Bab 6
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Untuk Teori
Pita Energi)
Berdasarkan daya hantar listrik, zat padat dibedakan menjadi tigajenis :
•Logam dan semi-logam, dengan σ ≥ 105 ohm-1m-1.
•Semikonduktor, dengan 10-5 ohm-1m-1 ≤ σ ≥ 105 ohm-1m-1.
•Isolator, dengan σ ≥ 10-5 ohm-1m-1.
Tahanan Listrik (‘resisivity’ : ohm-m) dipengaruhi oleh SUHU. Pada bahan LOGAM DAN SEMI-LOGAM resistivity akan
MENINGKAT, tetapi pada bahan SEMIKONDUKTOR resitivity ini akan MENURUN seiring dengan kenaikan suhu.
Untuk dapat menerangkan sifat daya hantar listrik zat padat diperlukan sebuah model. Model yang dikembangkan adalah MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI dan MODEL PITA ENERGI.
MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI tidak bisa menjelaskan rentang nilai konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada
model ini potensial dari gugus ion diabaikan (V=0).
MODEL PITA ENERGI dapat menjelaskan rentang nilai
konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada model ini potensial dari gugus ion tidak diabaikan atau adanya potensial berkala
Lanjutan…..
Beberapa hal yang diperhatikan pada model PITA ENERGI: •Adanya energi potensial periodik dalam keristal dengan keberkalaan kisi kristal.
•Fungsi gelombangnya untuk kisi sempurna (tanpa vibrasi termal, cacar geometri ataupun kimiawi).
•Merupakan teori elektron tunggal; hanya menelaah perilaku satu elektron saja yang manan elektron ini dipengaruhi oleh potensial periodik yang mempresentasikan semua interaksinya.
• Dapat menggunakan persamaan Schroendinger untuk mengkaji informasi yang ada pada elektron tersebut dengan tetap
mengikuti aturan sebaran Fermi-Dirac untuk pengisian keadaan elektron.
•Teorema yang dapat digunakan untuk menguraikan bentuk dan sifat fungsi Schroedinger untuk satu elektron dalam potensial
Dalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial:
1.Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion.
2.Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal.
Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah:
Merupakan fungsi yang memiliki keberkalaan kisi kristal
Gambaran potensial periodik untuk kisi linier monoatomik
Persamaan Schroedinger untuk elektron dalam kristal linier monoatomik dengan
Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah;
1.Jika punya solusi untuk harga energi E, maka juga punya solusi E. Jika tedapat degenerasi maka
2.Dari syarat batas siklis Born-von Karmann didapat untuk elektron ruang kristal yang terbatas.
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (
Teorema Bloch, Bentuk
Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah;
2.Untuk setiap X akan didapat yang berulang setelah N buah sel satuan. Panjang kristal l=Na. Sehingga didapat;
3.Fungsi gelombang elektron bebas dalam satu dimensi adalah ; untuk potensial nol. Untuk potensial yang tidak nol fungsinya :
Dari fungsi didapat yang merupakan
fungsi periodik dengan keberkalaan a.
Potesial bernilai riil, artinya sehingga didapat . Keduanya memiliki nilai eigen E, sehingga
Vektor k dan vektor kisi G memiliki dimensi yang sama. Semua harga
k yang tepat dapat dikembalikan ke selang harga k dalam daerah . Selang ini dinamakan Brillouin zone I.
Teorema Bloch memberikan bentuk dan sifat umum solusi
persamaan Schroedinger elektron dalam kisi periodik satu dimensi dan tidak memberikan solusi spesifk.
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (
Teorema Bloch, Bentuk
Model ini mengkaji perilaku elektron dalam kristal linier monoatomik dan memberikan indikasi adanya selang energi elektron yang
diperkenankan dan yang tidak diperkenankan.
Model ini mempelajari perilaku elektron dalam potensial
dengan periode (a+b). Persamaan Schroedingernya;
. Solusi persamaan ini dibatasi harga E < Vo dan
dibataskan pada dua besaran riil, α dan β. Dengan mensubstitusikan solusi umum dari teorema Bloch ke persamaan schroedinger akan didapatkan;
dengan solusi dengan
A, B, C dan D ditetapkan berdasarkan syarat batas. Sehingga didapat empat persamaan linier yang determinan solusinya tidak-sama dengan nol.
Penyemaan determinan sama dengan nol akan didapatkan;
Sketsa lengkung adalah , garis-garis
terputusnya adalah , kedua nilai itu merupakan nilai
maksimum dan minimum cos ka, yang selanjutnya menjadi selang dengan batasan , maka terbatasnya harga pada nilai tertentu juga membatasi energi yang dapat dimiliki oleh elektron. Dengan demikian model ini memberikan informasi pita-pita energi yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron.
Kesimpulan umum dari lengkung adalah;
1.Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi. 2.Meningkatnya nilai akan memperlebar pita energi yang diperkenankan.
3.Bartambahnya P (bVo ), mempersempit lebar pita energi yang diperkenankan.
4.Jika P mendekati tak-hingga, artinya elektron berada dalam kotak potensial berdinding tak-hingga dengan leber a.
5.Jika P mendekati nol, artinya elektron berada pada keadaan elektron bebas.
6.Diskontinue E terjadi pada , yaitu pada
Di bawah ini adalah Sketsa ramalan harga energi elektron pada potensial periodik kristal monoatomik linier dan kaitan model Kroning-Penney dengan harga energi untuk elektron bebas dan elektron dalam kotak potensial berdinding tak-hingga.
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model
Kroning-Penney)
Kesimpulan umum dari persamaan adalah;
1.Harga a tidak dapat ditentukan secara pasti, tetapi dapat diperkirakan selanng nilai a yang diperbolehkan.
