BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM - BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM

BAB III

ELEKTRON DALAM LOGAM

Pada Bab I telah disebutkan bahwa pada dasarnya Fisika Zat Padat mengkaji kristal dan elektron-elektron. Dalam pembahasan mengenai Dinamika Kisi dalam Bab II, telah diuraikan gerakan atom-atom dalam kristal sebagai akibat dari adanya rambatan gelombang, mekanik maupun termal, serta berbagi sifat yang ditimbulkannya. Pada Bab II ini, giliran elektron yang mendapat bagian untuk dibahas secara khusus, mengingat gerakan elektron dalam zat padat sangat berbeda dari gerakan atom-atom dalam kristal.

Secara umum setiap jenis bahan padat yang disusun oleh atom-atom selalu mengandung elektron-elektron. Namun demikian, elektron-elektron tersebut ada yang terikat erat pada ikatan atom-atom dan ada juga yang bebas. Elektron dikatakan bebas bilamana elektron tersebut dapat bergerak oleh karena suatu hal (misalnya medan listrik) secara bebas dari satu titik ke titik lain di seluruh kristal. Elektron yang bersifat demikian disebut elektron bebas. Sedangkan elektron yang tidak dapat bergerak bebas, yaitu elektron yang terikat dalam atom maupun ikatan antar atom, disebut elektron terikat.

Struktur ikatan pada bahan loham memungkinkan zat padat jenis ini mengandung elektron bebas. Sedangkan bahan bukan logam lainnya, yaitu bahan-bahan yang mempunyai ikatan ionik atau kovalen, tidak memiliki elektron bebas. Dengan adanya elektron bebas ini logam mempunyai sifat-sifat yang khas, antara lain merupakan penghantar listrik dan penghantar panas yang baik serta permukaannya mengkilat (sifat pantulnya baik).

3.1 ELEKTRON BEBAS KLASIK

Dalam pendekatan ini elektron-elektron dapat dipandang seperti partikel gas ideal. Sebagai contoh, perhatikan logam natrium (11Na). Atom natrium memiliki

konfigurasi elektron : 1s2-2s2-2p6-3s1. Elektron-elektron pada orbitan 1s sampai dengan 2p membentuk struktur kulit penuh. Elektron-elektron ini bersama dengan inti atom membentuk teras atom.

Secara umum bila suatu logam mempunyai rapat massa ρ_mtersusun oleh atom-atom dengan elektron valensi Z, dan massa atom yang bersangkutan M, maka konsentrasi elektron bebas pada logam tesebut adalah :

M zN

n=ρm A

NA adalah bilangan Avogadro. Konsentrasi elektron pada persamaan (3.1) tersebut

dinyatakan dalam satuan elektron/cm3 atau elektron/m3 dan biasanya hanya ditulis cm-3 atau m-3.

3.1.1 Hantaran Listrik

Perhatikan seutas kawat sepanjang L dengan penampang A, ujung-ujung kawat (C dan D) diberi beda potensial VCD, dan nilai hambatan kawat adalah R.

Dalam kawat mengalir arus listrik I serta timbul medan listrik E, seperti pada gambar 3.1. menurut Hukum Ohm, kuat arus listrik dalam kawat :

R V I= CD

Gambar 3.1 Arah arus listrik, medan listrik dan gerakan elektron dalam seutas kawat yang diberi beda potensial.

Selanjutnya dapat ditulis rumus-rumus lainnya yang menyangkut :

(i). Rapat Arus :

A I J=

(ii). Kuat Medan :

L V

E= CD

(iii) Hambatan :

A L

ρ

dengan ρmenyatakan resistivitas listrik bahan kawat, dan dapat dituliskan dalam hubungannya dengan konduktivitas listrik σ :

σ ρ= 1

Dari persamaan-persamaan di atas, hokum Ohm seperti pada persamaan (3.2) dapat dituliskan kembali dalam bentuk :

E J=σ

Semua besaran listrik di atas merupakan besaran makroskopik yang dapat diukur atau ditentukan secara langsung. bagaimanakah mekanisme elektron menghantarkan listrik sehingga persamaan-persamaan di atas dapat terpenuhi ?

