𝛼})2 + (sin 𝛼_{sin 𝛼})2 = (_{sin 𝛼}1 )2

cot 𝛼 2_{+ 1}2 _{= csc 𝛼}2