2.Diskontinuitas nilai a, terjadi pada coska bernilai +1 dan -1. yaitu saat
3.Selang terlarang harga (αa) terlarang tidak ada solusi pada . Sehinggga selang ini merupakan energi terlarang bagi elektron.
Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal sangat lemah sehingga elektron berprilaku hampir bebas.
Istilah kisi kosong di sini artinya meskipun potensila kristal dianggap sama dengan nol, tetapi fungsi gelombang yang merupakan solusi persamaan Schroedinger menaati sifat kesetangkupan kisi kristal. Persamaan untuk elektron ini adalah:
Spektrum kontinu, seperti pada gambar
Gambar (a) menunjukkan extended zone
Gambar (b) menunjukkan reduced zone
Gambar (c) menunjukkan Brillouin zone I.
Di sini tidak ada pembatasan energi sehingga spektrum energinya kontinu.
Model kisi kosong ini membantu dalam memahami model elektron hampir bebas.
Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal lemah tetapi tidak sama dengan nol. Berdasarkan teorema Bloch untuk kristal satu dimensi, diskontinuitas energi elektron pada batas-batas brillouin
zone yaitu untuk . Daerah ini terdapat pada gambar;
Gambar (a) daerah reduced zone
Gambar (b) daerah extended zone
Loncatan antara dua daerah energi disebut energi gap. Untuk
mengevaluasi besarnya energi gap ini digunakan teori PETURBASI. Yang persamaannya adalah;
Hasil dari penjabaran teori peturbasi ini, memberikan bahwa energi
gap pertama dan kedua besarnya dengan s
Pada batas-batas Brillouin zone, fungsi Bloch berupa gelombang
tegak dan bukan gelombang berjalan, elektron dengan harga vektor propagasi ini memenuhi syarat difraksi Bragg;
Karena pada hamburan elestik , syarat Bragg menjadi untuk kristal monoatomik linier dengan jarak antar tetangga
terdekatnya sebesar a syaratnya menjadi . Arti fsikanya adalah gelombang yang dipantulkan oleh atom yang bersebelahan berbeda fasa π, atau 180 derajat. Superposisi dua gelombang yang
dipantulkan oleh atom yang bertetangganya adalah , ini adalah fungsi gelombang tegak dan bersifat genap. Selain itu juga dapat menghasilkan
kombinasi linier fungsi gelombang ganjil; . Dari fungsi genap dan ganjil ini akan didapatkan rapat muatan;
Rapat muatan genap yang berharga maksimum x=am.
Rapat muatan fungsi ganjil yang bernilai NOL di setiap kisi.
Sketsa hubungan E dan k model Kroning-Penney dalam pola zone tereduksi. Lengkung E = E(k)
memperlihatkan daerah energi yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron. Tetapi energi ini masih bergantung pada jumlah elektron dalam kristal dan statistika energi elektron.
Dua keadaan di mana medan listrik tidak menghasilkan arus netto dalam kristal:
1. Tidak ada elektron yang berada pada pita energi yang diperbolehkan.
2. Pita energi yang diperkenankan terisi penuh elektron.
Rapat arus elektron ini adalah;
Hanya pita energi yang terisi (atau kosong) sebagian yang dapat memberikan sumbangan pada arus listrik.
Logam, Isolator dan Semikonduktor (
Pita energi dengan
Akibat medan listrik elektron di A akan bergerak ke arah –X dan sampai pada kedudukan A’. Pada saat itu terjadi pantulan Bragg, dan elektron muncul kembali di
A’’. Kemudian elektron menempuh siklus yang sama. Proses berulang ini disebut sebagai osilasi Zener.
Logam, Isolator dan Semikonduktor (Presentasi
pembawa muatan)
Rapat arus yang disumbangkan oleh pita energi yang tidak seluruhnya penuh, diberikan oleh persamaan;
Untuk pembawa muatan elektron
Untuk pembawa muatan hole.
Logam, Isolator dan Semikonduktor (Presentasi
pembawa muatan)
Model pita energi ini yang membedakan isolator, konduktor dan semikonduktor berdasarkan diagram pita energi yang dimilikinya.
Diagram pita energi untuk bahan isolator, konduktor dan
Latihan soal
1. Apa yang dimaksud dengan energi Fermi?
Energi Fermi EF merupakan energi maksimum yang dapat dimiliki elektron dalam kristal pada suhu T=0.
2. Bagaimana keadaan energi Fermi pada bahan isolator, konduktor dan semikonduktor berdasarkan teori pita energi?
Pada bahan Isolator tingkat energi Ferminya melintas daerah energi terlarang.
Pada bahan Konduktor tingkat energi Ferminya melalui pita konduksi, sehingga pada suhu T=0 kelvin, semua ‘electron states’ dalam pita konduksi dengan E< EF terisi.
Latihan soal
3. Kondisi seperti apakah, dalam kristal tidak menghasilkan arus netto meskipun ada medan listrik yang bekerja padanya?
Pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang
diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron atau pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang diperkenankan terisi elektron, artinya tidak satupun ‘electron states’ yang
kosong.
4. Kenapa model elektron bebas tidak dapat menjelaskan rentang harga konduktivitas listrik zat padat yang lebar?
Karena pada model elektron bebas mengabaikan potensial dari gugus-gugus ion dalam kristal (V=0).
5. Kenapa model Teori pita dapat menjelaskan rentang harga konduktivitas listrik zat padat yang lebar?
Latihan soal
6. Jelaskan kenapa pada teori pita energi berlakupotensialnyaV(x+a) = V(x)?
Karena pada teori pita potensial dari gugus-gugus ion dalam
kristalnya dianggap merupakan potensial periodik. Potensial periodik ini dikenalkan karena pada kisi kristalnya dianggap berulang secara periodik juga. Dengan demikian ion-ion