Gambar 3.2. Elektron dalam kristal bergerak dipercepat oleh medan listrik dan dihamburkan oleh atom-atom.

Pada gambar 3.2 elektron bergerak dipercepat ke arah kanan sebagai akibat penerapan medan listrik ke arah kiri. Dalam gerakannya elektron menumbuk dan dihamburkan oleh atom-atom. Tumbukan dengan atom-atom ini menimbulkan “daya hambat” yang dialami elektron, yang akan mengimbangi gaya medan listrik pada elektron. Keadaan demikian dapat diungkapkan melalui persamaan gerak sebagai berikut :

τ

v m eE dt dv

m* =− − *

Perimbangan antara gaya oleh medan dan gaya hambatan akan menghasilkan keadaan tunak (stationer). Bila keadaan ini tercapai maka :

0

=

dt dv

Dengan demikian persamaan (3.6) menghasilkan :

E m e v

*

τ

− =

Yaitu kecepatan akhir elektron yang disebut juga kecepatan alir (drift velocity). Tanda minus menyatakan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan arah medan listrik E yang menyebabkannya. Kecapatan elektron ini berperan dalam hambatan listrik. Untuk membedakannya dengan kecepatan rambang (akan dibahas kemudian), kecepatan lain dituliskannya dengan notasi V_djadi :

E m e v_d

*

τ

− =

selanjutnya, rapat arus listrik dapat didefinisikan sebagai J = (-ne)vd

dengan n menyatakan konsentrasi elektron. Dengan mengganti vd seperti pada

persamaaan (3.8a), diperoleh :

* 2

m ne

J= τ

Bandingkan persamaan ini dengan hukum Ohm pada persamaan (3.5.), dihasilkan ungkapan bagi konduktivitas listrik :

* 2

m ne τ

σ =

persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara besaran makroskopik

( )

σ dan besaran mikroskopik bagi elektron

(

*

)

m dan

σ .

Di pihak lain, apabila diambil keadaan relaksasi, yaitu apabila medan listrik dihilangkan (E=0), maka persamaan gerak elektron menjadi :

τ

v m dt dv

yang memberikan solusi :

( )

( )

tτ

d

d t v e

v = = 0 −

vd (0) menyatakan kecepatan akhir sesaat sebelum medan listrik dihilangkan. τ yang

merupakan waktu relaksasi dapat dinyatakan sebagai berikut :

r

v

λ τ =

λadalah jarak antara dua tumbukan berurutan atau disebut juga lintasan bebas rata-rata elektron. Sedangkan vr menyatakan kecepatan rambang elektron, yaitu kecepatan

elektron dalam gerakannya karena pengaruh termal (panas). Kecepatan rambang tidak berpengaruh dalam hantaran listrik. Denagn hubungan (3.14), maka ungkapan konduktivitas listrik (3.11) menjadi :

r

v m ne

* 2_λ

σ =

Beberapa nilai dari besaran-besaran bersangkutan diberikan pada tabel 3.1.

Tabel 3.1 Besaran listrik dari beberapa logam Logam

(

_Ω−1 −1

)

m

σ

( )

−3

m

n τ

( )

det λ

( )

A vr

( )

ms−1 m*/m0

Na 1,07 x 107 4,6 x 1028 0,9 x 10-14 110 1,3 x 106 1,2 Cu 5,88 x 107 8,5 x 1028 2,79 x 10-14 420 1,6 x 106 1,0 Zn 1,69 x 107 13,1 x 1028 - - 1,82 x 106 0,85 Al 3,69 x 107 18,06 x 1028 - - 2,02 x 106 -

3.1.2. Resistivitas Listrik

Dari persamaan (3.4) dan (3.11) dapat diperoleh rumusan bagi resistivitas listrik :

τ σ ρ

2 * 1

ne m = =

Tumbukan elektron dengan penghambur dalam kristal dapat dibedakan atas dua faktor, yaitu :

Apabila tumbukan dengan fonon menghasilkan waktu relaksasi dan tumbukan dengan atom impuritas menghasilkan waktu relaksasi

f τ

i

τ , maka dapat dituliskan :

i f τ τ τ

1 1 1_{= =}

Dengan demikian, resistivitas listrik pada persamaan di atas berubah menjadi :

i f ne

m

ne m

τ τ

ρ

2 * 2

*

+ =

yang selanjutnya dapat ditulis :

i f ρ ρ ρ= +

Pada suhu rendah (T<<) tidak ada fonon, jadi ρf →0

sehingga ρ=ρ_i

f ρ ρ=

. Sebaliknya pada suhu tinggi (T>>) konsentrasi fonon meningkat, sehingga tumbukan dengan fonon menjadi dominan. Akibatnya dan dengan demikian . Jadi jelas bahwa resistivitas listrik tergantung pada suhu (T), terutama sebagai akibat tumbukan dengan fonon. Untuk menampung kebergantungan pada T ini, maka lebih tepat dituliskan sebagai berikut :

i

f ρ

ρ >>

( )

T ρ_i ρ_f(T)

ρ = +

f

ρ (T) dapat diturunkan berdasarkan teeori kinetik gas dan memiliki bentuk :

T Mk T

D

f ₂

' ) (

θ πη

ρ =

Dengan M massa atom dalam kristal, k’ tetapan gaya antar atom dan suhu Debye. Pesamaan (3.19) disebut hukum Matthiessen. Hukum ini menyimpang pada suhu rendah (mendekati T=0, dan penyimpangan ini disebut efek Kondo. Lihat gambar 3.3 dan 3.4.

Gambar 3.3. Kurva ρ

( )

T menurut Hukum Matthiessen dan efek Kondo.

3.2 ELEKTRON BEBAS KUANTUM

Elektron sebagai partikel kuantum harus memenuhi :

(i)

Prinsip eksklusi (larangan) Pauli, yaitu setiap keadaan elektron

dengan energi tertentu hanya dapat ditempati oleh dua buah

elektron dengan spin yang berlawanan. Lihat gambar 3.5a.

(ii) Probabilitas menempati suatu keadaan tertentu sesuai dengan

statistik Fermi-Dirac. Lihat gambar 3.5b.

Gambar 3.5 a. Keadaan elektron yang memenuhi prinsip eksklusi Pauli

b. Fungsi distribusi Fermi-Dirac.

Pada suhu T=0

o

K, fungsi distribusi Fermi-dirac memiliki bentuk :







>

<

=

f f

E

untukE

E

untukE

E

f

;

0

;

1

)

(

3.21

Sedangkan pada suhu yang lebih tinggi (T>0) :

( )

(

)

1

1

/

−

=

₋

T k E

E _{F B}

e

E

f

3.22

Berkaitan dengan tenaga Fermi tersebut dapat didefinisikan kecepatan

elektron pada tingkat Fermi (v

F

) sebagai berikut:

2

*

2

1

F

F

m

v

E

=

3.23

(3.23.) Pada suhu T=0

oK

, kecepatan elektron :

F

v

v

≤

Bila digambarkan dalam ruang kecepatan

(

vx,vy,vz

)

akan diperoleh

permukaan Fermi yang berbentuk permukaan bola dan disebut bola

Fermi, seperti pada gambar 3.6. Pada suhu 0

o

k tidak ada titik di luar bola,

artinya bahwa kecepatan elektron maksimum adalah v

F.

Kecepatan elektron pada tingkat Fermi cukup besar. Untuk logam dengan

energi Fermi sebesar 5 eV, kecepatannya :

1 6 2 1 31 1 19 2 1

10

10

1

,

9

.

10

6

,

1

5

2

*

2

− − − −

≈

















=













=

ms

kg

x

eV

J

x

x

x

m

E

V

_F F

Jika konsentrasi elektron dalam logam adalah n, maka energi Fermi

logam yang bersangkutan :

( )

3

2

2

2

3

*

2

m

n

E

F

=

η

π

3.24

Konsep bola Fermi dapat digunakan untuk menjelaskan hantaran listrik

dalam logam. Perhatikan kembali gambar dalam ruang kecepatan dalam

gambar 3.6b. Gerakan elektron karena pengaruh termal (tanpa medan

listrik) tidak menghantarkan arus listrik, karena :

0

v

i i

=

∑

r

3.25

Setiap titik dalam bola Fermi, yang menggambarkan elektron dengan

kecepatan tertentu selalu memiliki titik pada posisi berlawanan, yang

melukiskan elektron dengan kecepatan yang sama tetapi berlawanan

arah. Dan bila ini dijumlahkan (secara vector) untuk seluruh populasi

elektron, seperti pada persamaan (3.25), akan memberikan nilai nol.

Dengan kata lain secera efektif tidak ada aliran elektron, sehingga tidak

ada hantaran (arus) listrik.

Kini perhatikan gambar 3.7a., dengan adanya medan listrik E ke

arah kanan, elektron memiliki kecepatan alir v

d

ke arah kiri dan ini

berarti bola Fermi bergeser ke kiri sejauh v

d

. Pergeseran ini

menggunakan gambar 3.7b.Jumlah elektron “sisanya” (yang tidak

berkonduksi) dinyatakan oleh bagian volume bola yang tidak diarsir, dan

bentuknya mendekati bangun “elipsoida”.

Gambar 3.7 a. Pegeseran ke kiri bola Fermi akibat medan listrik E ke

kanan menghasilkan elektron konduksi (bagian terrasir)

b. Bagian bola Fermi “sisanya” yang mengandung elektron

tak berkonduksi berbentuk elipsoida (bagian tidak

terarsir).

Setengah sumbu panjang elipsoida :

F

v

a

≈

3.26

karena

v

d

<<

v

F

sedangkan setengah sumbu pendek :

(

v

F

v

d

b

=

2

−

2

1

)

dan volume elipsoida :

2

3

4

ab

V

elip

=

π

3.28

Selanjutnya, volume bagian bola yang berisi elektron konduksi (bagian

terarsir) ialah selisih antara volume bola Fermi dan volume elipsoida :

(

)

2 3 1 2 3 4 2 3 4 2 3 1 3 3 4 3 3 4 2 2 1 3 4 3 3 4 d F d F d F d F F F d F F F

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

V

π

π

π

π

π

π

π

π

−

=

+

−

−

=

−

−

=

∆

Perbandingan antara jumlah elektron konduksi dan jumlah elektron total :

F d F d F d F d F d F

v

v

v

v

v

v

V

v

v

v

v

V

V

≈

−

=

−

=

∆

2 2 4 1 3 3 4 2 3 1 2 3 4

π

π

π

Karena v

d

<<v

F

. Jumlah elektron yang menghantarkan arus apabila

jumlah elektron bebas total n adalah :

Rapat arus pada tingkat Fermi :

d

F F d F

env

v

v

v

en

env

J

−

=













−

=

−

=

Gantikan v

d

seperti pada persamaan (3.8), akan diperoleh :

E

*

m

ne

J

F

2

τ

=

3.30

F

τ

adalah waktu tumbukan elektron pada tingkat Fermi. Sedangkan

selanjutnya bila persamaan (3.30) dibandingkan dengan hukum Ohm

(3.5) menghasilkan :

*

2

m

ne

τ

_F

σ

=

3.31

dengan :

F

F

F

v

λ

τ

=

3.32

F

λ

adalah lintasan bebas elektron rata-rata pada tingkat Fermi. Tampak

3.3 RAPAT KEADAAN (

DENSITY OF STATE

) ELEKTRON

Pada Bab II telah dipelajari jumlah keadaan fonon dalam selang

frekuensi

( )

ω

atau bilangan gelombang (q) yang dinyatakan dengan

rapat keadaan fonon g

( )

ω

atau g (q). Sementara ini,

ω

dan q berhubungan

satu sama lain melalui hubungan dispersi

ω

(q). Ekuivalen dengan fonon,

jumlah elektron dalam selang energi (E) atau bilangan gelombang (k)

juga dinyatakan dengan rapat keadaan g(E) atau g (k). Besaran g dan k

berhubungan satu sama lain melalui ungkapan energi kinetik :

2 2

*

2

m

k

E

=

η

untuk kasus 3-dimensi ungkapan energi dapat ditulis :

(

2 2 2

)

2

*

2

m

k

x

k

y

k

z

E

=

η

+

+

dengan :

nz L k ny L k nx L

k_x=2π ; _y =2π ; _z =2π

n

x,

n

y,

n

z

masing-masing bilangan kuantum dan L ukuran bahan logam

Gambar 3.8 Permukaan Fermi dalam ruang –k

Dari gambar 3.8 dapat ditentukan jumlah elektron yang mempunyai bilangan gelombang antara k dan k+dk adalah :

( )

dk k L x x L dk k volume 1 x Spin tas Multiplisi x Satu sel vol. bola Vol.Kulit dk k g 2 2 3 3 2 ₁ 2 2 4 π π π =     = = atau : 2 2 ) ( π k k g =

Untuk menentukan ρ

( )

E , gunakan hubungan :

g(k)dk = g(E)dE

dan persamaan (3.33). Dari sini akan didapat hubungan :

( ) ( )

dE dk k g E g =

Substitusikan persamaan (3.33) dan (3.35) ke dalam persamaan (3.37), yang memberi hasil :

( )

12

yaitu rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari energinya.

3.4. KAPASITAS DAN KONDUKTIVITAS PANAS

Pada suhu yang lebih besar dari 0oK, bahan logam selain mengandung elektron juga terdapat fonon di dalamnya. Elektron dan fonon inilah yang berperan dalam menentukan nilai baik kapasitas panas maupun konduktivitas panas.

3.4.1. Kapasitas Panas

Kapasitas panas logam dengan adanya elektron dan fonon dapat ditulis sebagai berikut :

Clogam= Cfonon + Celektron

Dengan menggunakan model elektron bebas klasik, energi rata-rata elektron pada suhu T, sebagaimana gas ideal adalah :

(

k T

)

RT N

E= A ₂3 B = ₂3

Sehingga kapasitas panas elektron :

R T E C_elektron

2 3

= ∂ ∂ =

Sementara itu, seperti pada Bab II, kapasitas panas fonon :

R C_fonon =3

Dari persamaan (3.39), (3.41) dan (3.42) jelas bahwa kapasitas panas logam :

R R R

C _am 1₂

2 3 log =3 + =4

Sementara menurut hasil eksperimen untuk semua zat padat diperoleh nilai kapasitas panas 3R. Jadi, model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan kapasitas panas logam.

Di pihak lain, menurut model elektron bebas kuantum energi rata-rata elektron pada suhu T :

(

)

F B A

E T k N E

2

Kapasitas panas elektron :

k R T E C_elektron =2

∂ ∂ =

Definisikan suhu Fermi :

B F F

k E

T =

Sehingga :

F elektron

T T R

C =2

Dari perhitungan yang lebih eksak dihasilkan :

F B elektron

E T Rk C

2 2

π =

3.4.2. Konduktivitas Panas

Pada sebuah batang logam, bila ujung-ujung batang mempunyai suhu yang berbeda, akan terjadi aliran panas dari ujung batang yang bersuhu lebih tinggi ke ujung yang lebih rendah. Dalam gambar 3.9, aliran energi panas persatuan waktu dan persatuan luas batang,

Gambar 3.9. Aliran energi panas batang yang ada ujung-ujungnya terdapat perbedaan suhu.

dinyatakan oleh :

(

dT_dx

)

_{adalah gradien suhu, dan K menyatakan konduktivitas panas bahan logam. tanda} minus (-) diambil agar Q bernilai positif untuk K yang bernilai positif, oleh karena gradien suhu <O.

Dalam bahan logam konduktivitas panas merupakan sumbangan oleh elektron dan fonon sehingga dapat dituliskan :

K = Kfonon + Kelektron

dengan :

λ

v C K_{fonon =3}1 _fon

dan : F F F B F F elek elektron v E T nk v C K λ π λ         = = 2 2 2 3 1 3 1

Karena umumnya : K_fonon ≈0,10K_elektron,maka :

* 3 2 2 m T nk K

K≈ _elek =π B τF

Dari persamaan (3.31) dan (3.51) dapat diambil perbandingan antara konduktivitas panas dan konduktivitas listrik sebagai berikut :

L k

T

K B ₌

      = 2 3 1 λ π σ

L disebut bilangan Lorenz. Nilai L untuk beberapa logam ditunjukkan pada tabel3.2 .

Tabel 3.2. Bilangan Lorenz (L) untuk beberapa logam

Logam L

(

1 1

)

. . .Ωs− K−

kal Logam L

(

1 1

)

. . .Ωs− K− kal

Na 5,2 x 10-9 A1 4,7 x 10-9

Cu 5,4 x 10-9 Cd 6,3 x 10-9

Ag 5,6 x 10-9 Ni 3,7 x 10-9

Au 5,9 x 10-9 Fe 5,5 x 10-9

3.5 PITA ENERGI ZAT PADAT

atom-atom Na membentuk ikatan logam, elektron valensi menjadi elektron bebas. Lihat ilustrasi pada gambar 3.10.

Gambar 3.10 Potensial pada atom Na bebas, elektron valensi dalam keadaan terikat (atas). Potensial pada kristal Na, elektron valensi menjadi bebas (bawah).

Dapat dibayangkan bahwa bila elektron bergerak disepanjang kristal yang potensialnya periodic, elektron tidak sepenuhnya bebas tetapi berinteraksi dengan medan kristal . Fungsi gelombang elektron untuk menggambarkan gerakannya dalam pengaruh medan kristal merupakan gabungan dari fungsi gabungan untuk elektron bebas dan fungsi yang periodic. Fungsi yang bersangkutan disebut fungsi Bloch dengan eikx adalah fungsi untuk elektron bebas sedangkan Uk(x) suatu fungsi uang

Gambar 3.11. Fungsi Bloch

Apabila fungsi Bloch seperti pada persamaan (3.53) digunakan untuk menyelesaikan persamaan gerak elektron dalam potensial periodic :

( ) ( ) ( )

V x x E

( )

x dx

x d

m ψ ψ

ψ η

= +

−

2 2 2

* 2

Gambar 3.12. Kurva E vs. K yang merupakan solusi persamaan (3.54); membentuk struktur pita.

Energi E sebagai fungsi K untuk elektron yang bergerak dalam medan kristal periodic, dalam gambar 3.12, menghasilkan selang energi yang terlarang (celah energi) dan selang yang diperbolehkan (pita energi). Keadaan energi elektron seperti ini disebut struktur pita zat padat. Sebagai akibat dari interaksi elektron dengan medan kristal, maka elektron mengalami perubahan massa karena pengaruh medan tersebut. massa elektron menjadi lebih besar atau lebih kecil dari massa diamnya. Massa yang demikian disebut massa efektif (m*) dan dirumuskan :

    

   =

2 2

2

*

dk E d

m η

dengan E adalah energi elektron sebagai fungsi bilangan gelombang k :E (k). Sebagai contoh untuk elektron bebas energinya :

( )

2 2

2m k k

E

o η =

dan turunan kedua terhadap K :

o

m dk

E

d 2

2

2 η

=

o o

m

m dk

E d

m =

        =

        =

2 2

2 2

2 *

η η η